Bài 5 Bất phơng trình mũ và logarit 1. Bất phơng trình mũ Đó là bất phơng trình có dạng f(x) g(x) aa> (hoặc a ). (1) f(x) g(x) a Để giải (1), ngời ta thờng dựa vào các phép biến đổi tơng đơng sau f(x) g (x) aa a1 > > f(x) g(x) a1 > > f(x) g (x) aa 0a1 > << f(x) g(x) 0a1. < << Ví dụ 1. Giải các bất phơng trình sau a) ; b) 2 xx6 21 > 2 4x 15x 13 3x 4 1 4 4 + < . (1) Giải. a) Bất phơng trình tơng đơng với x 2 x 6 > 0 (x 3)(x + 2) > 0 x (, 2) (3, +). b) (1) 4x 2 15x + 13 < 4 3x (vì 4 3x 4 = 4x 1 ) 4 . 4x 2 12x + 9 < 0 (2x 3) 2 < 0 x . (vô nghiệm) Ví dụ 2. Giải bất phơng trình x 2 5 x 5 x+2 0. (2) Giải. (2) 5 x .(x 2 5 2 ) 0 x 2 5 2 0 (vì 5 x > 0) 5 x 5. Ví dụ 3. Giải bất phơng trình a) 2 xx 2 8 1x x 8 77(7) <+6, (3) b) 2 x 7,2x 3,9 6x(5 255)0 + . (4) a) (3) ( ) 2 2 xx xx 8 8 77.7 <+6. (5) Đặt 2 xx 8 =7 . Từ (5) ta có y 7 y6 y y0 <+ > (y 7)(y 1) 0 y y0 + < > 0 < y < 7. Trở lại biến cũ, ta có 1 (5) 2 x x1 8 < (x 4 2 2)(x 4 2 2) 0 +< x (, 4 (,422)(422, ) + + . b) (4) 2 x 7,2x 3,9 6x 0 525 x6 + = 50 < 2 x6 x7,2x1,4 x6. = 0 + < x6 1 x(x7) 5 x6 = < 0 x 1 , 5 {6}. Chú ý. Để đơn giản trong quá trình giải, ta có thể dùng ẩn phụ. Chẳng hạn đối với bất phơng trình f(a x ) 0, 0 < a 1, ta đặt t = a x để đi đến hệ f(t) 0 t0. > Ví dụ 4. Giải các bất phơng trình sau a) xx 72 11 33 > 31 (6) , b) xx 11 . 3112 > 1 (7) Giải. a) (6) 72 x x 31 > 72 x x > 0 2 tt72 tx0 0 + < = 0t8 tx < = 0 x < 64. b) (7) x1 x xx1 13 3 1 0. (3 1)(1 3 ) + > (8) Đặt t= 3 x , (8) có dạng 2 t0 t 2t 3 0 t (t 1) 1 3 > −− > −− ⇔ t0 4 2t 3 0 t (t 1) 1 3 > − > −− ⇔ 3 t 2 0 (t 1)(4 t) t0 − > −− > ⇔ 3 1t 2 t4 < < > Tõ ®ã (8) ⇔ x x 3 13 2 43 << < ⇔ 3 3 3 0xlog 2 log 4 x. << < VÝ dô 5. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 3x x x (2) (42) 2.8.+≥ (9) (9) ⇔ 3x x 22 2 22 +≥ ⇔ 3 x tt20 2 t0 2 +− ≥ = > ⇔ 2 x (t 1)(t t 2) 0 2 t0 2 −++≥ => ⇔ x 2 1 2 ≥ (v× t 2 + t + 2 > 0) ⇔ x ≤ x ⇔ x ∈ (−∞, 0]. Chó ý : Khi gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh mò ta cã thÓ logarit hãa hai vÕ. VÝ dô 6. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh a) , (10) 2x 1 3 x 57 − < − b) x1 (3/ 4)x 1 44 5 55 5 − − > (11) Gi¶i. a) (10) ⇔ 2x − 1 < (log 5 7)(3 − x) (v× hai vÕ d−¬ng) ⇔ (2 + log 5 7)x < 3log 5 7 + 1. ⇔ x < 5 5 13log7 . 2log7 + + b) (11) ⇔ 55 41 4 3 3 (x 1)log log x 1 52 5 4 2 −+>− − ⇔ 55 43 1 45 xlog log 54 2 52 −> − 3 x < 5 5 4 log 5 5 . 43 2log 54 Ví dụ 7. Tìm a để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x, xx2 92(2a1)34a30+++>. (12) Đặt t = 3 x , (12) có dạng f(t) := t 2 + 2(2a + 1)t + 4a 2 3 > 0. (13) Bài toán trở thành : tìm a để (13) đúng với mọi t > 0. Ta có f(t) = (t + 2a + 1) 2 4(a + 1) a) a + 1 < 0 ( a < 1), (13) đúng với mọi t. b) a + 1 0, (13) (t + 2a + 1 2a 1 + )(t + 2a + 1 + 2a ) > 0 1+ t2a12a t2a12a < + > + + 1 1 Để (13) đúng với mọi t > 0, cần và đủ là 2a 1 + 2a 1 0+ 2a 1 2a 1 + + (14) 2 4(a 1) 4a 4a 1 2a 1 0 + + + + 2 1 a 2 4a 3 0 a 3 . 2 Đáp số a (, 1) 3 ,) 2 . + Ví dụ 8. Giải và biện luận a) a 2 9 x+1 8a.3 x > 0, (15) b) a 2 2.4 x+1 a.2 x+1 > 0. (16) a) (15) a 2 8a.3 x 9 x+1 > 0 x2 x (a 4.3 ) 25.9 0 > x2 x (4.3 a) (5.3 )> 2 . xx xx 4.3 a 5.3 (17) 4.3 a 5.3 . (18) > < (19) x x2 3a 3a + < < + Với a = 0, (19) vô nghiệm + Với a < 0 (19) 3 x < a x < log 3 (a) 4 + Với a > 0 (19) 3 x+2 < a x < log 3 a 2. b) Đặt t = 2 x , (16) có dạng 22 8t 2at a 0 t0 + < > 22 (a t) 9t 0 t0 > > (a 4t)(a 2t) 0 t0 +> > + Với a = 0, hệ vô nghiệm + Với a < 0, hệ tơng đơng với t < a 2 nghĩa là (16) nghiệm đúng với mọi x 2 a ,log 2 + Với a > 0, hệ tơng đơng với 0 < t < a 4 hay x (, log 2 a 2). Ví dụ 9. Với mỗi a (a > 0, a 1), giải 2x x 2 aa 1 + 1. + (20) Đặt t = a > 0. Lúc đó (20) có dạng x 22 tat1+1 (21 24 24 aa4 aa4 tt 22 + + + 1. 24 22 24 o 24 24 1 22 24 2 aa4 0t (vô nghiệm) 2 tat11 aa4 tt 2 aa4 t aa8 2 tt 2 tat11 aa8 tt 2 + + << + + + = + + + = + + + = Vì t 2 > t o > 0 và t 1 < 0 nên (21) t t 2 . Từ đó a) Nếu 0 < a < 1 thì (20) x log a t 2 . 5 b) NÕu a > 1 th× (20) ⇒ x ≥ log a t 2 . VÝ dô 10. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh xx x a1a a112a − − + > −− x víi a > 0, a ≠ 1. (22) (22) ⇔ xx xx a1a 0 a112a − − + −> −− ⇔ xx x xx a2a11a 0 (a 1)(1 2a ) − − −− −++ > −− ⇔ xx xx (a 2)a 0 (a 1)(a 2) − − > −− ⇔ x xx 12a 0 (a 1)(a 2) − > −− . (23) §Æt t = a x > 0, (23) cho ta 1 t 2 0 (t 1)(t 2) − < −− ⇔ 1 0t 2 1t2 < < < < (24) a) Víi 0 < a < 1, (24) cho ta x x 1 0a 2 1a 2 << << ⇔ a a xlog2 0xlog2. >− >> b) Víi a > 1 (24) ⇔ a a xlog2 0xlog2 <− << 2. BÊt ph−¬ng tr×nh logarit C¸c tÝnh chÊt sau ®©y cña logarit hay ®−îc sö dông a) ⇔ aa log f(x) log g(x) a1 > > g(x) 0 f(x) g(x) a1, > > > b) ⇔ aa log f(x) log g(x) 0a1 > << f(x) 0 g(x) f(x) 0a1, > > << c) ⇔ f(x) log g(x) 0> 0f(x)1 0g(x)1 f(x) 1 g(x) 1, < < < < > > 6 d) lo ⇔ f(x) g g(x) 0< 0f(x)1 g(x) 1 f(x) 1 0g(x)1 , < < > > < < VÝ dô 1. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh a) log 5 (x 2 − x) < 0 (1) b) 3 x1 g 0, x2 − > − lo (2) Gi¶i. a) (1) ⇔ 0 < x 2 − x < 1 ⇔ 2 x(x 1) 0 xx1 −> 0 − −< ⇔ x0 x1 15 1 x 22 < > −+ << 5 ⇔ x ∈ 15 15 ,0 1, 22 −+ ∪ b) (2) ⇔ x1 1 x2 − > − ⇔ 1 x2 − > 0 ⇔ x > 2. VÝ dô 2. Gi¶i 2 1 5 xlog (x x 1) 0.++ > (3) (3) ⇔ ⇔ 2 5 xlog (x x 1) 0++ < ⇔ ⇔ 2 2 x0 xx1 x0 xx1 > ++< < ++> 1 1 0 2 xx x0 + > < ⇔ x < −1. VÝ dô 3. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh a) 1 3 xx2 3 log (3 1).log (3 9) 3 + −−>− (4) b) 24 22 7 log x log x 4.−+> 0 (5) Gi¶i. a) §Æt t = log 3 (3 x − 1). Khi ®ã (4) cã d¹ng t( 2 t) 3−− >− ⇔ 2 t2t3 + −< ⇔ −3 < t < 1. Do ®ã (4) ⇔ ⇔ 3x 331 − <−<3 x 28 34 27 < < 7 33 28 log x log 4 27 << b) Đặt t = ta nhận đợc bất phơng trình 2 2 log x 7t2t4 +> 7t 42t > 2 7t0 42t0 42t0 7t4t 16t16 < + 2t7 3 t2. 4 < < Chú ý. Trong khi giải bất phơng trình logarit, đôi khi ngời ta dùng công thức a g(x)log f(x) g(x) f(x) a .= Ví dụ 4. Giải bất phơng trình 2lg(x 1) lgx 2.x 1 (x 1) + . (6) (6) 2lg(x 1)lgx lg(x 1)lgx 2.10 1 10 + Đặt t = 10 , ta có lg(x 1)lgx 2 2t t 1 0 t0 > (2t 1)(t 1) 0 t0 + > t 1. Từ đó, (6) lg(x 1)lgx 0 lg(x 1)lgx 10 1 lg(x 1) 0 lgx 0 lg(x 1) 0 lgx 0 x 2 hay x [2, + ). (vì hệ sau vô nghiệm) Ví dụ 5. Giải các bất phơng trình sau a) 2 x 4x 5 1 log |x 2| 2 (7) b) 3 xx g 2x log (2x ).lo (8) Giải. a) Điều kiện có nghĩa là 22 x0,x 4x 5 0 |x 2| > > 1 x > 5 4 , x 2. (7) 5 x,x 4 4x 5 x |x 2| > 2 5 x,x2 4 4x 5 x | x 2 | > (9) 8 (9) ⇔ x2 4x 5 x(x 2) 5 x2 4 4x 5 x(x 2) > −≥ − << −≥− − ⇔ 2 2 x2 x6x5 5 x2 4 x2x5 > 0 0 − +≤ << + −≥ ⇔ 2x5 61x2. <≤ −≤ < ⇔ x ∈ (2, 5] [ 6 1, 2).∪− b) §iÒu kiÖn x ≠ 1, x > 0. §Æt t = log x 2, (8) cã d¹ng t + 1 ≤ t3+ ⇔ ⇔ 2 t10 t30 t10 (t 1) t 3 +< +≥ +≥ +≤+ 3t 1 1t1 −≤<− −≤≤ Tõ ®ã (8) ⇔ −3 ≤ log x 2 ≤ 1 ⇔ x x x1 3log21 0x1 3log21 > − ≤≤ << − ≤≤ ⇔ 3 x2 1 0x 2 ≥ <≤ ⇔ x ∈ 3 1 0, [2, ). 2 ∪+∞ VÝ dô 6. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 2223 511 2 log (x 4x 11) log (x 4x 11) 0. 25x3x −− − −− ≥ −− (10) §iÒu kiÖn ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − 2 2 x4x11 25x3x 0 −−> −− ≠ 0 15 ) ∪ (2 + 15 , +∞) = D Víi x ∈ D, 2 2 5 11 5 3log (x 4x 11) log (x 4x 11) . log 11 −− −− = Do ®ã, trªn D (10) ⇒ 2 5 2 5 log (x 4x 11) 3 2 log 11 25x3x −− − −− (11) ⇔ 2 5 2 log (x 4x 11) 0 25x3x −− ≤ −− (v× 2 − 5 3 0 log 11 < ) 9 2 5 2 2 5 2 log (x 4x 11) 0 25x3x 0 log (x 4x 11) 0 25x3x 0 < > 2 2 2 2 x4x111 3x 5x 2 0 x4x111 3x 5x 2 0 + > + < x( , 2)[6, ) 1 x2, 3 + x (, 2) (2, 2 15 ) [6, +). Ví dụ 7. Giải các bất phơng trình a) (12) x1 x1 log (x 1) log x x(x1) ++ + 2. Giải : Điều kiện x0 x10 x10 x11 > > +> + x > 1. Đặt xt. Khi đó x1 log (x 1) + = t > 0, x = 1 log (x 1) x1 x1 x1 x1 1 t , log x log t log (x 1) + + + + = hay t = x1 x1 log x log t + = x1 log x (x 1) + . Từ đó (12) có dạng 2t 2 t 1 hay x1 log (x 1) x1 + x1 log (x 1) 0 + (vì x > 1) x 1 1 x 2. Kết luận 1 < x 2. Ví dụ 8. Giải log a (x a) > 1 a log (x 1), + (13) ở đây 0 < a 1. Giải. Điều kiện x > a. Khi đó (13) aa log (x a) log (x a)> + 22 a log (x a ) 0 > . (14) a) a > 1, khi đó (14) 22 xa xa 1 > > x > 2 1a + b) 0 < a < 1, lúc đó (14) 22 xa xa 1 < > a < x < 2 1a + . 10 [...]...Đáp số : x ( 1 + a 2 , + ) với a > 1 x (a, 1 + a 2 ) với 0 < a < 1 Ví dụ 9 Giải bất phơng trình 2 loga x + loga x + 2 > 1 ; 0 < a 1 (15) loga x 2 Điều kiện x > 0, log ax 2 0 hay 2 01 >0 t > 2 t 2 t 2 Trở lại biến cũ x > . Bài 5 Bất phơng trình mũ và logarit 1. Bất phơng trình mũ Đó là bất phơng trình có dạng f(x) g(x) aa> (hoặc a ). (1) f(x) g(x) a Để. trong quá trình giải, ta có thể dùng ẩn phụ. Chẳng hạn đối với bất phơng trình f(a x ) 0, 0 < a 1, ta đặt t = a x để đi đến hệ f(t) 0 t0. > Ví dụ 4. Giải các bất phơng trình sau. đợc bất phơng trình 2 2 log x 7t2t4 +> 7t 42t > 2 7t0 42t0 42t0 7t4t 16t16 < + 2t7 3 t2. 4 < < Chú ý. Trong khi giải bất phơng trình logarit,