Phương pháp hàm đặc trưng giải phương trình, bất phương trình mũ, lôgarit

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG GIẢI PT, BPT MŨ – LÔGARIT Dạng 1: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt mũ không chứa tham số Dạng 2: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt mũ chứa tham số Dạng 3: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt lôgarit không chứa tham số Dạng 4: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt lôgarit chứa tham số Dạng 5: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt có tổ hợp mũ - lôgarit không chứa tham số Dạng 6: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt có tổ hợp mũ - lôgarit chứa tham số 18 28 54 73 102 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG GIẢI PT, BPT MŨ - LÔGARIT Phương pháp hàm số đặc trưng thường xuyên xuất đề thi THPT Quốc Gia đề thi tốt nghiệp THPT, câu phân loại đề: -Câu 47 mã đề 101 – THPT QG năm 2017 -Câu 35 đề tham khảo – BGD&ĐT năm 2018 -Câu 46 mã đề 101 – THPT QG năm 2018 -Câu 47 đề tham khảo – BGD&ĐT năm 2020 -Câu 47 đề tham khảo – BGD&ĐT năm 2021 -…… Sau đây, xin trình bày sở lý thuyết giới thiệu số tốn áp dụng nó: I - CƠ SỞ LÝ THUYẾT Cho hàm số đặc trưng y  f  t  liên tục tập D + Nếu hàm số f  t  đơn điệu chiều (đồng biến nghịch biến) D tồn u , v  D f  u   f  v   u  v + Nếu hàm số f  t  đồng biến D tồn u , v  D f  u   f  v   u  v + Nếu hàm số f  t  nghịch biến D tồn u , v  D f  u   f  v   u  v Câu II - ÁP DỤNG DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG GIẢI PT, BPT MŨ KHÔNG CHỨA THAM SỐ - PT MŨ KHÔNG CHỨA THAM SỐ 2 Gọi S tập hợp nghiệm thực phương trình x 3 x   x  x   x  Số phần tử S B C D A Lời giải Chọn C 2 2 Ta có: x 3 x   x  x   x   x 3 x   x  3x   x  x   x  x  Xét hàm số f  t   2t  t  Ta có: f '  t   2t.ln2   , với x   Suy f  t  đồng biến  Nên f  x  x    f  x  x    x  3x   x  x   x  Suy phương trình cho có nghiệm Suy số phần tử S Câu Tính tổng nghiệm phương trình 2019 x 3 x  x  2019 x 2  x3  x   B 2 C D A 3 Lời giải Chọn D 2019 x 3 x  x  2019 x   x3  x    2019 x 3 x  x  x3  3x  x  2019 x   x  (1) Xét hàm số: f  t   2019t  t , f '  t   2019t ln2019   0, t    f  t  đồng biến  x 1 (1)  f  x  3x  x   f  x    x3  x  x  x   x  3x     x    Vậy tổng nghiệm Trang ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu Phương trình x A  932 x  x   42 x 3  3x  x  x có số nghiệm B C D Lời giải 2 Phương trình cho tương đương với x  x  93 x  x   42 x 3  3x  x  x 2  x  x  x  x  3x  x  24 x 6  x   36 x (*) Xét hàm số f  t   2t  t  3t , ta ó f'  t   2t.ln2   3t.ln3  , t   nên hàm số f  t  đồng biến  x  Khi *  f x  x  f  x    x  x  x    x  x  Câu Phương pháp hàm đặc trưng  Phương trình 223 x x  1024 x  23 x3  10 x  x có tổng nghiệm gần với số A 0,35 B 0, 40 C 0,50 D 0, 45 Lời giải Chọn D 3 Ta có: 223 x x  1024 x  23x3  10 x  x  223 x  x  23x3  x  210 x  10 x Hàm số f  t   2t  t  f'  t   2t ln2   đồng biến   223 x  x  23x  x  210 x  10 x  23 x3  x  10 x  x  x  Tổng nghiệm Câu Gọi x0  ab c 5 23 10  0, 4347 23 nghiệm lớn phương trình 1 x   1 x x      1  x  Giá trị P  a  b  c  3   A P  B P  C P  D P  Lời giải Chọn D Điều kiện xác định: x  1 x 1   1 x x      1  x   x  3x 1   x  2x 3   1 2x 3   3x 1  x  1 Xét hàm số f  t   3t  t  t   , f '  t   3t.ln3   2x 1  a  , b  , c  Vậy P  1  f    f  x  1   x   x  2x  2x      Câu Có cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn  x  2020 x  x  y  y ? A 2020 B 1010 C D Lời giải Chọn D Ta có   x  x  y  3y  x  x2  3y  3y Xét hàm f  t   t  t ,  t   (1) Ta có: f '  t    2t  , t   f  t  hàm đồng biến  ;   Trang ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng Vì vậy, (1)  f  x   f  y   x  y Theo giả thiết,  x  2020   y  2020   y  log 2020 Vì y nguyên nên y  0 ;1 ; ; ; ; ; 6  x  1 ; ; ; 27 ; 81 ; 243 ; 729 Vậy có cặp  x ; y  thỏa mãn Câu Có số nguyên dương x thỏa mãn 2.2 x  x  sin y  2cos y ? A B C Lời giải Chọn D 2 Có 2.2 x  x  sin y  2cos y  x 1  x   2cos y  cos x (3) D Đặt f  t   2t  t  f '  t   2t.ln2   , t   Hàm số y  f  t  đồng biến  ;   Vì phương trình (3)  f  x  1  f  cos x   x   cos x  x  sin x  x  Câu Mà x số ngun dương Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn Có cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn  x  2020 3x 1  x   y  y ? A 2020 B 2021 C 2022 Lời giải D 2023 Chọn B Ta có: 3x 1  x   y  y  f  x  1  f  y  Xét hàm số f  t   3t  t  f '  t   3t.ln3   , t  R Do f  x  1  f  y   x   y  x  y  Vì  x  2020   y   2020   y  2021 Mà y   nên y  1 ; ; ; ; 2021 Vậy có 2021 cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn yêu cầu tốn Câu Có cặp số ngun dương  x ; y  nghiệm phương trình x.3125 x   y  1 y thỏa mãn y  60 A 10 B 13 C 11 Lời giải D 12 Chọn D Ta có x.3125 x   y  1 y  x.55 x   y  1 y    log x.55 x  log  y  1 y   x  log x  log  y  1  y  x  log 5 x   y  1  log  y  1 Xét hàm số f  t   t  log5t , t   0,  t  Khi f  x   f  y  1  x  y  t.ln5 Như tương ứng với giá trị x nguyên dương ta có y nguyên dương mà y  60 61 suy x  61  x  Mặt khác x nguyên dương nên x  1 ; ; 3; ;12 Ta có f '  t    Vậy có 12 cặp số  x ; y  nguyên dương thỏa mãn đề Trang ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 10 Tổng nghiệm phương trình A 37 B 6 Chọn D 3    x 1   9.3x    x    x  x2  x 27 5.5 x2 x 8 Phương pháp hàm đặc trưng C Lời giải D 3 3  Ta có: x 8   x 1   9.3x    x    x  x2  x 27 5.5 1  x 8  3x 8   x    x2  x 1  3x  x 1   x  x  1 1 5 Xét hàm số f  t   t  3t  t , ln5 có: f '  t   t  3t ln3   0, t nên hàm số y  f  t  ln nghịch biến Do đó, phương trình 1 có nghiệm  f  x    f  x  x  1 có nghiệm x2  3  37 x   x   x  x   x  3x      3  37 x   Vậy tổng nghiệm phương trình 3 Câu 11 Số nghiệm phương trình x  x    x  x   83 x 5   x   x 8 x 3 B C Lời giải Đặt u  x  8x  , v  x  , phương trình cho viết lại u  v  u.8v  v.8u  u 1  8v   v 8u  1 * A D Ta thấy u  v  thỏa mãn phương trình *  8v 8u   Với u  v  ta có *  ** v u Ta thấy: 8u  8u  ฀ Nếu u   u   Do VP **  0, u  u u  8v  8v  v   Do VT **  0, v  ฀ Nếu v  v v Từ suy ** vơ nghiệm Như vậy, phương trình cho tương đương với   x   13  x2  8x    u    x   13 v     3 x    x   Vậy, phương trình cho có nghiệm Câu 12 Phương trình e x  e x 1   x  2 x  có nghiệm khoảng nào? Trang ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  5 A  2;   2 3  B  ;  2  Phương pháp hàm đặc trưng  3 C  1;   2 Lời giải 1  D  ;1 2  Chọn A ĐK: x   ex  e x 1   x2  2x   e x  e  e x   x  1  e 2 x 1    2x 1 1 2 x 1   2x 1 1  * Xét hàm số f  t   et   t  1 với t      x  1  f '  t   et   t  1  với t   Suy hàm số đồng biến  *  f  x   f       ;   2x 1  x  2x  x   x  x      x   x      x  2x 1 x  2x 1     x   Câu 13 Có số nguyên y  10 cho tồn số nguyên y  x 2 x thỏa mãn   5x  x1   x  1 ? y 2 B A 10 Phân tích Phương trình dạng f  u   f  v  C D Vô số Phương pháp: Chứng minh y  f  t  đơn điệu  a; b  Từ phương trình suy u  v Từ tìm liên hệ biến x, y chọn x, y thích hợp Lời giải Chọn C y Ta có:  x 2 y   5x  x 1   x  1  y  x 2 y   x   5x  x 1  x2  x Xét: f  t   5t 1  t đồng biến  Do từ phương trình suy ra: y y 2  x   x  x   x  1    x   y y 2 y Do x nguyên nên ta có 2   y  10 nên y  0; 2; 4; 6;8 1  Câu 14 Có số nguyên y cho tồn x   ;3  thỏa mãn 27 x  xy  1  xy  279 x ? 3  A 10 B 12 C 11 D Lời giải Chọn C Viết lại phương trình thành 273x 9x  1  xy  27xy +) Ta có 1  3x  x  log 27 1  xy   xy  3x  9x 1  log27 t  t , với t   xy  2 +) Xét hàm số f  x   3x  x  Ta có  1  31  f  x   1 x  ;3 3  Trang ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A +) Xét hàm số g  t   log27 t  t, t  g   t   Phương pháp hàm đặc trưng 1  ; g t    t  t ln 27 ln 27  t   8,07.1012 ;  0,04 31 1  31 Ta có   f  x   1 , x  ;3 suy   g  t   1   4 3  t  1;  8, 4    1  8, 07.10   8, 07.10   xy  0, 04 x hay   0  y  7, 1   xy  8,  x  1  3  y     , ( x   ;3 , y nguyên)  3    y  22 +) Nhận thấy y  2; y  1 thỏa mãn đề 12 12  y  1  0, 04 x +) Với  y  22 , ta có 1  3x  9x 1  log27 1  xy   1  xy   1  3  Nhập hàm, thay giá trị nguyên y, kiểm tra nghiệm x   ;3 dẫn đến chọn  y  Vậy y 2; 1;1;2; ;9 nên có 11 giá trị nguyên y thỏa mãn đề Câu 15 Có cặp số nguyên 384.128x A 674 2 x  x; y   6.8 y   y  x  14 x ? B 1348 thỏa mãn đồng thời C 1346 Lời giải  x  2022 D 2022 Chọn B + Ta có: 384.128x 2 x 2 x 1  6.8 y   y  x  14 x  3.2     x  1  3.23 y 1  y  + Xét hàm số f  t   3.2t  t , t  có f   t   3.2t.ln   nên hàm số đồng biến 0;     + Do đó:  x  1  y   x  x   y  x    x  3n  + Vì x, y   nên x  x     , n  x3  x  3n 2020  1 n  2022 n       n  673 3 mà  x  2022     1  3n  2022 1  n  674   n  674    Trang ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng hay có 1348 số nguyên n Mỗi giá trị n cho cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn điều kiện tốn Vậy có 1348 cặp số ngun  x; y  thỏa mãn điều kiện tốn Câu 16 Có cặp số ngun dương  x; y  thoả mãn  x  2020 3x  x  1  27 y y A 2020 B 673 C 672 Lời giải D 2019 Chọn B Ta có: 3x  x  1  27 y y  log 3x  x  1   log  27 y y   x  log3  x  1  y  log3 y   x  1  log  x  1  y  log y  log3   x  1  log  x  1  y  log  y  (*) Xét hàm số f  t   t  log3t , với t  1; 2021  , t  1; 2021 tln3 Suy hàm số f  t  liên tục đồng biến  0; 2021 f ' t    Mà (*)  f  x  1  f  y   x   y  x  y  2021  y 3 Do y     y  1; 2;3; ; 673 Ứng với giá trị y cho ta x nguyên dương Vì  x  2020   y   2020   y  2021  Vậy có 673 cặp  x; y  thỏa yêu cầu toán Câu 17 Cho hàm số f  x   e x  e x  x  x Phương trình f  x  x   f  x 1  x  3  có tập nghiệm A 0 B 1 C 0;1 D 1;3 Lời giải Chọn A Trước hết ta nhận thấy rằng: f  x  hàm lẻ vì: f   x   e  x  e x  x3  x   f  x  Đạo hàm: f '  x   e x  e  x  x    Hàm số đơn điệu tăng Từ phương trình giả thiết: f  x  x   f  x 1  x  3   f  x  x    f  x 1  x  3      f x  x  f 2 x 1  x   x  x  2 x 1  x   x  2.2 x    x  3 VN   x  tập nghiệm phương trình cho là: 0 2   x  Câu 18 Cho số thực x , y với x  thỏa mãn e x  y  e xy 1  x  y  1   e  xy 1  x 3 y e m giá trị nhỏ biểu thức T  x  y  Mệnh đề sau đúng? A m   2;3 B m   1;  C m   0;1  y Gọi D m  1;  Lời giải Chọn C x 3 y  e xy 1  x  y  1   e xy 1  Từ giả thiết e  e x 3 y  e x 3 y   x  y   e xy 1  e  xy 1 e x 3 y  3y    xy  1 (1) Trang ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A t Xét hàm số f  t  = e  số đồng biến  Phương pháp hàm đặc trưng 1  t với t  ta có f '  t  = et  t   0, t    f  t  hàm t e e Phương trình (1) có dạng f  x  y   f   xy  1  x  y   xy   y  Khi T  x  y   x   Tmin   x 1 ( x  0) x3 2x  x2  6x  1  T '  1   0, x  2 x3  x  3  x  3 2.0  1   m 03  1 Câu 19 Có cặp  x; y  thỏa mãn 10   x  y   10 xy x  * , y  x y  A 14 B C 21 D 10 Lời giải 10 10 10 x  y  xy  1 xy    1  xy 10  xy 1 x y x y x y 10   x  y    10  10  10  10  1   10 x y xy x y   xy  Xét hàm số f (t )  t.10t khoảng  0;   10 x y f (t )  10t  t.10t ln10  0, t  nên hàm số f (t )  t.10t đồng biến khoảng  0;   1  10  10 10 x  y  1   10 xy   1 x y x y xy  xy     1  10   x  y  1    10   y    x  y x  xy   10 Do đó: 1  2, y  nên x    x  x     15  x   15 , x   * y x  x  A  1; 2;3; 4;5; 6; 7 Vì y     Với số a  phương trình y   a  y  ay   (*) có  S  a  y P     Phương trình (*) ln có hai nghiệm y  Vậy có 14 cặp  x; y  thỏa mãn yêu cầu toán Câu 20 Có cặp số 2.625x  10.125 y  y  x  A 2020 B 674 nguyên  x ; y thỏa mãn  x  2020 C 2021 Lời giải D 1347 Chọn D Cách Ta có 2 2.625 x  10.125 y  y  x  11  2.54 x  2.53 y 1  y  x   2.54 x  x  2.53 y 1  y  1* Xét hàm số f  t   2.5t  t hàm số đồng biến  Ta có *  f  x   f  y  1  x  y   x   y   x  1 x  1  y ** Trang ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng  m  g 1  m  11  Phương trình g  x   m có nghiệm x     m  16  m  g   Mà m   2022; 2022 nên m  16; 11; 10; 9; ; 2022 Vậy có 2035 giá trị nguyên m   2022; 2022 Câu 108 Có giá trị nguyên dương a cho ứng với a , tồn số thực b thỏa  mãn a log5  2log5  a   b   b   2b B 10 A 11   b2 ? C Lời giải D 2002 Chọn A PT cho tương đương với    2b  b       b   b   b   b       b   b   b   b  8log5 a  2.2log5 a  b   b      2log5 a  2log5 a  2.2log5 a  2.2log5 a 2 2 2 Xét hàm số f  t   t  2t  f   t   3t   0, t nên hàm số đồng biến  Do PT cho tương đương với: 2log5 a  b   b 1 Xét hàm số g  b   b   b , b   2; 2  g   b    b 4b  g b    b  b2 0 b Ta có bảng biến thiên sau: PT (1) có nghiệm b 2  log5 a 2 2 Mà a số nguyên dương nên a  1; 2; ;11 log5 a 3  2  log a   a  Câu 109 Tìm số giá trị nguyên tham số thực m để tồn số thực x, y thỏa mãn e x  y  m  e x  y  xy  m  x  y  x  y  xy  2m  A B C 2 Trang 118 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng D Lời giải Xét hàm số f (t )  e  t  1, t   f (t )  et  f (t )   t  Ta thấy f (t ) đổi dấu từ "- " sang "+" qua t  nên f (t )  f (0)  0, t   t   e x  y  m  x  y  m   0, x, y   Dấu "=" xảy Do đó:  x  y  xy  m          e ( x y xy m ) 0, x , y  2 x  y  m   x  y  xy  m 2  x2  y2  m  e x  y  xy m  x  y  x  y  xy  2m     x  y  xy  m S  2P  m  S  S  3P  Vì S  P  S  [0; 4] Đặt S  x  y, P  x y , ta có:  S  P  m Hay e x  y2 m Lấy (1)+2.(2) vế theo vế ta được: S  2S  3m(3) Xét hàm số f ( S )  S  S , S  [0; 4] , có f (S )  2S   0, S  [0; 4] Yêu cầu toán  (3) có nghiệm  f (0)  3m  f (4)   m  Vậy, có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn Câu 110 Có giá trị nguyên y cho tồn số (THPT Lê Thánh Tông - HCM-2022) Có tất số b nguyên dương cho tồn hai số thực a thỏa mãn đẳng thức 2 b.2 a  a 1  b 2 a 12 a 1   log  a  a  log b  ? A 1024 B 1023 C 2047 Lời giải D 2048 Chọn B  x  a  6a  Đặt  y  log b   b  y x  y   Ta y.2 x 1  2 y.2 x 1   log  x  y   x  y  22 x  y   14 log  x  y    Xét hàm số f  t   22t  2t  14 log t  , t  14 14  f   t   4t ln  2t ln 2   t  t.ln t ln  f  t   có nhiều hai nghiệm dương Ta thấy f 1  f    f   t   4t ln  2t ln  log b   6a  a t  x  y  Do vậy, ta f  t       2 t   x  y  log b   6a  a Câu 111 Có tất giá trị nguyên tham số m để log  m  x   2m  x  x  có nghiệm thuộc  0;3 ? A B Chọn C Điều kiện: m  x  Ta có log  m  x   2m  x  x  C Lời giải phương trình D  log  2m  x   2m  x  x  x Trang 119 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng  log  2m  x   2m  x  log 2 x  x (*) Xét hàm số f  t   log 2t  t  0;    0, t  t.ln2 Suy hàm số f  t  liên tục đồng biến  0;   Ta có: f '  t    Do (*)  f  2m  x   f  x   2m  x  x  2m  x  x Đặt g  x   x  x Vì g'  x   x.ln2   0, x   0;3 nên ta có BBT  m  Vì m   nên m  1; 2;3; 4;5;6;7 Do ycbt   2m  14  Vậy có giá trị m cần tìm Câu 112 Số giá trị m nguyên    khoảng thuộc   2019; 2020 để phương trình log 3x  3 x  3m   3m 3x  x có hai nghiệm A 2018 B 4036 C 2019 Lời giải Chọn A Ta có log    x   x   m  D 2020   3x 3x  3m     3.3x  3x 3x  3m   3   log  x     m  x x      log 3x 3x  3m  1  x  3.3x  3x 3x  3m  log 3x 3x  3m  1  3x 3x  3m   3.3x  x   log3 3x  3x  3m   1  3x  3x  3m    log 3x 1  3x 1 1 Xét hàm số f  t   log3t  t  0;   có f '  t     t  nên hàm số t.ln3 f  t   log3t  t đồng biến  0;     Do 1  f 3x 3x  3m  1  f 3x 1  3x 3x  3m   3x 1  32 x  3m  3x   Đặt t  3x , t  Phương trình trở thành t   3m  3 t             Phương trình ban đầu có hai nghiệm phương trình   có hai nghiệm t1 , t2 thỏa Δ   mãn  t1  t2  t1  t2  t t  1 Trang 120 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng 3m   m  log3  +) Δ   3m      m  * m  3  t1  t2  3  3m  +) Khi theo định lý Viet ta có    m  1** t1.t2  1    Kết hợp * ** ta được: m  Do m nguyên thuộc khoảng  2019; 2020  nên m  2018; 2017; ; 1 Vậy có 2018 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 113 Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn e3 x 5 y  e x 3 y 1   x  y , đồng thời thỏa mãn log 32  3x  y  1   m   log x  m2   ? B C D A Lời giải Chọn B Ta có e3 x 5 y  e x 3 y 1   x  y  e3 x 5 y   x  y   e x 3 y 1   x  y  1 (1) Xét hàm số f  t   et  t  Ta có f '  t   et   nên hàm số đồng biến  Khi (1)  f  3x  y   f  x  y  1  x  y  x  y   y   x Thế vào phương trình cịn lại ta log 32 x   m   log x  m2   (2) Đặt t  log x Số nghiệm phương trình (2) số nghiệm phương trình t   m   t  m2   (3) Phương trình (3) có nghiệm    3m  12m    m  Do có số nguyên m thỏa mãn Câu 114 Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn điều kiện 35 x 7 y  33 x 5 y    x  y  1  , đồng thời thỏa mãn ln  x  y  3   m   lnx  m2   có nghiệm? A 2019 B C 2020 D Lời giải Chọn D 35 x 7 y  33 x 5 y    x  y  1   35 x  y  x  y  33 x 5 y   x  y  Xét hàm số f  t   3t  t f'  t   3t ln3   0, t   Suy hàm số f  t   3t  t đồng biến  Nên f  x  y   f  3x  y    x  y  3x  y   y   x 1 Thế 1 vào phương trình ln  x  y  3   m   lnx  m2   ta ln x   m   lnx  m2   Đặt t  lnx , phương trình có dạng: t   m   t  m2   Để phương trình có nghiệm 22 22  1, 09  m  2, 43 3 Vì m   nên m  1;0;1; 2 0 3m  4m   Do có số nguyên m thỏa mãn Trang 121 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng Câu 115 Có giá trị nguyên dương tham số m để tồn số thực x , y thỏa mãn đồng thời e3 x 5 y 10  e x  y 9   x  y log 52  3x  y     m   log  x  5  m2   ? A B D C Lời giải Chọn C Theo e3 x 5 y 10  e x  y 9   x  y  e3 x 5 y 10  e x 3 y 9   x  y     3x  y  10   e3 x 5 y 10  3x  y  10  e x 3 y 9  x  y  Xét hàm số f  t   et  t , t   Ta có: f '  t   et   0, t   Suy hàm số đồng biến  Khi phương trình f  t   có nghiệm Tức là: x  y  10  x  y   y   x Thay vào phương trình thứ 2, ta được: log 52  3x  y     m   log5  x    m    log 52  x     m   log5  x    m   1 Đặt log  x    t  t  , x  5  Khi phương trình trở thành t   m   t  m    * Tồn x , y thỏa mãn yêu cầu toán phương trình * có nghiệm, tức là:   Δ   m    m2    3m  12m    m  Vậy có giá trị nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu toán sin x  5cosx  m 5 Câu 116 Tìm giá trị m để phương trình A B 5  m  m  3sin x   3sin x   m  5 có nghiệm D Lời giải Chọn C Ta có sin x  5cosx  m  5cosx 10 C   m     m   log sinx   log sinx  5cosx 10 m 5 5cosx 10    m  5 ln  m   5cosx 10 ln sin x  5cosx  10    ln sin x  5cosx  10  ln  m   (1) m 5 Xét f  t   ln  t  3t , t  , f '  t   3t  ln  t  3t ln  3  0, t  nên hàm số f  t  đồng t biến  5;   Khi 1  f sin x  5cosx  10  f  m      sin x  5cosx  10  m   sin x  5cosx   m Trang 122 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   sin x  5cosx  Mà nên để phương Phương pháp hàm đặc trưng trình có nghiệm ta phải có   m     Câu 117 Cho phương trình 2 x 1 log x  x   x m log  x  m   với m tham số thực Có giá trị nguyên m đoạn  2019 ; 2019 để phương trình có nghiệm phân biệt A 4036 B 4034 Chọn C Điều kiện: x     2 x 1 log x  x   x m D 4040 C 4038 Lời giải log  x  m   2 x m log  x  m   1  2 x 1 log  x  1      Xét hàm số y  2t.log  t   với t  Hàm số y  2t.log  t   xác định liên tục  ;   Ta có y '  2t.log  t   ln2  2t  0, t   t   ln2 Vậy hàm số y  2t.log  t   đồng biến  ;   Từ 1  f  x 1   x  12   x  m   f  x  m    x  1  x  m      x  1   x  m   2m   x  x  11  *  m  x  1  ฀ Xét phương trình 2m   x  x  Ta có bảng biến thiên hàm số g  x    x  x  Phương trình 2m   x  x  có nghiệm phân biệt 2m   m  Phương trình 2m   x  x  có nghiệm 2m   m  ฀ Xét phương trình 2m  x  Ta có bảng biến thiên hàm số h  x   x  Phương trình 2m   x  x  vô nghiệm 2m   m  Trang 123 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng Phương trình 2m  x  có nghiệm phân biệt 2m   m  Phương trình 2m  x  có nghiệm 2m   m  Phương trình 2m  x  vơ nghiệm 2m   m  : phương trình 2m   x  x  có nghiệm x  , phương trình 2m  x  có nghiệm phân biệt x   Vậy * có nghiệm phân biệt, suy loại m  ฀ Khi m  : phương trình 2m   x  x  có nghiệm phân biệt x   , phương trình 2m  x  có nghiệm x  Vậy * có nghiệm phân biệt, suy loại m  2 2 ฀ Xét phương trình  x  x   x   2 x  x    x  suy khơng tồn m để phương trình 1   có tập nghiệm gồm phần tử Vậy không tồn m để * ฀ Khi m  có nghiệm phân biệt ฀ u cầu tốn  * có nghiệm phân biệt  m  m TH1: 1 có nghiệm phân biệt   vô nghiệm   m    m  TH2:   có nghiệm phân biệt 1 vơ nghiệm   m m    m   m  TH3: 1 có nghiệm x    có nghiệm x    m   1 3   Kết hợp với điều kiện m thuộc đoạn  2019 ; 2019 ta có m   2019 ;    ; 2019  2 2   Vì m nguyên nên nên ta có 4038 giá trị m   Câu 118 Cho phương trình 3 x 1 log x  x   x m log  x  m    1 Trang 124 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng Gọi S tập tất giá trị m để phương trình 1 có nghiệm thực phân biệt Khi tổng phần tử S B 2 A 3 Chọn A  C Lời giải D  3 x 1 log x  x   x m log  x  m    2 x m  3 x 1 log3  x  1    log3  x  m       Xét hàm: f  t   3t.log  t   khoảng  0;   f '  t   3t.ln3.log3  t     3t.ln  t    3t ln3 t    3t  0, t   0;    t   ln3  f  t  hàm đồng biến  0;   2 f  x  1   f  x  m    x  1  x  m     x  1   x  m   2      x  2m  x  x   2m   x  2m       x  x   2m    Phương trình 1 có nghiệm thực phân biệt, ta xét trường hợp sau: 1  x  2  1 Thay m  vào   ta x  x      x  2   m   giá trị cần tìm TH1 Phương trình  3 có nghiệm kép  m  TH2 Phương trình   có nghiệm kép   1  2m    m   Thay m   3 vào  3 ta x    x   2 giá trị cần tìm TH3.Phương trình (3) phương trình (4) phương trình có hai nghiệm phân biệt có nghiệm chung Gọi a nghiệm chung Khi ta có a  2m   (*) m a  a   2m   a  m vào (*) ta m  1 Thay m  1 vào (3) ta x   x  1  x  1 Thay m  1 vào (4) ta x  x      x  3 Trang 125 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng Vậy m  1 giá trị cần tìm  1   3  Do tổng phần tử S        1  3     Câu 119 Cho phương trình  xm log x   x   2 x  x log  x  m    với m tham số 2 Tổng tất giá trị tham số m để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt A B C D Lời giải Chọn D Phương trình cho tương đương với phương trình 2 x  m 1 log x  x   22 x  x log  x  m     2  log x  x   22 x  x log  x  m   2 x  m 1  2x   2 x   log x  x   2 log  x  m   x  m 1 Xét hàm số f  t   2t 3.log 2t với t  Do t  suy log 2t   2t 3.ln2.log 2t  t.ln2 Do hàm f  t  đồng biến f'  t   2t 3  2;   mà f  x  x  3  f  x  m   suy  x2   2x  m  x 2 x2  2x   x  m   x  m   x    * 2 x   m    x2 x2 Vẽ đồ thị hàm số y   x  y   hệ trục tọa độ 2 2 x2 Đồ thị hai hàm số tiếp xúc với điểm 1;1 Điểm cực trị đồ thị hàm số y   2 x  1  3  0;  , điểm cực trị đồ thị hàm số y   x   2;  2  2  2 Trang 126 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng 1 3 Dựa vào đồ thị, để * có ba nghiệm phân biệt m   ;1;  2 2 Tổng tất giá trị tham số m thỏa mãn    2 Câu 120 Có giá trị thực tham số a để phương trình  xa log x  x   2 x  x log  x  a    có nghiệm thực phân biệt?   A B Chọn D PT cho tương đương với  2 x a  x 1  2x 2 x 3 x a    log  x   x  3  log x  x    2x log D C Lời giải x2  x 22 x   2x   x2 2 x log 21  x  a    log  x  a   log x  x   22 x  a log  x  a   2 x a  log  x  a   1 Xét hàm số f  t   2t.log 2t , t  ; Ta có: f '  t   2t lnt  đồng biến  2;   2t  0, t   Hàm số f  t  tln2 Từ (1) suy f  x  x  3  f  x  a    x  x   x  a   x  x   x  a (*)  x2  2x    x  a   x  x  2a        x  x   2  x  a   x  2a    Phương trình (*) có nghiệm phân biệt xảy trường hợp sau: * TH1: (2) có hai nghiệm phân biệt (3) có nghiệm kép khác hai nghiệm (2):  a Δ ' 2   3  2a     a  2a   Δ '3  a   * TH2: (3) có hai nghiệm phân biệt (2) có nghiệm kép khác hai nghiệm (3):  a Δ ' 2   3  2a     a  2a   Δ '3  a   * TH3: (2) (3) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm chung:  x  x  2a   có nghiệm Điều xảy hệ  x a     x  x  2a    x  a x     a  a   x  2a  x 1 ฀Khi a  ta có:   trở thành x  x     x  Trang 127 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A x  trở thành x     x  1 Khi đó: PT cho có nghiệm 1  Vậy a   ;1;  2 2 BỔ SUNG CÁCH 2: Xét phương trình x  x   x  a Phương pháp hàm đặc trưng  3 * Vẽ đồ thị hàm số y  x  x  11 ; y  x  a   hệ trục tọa độ ta c: nhánh bêntráicủa tiếpxúcvới  Nhận xét * có nghiệm phân biệt  nhánh bênphảicủa tiếpxúcvới 1 trùng cực trị tại1  a   x  x    a  x  cãnghiÖmkÐp     x  x    x  a  cãnghiÖmkÐp   a   a    a   Vậy có giá trị a thỏa mãn toán Câu 121 Cho phương trình    m3  m 1  x3  x 1  0 log 81 x  x    log   m  3m      m ngun để phương trình cho có số nghiệm thuộc đoạn Gọi S tập hợp tất giá trị 6;8 Tính tổng bình phương tất phần tử tập S   A 20 B 28 C 14 Lời giải Chọn A Ta có  m3  m 1   log 81 x  x    D 10    0 log  m3  3m       x3  x 1  Trang 128 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 x3 3 x 1    log3 x  3x    m3 3 m2 1  Phương pháp hàm đặc trưng   log m3  3m   Xét hàm số f  t   2t.log 3t với t  ; Ta có f '  t   2t ln2.log 3t  2t Suy hàm số f  t  đồng biến  2;    0t  tln3 Do phương trình tương đương với m3  3m   x  3x  1 Vẽ đồ thị hàm số g  x   x  3x  từ suy đồ thị g  x  đồ thị g  x  hình vẽ Từ đồ thị suy 1 có 6, 7,8 nghiệm   g  m   Từ đồ thị suy giá trị nguyên m 3 , 1 , , , Vậy S  20 Từ đồ thị, ta có: 10  log b  11  210  b  211 Vậy có 1023 số nguyên dương b thỏa mãn Câu 122 Có số nguyên a  a  3 cho tồn số thực a log 2021 x 3 A 2019  log 2021 a x thỏa mãn  x 3? B 2018 C 2020 Lời giải D 2003 Trang 129 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chọn B ĐK có nghiệm x  Ta có:  a log 2021 x  3 log 2021 a   x   x log 2021 a   log 2021 a Phương pháp hàm đặc trưng    x log 2021 a   x log 2021 a  x 1 Xét hàm số f  t   t log2021 a  t  0;    f   t   t log2021 a 1.log 2021 a   t  vµ a   Hàm số f  t  đồng biến  0;    Do 1  f  x log 2021 a    f  x   x log 2021 a   x  x log 2021 a  x   log 2021 xlog2021 a  log 2021  x  3  log 2021 a log 2021 x  log 2021  x  3  log 2021 a  log 2021  x  3 log 2021 x Mà log 2021  x  3  log 2021 x x  log 2021 x  x  nên Lại có: Hàm số g  x   log 2021  x  3 log 2021 x log 2021  x  3  1x  log 2021 x liên tục  3;    lim g  x   ; lim g  x    x  x 3 log 2021  x  3   ;1 log 2021 x Khi phương trình cho có nghiệm log 2021 a   a  2021 Do tập giá trị hàm số g  x   Lại có a nguyên a  nên a  3; 4; ; 2020 Vậy có 2018 số nguyên a  a  3 thỏa mãn yêu cầu toán Câu 123 Có số nguyên   ln a log x  4a log x   A a a  2 ln  x   ? log a B cho tồn số thực C Lời giải x thỏa mãn D Chọn A Ta có: ln  x   ln  x    ln  a 4log x  4a 2log x    log a log a ln  x    ln  a 2log x    log a log  t   Đặt a 2log x   t  log a.2 log x  log  t    log a  2log x  ln t.ln  t    ln x.ln  x     ln a log x  4a log x   Xét hàm f  u   ln u.ln  u    f u   ln  u   ln u  0 u u2 t   a 2log x  22log  Do  u  x  a 2log x  x   x  x 2log a   x  x 2log a  log a   log a   a  10  a  2;3 Trang 130 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng Câu 124 Có số nguyên a  a   cho tồn số thực x thỏa mãn:  a log x   ? A B C Lời giải Chọn A  Xét phương trình  a log x    Vì  x log a   log a log a  x    x log a   log a  x2 D Vô số log a  x2  nên suy x   Ta có:  x log a   log a  x    x log a   log a   x log a    x log a  x  Xét hàm số f  t   t log a  t có f   t   log a.t log a 1   , t  Do f  t  hàm số đồng biến  2;     Mà f  x log a    f  x   xlog a   x  xlog a  x   Trường hợp 1: log a   a  10 y y = xlog a y=x x Dễ thấy hai đồ thị hai hàm số y  x log a y  x  khơng có điểm chung, a  10 khơng thỏa mãn u cầu tốn  Trường hợp 1: log a   a  10 Dễ thấy phương trình xlog a  x  ln có nghiệm y y=x y = xlog a x  Vậy a  2;3; ;9  có giá trị a thỏa mãn Câu 125 Có số tự nhiên a cho x3 a 2021 A 3log x 1 x  2020   a 3log x 1 B tồn số thực x thoả  2020 C Lời giải D 12 Trang 131 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chọn A Xét phương trình: 2021x a  x3  a 3log x 1   log 2021 a 3log x 1  3log x 1  x3  log 2021  x  2020   a Phương pháp hàm đặc trưng a 3log x1  2020 , điều kiện: x  1 , x3  2020   2020  log 2021  x3  2020  3log x 1   log 2021 a 3log x 1   2020   Xét hàm số f (t )  t  log 2021  t  2020  ,  0;  3t f '(t )  3t   0, t  nên hàm số f (t ) đồng biến  0;   t  2020  ln 2021 Do   trở thành: x  a  log a  log x 1  x   x  1 log a  log x  log a.log( x  1) log x  1, x  1 nên a  10  a  1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 log  x  1 Trang 132 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID TikTok: dongpay ... Quan A Phương pháp hàm đặc trưng PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG GIẢI PT, BPT MŨ – LÔGARIT Dạng 1: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt mũ không chứa tham số Dạng 2: Phương pháp hàm đặc trưng giải. .. số Dạng 3: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt lôgarit không chứa tham số Dạng 4: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt lôgarit chứa tham số Dạng 5: Phương pháp hàm đặc trưng giải pt, bpt... ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phương pháp hàm đặc trưng PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG GIẢI PT, BPT MŨ - LÔGARIT Phương pháp hàm số đặc trưng thường xuyên xuất đề thi THPT Quốc Gia