Định nghĩa Cho K là trường, X1, , Xd là các biến trên K Một đơn thức

I  Tính chất bao đóng nguyên của một iđêan là một iđêan được sử dụng rất

Bao đóng nguyên của iđêan đơn thức là trường hợp đơn giản nhưng lại rất

2.3.1 Định nghĩa Cho K là trường, X1, , Xd là các biến trên K Một đơn thức

trên vành đa thức K X 1,...,Xd là phần tử có dạng 1 2

1n 2n ... nd d

X X X với n n1, 2,...nd

là các số nguyên không âm. Một iđêan được gọi là iđêanđơn thức nếu nó được sinh bởi các đơn thức.

Vành đa thức K X 1,...,Xd có d phân bậc tự nhiên như sau: deg(Xi)(0,..., 0,1, 0,...0) d với 1 ở vị trí thứ i còn các vị trí khác bằng 0. Với sự phân bậc này, iđêan đơn thức là thuần nhất và thực chất các iđêan đơn thức là các iđêan thuần nhất.

Cho I là iđêan đơn thức và một đơn thức 1 2

1n 2n ... nd d r X X X trong bao đóng nguyên I . Giả sử 1 2 1 2 ... 1 0 n n n n n r a r  a r   a r a  là phương trình phụ thuộc nguyên của r trên I. Do I là iđêan đơn thức nên I là iđêan thuần nhất với

d phân bậc tự nhiên trên K X[ 1,...,Xd] và mỗi thành phần phân bậc của mỗi

i

a là một phần tử của Ii. Đặc biệt, thành phần phân bậc của phương trình trên có bậc n n( ,...,1 nd) là một phương trình phụ thuộc nguyên của r trên I. Vì vậy nếu bi là thành phần thuần nhất của ai có bậc i n( ,...,1 nd) thì

28

1

1 ... 0

n n

n

r b r    b cũng là phương trình phụ thuộc nguyên của r trên I. Giả sử i là số nguyên sao cho b ri n i 0. Chú ý rằng cả rn và b ri n i đều là các phần tử có bậc n n( ,...,1 nd). Do thành phần phân bậc của K X 1,...,Xd có bậc

1

( ,..., d)

n n n là một K-không gian vectơ một chiều nên tồn tại một phần tử khả nghịch uK sao cho rn ub ri n i 0. Chia hai vế cho n i

r  , ta được phương trình phụ thuộc nguyên của r trên I có dạng i 0

i

r c với  i i

c I là một tích của

i đơn thức trong I.

Do đó vấn đề tìm phương trình phụ thuộc nguyên của một đơn thức r trên iđêan đơn thức I qui về việc tìm số nguyên i và các đơn thức m1,...mi trên I sao cho

1... 0

i

i

r m m  .