Iđêan và thể hiện của nó trong hình học đại số

1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 04 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 05 §1. Đại số giao hoán 05 1. Định nghĩa vành 05 2. Ước của không; Miền nguyên 06 2.1. Ước của không 06 2.2. Miền nguyên 06 3. Vành con 06 §2. Vành đa thức 06 1. Định nghĩa 06 2. Iđêan 07 2.1. Định nghĩa 07 2.2. Ví dụ 07 2 Chương 2. IĐÊAN VÀ TẬP ĐẠI SỐ 08 §1. Ánh xạ Zariski 08 1. Khái niệm về tập đại số 08 1.1. Định nghĩa về tập đại số 08 1.2. Ví dụ …. 08 2. Ánh xạ Zariski 09 2.1. Định nghĩa 09 2.2. Một số tính chất của ánh xạ Zariski 10 §2. Tính chất của iđêan trong tập đại số 11 1. Tính chất của iđêan trong tập đại số 11 1.1. Mệnh đề 11 1.2. Nhận xét 12 1.3. Ví dụ 12 1.4. Bổ đề 12 3 1.5. Bổ đề 13 2. Một số định lí và định nghĩa 13 2.1. Định lí 13 2.2. Định nghĩa 14 2.3. Mệnh đề 14 2.4. Nhận xét 15 3. Iđêan căn 16 3.1. Định nghĩa 16 3.2. Ví dụ 17 3.3. Mệnh đề 17 §3. Iđêan nguyên tố và tập đại số bất khả quy 17 1. Định nghĩa 17 1.1.Định nghĩa tập đại số bất khả quy 17 4 1.2. Định nghĩa iđêan nguyên tố 17 2. Tính chất của iđêan nguyên tố 17 2.1. Mệnh đề 17 2.2. Bổ đề 18 2.3. Định nghĩa 18 2.4. Nhận xét 18 3. Mối quan hệ giữa iđêan nguyên tố và tập đại số bất khả quy 19 3.1. Định lí 19 3.2. Ví dụ 19 3.3. Mệnh đề 19 3.4. Mệnh đề 20 Chương 3. MỘT SỐ TẬP ĐẠI SỐ TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ THỂ HIỆN IĐÊAN CỦA NÓ 21 §1. Một số ví dụ về tập đại số và iđêan trong toán học phổ thông 21 5 1. Tập đại số trong R 1 21 2. Các tập đại số trong R 2 21 2.1. Đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 21 2.2. Đường tròn có phương trình (x − a) + (y − b) = R 22 2.3. Đường elip có phương trình 2 2 2 2 x y + = 1 a b 22 2.4 . Đường hyperbol có phương trình 2 2 2 2 x y = 1 a b − 22 2.5. Đường Parabol có phương trình y = 2px 23 2.6. Đồ thị hàm số bậc hai 2 = + + y ax bx c 23 2.7. Đồ thi hàm số bậc ba y = ax +bx + cx + d 23 2.8. Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c 24 3. Các tập đại số trong R 3 24 3.1. Mặt phẳng có phương trình ax + by + cz + d = 0 24 3.2. Mặt cầu có phương trình (x − a)+ (y − b)+ (z − c) 2 = R 25 3.3. Đường thẳng 26 3.4. Mặt Elipxôit có phương trình x 2 −y 2 − z 2 = 1 27 6 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 7 MỞ ĐẦU Hình học đại số là chuyên ngành toán học nghiên cứu các hình hình học có xuất xứ từ phương trình, hệ phương trình đa thức. Trong Hình học đại số, các đối tượng hình học được mô tả bằng ngôn ngữ đại số thuần túy. Ngôn ngữ đại số có khả năng diễn đạt trực quan hình học một cách chính xác. Đại số giao hoán và đại số đa thức nói riêng là công cụ chính của Hình học đại số. Vì thế có thể nói Hình học đại số có những mối liên hệ với rất nhiều chuyên ngành khác như Giải tích, Số học, Đại số, Tô Pô … Iđêan là một khái niệm cơ bản và có rất nhiều tính chất quan trọng trong Hình học đại số. Với mong muốn hiểu biết tốt hơn về hình học đại số, ứng dụng của nó trong các chuyên ngành hình học khác nên tôi đã chọn đề tài “IĐÊAN VÀ THỂ HIỆN CỦA NÓ TRONG HÌNH HỌC ĐẠI SỐ” để nghiên cứu. Với việc hoàn thành bản luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán – người đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài, từ việc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài luận. Bên cạnh đó tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô và bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn. Mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn. Chân thành cảm ơn ! Đồng Tháp, ngày 20 tháng 9 năm 2013 Tác giả Lê Thị Tuyết Băng 8 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này tôi xin trình bày một số các khái niệm, định nghĩa, tính chất liên quan chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn. §1. Đại số giao hoán 1. Định nghĩa vành Tập hợp V được gọi là vành nếu trên nó có hai phép toán hai ngôi kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu “+” và “.” Và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: •V cùng với phép cộng là một nhóm Aben; •V cùng với phép nhân là một nữa nhóm; •Phép nhân phân phối với phép cộng: Với các phần tử tùy ý x, y, z ∈ V ta có: x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx. Phần tử trung lập của phép cộng kí hiệu là 0 và gọi là phần tử không. Phần tử đối xứng (đối với phép cộng) của một phần tử x thì kí hiệu là – x và gọi là đối của x. Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì V gọi là vành giao hoán. Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì phần tử đó gọi là phần tử đơn vị của V thường kí hiệu là 1, khi đó ta gọi V là vành có đơn vị. Phần tử x của vành V giao hoán, có đơn vị là 1 gọi là khả nghịch nếu tồn tại y∈V sao cho xy = 1. Khi đó x còn gọi là ước của đơn vị. Tập tất cả các ước của đơn vị trong V lập nên một nhóm. Nếu a = bc trong V thì ta nói b là ước của a; hay b chia hết cho a; hay a chia hết cho b; hay a là bội của b. 9 2. Ước của không; Miền nguyên. 2.1. Ước của không. Phần tử a∈V, a ≠ 0 gọi là ước của 0 nếu có b∈V, b ≠ 0 thỏa mãn quan hệ ab = 0. 2.2. Miền nguyên. Một vành V có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có đơn vị, không có ước của 0 được gọi là một miền nguyên. Phần tử không khả nghịch f của miền nguyên V gọi là bất khả quy nếu có phân tích f = gh thì hoặc g hay h là phần tử khả nghịch. 3. Vành con. Giả sử V là một vành, A là một bộ phận của V thỏa mãn hai tính chất x+y ∈ A và xy ∈ A với mọi x, y ∈ A. Khi đó A được gọi là một vành con của vành V; nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành. §2. Vành đa thức 1. Định nghĩa Cho A là vành giao hoán có đơn vị. Vành đa thức n biến x 1 , x 2 ,…., x n trên A là tập A[X] : = A[x 1 , x 2 , , x n ]. Mỗi phần tử f của A[X] gọi là đa thức, nó có dạng: 1 2 , , , 1 2 1 2 1 2 = r r r n r r r n n r r r n f x x x d λ + + + ∑ ≤ với d là một số tự nhiên nào đó và , , , 1 2 r r r n λ ∈ A gọi là các hệ tử. Khi A là trường ta gọi chúng là các hệ số. Các biểu thức 1 2 1 2 r r r n n x x x gọi là các đơn thức. Bậc của đơn thức 1 2 1 2 r r r n n x x x là tổng các số mũ r 1 + r 2 +… + r n . Bậc của f ≠ 0 là bậc lớn nhất của các đơn thức trong f; ký hiệu là deg f. Nếu f = 0, ta quy định degf = −∞ . Nếu 0 ≠ f∈A, ta nói degf = 0. Khi degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng: f = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + a n+1 , trong đó ít nhất phải có một hệ số gắn biến khác không. 10 Khi đó A[X] là vành giao hoán có đơn vị với phép cộng và phép nhân đa thức thông thường. Các phần tử của A[X] được gọi là các đa thức. 2. Iđêan. 2.1. Định nghĩa. Tập con I của vành A gọi là iđêan nếu nó là vành con của A và có tính chất: hf ∈ I với mọi h ∈ I và f ∈ A. 2.2. Ví dụ. 1. Tập {0} và A là iđêan. Chúng gọi là các iđêan tầm thường. Những iđêan còn lại gọi là iđêan thực sự. 2. Với mọi f∈A, tập (f): = {gf; g∈A} là một iđêan, gọi là iđêan chính sinh bởi f. 3. Cho S ⊆ A là tập con bất kỳ. Thế thì tập (S):= {h 1 f 1 + h 2 f 2 +…+ h r f r ; h 1 , h 2 ,…, h r ∈ S; f 1 , f 2 ,…, f r ∈ A}là một iđêan bé nhất chứa S, gọi là iđêan sinh bởi S. [...]... Chương 2 IĐÊAN VÀ TẬP ĐẠI SỐ Trong chương này trình bày một số tính chất của iđêan thể hiện trong tập đại số Zariski; trình bày và chứng minh một số bổ đề và định lí về sự biểu hiện của iđêan trong tập đại số Đây là một trong những nội dung chính của luận văn §1 Ánh xạ Zariski 1 Khái niệm về tập đại số 1.1 Định nghĩa về tập đại số Cho K là trường, tập con V ⊆ Kn gọi là tập đại số (hay tập đại số Zariski... rõ được một số tập đại số và thể hiện Iđêan của nó trong kiến thức toán phổ thông, từ đó cho phép chúng ta nhìn nhận toán phổ thông một cách sâu sắc hơn 4 Hướng phát triển: Tiếp tục nghiên cứu hình học đại số trong các hình học khác Chẳng hạn trong hình học xạ ảnh, hình học Ơclit, hình học Afin, … 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Ngô Bảo Châu (2003), Giáo trình hình học đại số http://www.vietmaths.com... một iđêan thực sự Vì vậy, áp dụng Bổ đề Zorn ta nhận được: 22 Mọi iđêan thực sự đều nằm trong một iđêan cực đại Do đó mọi iđêan cực đại đều nằm trong một iđêan nguyên tố 3 Mối quan hệ giữa iđêan nguyên tố và tập đại số bất khả quy Trong mục này trình bày và chứng minh một số bổ đề và định lí về sự biểu hiện của iđêan nguyên tố trong tập đại số bất khả quy 3.1 Định lý Tập đại số V là bất khả quy khi và. .. V ⊂ K n bất khả quy nào đó suy ra I là Iđêan nguyên tố Điều kiện đủ: Giả sử I là một iđêan nguyên tố Khi đó I là một iđêan căn Suy ra I = I = I ( Z ( I ) ) hay I = I(V) với V = Z(I) Do đó nên V bất khả quy 24 Chương 3 MỘT SỐ TẬP ĐẠI SỐ TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ THỂ HIỆN IĐÊAN CỦA NÓ Trong phần này, tôi trình bày các tập đại số và iđêan của một số hình trong toán học phổ thông Đây là những kết quả nghiên... tiễn giảng dạy của chúng tôi trên cơ sở kiến thức về Hình học đại số Cụ thể là chúng tôi sẽ lần lượt khảo sát một số tập đại số trong R 1, R2, R3 và cố gắng tính toán chúng cũng như iđêan của nó, mặc dù việc tính toán này, nói chung là không phải dễ như đã chỉ ra ở ví dụ 2; 3 trang 9 và các ví dụ ở trang 15 1 Tập đại số trong R Như đã trình bày ở trên, tập đại số trong R1 chỉ có một trong ba dạng là:... họ các tập con của K[X] Thế thì a là nghiệm của mọi tập con Si khi và chỉ khi a là nghiệm của tập U Si Từ đó ta có điều phải chứng minh §2 Tính chất của iđêan trong tập đại số 1 Tính chất của iđêan trong tập đại số Trong phần này, đầu tiên chúng tôi trình bày một số tính chất về các phép toán trên iđêan, sau đó chúng tôi nêu ra và chứng minh một số tính chất của tập đại số liên quan đến iđêan 1.1 Mệnh... (2002), Hình học afin và hình học Ơclit, NXB ĐHQG HàNội [3] Văn Như Cương (1977), Lịch sử hình học, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội [4] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Nhập môn hình học đại số, Viện nghiên cứu và phát triển công nghệ mới [6] Hoàng Xuân Sính (2000), Đại Số Đại Cương, NXB Giáo Dục Hà Nội [7] Ngô Việt Trung (2009), Nhập môn đại số giao hoán và. .. hằng số khác 0 Vì vậy c ∈ (Ia, f) và do đó (Ia, f) = K[X] 2.4 Nhận xét 1 Nếu I ≠ A thì I ≠ A và do I ⊆ I nên nếu I là iđêan cực đại thì I = I nghĩa là mọi iđêan cực đại là iđêan căn Mặt khác, mỗi iđêan cực đại chỉ có một một iđêan căn lớn hơn là cả vành A nên nó không thể là giao của 2 iđêan căn lớn hơn Vậy mọi iđêan cực đại phải là iđêan nguyên tố 2 Nếu I1 ⊆ I2 ⊆ … ⊆ Ij ⊆ …… là một dãy tăng các iđêan. .. nghĩa là IV = IV §3 Iđêan nguyên tố và tập đại số bất khả quy 1 Định nghĩa 1.1 Định nghĩa tập đại số bất khả quy Tập đại số V ⊂ R n gọi là tập đại số bất khả quy nếu nó không phân tích được thành hợp của hai tập đại số nhỏ  V = V1 , với V1 , V2 là các tập đại số  V = V2 hơn thực sự Nghĩa là nếu V = V1 ∪ V2 ⇒  n Ví dụ Tập V = { a} ⊂ ¡ , a = ( a1 , a2, , an ) , V là tập nghiệm của của họ n đa thức f1... bày và sắp xếp theo một hệ thống định nghĩa, khái niệm kèm với chứng minh chi tiết mệnh đề, định lý về đại số giao hoán, tập đại số, ánh xạ đa thức, ánh xạ Zariski, Iđêan, và các tính chất của Iđêan 2 Hệ thống và chứng minh được các tính chất của Iđêan trong tập đại số. Các chứng minh này chúng tôi đã cụ thể hóa mà trong các tài liệu tham khảo có nêu vắn tắt hoặc không chứng minh 3 Chỉ rõ được một số . Hình học đại số. Với mong muốn hiểu biết tốt hơn về hình học đại số, ứng dụng của nó trong các chuyên ngành hình học khác nên tôi đã chọn đề tài “IĐÊAN VÀ THỂ HIỆN CỦA NÓ TRONG HÌNH HỌC ĐẠI SỐ”. đại số thuần túy. Ngôn ngữ đại số có khả năng diễn đạt trực quan hình học một cách chính xác. Đại số giao hoán và đại số đa thức nói riêng là công cụ chính của Hình học đại số. Vì thế có thể. A}là một iđêan bé nhất chứa S, gọi là iđêan sinh bởi S. 11 Chương 2. IĐÊAN VÀ TẬP ĐẠI SỐ Trong chương này trình bày một số tính chất của iđêan thể hiện trong tập đại số Zariski; trình bày và chứng