Khóa luận tốt nghiệp toán Bài toán phủ và bao hình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ QUỲNH BÀI TOÁN PHỦ VÀ BAO HÌNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Hình học Người hưống dẫn khoa học: ThS. PHẠM THANH TÂM Hà Nội - 2014 Lời đầu tiên của khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn ThS.Phạm Thanh Tâm. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận này. Em xin gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy, cô giáo trong khoa Toán đã giảng dạy tận tình và giúp đõ chúng em trong suốt quá trình học tập tại Khoa. Nhân dịp này em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình tới gia đình, bạn bè đã ở bên cổ vũ động viên giúp đõ em trong suốt quá trình học tập vừa qua. Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Quỳnh Sau một thời gian nghiên cứu, tìm hiểu tài liệu cùng với sự hướng dẫn của thầy giáo ThS. Phạm Thanh Tâm em đã hoàn thành bài khoá luận của mình. Em xin cam đoan khoá luận này là kết quả của quá trình làm việc nghiêm túc với sự cố gắng nỗ lực của bản thân dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của ThS. Phạm Thanh Tâm. Trong khi nghiên cứu khóa luận này, em đã tham khảo một số tài liệu ghi trong tài liệu tham khảo. Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Quỳnh LỜI CẢM 2 Mục lục Chương 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Bài tập đề nghị Bài toán phủ hình Lát mặt phẳng bằng những đa giác bằng nhau Bài toán phủ hình Bài toán phủ đa giác lồi Bài toán phủ một đoạn thẳng Bài toán phủ một hình vuông Định lí Bloosphelt Phủ bàn với những khăn hình chữ nhật Một số ví dụ Bài tập đề nghị Bài toán bao hình Khái niệm Bài toán bao hình Bài toán bao hình vuông Bao hình tam giác và đường tròn Bài toán Malfatti Bài tập đề nghị Kiến thức cơ 5 5 5 6 8 1 0 1 0 1 3 1 3 1 7 1 9 19 2 2 Một số kháiniệm mở Các tính Một số ví Chươn g 2. 2.1. 2. 2. 1. 2.3. 2.4. 2.5. 2.3. Chươ ng 3. 3.1. 3. 2. 3 . 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học tổ hợp là một nhánh không thể thiếu được của các bài toán tổ hợp nói chung, nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi ở mọi cấp. Khác với các bài toán trong lĩnh vực Giải tích, Đại số, Lượng giác, các bài toán của hình học tổ hợp thường liên quan nhiều đến các đối tượng là các tập hợp hữu hạn. Yì lẽ đó các bài toán này mang đặc trưng rõ nét của toán học rời rạc. Bài toán phủ và bao hình là một phần của hình học tổ hợp. Những bài toán này rất đa dạng về nội dung và phương pháp giải. Nhiều bài toán phát biểu rất đơn giản, với những kiến thức phổ thông ta cũng có thể hiểu được nhưng để giải được chúng thì cần đến một sự hiểu biết sâu sắc những kiến thức về hình học tổ hợp. Yì vậy, em đã chọn đề tài "Bài toán phủ và bao hình" nhằm mục đích tìm hiểu sâu hơn về những vấn đề trong hình học tổ hợp cũng như tìm ra được lời giải tối ưu cho những bài toán này. 2. Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về các bài toán phủ và bao hình và các vấn đề liên quan đến hình học tổ hợp. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số chuyên đề về hình học tổ hợp, các bài toán về phủ hình và bao hình. Tìm ra lời giải và xây dựng hệ thống bài tập liên quan. 4. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu các dạng bài toán phủ và bao hình trong hình học tổ hợp, các tính chất, định lí và ứng dụng có liên quan. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp. 6. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức mở đầu. Chương 2: Bài toán phủ hình. Chương 3: Bài toán bao hình. 4 Chương 1 Kiến thức cơ bản Trong phần này, ta chỉ giới hạn đi nghiên cứu đối tượng là các đa giác lồi, còn các trường hợp đa giác khác sẽ được tìm hiểu sau. 1.1. Một số khái niệm mỏ đầu Định nghĩa 1.1.1 (Tập lồi). Tập X c I " , X j í 0 gọi là tập lồi nếu với mọi X ,Y £X và Ằ € [0,1] thì Ảx+(l -X)yex. (1.1) ví dụ 1.1.1. R”, {*} là các tập lồi. Định nghĩa 1.1.2 (Bao lồi). Bao lồi của một tập X là giao của các tập lồi chứa X , KH: Conv X Đinh nghĩa 1.1.3 (Đa giác). Là đường gấp khúc N cạnh teong mặt phẳng (N > 3) AIA 2 .A N sao cho đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. Cạnh đầu AỈA 2 và cạnh cuối A N _Ị A N (cũng coi là hai cạnh liên tiếp) không nằm trên một đường thẳng.Đa giác như thế kí hiệu là Ấ\Ấ2 .A N . Đa giác N cạnh còn gọi là N - giác. Các điểm AỊ gọi là các đỉnh của đa giác. Các đoạn thẳng AỊ A I + I gọi là các cạnh của đa giác. Góc AỊ -ỊAỊAI+ Ị gọi là góc đa giác ở đỉnh AỊ . Định nghĩa 1.1.4 (Đa giác đdn). Là đa giác mà bất kì hai cạnh không liên tiếp nào cũng không có điểm chung. Định nghĩa 1.1.5 (Đa giác lồi). Là đa giác mà toàn bộ đa giác này nằm về một phía của đường thẳng chứa cạnh bất kỳ nào của đa giác đó. 5 Định ngbĩa 1.1.6 (Đa giác đều). Đa giác được gọi là đa giác đều nếu tất cả các cạnh của chúng bằng nhau và tất cả các góc của chúng bằng nhau. Khác với đa diện đều, đa giác đều có thể có số cạnh (góc) lớn vô cùng. Khi đó hình dáng đa giác đều tiến gần tới hình tròn. Định nghĩa 1.1.7 (Đường chéo của đa giác). Một đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của một đa giác gọi là đường chéo của đa giác đó. 1.2. Các tính chất Tính chất 1.2.1. Tổng các góc trong của một đa giác lồi n cạnh bằng (n-2)180°. (1.2) Tính chất 1.2.2. Tổng số đo góc trong và góc ngoài tại một đỉnh của hình N - giác bằng 180°. Tính chất 1.2.3. Mọi góc trong một đa giác lồi không vượt quá 180°. Tính chất 1.2.4. Trong đa giác lồi, đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ nằm hoàn toàn trong đa giác. Tính chất 1.2.5. Số đo góc của đa giác N cạnh là («-2)180° N Định lý 1.1. Số đường chéo của đa giác N cạnh là N(N — 3) 1.3. Một số ví dụ ví dụ 1.3.1. Tính số cạnh của một đa giác lồi, biết đa giác đó thỏa mãn các điều kiện sau: a) Tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài (tại mỗi đỉnh của đa giác chỉ kề một góc ngoài); b) Số đường chéo gấp đôi số cạnh; Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 2570°. (1 (1 6 Gọi số cạnh của đa giác là N ( N > 3,N Ễ N). a) Khi đó, tổng số đo các góc trong của đa giác là (n-2)180°; Mà tổng số đo các góc ngoài của một đa giác là 360° nên theo giả thiết, ta được (N- 2)180° = 360°. Suy ra N = 4. Vậy số cạnh của đa giác đó là 4. b) Theo giả thiết số đường chéo gấp hai lần số cạnh nên ta có n(n — 3) , = 2/ ĩ < => K — In = 0. 2 Suy ra N = 7. Vậy số cạnh của đa giác là 7. c) Tổng các góc trong của một đa giác bằng ( N — 2) 180° nên theo giả thiết ta có: (n- 2)180° -Ẵ= 2570° Suy ra Ẩ = {N- 2)180° -2570°. (1.5) Vì mọi góc trong một đa giác lồi không vượt quá 180° nên 0° < («-2)180° -2570° < 180° (1.6) 16,2 < N < 17,2. Do N e iV, N > 3 nên suy ra N = 17. Yậy đa giác đó có 17 cạnh. Ví dụ 1.3.2. Chứng minh rằng trong một đa giác lồi bất kỳ không thể có quá 3 góc nhọn. Giả sử đa giác lồi có к góc nhọn (K > 4). Khi đó, nếu góc trong một đỉnh của đa giác lồi là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng tại đỉnh đó là góc tù. Do vậy, nếu đa giác có К > 4 góc nhọn thì sẽ có К > 4 góc tù tương ứng và tổng các góc ngoài của chúng sẽ lớn hơn 360°. Điều này không xảy ra vì trong một đa giác bất kì tổng các góc ngoài chỉ bằng 360°. Vậy: Trong một đa giác lồi bất kì không thể có quá 3 góc nhọn. G 7 Ví dụ 1.3.3. Có tồn tại hay không đa giác có số cạnh bằng số đường chéo? Giải Gọi N là số cạnh của đa giác ( N>3,NE z + ). Đa giác có số cạnh bằng số đường chéo khi và chỉ khi n(n— 3) 9 = N N — 5N = 0. 2 Suy ra N = 5. Vậy đa giác duy nhất có số cạnh bằng số đường chéo là ngũ giác. Ví dụ 1.3.4. Tìm tất cả các hình chữ nhật sao cho có thể cắt hình chữ nhật đó thành 13 hình vuông bằng nhau. Giải Giả sử một cạnh của hình chữ nhật được chia thành M hình bằng nhau, cạnh kia được chia thành N hình bằng nhau (M, N E N). Ta có M.N = 13. Vì 13 là số nguyên tố nên một trong hai sỐ M ,N bằng 1, số còn lại bằng 13. Do đó, hình chữ nhật có cạnh 1 và 13 thoả mãn đề bài. 1.4. Bài tập đề nghị Bài tập 1.1. Chứng minh rằng bằng một đường chéo thích hợp, mọi N - giác đơn có thể phân hoạch thành hai đa giác có số cạnh nhỏ hơn N. G 8 Bài tập 1.2. Chứng minh rằng ngũ giác có 5 cạnh bằng nhau và 3 góc liên tiếp bằng nhau là ngũ giác đều. Bài tập 1.3. Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác là 2225°. Hỏi đa giác có bao nhiêu cạnh? Bài tập 1.4. Tìm số cạnh của một đa giác biết các đưòng chéo của nó có độ dài bằng nhau. Bài tập 1.5. Cho ngũ giác lồi ABC D E có các cạnh bằng nhau và các góc trong đều nhỏ hơn 120°. Chứng minh rằng các góc trong của ngũ giác lồi đó đều là góc tù. Bài tập 1.6. Cho hình vuông ABCD , độ dài cạnh bằng 1 đơn vị. Gọi P, Q lần lượt nằm trên cạnh AB , AD. CMR chu vi tam giác APQ bằng 2 khi và chỉ khi góc CPQ bằng 45°. Bài tập 1.7. Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng nhau thì có ít nhất một góc là góc tù. Bài tập 1.8. a) Tìm số N sao cho trong mặt phẳng có thể phủ kín bởi đa giác đều có N cạnh. b) Có tồn tại các ngũ giác bằng nhau để phủ kín mặt phẳng hay không. Bài tập 1.9. Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của đa giác đều 1995 cạnh bởi màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của một tam giác cân được đánh dấu cùng màu. Bài tập 1.10. Chứng minh rằng có vô số hình bình hành M NPQ nội tiếp một hình bình hành AB CD cho trước (mỗi đỉnh của hình bình hành MNPQ nằm trên mỗi cạnh của hình bình hành AB CD ) và các hình bình hành này có chung tâm đối xứng. Bài tập 1.11. Cho lục giác đều có tất cả các góc trong bằng nhau. Chứng minh rằng hiệu giữa các cạnh đối diện thì bằng nhau. Bài tập 1.12. Một đa giác có hiệu giữa đường chéo lớn nhất và nhỏ nhất bằng cạnh của nó. Hỏi đa giác đó là đa giác gì ? Chương 2 Bài toán phủ hình 2.1. Lát mặt phẳng bằng những đa giác bằng nhau Trong thực tế, ở bất cứ đâu, ta cũng gặp bài toán này như lát vỉa hè, sàn nhà, sân trường, bằng những viên gạch đa giác giống nhau (hình chữ nhật, hình vuông, hình lục giác, ). Mặt phẳng được lát bởi những đa giác giống nhau này sao cho hai đa giác tuỳ ý không có điểm chung, nhưng chúng có thể chung đỉnh và chung cạnh. Khi đó ta được "MỘT PH Ủ MẶT PHẲNG " nếu mọi điểm trong mặt phẳng đều nằm trong một hình đa giác mà ta dùng để lát. Ví dụ 2.1.1. Xét những hình tam giác, tứ giác, ngũ giác, giống nhau mà ta dùng để lát mặt phẳng. 9 Để dễ thấy trực quan, ta coi các đa giác là những viên gạch và lát mặt phẳng bằng những viên gạch giống nhau. a) Ta có thể lát mặt phẳng bằng những viên gạch hình tam giác. Bằng cách ghép hai viên gạch hình tam giác này ta được viên gạch có dạng hình bình hành. Hiển nhiên ta cũng có thể phủ được mặt phẳng bằng những viên gạch này (xem hình H.2.1 và hình H.2.2). b) Tương tự, mặt phẳng cũng có thể lát bằng những viên gạch hình tứ giác có dạng bất kỳ , ghép hai viên tứ giác lại tạo ra viên lục giác, trong đó những góc đối diện bằng nhau và các cạnh đối diện song song và bằng nhau. Ta cũng thấy mặt phẳng có thể lát bằng viên gạch hình này (xem hình H.2.3 và hình H.2.4) . c) Ta cũng có thể ghép mặt phẳng bằng những viên gạch lục giác sao cho mọi đỉnh của viên gạch sẽ là đỉnh của ba góc trong của viên gạch lục giác, mà tổng của chúng là 360° (xem hình H.2.5) . 1 [...]... đa giác M Định nghĩa 3.1.1 3.2 Bài toán bao hình 3.2.1 a) Bài toán bao hình vuông Bao hình vuông bỏỉ hình tam giác vuông Xét bài toán cụ thể sau: Cho tam giác vuông A B C có độ dài các cạnh là A , B và cạnh huyền C Hãy tìm hình vuông có diện tích lớn nhất được bao bởi hình tam giác vuông đã cho Giải Chú ý rằng các hình vuông K nằm trong tam giác đều không phải là hình cần tìm Thật vậy, xét phép vị... giác của góc vuông tam giác, b) Bao hai hình vuông bỏi một hình vuông Đ ị n h n g h ĩ a 3 2 1 Cho hai hình vuông Kị và K 2 có các cạnh tương ứng là a, b Ta nói rằng hình vuông K bao hai hình vuông Kị và K 2 , nếu Ki và K 2 không có điểm trong chung và K chứa cả hai hình vuông K\ v ò K 2 Bài toán của chúng ta là đi tìm hình vuông K có diện tích nhỏ nhất bao cả K I và K 2 Ta có một kết quả nếu bất... (1906 — 1989) là nhà toán học người Hungari Ông là người đầu tiên nghiên cứu về bài toán liên quan đến phủ một hình vuông Bài toán này cũng được lấy tên ông là BÀI T O Á N R A D O Bài toán Rado liên quan đến việc tìm số £ơ thoả mãn tính chất sau: a) Cho hình vuông có cạnh bằng 1 được phủ bởi tập hợp những hình vuông con Từ mỗi tập hợp hình vuông con này, có thể chọn ra được những hình vuông không giao... Malfatti và bài toán trên cũng được gọi là bài toán Malfatti Cho đến nay vẫn chưa có lời giải hoàn chỉnh cho bài toán này, vì thế ta đi xét những bài toán ở dạng đơn giản hơn Ví dụ 3.3.1 Trong một hình vuông, hãy đặt hai hình tròn không giao nhau sao cho tổng diện tích của chúng lớn nhất Giải Xét hai hình tròn nằm trong hình vuông cạnh bằng 1, chúng không cắt nhau và nằm ở hai góc đối diện của hình vuông... đều có diện tích nhỏ nhất bao M , Ví dụ 3.2.2 (Định lí Yong) Mọi hình có đường kính là một đơn vị có thể phủ bởi 1 hình tròn có bán kính băng — = Vĩ Liên quan đến bài toán bao hình có một định lí tương tự cho bài toán chia hình: M trong mặt phẳng có thể chia ra làm ba phần, mỗi phần của nó có đường kính nhỏ hơn đường kính của M Ví dụ 3.2.3 (Định lí Borsuk) Mọi đa giác 3.3 Bài toán Malfatti Malfatti... nhà toán học người Italy Ông đã có những công trình nghiên cứu về bài toán bao hình mà nhiều bài toán cho đến nay vẫn chưa có lời giải trọn vẹn Xét bài toán sau: Trong một tam giác hãy tìm ba hình tròn không giao nhau sao cho tổng diện tích của chúng lớn nhất đồng thời thoả mãn chúng đôi một tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với hai cạnh của tam giác đã cho Malfatti là người đầu tiên nghiên cứu về bài toán. .. bất kỳ không giao nhau và tổng diện tích của chúng không nhỏ hơn Trên thực tế tồn tại rất nhiều phương án cho bài toán Rado có liên quan đến việc phủ bàn bằng những khăn hình tam giác, khăn tròn, Nhiều bài toán loại này cho đến nay vẫn không có lời giải và đang thách thức những người làm toán 2.4 Phủ bàn với những khăn hình chữ nhật Khác với phần trước khi ta xét khăn phủ bàn là hình vuông Ở phần này,... không thể có phủ mặt phẳng với N - giác giống nhau mà N > 7 2.2 Bài toán phủ hình 2.2.1 Bài toán phủ đa giác lồi a) Phủ đa giác lồi bằng những đa giác vị tự vói chính nó Ta xét bài toán phủ một đa giác lồi bằng một số những đa giác khác mà chúng nhận được từ đa giác đã cho qua một phép vị tự với hệ số К < 1 Định nghĩa 2.2.1 Cho đa giác D và một họ đa giác D Ị (D Ị là các đa giác vị tự với đa giác D với... hình vuông có thể phủ bằng hai hình chữ nhật đồng dạng với nó có hệ số đồng dạng nhỏ hơn 1 Bài tập 2.8 Hãy tìm số lượng nhỏ nhất những đa diện vị tự cần thiết để phủ a) Một tứ diện; b) Một lăng trụ Chương 3 Bài toán bao hình 3.1 Khái niệm (Bao hình) Cho M và F là hai đa giác trong mặt phẳng Nếu mỗi điểm thuộc M cũng nằm trong F hoặc nằm ứên cạnh nào đó của F thì ta nói rằng đa giác F bao đa giác M Định... các hình quạt lại thành một hình tròn bán kính R và tổng diện tích của những hình quạt sẽ bằng J Ĩ R 2 ( bằng diện tích hình tròn bán kính R ) Tổng diện tích của N hình chữ nhật là P R ai + + a„ = (n - Pi) + + Do đó, diện tích của hình {r) M = S + pr+nr 2 (3.14) K độ dài 1 đơn vị ta được hình vuông K I có cạnh là 35 (xem hình H.3.7) Khi đó, diện tích của hình K Trở lại với bài toán . với những khăn hình chữ nhật Một số ví dụ Bài tập đề nghị Bài toán bao hình Khái niệm Bài toán bao hình Bài toán bao hình vuông Bao hình tam giác và đường tròn Bài toán Malfatti Bài tập đề nghị Kiến. đề nghị Bài toán phủ hình Lát mặt phẳng bằng những đa giác bằng nhau Bài toán phủ hình Bài toán phủ đa giác lồi Bài toán phủ một đoạn thẳng Bài toán phủ một hình vuông Định lí Bloosphelt Phủ bàn. về hình học tổ hợp, các bài toán về phủ hình và bao hình. Tìm ra lời giải và xây dựng hệ thống bài tập liên quan. 4. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu các dạng bài toán phủ và bao hình trong hình