I Tính chất bao đóng nguyên của một iđêan là một iđêan được sử dụng rất
2.3.2Mệnh đề Bao đóng nguyên của iđêan đơn thứ cI trong vành đa thức
Bao đóng nguyên của iđêan đơn thức là trường hợp đơn giản nhưng lại rất
2.3.2Mệnh đề Bao đóng nguyên của iđêan đơn thứ cI trong vành đa thức
1,..., d
K X X là một iđêan đơn thức.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử f I không là đơn thức và không có thành phần thuần nhất nào của f thuộc I . Ta viết f dưới dạng f l fl , trong đó là tập hợp con hữu hạn của d
và fl là thành phần của f có bậc l. Giả sử L với fL 0.
Trước hết ta giả thiết rằng K là đóng đại số. Một tự đồng cấu vành bất kỳ
của K X 1,...,Xd biến phương trình nguyên của f trên I thành phương trình nguyên của f trên I . Đặc biệt, với những phần tử khả nghịch tùy ý
1,..., d
u u K , nếu u là tự đồng cấu vành biến Xi thành u Xi i thì u I I và
u f
nguyên trên I. Hơn nữa, mỗi u có tính chất: f 0 và bậc của f là
d
l khi và chỉ khi u f 0 và bậc của u f là l. Do K là đóng đại số và f
không phải là tích của một vô hướng với một đơn thức nên tồn tại u1,...,udK
29
1
1L... Ld
d u
g u u f f cũng nguyên trên I. Do u f không là bội của f nên 0
g . Chú ý rằng thành phần của g có bậc L là 0, và cứ g 0 là có bậc l, khi đó f 0 và có bậc l, vì thế l. Do đó thành phần thuần nhất khác 0 của g ít hơn thực sự của f. Vì thế bằng qui nạp theo số thành phần thì mỗi thành phần của g nằm trong bao đóng nguyên của I. Điều này là mâu thuẫn với cách chọn f. Bây giờ giả sử K là trường tùy ý và K là bao đóng đại số của nó. Như trong trường hợp trên, mỗi đơn thức xuất hiện trong f với hệ số khác 0 nguyên trên
1,... d
IK X X . Do đó, mỗi đơn thức r xuất hiện trong f thỏa mãn phương trình phụ thuộc nguyên ri ai 0 với ai là tích của i đơn thức từ IK X 1,...Xd, do đó
ai là tích của i đơn thức của I. Do đó r nguyên trên I.
2.3.3 Định nghĩa. Cho RK X 1,...,Xd là vành đa thức d biến. (i). Với mỗi đơn thức 1