Định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết phân bố giá trị (hay còn gọi là Lý thuyết Nevanlinna) đã được hình thành và phát triển trong suốt gần một thế kỷ qua. Có thể coi năm 1925 là cột mốc đánh dấu sự ra đời của Lý thuyết này khi R. Nevanlinna công bố bài báo về phân bố giá trị của hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Cột mốc quan trọng tiếp theo của Lý thuyết Nevanlinna là năm 1933 khi mà H. Cartan đã tổng quát kết quả của Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức có ảnh giao với một họ các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Trong gần một thế kỷ qua, Lý thuyết Nevanlinna liên tục thu hút được sự quan tâm của đông đảo các nhà toán học ở cả hai khía cạnh: phát triển lý thuyết nội tại và tìm kiếm những mối liên hệ với các lĩnh vực khác của Toán học. Nội dung cốt lõi của Lý thuyết Nevanlinna tập trung ở hai định lý chính, được gọi là các Định lý cơ bản thứ nhất và Định lý cơ bản thứ hai. Định lý cơ bản thứ nhất được suy ra từ công thức Jensen và nói chúng chúng ta hiểu biết tương đối rõ về nó. Tuy nhiên, Định lý cơ bản thứ hai thì không như vậy. Việc thiết lập Định lý cơ bản thứ hai là rất khó và chúng ta mới chỉ thiết lập được nó trong một số ít trường hợp. Có thể nói lịch sử phát triển trong suốt gần một thế kỷ qua của Lý thuyết Nevanlinna gắn bó mật thiết với việc thiết lập các dạng của Định 1 2 lý cơ bản thứ hai với các kết quả tiêu biểu của H. Cartan cho đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát, E. Nochka cho đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát, W. Stoll và H. Fujimoto cho ánh xạ phân hình nhiều biến phức vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát, W. Stoll-M. Ru và M. Ru cho đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng di động Gần đây, nhờ việc kết hợp các tiến bộ của Lý thuyết xấp xỉ Diophantine trong các công trình của Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretii, với các kỹ thuật của Hình học đại số và Đại số giao hoán, Ru, Dethloff-Tan, Dethloff-Tan- Thai đã thiết lập các dạng định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt. Các kết quả của các tác giả trên là nguồn cảm hứng và là định hướng cách tiếp cận cho nhiều tác giả đi sau trong việc nghiên cứu Định lý cơ bản thứ hai của Lý thuyết Nevanlinna cũng như định lý không gian con Schmidt của Lý thuyết xấp xỉ Diophantine. Trong bối cảnh đó chúng tôi chọn hướng nghiên cứu thứ nhất của đề tài luận án là nghiên cứu Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt. Song song với việc phát triển nội tại Lý thuyết Nevanlinna, việc tìm kiếm mối liên hệ của nó với các lĩnh vực khác của toán học cũng được nhiều nhà toán học quan tâm. Năm 1926, R. Nevanlinna thiết lập một ứng dụng của Lý thuyết phân bố giá trị trong bài toán về xác định duy nhất hàm phân hình trên mặt phẳng phức dưới một điều kiện về ảnh ngược của các giá trị phân biệt. Cụ thể ông đã chứng minh rằng: Nếu hai hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức có cùng ảnh ngược (không tính bội) của 5 giá trị phân biệt thì chúng trùng nhau. Năm 1975, H. Fujimoto và sau đó vào năm 1983, L. Smiley đã lần lượt mở rộng kết quả của Nevanlinna theo các hướng khác nhau sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh phức có cùng ảnh ngược (với bội tính tới mức nào đó) của các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Vấn đề này được H. Fujimoto, S. Ji, W. 3 Stoll tiếp tục quan tâm trong nhiều công trình sau đó. Gần đây, bằng việc cải tiến đáng kể các phương pháp của các tác giả đi trước và với các kỹ thuật tinh xảo, các tác giả Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang, G. Dethloff, Z. Chen và Q. Yan đã thu được nhiều kết quả sâu sắc về chủ đề này, theo hướng tinh giảm đáng kể các điều kiện đưa ra, đặc biệt là số siêu phẳng cần thiết. Tiếp nối các nghiên cứu này, chúng tôi chọn hướng nghiên cứu thứ hai của đề tài luận án là thiết lập các định lý về sự suy biến tuyến tính của tích các ánh xạ phân hình từ C m vào CP n dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của một số ít các siêu phẳng. 2. Mục đích nghiên cứu Năm 1997, P. Vojta và M. Ru đã thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp đường cong nguyên không suy biến tuyến tính trong không gian xạ ảnh với mục tiêu là các siêu phẳng tùy ý (thay vì ở vị trí tổng quát). Mục đích thứ nhất của chúng tôi là mở rộng kết quả trên sang trường hợp đường cong chỉnh hình không suy biến đại số trong đa tạp xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu mặt. Năm 1985, H. Fujimoto nghiên cứu phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ một đa tạp K¨ahler vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Mục đích thứ hai của luận án là mở rộng kết quả trên sang trường hợp ánh xạ vào đa tạp đại số xạ ảnh với mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Mục đích thứ ba của luận án là thiết lập định lý về tính suy biến tuyến tính của tích các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh có cùng ảnh ngược của một số ít các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Định lý cơ bản thứ hai của Lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng của Lý thuyết Nevanlinna vào việc nghiên cứu bài toán xác định duy nhất ánh xạ phân hình. 4 4. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi dùng các kỹ thuật của Giải tích phức, Hình học đại số, Xấp xỉ Diophantine. 5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài - Thiết lập được một dạng mở rộng của Định lý cơ bản thứ hai tới trường hợp các siêu mặt tùy ý. Kết quả này là một sự mở rộng kết quả của Vojta, Ru từ trường hợp siêu phẳng sang siêu mặt. - Thiết lập được định lý về quan hệ số khuyết, phản ánh sự phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ một đa tạp K¨ahler vào đa tạp đại số xạ ảnh với mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Nó là một sự mở rộng kết quả của Fujimoto từ trường hợp siêu phẳng sang siêu mặt. - Thiết lập được định lý về tính suy biến tuyến tính của tích các ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ C m vào CP n có cùng ảnh ngược của một số ít các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Kết quả này tổng quát kết quả của Ji tới trường hợp có ít siêu phẳng hơn. 6. Cấu trúc luận án Ngoài các phần mở đầu, tổng quan, kết luận và kiến nghị, luận án bao gồm 3 chương: - Chương 1: Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh, với mục tiêu là các siêu mặt tùy ý. - Chương 2: Sự phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler đầy vào đa tạp xạ ảnh, với mục tiêu là các siêu mặt. - Chương 3: Tính suy biến tuyến tính của tích các ánh xạ phân hình từ C m vào CP n . TỔNG QUAN Trước hết chúng ta điểm lại các sự kiện tiêu biểu của Lý thuyết Nevanlinna trong việc thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp đường cong trong không gian xạ ảnh giao các siêu phẳng: - Năm 1925, Nevanlinna thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức, với mục tiêu là các điểm và các không điểm được ngắt bội bởi 1 (nói cách khác không tính bội). - Năm 1986, Steinmetz mở rộng kết của trên của Nevanlinna sang trường hợp mục tiêu là các hàm phân hình "nhỏ" (so với hàm đang cần xem xét sự phân bố giá trị). Tuy vậy, trong định lý cơ bản thứ hai của Steinmetz, bội giao không được ngắt (nói cách khác, trong hàm đếm, ta tính cả bội của các không điểm tương ứng). Năm 2006, Yamanoi đạt được định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp mục tiêu là các hàm phân hình "nhỏ" và bội cũng được ngắt bởi 1 như trong kết quả của Nevanlinna. - Năm 1933, Cartan mở rộng kết của của Nevanlinna sang trường hợp đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính trong không gian xạ ảnh phức và các mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Kết quả của Cartan không chỉ đánh dấu sự mở đầu cho việc nghiên cứu Lý thuyết phân bố giá trị cho trường hợp chiều cao mà phương pháp của Cartan (có khởi nguồn từ Nevanlinna) còn có ảnh hưởng trực tiếp tới cách tiếp cận vấn đề của nhiều tác giả sau này. Chúng tôi sẽ mô tả rõ hơn kết quả quan trọng này của Cartan phía sau. - Năm 1953, Stoll thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ C m (nhiều biến) vào không gian xạ ảnh phức và các mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. 5 6 - Năm 1983, Nochka thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình khác hằng trong không gian xạ ảnh với mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát (nói cách khác là đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh không suy biến tuyến tính và mục tiêu là các siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát). Kết quả của Nochka giải quyết trọn vẹn giả thuyết năm 1933 của Cartan. - Năm 1985, Fujimoto nghiên cứu sự phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ một đa tạp K¨ahler vào không gian xạ ảnh phức và mục tiêu là các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát và dưới tổng quát. - Năm 1991, Ru-Stoll thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp mục tiêu là các siêu phẳng di động nhỏ. - Năm 1997, Vojta, Ru thiết lập các dạng mở rộng của định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp họ các siêu phẳng tùy ý. - Năm 2004, Ru thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình không suy biến đại số trong không gian xạ ảnh phức và mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí tổng quát. - Năm 2009, Ru thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình không suy biến đại số trong đa tạp đại số xạ ảnh phức và mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí tổng quát. - Năm 2010, Dethloff-Tan thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình không suy biến đại số trong không gian xạ ảnh phức và mục tiêu là các siêu mặt di động. - Năm 2011, Dethloff-Tan-Thai thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình không suy biến đại số trong đa tạp đại số xạ ảnh phức và mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Bây giờ chúng ta sẽ phân tích rõ khó khăn chính gặp phải khi nghiên cứu định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt. Ta bắt đầu với kết quả và cách tiếp cận của Cartan. 7 Định lý 0.0.1 (Định lý cơ bản thứ hai của Cartan). Cho f là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ C vào CP n (có nghĩa ảnh của f không nằm trong bất kỳ siêu phẳng nào). Giả sử H j (1 ≤ j ≤ q) là các siêu phẳng trong CP n ở vị trí tổng quát. Khi đó,   (q −n − 1)T f (r) ≤ q  j=1 N [n] H j (f) (r) + o(T f (r)). ở đó T f (r), N [n] (f,H j ) (r) lần lượt là các hàm đặc trưng, hàm đếm của f, các khái niệm này sẽ được định nghĩa trong các chương sau. Các bổ đề sau đóng vai trò quan trọng trong phép chứng minh định lý trên. Bổ đề 0.0.2 (Công thức Jensen). Đối với hàm phân hình ϕ bất kỳ khác đồng nhất không, ta luôn có N ϕ (r) = 1 2π  |z|=r log |ϕ|dθ + O(1), với mọi r > 0, ở đó N ϕ (r) là hàm đếm các không điểm của ϕ. Bổ đề 0.0.3 (Bổ đề đạo hàm Logarit). Cho f là ánh xạ không suy biến tuyến tính từ C vào CP n với biểu diễn rút gọn f = (f 0 : ··· : f n ), và cho H 1 , . . . , H q là các siêu phẳng trong CP n ở vị trí tổng quát. Khi đó toán tử Wronskian W (f) := W (f 0 , . . . , f n ) = det  d k dz k f i  0≤k,i≤n ≡ 0 và    |z|=r log + |W (f)| |H j 0 (f) ···H j n (f)| dθ = o(T f (r)), với mọi 1 ≤ j 0 < ··· < j n ≤ q. Bổ đề sau cho phép ta ngắt bội của các giao điểm của đường cong với các siêu phẳng tương ứng. 8 Bổ đề 0.0.4. Cho f là một ánh xạ không suy biến tuyến tính từ C vào CP n và H 1 , . . . , H q là các siêu phẳng trong CP n ở vị trí tổng quát. Khi đó ν H 1 (f)···H q (f) W (f) ≤ q  j=1 min{ν H j (f) , n}, ở đó ν φ (z) là bội của không điểm z của φ. Thật không may, các bổ đề 0.0.3 và 0.0.4 không mở rộng được sang trường hợp mà ở đó các siêu phẳng H j được thay thế bởi siêu phẳng di động hay siêu mặt. Gần đây, Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretii đạt được các kết quả thú vị trong nghiên cứu xấp xỉ Diophantine, nó đồng thời thúc đẩy việc nghiên cứu định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt. Hướng nghiên cứu thứ nhất của luận án nằm trong chủ đề này. Một trong những ứng dụng đẹp đẽ của Lý thuyết Nevanlinna là nó cho ta các tiêu chuẩn xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình (hay phân hình) từ C m vào CP n . Năm 1926, Nevanlinna chứng minh rằng: Nếu hai hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức có cùng ảnh ngược (không tính bội) của 5 giá trị phân biệt thì chúng bằng nhau. Năm 1975, Fujimoto mở rộng kết quả trên của Nevanlinna sang trường hợp ánh xạ phân hình, cụ thể ông chứng minh rằng, nếu hai ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ C m vào CP n có cùng ảnh ngược (tính cả bội) của 3n + 2 siêu phẳng ở vị trí tổng quát thì hai ánh xạ đó trùng nhau. Năm 1983, Smiley mở rộng kết quả của Cartan như sau: Định lý 0.0.5. Cho f, g là hai ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ C vào CP n . Cho {H j } q j=1 (q ≥ 3n + 2) là các siêu phẳng trong CP n ở vị trí tổng quát. Giả sử a) f −1 (H j ) = g −1 (H j ) , với mọi 1 ≤ j ≤ q, (như các tập hợp) b) f −1 (H i ) ∩f −1 (H j ) = ∅ với mọi 1 ≤ i < j ≤ q, và c) f = g trên  q j=1 f −1 (H j ). Khi đó f ≡ g. 9 Với các cách tiếp cận khác nhau, năm 1989 Stoll và năm 1998 Fujimoto tiếp tục nhận được kết quả trên. Gần đây, khởi đầu từ các tác giả Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang, Gerd Dethloff, Đỗ Đức Thái và tiếp nối là một số tác giả khác đã đạt được nhiều dạng của định lý xác định duy nhất đối với trường hợp có ít siêu phẳng; các kết quả này mở rộng mạnh mẽ hầu hết các định lý trước đó về xác định duy nhất ánh xạ phân hình. Chẳng hạn, định lý nêu trên của Smiley còn đúng cho trường hợp có 2n + 3 siêu phẳng. Hướng nghiên cứu thứ hai của luận án là thiết lập định lý xác định duy nhất ánh xạ phân hình cho trường hợp có ít siêu phẳng. Chương 1 Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh, với mục tiêu là các siêu mặt tùy ý. Năm 1997, Vojta mở rộng Định lý cơ bản thứ hai của Cartan sang trường hợp mà ở đó đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh giao các siêu phẳng tùy ý (thay vì giả thiết ở vị trí tổng quát như trong kết quả của Cartan). Ngay sau đó, Ru cải tiến kết quả của Vojta bằng cách đưa một ước lượng rõ ràng hơn về đại lượng vô cùng bé và đưa sự ngắt bội vào hàm đếm các giao điểm. Gần đây, Ru, Dethloff-Tan, Dethloff-Tan-Thai và một số tác giả khác đạt những kết quả thú vị về Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt ở vị trí tổng quát. Mục đích của chương này là thiết lập một Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp các siêu mặt tùy ý, nói cách khác là mở rộng các kết quả của Vojta và của Ru sang trường hợp siêu mặt. Chương 1 gồm hai mục: Mục thứ nhất được dành để trình bày một số khái niệm và kết quả bổ trợ; mục thứ hai dành để trình bày cho việc phát biểu và chứng minh định lý chính. Chương 1 được viết dựa trên bài báo [3] (trong mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án). 10 [...]... liên quan tới phần phát biểu và chứng minh các kết quả chính của chương như: Công thức Jensen; Hàm xấp xỉ; Hàm đếm; Định lý cơ bản thứ nhất; Định lý cơ bản thứ hai và Bổ đề đạo hàm logarit 19 20 3.2 Hàm phụ trợ Cartan Hàm phụ trợ giúp chúng ta trong việc tính toán và đánh giá bội giao của các siêu phẳng với ảnh của ánh xạ Nó được thiết lập bởi Cartan cho trường hợp hàm và được mở rộng sang trường hợp... C vào CP N với biểu diễn thu gọn f = (f0 : · · · : fN ) Đặt W (f ) = W (f0 , , fN ) là Wronskian của f Khi đó N ν f0 ···fN ≤ W (f ) 1.2 min{νfi , N } i=0 Định lý cơ bản thứ hai cho họ các siêu mặt tùy ý Năm 1933, Cartan đã thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho các ánh xạ chỉnh hình từ C vào CP n giao với các siêu phẳng ở vị trí tổng quát Năm 1997, Vojta đã đưa ra dạng mở rộng sau đây của Định lý cơ. .. phân bố giá trị của ánh xạ chỉnh hình và phân hình vào không gian xạ ảnh phức và ứng dụng của Lý thuyết phân bố giá trị trong việc nghiên cứu bài toán xác định duy nhất ánh xạ phân hình Cụ thể, chúng tôi đạt được các nhóm kết quả sau: - Thiết lập Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp đường cong chỉnh hình trong đa tạp đại số xạ ảnh, trong đó hàm đếm được tính dựa trên các giao điểm của đường cong với... các siêu phẳng {Hj , j ∈ K} là ở vị trí tổng quát và W (f ) là Wronskian của f Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng trong các kết quả trên của Vojta và Ru, các siêu phẳng H1 , , Hq là tùy ý Gần đây, định lý cơ bản thứ hai đã được thiết lập cho trường hợp các siêu mặt bởi Ru, Dethloff -Tan, Dethloff -Tan-Thai, An-Phuong Năm 2009, Ru đã chứng minh rằng Định lý 1.2.3 Cho V ⊂ CP N là đa tạp xạ ảnh phức, nhẵn... xạ vào đa tạp xạ ảnh và có ảnh giao các siêu mặt Chương 2 gồm hai mục: Mục thứ nhất được dành để trình bày một số khái niệm và kết quả bổ trợ; mục thứ hai nhằm trình bày các kết quả chính của chương Chương 2 được viết dựa trên bài báo [2] (trong mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án) 14 15 2.1 Kiến thức chuẩn bị Trong mục này chúng tôi tiếp tục đề cập tới các khái niệm cơ bản của Lý thuyết. .. quan tới chủ đề luận án, những vấn đề sau là mở và theo chúng tôi là đáng quan tâm: - Thiết lập Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp đường cong nguyên không suy biến trong đa tạp đại số xạ ảnh với mục tiêu là các siêu mặt di động - Thiết lập Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp họ các siêu mặt ở vị trí N − dưới tổng quát (theo nghĩa N + 1 siêu mặt bất kỳ của họ đều có giao khác rỗng, với số nguyên dương... áp dụng được vào tình huống của Yan (tức là khi không có điều kiện ii)) và phương pháp của Yan cũng không cho phép đi tới một quan hệ số khuyết tốt như trong Định lý 2.2.5 Để đạt được một quan hệ số khuyết với chặn trên nhỏ trong tình huống không có điều kiện ii) rõ ràng cần bước đột phá mới trong cách tiếp cận Theo chúng tôi, đây là một câu hỏi khó và thú vị hiện nay trong Lý thuyết Nevanlinna Từ định. .. trong V Định lý trên là kết quả chính thứ nhất của luận án Việc chứng minh định lý trên được thực hiện theo hai bước Đầu tiên, chúng tôi chứng minh rằng: Nếu R = ∅ và d1 = · · · = dq := d, thì với mỗi > 0, tồn tại một số nguyên dương M chỉ phụ thuộc vào , d, q, n, deg V, sao cho 2π 0 1 dθ max λDj (f (reiθ )) + R∈R d 2π j∈R r 1 dt max t R∈R j∈R,|z| . thuyết Nevanlinna tập trung ở hai định lý chính, được gọi là các Định lý cơ bản thứ nhất và Định lý cơ bản thứ hai. Định lý cơ bản thứ nhất được suy ra từ công thức Jensen và nói chúng chúng ta hiểu. cùng ảnh ngược của một số ít các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Định lý cơ bản thứ hai của Lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng của Lý thuyết Nevanlinna vào việc nghiên. chính gặp phải khi nghiên cứu định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp siêu mặt. Ta bắt đầu với kết quả và cách tiếp cận của Cartan. 7 Định lý 0.0.1 (Định lý cơ bản thứ hai của Cartan). Cho f là một