Trở lại với bài toán ban đầu, từ hình vuông đã cho lấy các cạnh ra phía ngoài của K độ dài 1 đơn vị ta được hình vuông K I có cạnh là 35 (xem hình H.3.7). Khi đó, diện tích của hình K bằng 332 = 1089.
Với mỗi hình tam giác X nằm trong hình vuông đã cho, ta có thể xây dựng 4>x (1) một hình tương ứng theo bổ đề (|3.lị). Do đó diện tích của tam hình bao giác này không vượt quá (V3 + 6
+ ÍE).
s' < 100(^3 + 6 + n) < 1088.
Do 1088 < 1089 nên hình được tạo bởi 100 tam giác không phủ hết hình vuông K Ị . Vì vậy, tồn tại một điểm O thuộc hình vuông K mà không thuộc vào các <&*(!) nói ở trên. Điều đó chứng tỏ hình tròn tâm O bán kính 1 đơn vị sẽ nằm trong K \ và không có điểm chung với bất cứ tam giác nào nằm trong các tam giác đã cho.
Định nghĩa 3.2.2. Cho một tập hợp điểm M trong mặt phẳng, ta nói rằng M là một tập hợp bị chặn nếu tồn tại một hình tròn chứa toàn bộ tập hợp M .
Định nghĩa 3.2.3. Đường kính của một tập hợp bị chặn M là cận trên đứng của tập hợp những khoảng cách A B với A , B £ M . I\íc là
d(M) = supd(A,B)\A,B € M.
Ta có định lí sau
Đ ị n h l ý 3 . 2 . Nếu M là một đa giác, thì đường kính của nó bằng độ dài đường chéo lớn nhất hoặc bằng cạnh lớn nhất của nó.
H.3.8
Chứng minh Xét hai điểm bất kỳ A , B Ễ M . Đường thẳng A B cắt các cạnh của M tại hai điểm A \ B ' ( có thể trùng với A và B ) . Khi đó, độ dài A B < A B (xem hình H.3.8). +) Nếu à e C D của M thì ít nhất một trong hai bất đẳng thức C B > Á B , D B > à B vẫn còn đúng, vì ít nhất một trong những góc C A B , D A B không phải là góc nhọn.
Giả sử một trong những điểm c hoặc D trùng A " thì ta có A " B ' > Ả B . Tương tự ta cũng chọn B " nằm trên cạnh có chứa B .