Iđêan đơn thức không chứa bình phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Lê Thanh Nga IĐÊAN ĐƠN THỨC KHÔNG CHỨA BÌNH PHƯƠNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Lê Thanh Nga IĐÊAN ĐƠN THỨC KHÔNG CHỨA BÌNH PHƯƠNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Th.S Hà Thị Thu Hiền Hà Nội – Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu miệt mài, nghiêm túc với giúp đỡ tận tình thầy cô bạn, đến khóa luận tốt nghiệp hoàn thành, xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy cô Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên, giúp đỡ trình làm khóa luận Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn cô giáo - Th.s Hà Thị Thu Hiền, người trực tiếp hướng dẫn hoàn thành khóa luận Do hạn chế kiến thức thời gian thân nên vấn đề trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô bạn Một lần xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Lê Thanh Nga LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp Iđêan đơn thức không chứa bình phương hoàn thành kết thân trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, nhận quan tâm, giúp đỡ thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình cô giáo Th.s Hà Thị Thu Hiền Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Lê Thanh Nga Lê Thanh Nga - K38D Toán Mục lục KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành, vành 1.2 Miền nguyên, trường 1.3 Iđêan đồng cấu vành 11 1.4 Quan hệ thứ tự tập thứ tự 16 IĐÊAN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN 17 2.1 Các phép toán iđêan 17 2.2 Iđêan hữu hạn sinh 21 2.3 Một số lớp iđêan đặc biệt 23 2.4 Một số tập iđêan 40 VÀNH NOETHER VÀ SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ 46 3.1 Vành Noether 46 3.2 Sự phân tích nguyên sơ phân tích nguyên sơ cực tiểu 49 3.3 Sự phân tích nguyên sơ vành Noether 51 IĐÊAN ĐƠN THỨC KHÔNG CHỨA BÌNH PHƯƠNG VÀ PHỨC ĐƠN HÌNH 53 4.1 Iđêan đơn thức iđêan đơn thức không chứa bình phương 53 4.2 Phức đơn hình 59 4.3 Mối liên hệ iđêan đơn thức không chứa bình phương phức đơn hình Iđêan đơn thức không chứa bình phương 61 Lê Thanh Nga - K38D Toán MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chúng ta biết hầu hết ngành toán học đại ngày trình phát triển cần tới cấu trúc đại số Vì đại số biểu rõ ràng hai đặc trưng toán học tính trừu tượng tính tổng quát Bên cạnh cấu trúc đại số như: Nhóm, vành, trường, môđun, iđêan khái niệm Đại số Các lớp iđêan đặc biệt iđêan nguyên tố, iđêan cực đại, iđêan bất khả quy, iđêan nguyên sơ, có vai trò quan trọng việc nghiên cứu Đại số giao hoán hình học đại số Ngoài xét vành đa thức nhiều biến ta có lớp iđêan đặc biệt lớp iđêan đơn thức đặc biệt lớp iđêan đơn thức không chứa bình phương Hai lớp iđêan quan trọng, chúng ví dụ cho nhiều vấn đề Đại số giao hoán Hơn nữa, iđêan đơn thức không chứa bình phương biểu diễn phức đơn hình, từ biểu diễn phức đơn hình ta nhận thông tin ngược trở lại iđêan đơn thức không chứa bình phương ban đầu Tuy nhiên, chương trình đại học vấn đề trình bày cách sơ lược trừu tượng, gây khó khăn cho việc tìm hiểu bạn đọc, đặc biệt sinh viên khoa Toán Được giúp đỡ, hướng dẫn tận tình cô giáo – Th.s Hà Thị Thu Hiền mong muốn tìm hiểu sâu đại số, mạnh dạn chọn đề tài: “Iđêan đơn thức không chứa bình phương” để làm khóa luận tốt nghiệp hi vọng cung cấp thêm tài liệu tham khảo cho bạn yêu thích đại số Iđêan đơn thức không chứa bình phương Lê Thanh Nga - K38D Toán Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu iđêan đơn thức không chứa bình phương, phức đơn hình mối liên hệ chúng Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết iđêan đơn thức không chứa bình phương, phức đơn hình Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp Cấu trúc khóa luận: Khóa luận chia làm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Iđêan vành giao hoán Chương 3: Vành Noether phân tích nguyên sơ Chương 4: Iđêan đơn thức không chứa bình phương phức đơn hình Iđêan đơn thức không chứa bình phương Lê Thanh Nga - K38D Toán KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành, vành Cho tập X khác rỗng, X trang bị hai phép toán hai ngôi, gọi phép cộng phép nhân, ký hiệu (+), (.) X gọi vành thỏa mãn điều kiện: i) X với phép cộng nhóm Aben ii) X với phép nhân nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối phép cộng, tức với phần tử tùy ý x, y, z ∈ X, ta có: x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx Chú ý 1.1.1 +) Phần tử đơn vị phép cộng ký hiệu gọi phần tử không vành +) Phần tử đơn vị phép nhân (nếu có), ký hiệu +) Vành X gọi vành có đơn vị phép nhân có phần tử đơn vị Khi X với phép nhân gọi vị nhóm +) Vành X gọi vành giao hoán phép nhân giao hoán +) Vành X gọi vành giao hoán có đơn vị X vị nhóm nhân giao hoán Iđêan đơn thức không chứa bình phương Lê Thanh Nga - K38D Toán Ví dụ 1.1.2 - Tập hợp Z số nguyên với phép cộng phép nhân thông thường vành giao hoán có đơn vị gọi vành số nguyên Ta có vành số hữu tỉ Q, vành số thực R, vành số phức C (với phép cộng phép nhân số thông thường) - Tập hợp số nguyên bội số nguyên n cho trước vành với phép cộng phép nhân thông thường Vành vành giao hoán đơn vị - Tập ma trận vuông cấp n (n ∈ N∗ ) với phần tử số với phép cộng phép nhân ma trận vành có đơn vị Vành không giao hoán n > Tính chất 1.1.3 Cho X vành Khi đó: + x0 = = 0x, ∀x ∈ X, + Nếu vành có hai phần tử = 1, + (nx)y = nxy = x(ny), ∀x, y ∈ X, ∀n ∈ Z, + (x − y)z = xz − yz, ∀x, y, z ∈ X Giả sử X vành, A phận X ổn định với hai phép toán cộng nhân X, nghĩa x + y ∈ A, x.y ∈ A ,∀x, y ∈ A Khi A gọi vành X A với hai phép toán cảm sinh A vành Mệnh đề 1.1.4 Cho X vành, A phận khác rỗng X Các điều kiện sau tương đương: Iđêan đơn thức không chứa bình phương Lê Thanh Nga - K38D Toán i) A vành X ii) ∀x, y ∈ A x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A iii) ∀x, y ∈ A x − y ∈ A, xy ∈ A Ví dụ 1.1.5 + {0} X hai vành X + Tập hợp nZ gồm số nguyên bội số nguyên n cho trước vành vành số nguyên Z + Vành đa thức Z[x] vành vành Q[x] + A vành giao hoán có đơn vị A vành vành đa thức A[x] Vành A[x] lại vành vành đa thức hai biến A[x, y] Cho X vành có đơn vị 1, tồn số nguyên n nhỏ cho n1 = ta gọi n đặc số X Ngược lại ta nói X có đặc số Đặc số X ký hiệu char X Ví dụ 1.1.6 Vành số hữu tỷ Q có đặc số Vành Z lớp thặng dư môđun có đặc số Cho X vành giao hoán có đơn vị Tập A ⊆ X gọi tập nhân đóng X nếu: i) ∈ A ii) Với x, y ∈ A xy ∈ A Ví dụ 1.1.7 Dễ thấy vành chứa đơn vị vành có đơn vị tập nhân đóng Iđêan đơn thức không chứa bình phương Lê Thanh Nga - K38D Toán Do ab, g, h ∈ I nên can+1 = ha+dab−ga ∈ I, suy c ∈ (I : an+1 ) = (I : an ) Do r = g + can ∈ I ⇒ (I + an ) ∩ (I + b ) ⊆ I (2) Từ (1) (2) suy (I + an ) ∩ (I + b ) = I Do I bất khả quy, I ⊂ I + b , (b ∈ / I) nên I = I + an , suy an ∈ I Như ab ∈ I, b ∈ / I tồn n để an ∈ I Vậy I iđêan nguyên sơ A Định lý 3.3.3 Cho I iđêan thực vành giao hoán Noether A I có phân tích nguyên sơ có phân tích nguyên sơ tối giản Chứng minh Suy từ hai Định lý 3.3.1 3.3.2 IĐÊAN ĐƠN THỨC KHÔNG CHỨA BÌNH PHƯƠNG VÀ PHỨC ĐƠN HÌNH Khi xét vành đa thức nhiều biến ta có lớp iđêan đặc biệt lớp iđêan đơn thức Lớp iđêan quan trọng, ví dụ cho nhiều vấn đề Đại số giao hoán đề cập chương chương Ngoài ra, chương nghiên cứu thêm lớp iđêan đặc biệt iđêan đơn thức không chứa bình phương 4.1 Iđêan đơn thức iđêan đơn thức không chứa bình phương Cho R := K[x1, , xn] vành đa thức n biến trường K véc tơ a = (a1, , an ) ∈ Nn Một đơn thức R xa := xa11 xann , từ R ca xa ca ∈ K Iđêan I ⊆ R gọi iđêan đơn Iđêan đơn thức không chứa bình phương 53 Lê Thanh Nga - K38D Toán thức sinh đơn thức Như iđêan đơn thức có dạng I = (xa ; a ∈ A), A ⊆ Nn Trong định nghĩa không yêu cầu tập A hữu hạn Bổ đề 4.1.1 Cho I = (xa ; a ∈ A) iđêan đơn thức Đơn thức xb ∈ I xb chia hết cho đơn thức xa với a ∈ A Chứng minh Hiển nhiên xb ∈ I xb chia hết cho đơn thức xa với a ∈ A Ngược lại xb ∈ I tồn hi ∈ K[x] a(i) ∈ A, i = 1, , s cho xb = s a(i) i=1 hi x Xem hi tổng hữu hạn từ khai triển vế phải đẳng thức ta thấy từ phải chia hết cho xa(i) Sau giản ước, số từ lại phải xb Vậy xb phải có tính chất từ đó, tức chia hết cho xa(i) Bổ đề 4.1.2 Cho I iđêan đơn thức R f ∈ R Các điều kiện sau tương đương: a) f ∈ I b) Mọi từ f thuộc I c) f tổ hợp tuyến tính K đơn thức thuộc I Chứng minh Hiển nhiên có (c) ⇒ (b) ⇒ (a) Đối với (a) ⇒ (c) nhận xét tương tự chứng minh Bổ đề 4.1.1 ta có từ f phải chia hết cho xa với a ∈ A Mà đơn thức chia hết cho xa lại thuộc I Do từ f tích đơn thức thuộc I phần tử từ K, tức có (c) Iđêan đơn thức không chứa bình phương 54 Lê Thanh Nga - K38D Toán Như iđêan đơn thức xác định tập đơn thức Hệ 4.1.3 Hai iđêan đơn thức vành đa thức chúng chứa tập đơn thức Bổ đề 4.1.4 Iđêan I iđêan đơn thức với f ∈ I, từ f thuộc I Chứng minh Điều kiện cần suy từ Bổ đề 4.1.2 Từ giả thiết suy tập tất đơn thức đa thức I sinh I Do điều kiện đủ chứng minh Bổ đề 4.1.5 Mọi iđêan đơn thức I = (xa; a ∈ A) viết dạng I = (xa(1) , , xa(s) ), a(1), , a(s) ∈ A Nói riêng I hữu hạn sinh Chứng minh Chứng minh quy nạp theo số biến n Khi n = ta có A ⊆ N Chọn b ∈ A số nhỏ Khi xb1 chia hết đơn thức xa1 với a ∈ A Từ có I = (xb ) Giả sử Bổ đề chứng minh ≤ n − biến Ký hiệu S = K[x1, , xn−1] Ta thấy đơn thức R viết dạng (x′)α xqn , α ∈ Nn−1 , q ∈ N (x′)α đơn thức S Gọi J iđêan ′ α m vành S sinh đơn thức (x′)α cho tồn xm n để (x ) xn ∈ I Theo giả thiết quy nạp, J sinh hữu hạn đơn thức vậy, tức J = ((x′)α(1) , , (x′)α(s) ) Theo định nghĩa với i = 1, , s tồn i mi ∈ N cho (x′)α(i) xm n ∈ I Giả sử m = max {m1 , , ms} Với p = 0, , m − 1, xét iđêan Jp ⊆ S sinh đơn thức (x′)β cho (x′)β xpn ∈ I Lại theo giả thiết Iđêan đơn thức không chứa bình phương 55 Lê Thanh Nga - K38D Toán quy nạp, Jp = ((x′)αp (1) , , (x′)αp (sp ) ), p = 0, , m − Ta chứng tỏ ′ α(s) m I sinh đơn thức: (từ J:) (x′)α(1) xm xn , n , , (x ) (từ J0 :) (x′)α0(1) , , (x′)α0 (s0 ) , (từ J1 :) (x′)α1(1) xn, , (x′)α1 (s1 ) xn , (từ Jm−1 :) (x′)αm−1 (1) xnm−1, , (x′)αm−1 (sm−1 ) xnm−1, Thật vậy, giả sử (x′)α xqn ∈ I Nếu q ≥ m, theo cách xây dựng J, (x′)α phải chia hết cho (x′)α(i) đó, (x′)α xqn chia hết cho đơn thức dòng thứ Nếu q ≤ m − (x′)α xqn chia hết cho đơn thức dòng thứ q + Theo Bổ đề 4.1.1 Hệ 4.1.3 đơn thức liệt kê sinh I Như I sinh tập hữu hạn đơn thức xβ(1) , , xβ(r) Sử dụng Bổ đề 4.1.1 lần nữa, ta thấy đơn thức xβ(j) chia hết cho xγ(j) với γ(j) ∈ A Từ có I = (xγ(1), , xγ(r) ) Mệnh đề 4.1.6 Cho I, J hai iđêan đơn thức Khi I ∩ J I : J iđêan đơn thức Hơn nữa, I = (m1 , , mr ) J = (n1, , ns), mi, nj đơn thức, I ∩ J = (BCN N (mi, nj )|1 ≤ i ≤ r; ≤ i ≤ j) Chứng minh Ta có I : J = s j=1 (I : nj ) nên ta cần chứng minh I ∩ J iđêan đơn thức Cho f ∈ I ∩ J m từ f Vì I, J iđêan đơn thức nên theo Bổ đề 4.1.4, m ∈ Ivà m ∈ J Do m ∈ I ∩ J Lại theo Bổ đề 4.1.4, I ∩ J iđêan đơn thức Bao hàm thức ⊇ hiển nhiên Cho đơn thức m ∈ I ∩ J Theo Iđêan đơn thức không chứa bình phương 56 Lê Thanh Nga - K38D Toán Bổ đề 4.1.1,m chia hết cho mi nj Do m chia hết cho BCN N (mi, nj ) Suy m ∈ (BCN N (mi, nj )|1 ≤ i ≤ r; ≤ i ≤ j), ta có điều phải chứng minh Bổ đề 4.1.7 Giả sử m, n hai đơn thức không chứa biến chung m1 , , mr đơn thức Khi (m1, , mr , mn) = (m1, , mr , m)∩ (m1, , mn , n) Chứng minh Chỉ cần chứng minh ⊇ Nếu đơn thức u ∈ (m1 , , mr , m) ∩ (m1 , , mn , n) chia hết cho mi đó, i ≤ r, u ∈ (m1, , mr , mn) Trong trường hợp ngược lại, u ∈ (m1, , mr , m), nên theo Bổ đề 4.1.1 phải có m|u Tương tự n|u Vì m, n không chứa biến chung nên mn|u Do u ∈ (m1, , mr , mn), ta có điều phải chứng minh Áp dụng Bổ đề 4.1.7 nhiều lần, ta phân tích I thành giao iđêan đơn thức bất khả qui – iđêan sinh lũy thừa biến Loại bỏ iđêan bất khả qui chứa iđêan bất khả qui khác giao, ghép iđêan bất khả qui có chung tập biến lại, ta phân tích nguyên sơ tối giản I Ví dụ 4.1.8 Cho iđêan I = (x21x2, x21x23, x22, x2x23) có phân tích nguyên sơ tối giản sau: Iđêan đơn thức không chứa bình phương 57 Lê Thanh Nga - K38D Toán I =(x21, x21x23, x22, x2x23) ∩ (x2, x21x23, x22, x2x23) =(x21, x22, x2x23 ) ∩ (x2, x21x23 ) =(x21, x22, x2) ∩ (x21, x22, x23) ∩ (x2, x21) ∩ (x2, x23) =(x21, x22, x23) ∩ (x21, x2) ∩ (x2, x23) Ví dụ 4.1.9 Chứng tỏ với n ≥ 2: (x21, x1x2 , x1x3, x22) =(x1, x22) ∩ (x21, x2, x3) =(x1, x22) ∩ [(x21, x2, x3) ∩ (x1, x22, xn3 )] Từ suy chí iđêan đơn thức, phân tích nguyên sơ tối giản không Chứng minh Áp dụng bổ đề 4.1.7, ta có: (x21, x1x2 , x1x3, x22) =(x1, x22) ∩ (x2, x21, x1x3) =(x1, x22) ∩ (x1, x2) ∩ (x3, x2, x21) =(x1, x22) ∩ (x21, x2, x3) (1) Áp dụng mệnh đề 4.1.6, ta có: Iđêan đơn thức không chứa bình phương 58 Lê Thanh Nga - K38D Toán (x1, x22) ∩ [(x21, x2, x3) ∩ (x1, x22, xn3 )] =(x1, x22) ∩ (x21, x21x22, x21xn3 , x2x1 , x22, x2xn3 , x3x1, x3x22, xn3 ) =(x1, x22) ∩ (x21, x1x2, x22, x1x3, xn3 ) =(x21, x1x2, x1x22, x1x3 , x1xn3 , x22x21 , x1x22, x22, x1x3x22, x22xn3 ) =(x21, x1x2, x22, x1x3) (2) Từ (1) (2) ta có với n ≥ (x21, x1x2 , x1x3, x22) =(x1, x22) ∩ (x21, x2, x3) =(x1, x22) ∩ [(x21, x2, x3) ∩ (x1, x22, xn3 )] Đơn thức xa gọi không chứa bình phương , với i = 1, , n Một iđêan đơn thức gọi iđêan đơn thức không chứa bình phương phần tử sinh tối tiểu đơn thức không chứa bình phương 4.2 Phức đơn hình Những thông tin quan trọng iđêan đơn thức không chứa bình phương ký hiệu nhiều cách khác Trong đó, phức đơn hình sử dụng phổ biến Cho V = {1, , n} Một họ ∆ tập V , ký hiệu ∆, gọi phức đơn hình từ điều kiện F ⊆ G G ∈ ∆ ta suy F ∈ ∆ Mỗi tập F ∆ gọi mặt ∆ Iđêan đơn thức không chứa bình phương 59 Lê Thanh Nga - K38D Toán Ta gọi chiều mặt F số nguyên |F | − 1, ký hiệu dim F chiều ∆ max dim F | F ∈ ∆ , ký hiệu dim ∆ Ta quy ước dim ∆ = −∞ ∆ = ∅ Một mặt ∆ mà không chứa mặt khác gọi mặt cực đại Ký hiệu F(∆) tập mặt cực đại ∆ Rõ ràng ∆ xác định F(∆) Khi F(∆) = {F1, , Fm}, ta viết ∆ = F1 , , Fm Tập F ⊆ V gọi không-mặt ∆ F ∈ / ∆ Một không mặt ∆ mà không chứa không mặt khác gọi không mặt tối tiểu Ta ký hiệu N(∆) tập không mặt tối tiểu ∆ Để mô tả phức đơn hình, thường sử dụng biểu diễn hình học Ví dụ 4.2.1 Sơ đồ biểu diễn phức đơn hình ∆ có số chiều tập đỉnh V = {1, , 5} Ta có F(∆) = {1, 2, 4} , {1, 2, 5} , {2, 3} , {3, 4} N(∆) = {1, 3} , {3, 5} , {4, 5} , {2, 3, 4} Iđêan đơn thức không chứa bình phương 60 Lê Thanh Nga - K38D Toán 4.3 Mối liên hệ iđêan đơn thức không chứa bình phương phức đơn hình Với phức đơn hình ∆ ta định nghĩa iđêan đơn thức không chứa bình phương sau Ký hiệu I∆ := (xi1 xi2 xis | ≤ i1 < < is ≤ n, {i1, , is} ∈ / ∆) I∆ iđêan đơn thức không chứa bình phương vành R gọi iđêan Stanley-Reisner ∆ Vành thương k[∆] := R/I∆ gọi vành Stanley-Reisner phức ∆ Với ký hiệu xF = i∈F xi ta thấy I∆ = (xF | F ∈ N(∆)) Ví dụ 4.3.1 Cho phức đơn hình ∆ tập {1, 2, 3, 4, 5} bao gồm mặt cực đại {1, 2, 3} , {2, 4} , {3, 4} {5} sau Ta có iđêan Stanley – Reisner ∆ Iđêan đơn thức không chứa bình phương 61 Lê Thanh Nga - K38D Toán 3 4 2 I∆ = x4 , x5 ∩ x1 , x2 , x5 ∩ x1 , x3 , x5 ∩ x1 , x2 , x3 , x4 = x1 x4 , x1 x5 , x2 x3 x4 , x2 x5 , x3 x5 , x4 x5 Mệnh đề 4.3.2 Tập tất đơn thức xa R với supp a := {i ∈ V : = 0} ∈ ∆ K- sở R/I∆ Chứng minh Đặt u := xa Nếu supp a ∈ / ∆ từ định nghĩa I∆ ta √ √ có u ∈ I∆ , u ∈ I∆ Mặt khác, u ∈ I∆ , u ∈ I∆ , I∆ iđêan Do tồn tập F supp a không mặt ∆ Vì ∆ phức đơn hình, nên supp a mặt ∆ Do ta u ∈ / I∆ supp a ∈ ∆ Từ ta có điều phải chứng minh Cho phức đơn hình ∆ V , ta định nghĩa ∆∨ ∆∨ = V \ F : F ∈ ∆ Bổ đề 4.3.3 ∆∨ phức đơn hình ∨ (∆∨) = ∆ Iđêan đơn thức không chứa bình phương 62 Lê Thanh Nga - K38D Toán Chứng minh Cho F ∈ ∆∨ F ′ ⊂ F Thì V \ F ∈ ∆ Khi V \ F ⊂ V \ F ′ , suy V \ F ′ ∈ ∆ Do F ′ ∈ ∆∨ Điều ∆∨ phức đơn hình, rõ ràng (∆∨)∨ = ∆ Phức đơn hình ∆∨ gọi đối ngẫu Alexander ∆ Ta thấy F(∆∨) = V \ F : F ∈ N(∆) Với tập F ⊆ V ta định nghĩa F¯ = V \ F đặt ¯ = F¯ : F ∈ F(∆) ∆ ¯ Bổ đề 4.3.4 Ta có I∆∨ = I(∆) Chứng minh Một iđêan đơn thức không chứa bình phương xF thuộc vào G(I∆∨ ) F không mặt tối tiểu ∆∨ Nói cách khác, F không mặt ∆∨ tất tập thực F mặt ∆∨ Điều tương đương với F¯ mặt ∆ tập V chứa hoàn toàn F¯ mặt ∆ Trường hợp xảy F¯ mặt cực đại ∆ Do ¯ I∆∨ = I(∆) Bổ đề 4.3.5 Phân tích nguyên sơ cực tiểu I∆ PF¯ , I∆ = F ∈F(∆) PF = (xi : i ∈ F ) Chứng minh Đặt u := xa là đơn thức R Fu = {i ∈ V : = 0} Nếu u ∈ I∆ , theo mệnh đề 4.3.2, Fu ∈ / ∆ Do mặt cực đại Iđêan đơn thức không chứa bình phương 63 Lê Thanh Nga - K38D Toán ∆ chứa Fu Do Fu ∩ (F¯ ) = ∅ với mặt cực đại F ∆ Do u ∈ F ∈F(∆) PF¯ Mặt khác, u ∈ / I∆ , lại theo Mệnh đề 4.3.2, Fu ∈ ∆ Do có mặt cực đại F ∆ với Fu ⊂ F Thì u ∈ / PF¯ Do u ∈ / F ∈F(∆) PF¯ Từ phân tích nguyên sơ cực tiểu I∆ ta có mối quan hệ chiều phức đơn hình vành Stanley-Reisner sau Mệnh đề 4.3.6 dim K[∆] = dim ∆ + Chứng minh Từ Bổ đề 4.3.5 ta có I∆ giao iđêan nguyên tố tối tiểu Tất iđêan chúng sinh tập {x1, , xn} Ký hiệu P = (xi1 , , xis ), ta có I∆ ⊂ P {1, , n}\{i1, , is} mặt ∆ Ta biết dim K[∆] số lớn số dim R/P = n − s đạt P iđêan nguyên tố tối tiểu I∆ với số biến Mặt khác P tối tiểu với số biến {1, , n}\{i1, , is} mặt cực đại với số đỉnh lớn Bổ đề 4.3.4 bổ đề 4.3.5 cung cấp cho công cụ hiệu để tính toán G(I∆∨ ) Hệ 4.3.7 Cho I∆ = PF1 ∩ ∩ PFm phân tích nguyên sơ cực tiểu I∆ Fj ⊂ V Khi G(I∆∨ ) = xF1 , , xFm Ví dụ 4.3.8 Cho ∆ phức đơn hình ví dụ 4.3.1 Vì I∆ = x4 , x5 ∩ x1 , x2 , x5 ∩ x1 , x3 , x5 ∩ x1 , x2 , x3 , x4 Iđêan đơn thức không chứa bình phương 64 Lê Thanh Nga - K38D Toán nên iđêan I∆∨ sinh đơn thức x4x5 , x1x2x5 , x1x3x5 x1 x2x3x4 Cho I ⊂ R iđêan đơn thức không chứa bình phương tùy ý Khi có phức đơn hình ∆ cho I = I∆ Thông thường, thường viết I ∨ để kí hiệu cho iđêan I∆∨ Iđêan đơn thức không chứa bình phương 65 Lê Thanh Nga - K38D Toán KẾT LUẬN Khóa luận nghiên cứu iđêan đơn thức, iđêan đơn thức không chứa bình phương phức đơn hình gồm nội dung sau: +) Khái niệm iđêan đơn thức, iđêan đơn thức không chứa bình phương phức đơn hình +) Mối liên hệ iđêan đơn thức không chứa bình phương phức đơn hình Do thời gian nghiên cứu vốn kiến thức hạn chế nên nhiều tính chất iđêan chưa đề cập đến Mối liên hệ iđêan đơn thức không chứa bình phương phức đơn hình chưa nghiên cứu sâu Mặc dù thân cố gắng song khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Một lần xin chân thành cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ tận tình cô giáo – Th.s Hà Thị Thu Hiền, thầy cô giáo khoa Toán bạn sinh viên giúp đỡ hoàn thành khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Iđêan đơn thức không chứa bình phương 66 Lê Thanh Nga - K38D Toán Tài liệu [1] Nguyễn Tự Cường (2007), Giáo trình Đại số đại (tập I), Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính: Cơ sở Groebner, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [3] Hoàng Xuân Sính (2010), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Việt Nam [4] Ezra Miller and Bernd Sturmfels (2004), Combinatorial Commutative Algebra, Springer [5] Jurgen Herzog, Takayuki Hibi, Monomial Ideals, Springer Iđêan đơn thức không chứa bình phương 67 ... 51 IĐÊAN ĐƠN THỨC KHÔNG CHỨA BÌNH PHƯƠNG VÀ PHỨC ĐƠN HÌNH 53 4.1 Iđêan đơn thức iđêan đơn thức không chứa bình phương 53 4.2 Phức đơn hình 59 4.3 Mối liên hệ iđêan đơn thức. .. cứu: Nghiên cứu iđêan đơn thức không chứa bình phương, phức đơn hình mối liên hệ chúng Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết iđêan đơn thức không chứa bình phương, phức đơn hình Phương pháp nghiên... Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Iđêan vành giao hoán Chương 3: Vành Noether phân tích nguyên sơ Chương 4: Iđêan đơn thức không chứa bình phương phức đơn hình Iđêan đơn thức không chứa bình phương