toán bao hình
3.1. Khái niệm
Định nghĩa 3.1.1. (Bao hình) Cho M và F là hai đa giác trong mặt phẳng. Nếu mỗi điểm thuộc M cũng nằm trong F hoặc nằm ứên cạnh nào đó của F thì ta nói rằng đa giác F bao đa giác M .
3.2. Bài toán bao hình
3.2.1. Bài toán bao hình vuông
Xét bài toán cụ thể sau: Cho tam giác vuông A B C có độ dài các cạnh là A , B và cạnh huyền
C . Hãy tìm hình vuông có diện tích lớn nhất được bao bởi hình tam giác vuông đã cho.
Giải
Chú ý rằng các hình vuông K nằm trong tam giác đều không phải là hình cần tìm. Thật vậy, xét phép vị tự tâm O tỉ số K như sau :
+) Với tỉ số vị tự K = 1 thì K có các đỉnh trong hình vuông. +) Với K > 1 đủ lớn thì tồn tại một đỉnh nằm ngoài tam giác.
Yì vậy tồn tại một hình vuông có đỉnh nằm trên cạnh tam giác có diện tích lớn hơn K . Do đó ta xét các trường hợp của bài toán theo số đỉnh của hình vuông nằm trên các cạnh của tam giác. Trường hợp 1 : Bốn đỉnh của hình vuông nằm trên các cạnh A , B , C của tam giác.
•) Nếu hai đỉnh của hình vuông nằm trên cạnh huyền, thì do các tam giác đồng dạng với nhau ta suy ra cạnh X của hình vuông là
Trong đó, H là chiều cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền. •) Nếu một đỉnh của hình vuông thuộc cạnh huyền thì một đỉnh khác của hình vuông sẽ trùng với đỉnh góc vuông của tam giác. Khi đó đường chéo của hình vuông I sẽ là đường phân giác của góc vuông và ta tính được
2abcos45° ab\/ 2
T = ---—---= ——. (3.2)
a+b a+b
Từ đó suy ra được cạnh X của hình vuông là
ab
(3.3)
a + b
Từ (|3.1j) và (3^1 ta đi so sánh hai cạnh của hình vuông vừa tính được ở trên. Giả sử
ch ab
<
c + h a + b
Do ab = ch (hệ thức lượng trong tam giác vuông) nên ta chỉ cần đi chứng minh
A + B < C +