SKKN Tư duy sử dụng hàm đặc trưng để giải hệ phương trình trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG NGUYỄN CẢNH CHÂN =====  ===== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Đề tài: Tư sử dụng hàm đặc trưng để giải hệ phương trình việc bồi dưỡng học sinh giỏi Tên tác giả Võ Văn Thọ Nguyễn Thị Bích Hải Tổ mơn Tốn - Tin Năm thực : 2021 – 202 I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mơn Tốn trường phổ thông mang ý nghĩa môn học công cụ, song mơn học rèn luyện nhiều hình thức tư cho học sinh đặc biệt tư logic tư sáng tạo Môn tốn khơng giúp học sinh phát triển lực tính tốn mà cịn giúp học sinh hình thành lực chung theo yêu cầu chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể (đó lực tự chủ tự học, lực giao tiếp hợp tác, lực giải vấn đề sáng tạo) Trong năm gần thi chọn học sinh giỏi toán THPT khối 12 Ta thấy tốn giải hệ phương trình tốn khơng thể thiếu kỳ thi Vì yêu cầu tốn giải hệ phương trình mang tính rộng giải phương trình, nên việc thí sinh giải hệ phương trình giống mũi tên trúng hai đích Nó giúp người đề vừa kiểm tra học sinh phần kiến thức phương trình, vừa kiểm tra kiến thức phần hệ phương trình Như kiến thức từ phương trình đến hệ phương trình giống sợi đỏ gắn liền với bạn học sinh đội tuyển học sinh giỏi toán suốt ba năm ôn thi học sinh giỏi Qua thực tế bồi dưỡng học sinh, nhận thấy đề thi học sinh giỏi, tác giả cho đề giải hệ phương trình tinh vi, lợi hại năm trước nhiều, chúng thiên phương pháp hàm số đặc trưng, địi hỏi người giải phải người có lĩnh, có tư tốt cực tốt giải cách nhanh, điêu luyện Tuy nhiên sử dụng phương pháp học sinh thường gặp khó khăn sau đây: + Học sinh chưa nhận dạng toán Tức giáo viên hướng dẫn em giải hệ phương trình cách em rập khuôn, không linh hoạt sáng tạo Đề cho khác chút khiến em khơng giải được, cịn lúng túng khơng biết nên giải chúng theo cách hệ cho có nên giải theo phương pháp hàm số đặc trưng hay khơng + Vì chưa có hệ thống phương pháp chung giải toán dạng nên em trình bày lời giải chưa khoa học, thiếu chặt chẽ + Các em tâm lý lo lắng, thiếu tự tin giải hệ phương trình phương pháp hàm số đặc trưng thể qua việc bắt gặp hệ phương trình chứa biểu thức x,y dạng cồng kềnh vừa ẩn ngoài, ẩn căn, ẩn mẫu, ẩn tử, bậc ẩn x, y lớn, nhỏ khác + Chưa biết tìm hàm số đặc trưng Và tìm nào, việc dẫn đến tình trạng em nhiều thời gian, khơng kiểm sốt tốn Bên cạnh sách giáo khoa đưa định lí, tính chất tính đơn điệu hàm số mà không nêu lên ứng dụng giải hệ phương trình Ngồi tài liệu mạng internet, sách tham khảo nhiều chưa mang tính hệ thống, chưa chi tiết dạng, đặc điểm nhận dạng dạng toán mà đưa đề trình bày lời giải theo nhiều cách, làm cho bạn đọc cảm giác hoang mang đứng kho tàng tri thức rộng lớn Không biết giải Tại giải theo cách mà không giải theo cách khác Do lựa chọn đề tài “ TƯ DUY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG TRƯNG TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNGTRÌNH TRONG VIỆC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI” Mục đích nghiên cứu: Tổng hợp trường hợp cụ thể phương pháp giải hệ phương trình phương pháp hàm đặc trưng nhằm giúp học sinh giải tốt toán hệ phương trình Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp hàm đặc trưng giải hệ phương trình Phương pháp nghiên cứu: Từ lý thuyết chung ứng dụng đạo hàm,tính chất đơn điệu hàm số, dạng liên hợp, tính chất bất đẳng thức xây dựng hệ thống dấu hiệu nhận biết để giải tập có liên quan II NỘI DUNG Cơ sở lý luận Chính mục đích khắc phục nhược điểm thực trạng nêu vô cấp bách cần khắc phục nên nghiên cứu, học hỏi mạnh dạn đưa đề tài Bên cạnh việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi giúp em trở thành “Hiền tài nguyên khí Quốc Gia”, tạo cho em niềm đam mê, lửa nhiệt huyết hình thành cho em tư tốt giải hệ phương trình phương pháp hàm số đặc trưng tiến hành theo bước sau: BƯỚC 1: NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN Bước cung cấp đầy đủ móng kiến thức vững Các em cần phải hiểu vận dụng chúng cách linh hoạt xác “Tư sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng giải hệ phương trình” Bảng tính đạo hàm Đạo hàm hàm sơ cấp   [ (u ) ' −u ' 1 =   u2 u ' u' u = u [ ( x ) ]' =  x −1 −1 1   = x  x ' x = x ( Đạo hàm hàm số hợp ) ]' =  u  −1.u ' ' ( ) ( sin x ) = cos x ' ( cos x ) = − sin x ( sin u ) = u ' cos u ( cos x ) u ' = −u ' sin u = tan x + cos x −1 = −(1 + cot x) (cot x)' = sin x u' (tan x) = = u ' (tan u + 1) cos u −u ' (cot x)' = = −(1 + cot x).u ' sin x ' (tan x)' = ' ' Các định lí, tính chất tính đơn điệu hàm số Định lí: Cho hàm số y =f (x) có đạo hàm K a) Nếu f( x)   x K, hàm số y =f(x) đồng biến K b) Nếu f( x) <  x K, hàm số y =f(x) nghịch biến K +) Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f( x)  ( 0),  x K f(x) =0 số hữu hạn điểm hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) K Chú ý: K khoảng, đoạn, nửa khoảng Các tính chất : + Tính chất 1: Giả sử hàm số f (x)liên tục đơn điệu chiều tập D phương trình f (x) = có nhiều nghiệm thuộc D + Tính chất 2: Nếu phương trình f (x) = có nghiệm khoảng (a; b) + Tính chất 3: Giả sử hàm số y = f(x) đồng biến , ( nghịch biến) khoảng (a;b) u,v  (a;b) Khi f(u)=f(v)  u=v + Tính chất 4: Giả sử y=f (x) đơn điệu khoảng (a;b) x,y,z  (a;b) nghiệm  f ( x) = y  hệ phương trình  f ( x ) = z = x = y = z  f ( z) = x  + Tính chất 5: Giả sử hàm số y =f(x) đồng biến (a;b) f(u) < f(v)  u a+c Cộng bất đẳng thức a.c < b.d Nhân bất đẳng thức chiều n N* a  b  a n +1  b n +1 n  N * a  a  b  a 2n  b2n a0 Tên gọi ab a  b  ab A  B Nâng vế bất đẳng thức lên lũy thừa Khai vế đẳng thức BƯỚC 2: NÊU PHƯƠNG PHÁP CHUNG KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG Nhằm khắc phục nhược điểm “ em chưa có hệ thống, phương pháp làm dẫn đến việc trình bày thiếu khoa học, thiếu chặt chẽ, …” tơi đưa thứ tự bước trình bày lời giải sau: Bước 1: Tiềm điều kiện( có) Có hai loại điều kiện thường gặp +) Điều kiện thông thường điều kiện biểu thức bậ chẵn có nghĩa, điều kiện mẫu số +) Điều kiện kéo theo: ví dụ phương trình hệ số có dạng P ( x; y ) + Q ( x; y ) = f ( x; y ) có điều kiện vế trái không âm, tức f ( x; y )  Hoặc hệ có phương trình dạng ax + bxy + cy + d = việc tìm điều kiện kéo theo cách tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ẩn x;y Ta coi x ẩn y tham số y ẩn x tham số sau sử dụng biệt thức    '  suy điều kiện cụ thể x, y Bước 2: Biến đổi phương trình hệ biến đổi kết hợp phương trình hệ phương trình có hai biến đồng bậc dạng f ( u ) = f ( v ) Bước 3: Xét hàm đặc trưng: Chứng minh hàm đặc trưng đồng biến nghịch biến miền xác định D (D hợp hai miền giá trị u v) Phương trình tương đương u=v Do rút x theo y y theo x vào phương trình cịn lại, tìm nghiệm phương trình, hệ phương trình Bước 4: Kết luận nghiệm hệ phương trình Chú ý: + Tùy vào tốn mà ta đổi thức tự bước 1, bước hai cho Ví dụ tốn khơng có điều kiện thơng thường tìm hàm số đặc trưng f(t) khơng đơn điệu chiều R em phải nhanh chóng chặn miền xác định t cách lấy hợp hai miền xác định u,v ( u,v biểu thức chứa x + Việc tìm điều kiện hệ phương trình quan trọng Miền xác định chặt em kiểm sốt tốn Để tìm miền xác định hàm đặc trưng ta lấy hợp hai miền xác định u,v + Ngoài cách đưa hàm số đặc trưng ta biến đổi phương trình hệ dạng phương trình tích để giải BƯỚC III HIỂU VÀ NHẬN DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG Mục đích trọng tâm bước phải khắc phục toàn nhược điểm nêu Nên phần đưa đặc điểm nhận dạng kỹ, dạng tốn tơi hướng dẫn học sinh dựa vào đặc điểm nêu để đón đầu tốn, tức gặp dạng xuất hàm số đặc trưng nào, nhằm tránh việc em tính sai sót tìm hàm nhầm dạng Ngồi hướng dẫn em trình bày lời giải tơi giải thích tỉ mỉ, hệ thống, ngắn gọn, khoa học để em không bị điểm lỗi sai sót khơng đáng có Hơn hồn thành lời giải xong đưa nhận xét ưu điểm mà phương pháp mang lại, lỗi sai học sinh hay gặp phải, hay thiếu sót đồng thời so sánh với cách làm khác giải tốn có nhiều cách giải để học sinh có lựa chọn phù hợp Mặt khác, sau hướng dẫn em tìm hiểu dạng tốn thơng qua ví dụ điển hình sáng kiến phần minh chứng đưa ví dụ minh chứng đa dạng, xắp xếp hệ thống theo dạng với độ khó tăng dần để em hiểu sâu, nhớ lâu Dạng 1: Tư hàm đặc trưng xuát phát từ phương trình hệ Cách nhận biết: Quan sát hệ phương trình ta thấy hai phương trình hệ có biểu thức chứa x;y có cấu trúc tương đồng giống ta biến đổi phương trình hàm số đặc trưng 2.1 Hàm đặc trưng có sẵn đề Cách nhận dạng: quan sát phương trình hệ phương trình hệ có cấu trúc giống chưa lập hai vế cần xếp lại vị trí chúng cách hợp lý, hai bên có cấu trúc going Ví dụ : Giải hệ phương trình sau:  x3 + x = y + y (1)  2  x + xy + y = (2) Phân tích tốn: Ta thấy phương trình (1) hệ biến x;y lập thành hai vế có cấu trúc giống nhau, ta hình dung hình ảnh hàm số đặc trưng dạng f ( t ) = t + 2t Giải: từ phương trình (1) suy f(x) = f(y) (3) Xét hàm số f ( t ) = t + 2t có f ' (t ) = 3t +  t  R suy hàm số đồng biến R(4) Từ (3) (4) ta có x=y thay vào phương trình (2) ta được:  x = −1 x2 + 2x2 + x2 =  x2 =   x = Với x=-1 y = x -1 Với x = y = x =1 Vậy có cặp nghiệm (x;y) = (-1;-1) (1;1) Nhận xét: Ta thấy áp dụng hàm đặc trưng việc giải hệ cảm giác rát nhẹ nhành lời giải nhìn đẹp Với ví dụ nhiều học sinh giải theo kiểu khác từ phương trình (1) phân tích phương trình tích sau: (1)  x3 + x = y + y  x − y + ( x − y ) =  ( x − y ) ( x + xy + y + ) =  x = y So sánh hai cách làm ta thấy sử dụng hàm số đặc ta thấy ưu điểm rõ rang hàm số đặc trưng tốn Vì ta dung phương pháp biến đổi phương trình tích thơng thường nhiều thời gian , bị đánh giá hiệu không cao lợi đề VÍ DỤ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :  x3 − y + y − 3x + x − y = (1)  ( 2)  x + xy − y = Phân tích tốn: Quan sát hệ phương trình ta thấy phương trình (1) có biến x, y độc lập, đồng bậc chưa cô lập hai vế phương trình Vì việc phải chuyển biến loại vế Tức là: (1)  x3 − 3x + x = y − y + y Đến em nhìn thấy hàm số đặc trưng có dạng: f ( t ) = t − 3t + 4t Giải: 3 Ta có: (1)  x − 3x + x = y − y + y ( 3) Xét hàm số đặc trưng: f ( t ) = t − 3t + 4t có: f / ( t ) = 3t − 6t + = 3( t − 2t + 1) + = 3( t − 1) +  0, t  (4) Từ (3) (4) suy ra: f ( x ) = f ( y )  x = y thay vào phương trình (2) ta được:  x = −1 x + x − x3 =  − x3 + 3x − =   x = • Với x = -1 suy y = -1 • Với x = suy y = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt là: ( x ;y) = (-1;-1), (2;2) Nhận xét: Đây ví dụ thuộc mức độ thơng hiểu với em ôn thi học sinh giỏi, muốn giải toán theo phương pháp hàm số đặc trưng phải hiểu vấn đề đề cho phương trình (1) dạng hai biến x,y độc lập, cấu trúc đồng bậc nên ta đễ dàng đưa chúng dạng phương trình đặc trưng cách chuyển vế đổi dấu thông thường cho biến loại phải vế Như cách sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng em cịn biến đổi phương trình (1) dạng phương trình tích Nhưng cách đánh giá không hay phương pháp hàm số đặc trưng dẫn đến phương trình xuất nhiều đẳng thức, em hay bị sai khâu phân tích để có nhân tử chung Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: cot x − cot y = x − y  2 x + y =  ( )   x, y  ( 0;  ) (1) Phân tích tốn: Quan sát hệ phương trình ta thấy phương trình (1) có cấu trúc gần giống Vì ta định xếp lại phương trình (1) để nhìn rõ hàm số đặc trưng sau: (1)  cot x − x = cot y − y Đến em nhìn thấy hàm số đặc trưng dạng: f ( t ) = cot t − t , t  ( 0; ) Giải: (1)  cot x − x = cot y − y  f ( x ) = f ( y ) (3) Xét hàm số đặc trưng: f ( t ) = cot t − t , t  ( 0; ) Có f / ( t ) = −1 −  , t  ( 0;  )  Hàm số f ( t ) nghịch biến ( 0; ) (4) sin t Từ ( 3) (4) ta có x = y Thế vào (2): x + 3x =   x = • Từ x =   y=x=   (thỏa mãn)    Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) =  ;  5   Nhận xét: Như tốn nhìn theo góc độ phương pháp hàm số đặc trưng việc giải toán thật nhẹ nhàng, tự nhiên Nhưng số em ôn thi học sinh giỏi chưa biết đến phương pháp thường giải theo cách truyền thống rút x y phương trình (2) sau vào phương trình (1) làm cho việc giải tốn trở nên tiến khơng mà lùi khơng xong Vì việc làm xuất phương  2 trình phức tạp: cot  − 3y   5y − cot y = −  2 2 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  x − 3x = ( y − 1)3 − ( y − 1)   1 + x − = y − ( ) (1) Phân tích tốn: Quan sát hệ phương trình ta thấy phương trình (1)có cấu trúc gần giống rồi, nên định biến đổi phương trình (1) dạng f ( u ) = f ( v ) đắn Mặt khác vế trái (1) đơn giản nên cố định vế trái hàm số đặc trưng, sau biến đổi vế phải có cấu trúc giống vế trái cách đưa (1)  x3 − 3x = ( ) y −1 − y −1  f ( x) = f ( y −1 ) Giải x  y 1 ( *) Điều kiện :  Ta có ( )  x − = y − −  y − −   y  Mặt khác: (1)  x3 − 3x = ( ) (**) Xét hàm số đặc trưng: f ( t ) = t − 3t , t  1; + ) Có : f / ( t ) = 3t −  0, t  1; + )  f ( t ) đồng biến 1;+ ) Do hàm số f ( t ) đồng biến 1; + ) (***) Từ (**) , (***) ta có f ( x ) = f ( y − 1)  x = y − y −1 − y −1 Với x = y − thay vào (2) ta được:  x −1 =  x = (nhËn)  x −1 + x −1 =    x = (nhËn)  x − = + Với x = ta có = y −  y= (thỏa mãn) + x −1 = x  − ( ) + Với x = ta có = y −  y= (thoả mãn) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt ( x ; y) = (1 ;2) ; (2 ;5) Nhận xét : Như việc sử dụng phương pháp hàm số làm giảm mức độ cồng kềnh biến vừa ẩn trong, ẩn căn, ẩn bậc cao, bậc thấp, khơng cịn chướng ngại vật em Ngoài cách sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng số em cịn giải hệ phương trình theo phương pháp nhân liên hợp phương trình (2) sau rút x y vào phương trình(1) Việc làm đánh giá khơng cao x y vào phương trình (1) xuất biến vừa có bậc bên ngồi, vừa nằm bậc hai, cồng kềnh khó coi Ví dụ 4: Giải hệ phương trình :  x + + x − − y + = y (1)  2  x + x ( y − 1) + y − y + = ( ) Phân tích tốn: Quan sát hệ phương trình ta thấy phương trình (1) vừa có bậc hai, vừa có bậc Nhưng bình tĩnh quan sát kỹ ta thấy (1) có biểu thức chứa x, y độc lập với  x = f ( y )  x = y Thay vào hệ cho y f x = ( )  đồng biến ( 0;+ ) Khi ( I )   ( x) x + x = x  ( x − 1) + x − =    2  x ( 2 − 1 +  ( ) x −1 = x = (nhận) x −1 x + x −1 =   (nhận) x = −  )( ) Với x = ta y = (thỏa mãn) Với x = 3− 3− ta y = 2  3− 3−  ;    Vậy hệ phương trình có ba nghiệm phân biệt ( x; y ) = ( 0;0 ) ; (1;1) ;  Nhận xét: Ngoài cách giải sử dụng phương pháp hàm số ta cịn trừ vế với vế để xuất hàm số đặc trưng Vì hệ phương trình đối xứng loại hai nên tư kết hợp hai phương trình sau: x2 + x − y − y = y − x  x2 + x − x = y + y − y  f ( x ) = f ( y ) Đến em nhìn thấy hàm số đặc trưng lúc có dạng : f ( t ) = t + t + 2t Có f / ( t ) = 2t + t +  0, t  ( 0; + ) Do hàm số f ( t ) đồng biến ( 0;+ ) Từ ta có mối liên hệ x = y vào hai phương trình Việc tính tốn hồn tồn đơn giản em Vì tơi khơng giải thích thêm Như so sánh hai cách làm cách trừ tương ứng hai vế hai phương trình cho để xuất hàm số đặc trưng cách làm thông dụng, phổ biến hơn,nên em thấy dễ hiểu đa số em trình bày theo cách Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  x3 − x + x − = y +  y − 7y + y − = z +   z − z + z − = x + (I ) Phân tích tốn: Quan sát phương trình hệ nhận thấy phương trình biến thành phương trình ta hốn vị vòng quanh theo thứ tự x → y → z → x Nên giả thiết x 43 = max(x;y;z) nghĩa x  y  z Và việc lại chứng minh x= y = z Mặt khác cấu trúc vế ba phương trình giống nhau, nên ta nghĩ đến việc xét hàm số đại diện phù hợp việc tính tốn Cụ thể nhìn vào vế trái ta thấy hàm số f ( t ) = t − 7t + t − , t  Giải Điều kiện: x  2; y  2; z  Xét hàm số: f ( t ) = t − 7t + t − , t  Với hai số thực a, b phân biệt ta có f ( a ) − f ( b ) = a − b3 − ( a − b ) + a − − b − a −b a−2 + b−2   = ( a − b )  a + ab + b2 − +  a−2 + b−2   = ( a − b ) ( a + ab + b ) − ( a − b ) + Với a, b  nên a2 + ab + b2  Suy a + ab + b − + nên a > b  f ( a )  f (b ) 0 a−2 + b−2  f ( x) = y +  Khi ( I )   f ( y ) = z +   f ( z) = x + Giả sử x = max(x,y,z) Nếu x  y  f ( x )  f ( y )  y +  z +  y  z  f ( y )  f ( z )  z +  x +  z  x mẫu thuẫn với giả sử Vậy x = y  f ( x ) = f ( y )  y + = z +  x = y = z thay vào phương trình (1) hệ ta : x3 − x + x − = x +  x3 − x − + x − =  x ( x − 3) + x ( x − 3) + ( x − 3) +  x ( x − 3) + x ( x − 3) + ( x − 3) +   ( x − 3)  x + x + +   x = Do x + 3x + + ( ) x − −1 = x−3 =0 x − +1  =0 x − +1  0, x  x − +1 Vậy hệ phương trình có nghiệm : ( x ;y;z) = (3;3;3) Nhận xét: Ví dụ ví dụ khó, hệ phương trình có dạng hốn vị vịng quanh tương đối nhiều tài liệu giải hệ phương trình địi hỏi học sinh phải nắm vững tính chất 4, nêu bước 1- Nhắc lại kiến thức có liên quan Ngồi cách làm cho hay tính logic lời giải, vận dụng khai thác triệt để khả đột phá phương pháp hàm số nói chung 44 Dạng Tư biến đổi kết hợp phương trình hệ để xuất hàm số đặc trưng Việc tìm hàm số đặc trưng xuất phát từ phương trình hệ việc khó, việc tìm hàm số đặc trưng thơng qua biến đổi phương trình hệ lại khó gấp nhiều lần Nó địi hỏi người giải phải nhanh trí, nhạy bén, có óc suy luận logic phát mối liên quan hai phương trình hệ để đến lời giải cách nhanh chóng xác Đặc điểm nhận dạng dạng tốn gặp hệ phương trình đối xứng loại hai chứa thức ta lấy vế trừ vế sau chuyển biến loại vế Sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng để xuất mối liên hệ x= y, nhân liên hợp ta thu x = y Ngồi đặc điểm nhận dạng hệ phương trình đối xứng loại hai ta bắt gặp hệ phương trình phải rút x y biểu thức chứa biến x y từ phương trình này, vào phương trình cịn lại sau biến đổi xuất hình ảnh hàm số đặc trưng Ví dụ : Giải hệ phương trình :  x + + y − =   x − + y + = Phân tích tốn: Quan sát hệ phương trình ta thấy hệ với đặc điểm nhận dạng dạng toán tư biến đổi, kết hợp hai phương trình hệ để xuất hàm số đặc trưng, hệ phương trình đối xứng loại hai Nên cách giải hệ phương trình loại lấy vế trừ vế để làm xuất hàm số đặc trưng Giải : Điều kiện: x  9; y   x +6 − x−9 = y +6 − y −9  x +6 + y −9 =    Ta có:  − + x + = y     x − + y + = ( 2) Xét hàm số đặc trưng: f ( t ) = t + − t − , t  (1) Khi : t −9 − t +6  , t  Do hàm số f ( t ) hàm liên tục hàm nghịch t + t + biến 9;+ ) (3) f / (t ) = Từ (1) (3) ta có f ( x ) = f ( y )  x = y Thế x = y vào phương trình (2) ta : ( 2)  x−9 + x+6 =  x − + x + − = ( *) Xét hàm số: g ( x ) = x − + x + − Ta có: g / ( x ) = Suy hàm số g ( x ) hàm đồng biến 9;+ ) 1 +  , x  x −9 x +6 45 Mặt khác g (10) = Nên (*) có nghiệm x = 10 • Từ x = 10 ta có y = x =10 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ;y) = (10;10) Nhận xét: Ngoài cách sử dụng hàm đặc trưng ta trừ hai vế với sử dụng phương pháp nhân liên hợp để giải Vì ta nghiên cứu hàm số đặc trưng nên trọng tâm lời giải hệ phương trình hướng phương pháp Mặt khác so sánh hai cách làm thấy sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng toán hay tránh mức độ cồng kềnh mà phương pháp nhân liên hợp mang đến biểu thức chứa cồng kềnh Việc sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng rút mối liên hệ x,y để vào phương trình cịn lại phương trình (*) cách (làm trên): Nhẩm nghiệm chứng minh nghiệm cách chứng minh vế trái hàm số đơn điệu chiều, ta giải cách chuyển sang vế bên bình phương hai vế Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  x + x + 22 − y = y + y +   y + y + 22 − x = x + x + (1) ( 2) Phân tích toán: Dựa vào đặc điểm nhận dạng nêu em biết hệ hệ phương trình đối xứng loại hai nên lấy (1) – (2) Xuất hình ảnh hàm số đặc trưng f ( t ) = t + 2t + 22 + t + t + 2t + Cụ thể lời giải sau: Giải Điều kiện: x  0; y  Lấy (1)- (2) ta được: x2 + x + 22 + x + x2 + x + = y + y + 22 + y + y + y +  f ( x ) = f ( y ) (3) Xét hàm số đặc trưng f ( t ) = t + 2t + 22 + t + t + 2t + Ta có : f / ( t ) = t +1 t + 2t + 22 + t + 2t +  Suy hàm số f ( t ) đồng biến (4) Từ (3) (4) suy x=y Thay vào (1) được: x2 + x + − x2 + x + 22 + x = ( 5) 46 Nhận thấy x = nghiệm phương trình (5) Mặt khác có : g ( x ) = x2 + x + − x2 + x + 22 + x g / ( x) = 2x + + Vì x x +1 x + x + 22  − x +1 x + x + 22 x +1 x + x + 22 =  2− x +1 x + x + 22 x2 + 2x + x + x + 22 0 1 Nên hàm số g ( x ) đồng biến Do phương trình (5) có nghiệm x =1 Với x = ta có y=1 Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: ( x ;y)= (1;1) Nhận xét: Như phương pháp tư hàm số đặc trưng giải hệ phương trình cho ta thêm lời giải hay, tự nhiên hệ Vì chưa học phương pháp em thường trừ hai vế hai phương trình cho sau tiến hành nhân liên hợp Nhưng đánh giá cao phương pháp sử dụng hàm số đặc trưng khiến hệ trở nên nhẹ nhàng, đơn giản nhiều, vấn đề ẩn căn, ẩn ngồi khơng phải điều đáng sợ Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  x3 ( −2 + y ) = −8 (1)   x ( y + ) = −6 ( ) Phân tích tốn: Dựa vào đặc điểm nhận dạng nêu ta thấy kiện hai phương trình có tương đồng với bậc, chúng mảnh ghép hoàn chỉnh bị tách chia sẻ cho hai phương trình hệ Mặt khác hai biến x,y hai vế chưa độc lập với nên ta tìm cách để lập chúng, việc chia hai vế phương trình (1) cho x chia hai vế −8  −2 + y = x ( 3) phương trình (2) cho x thu hệ phương trình  − y + = ( 4)  x Đến mối liên quan hai phương trình thể rõ dệt Khơng cần phải phân tích thêm em biết phải biến đổi để xuất hình ảnh hàm số đặc trưng Giải Nhận thấy x= khơng nghiệm hệ phương trình nên ta có: 47 −8  − + = y ( 3)  x ( −2 + y ) = −8  x3    x ( y + ) = −6  y + = −6 ( )  x Lấy phương trình (3)+(4) vế với vế ta được: −8  −2   −2  y + y = −  y + y =   +   ( *) x x  x   x  Xét hàm số : f ( t ) = t + 3t , t  0, f / ( t ) = 3t +  0, t  Suy hàm số f ( t ) đồng biến Do (*)  (1) ta : −2 = y  xy = −2 thay vào phương trình x x = 6  x  −2 −  = −8  x + x − =  ( x − 1) ( x + x + ) =   x   x = −2 Với x = suy y=-2 Với x = -2 suy y= Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt : ( x ;y) = (1 ;-2) ; (-2 ;1) Nhận xét : Dù tác giả có khéo léo ẩn dấu tính độc lập hai biến x, y dựa vào đặc điểm nhận dạng phương pháp làm dạng ta nhanh chóng biến chúng dạng độc lập xuất hàm số đặc trưng Ngoài việc cô lập x, y thực trước phương trình, cần thiết trước tiến hành kết nối hai phương trình lại với Ví dụ 3: Giải hệ phương trình   y ( 3x + x − 1) + y = (1)  2   y x + y x − y + y = ( 2) (I) Phân tích tốn: Quan sát hệ phương trình ta thấy ví dụ tương tự ví dụ 1, nên cách sử lý tương tự ví dụ Hồn tồn cô lập x, y sang hai vế phương trình cách chia hai vế phương trình (1) cho y chia hai vế phương trình (2) cho y Giải Do y = khơng nghiệm hệ phương trình nên ta có 48  3 x + x − = y − y  y ( x + x − 1) = − y   (I )    y ( x + x + ) = + y  x3 + x + = +  y2 y Lấy (1) + ( ) vế với vế ta : x3 + 3x + x + = / / ( 2) / / + y3 y 2 2 2  ( x + 1) + ( x + 1) =   + 3.   f ( x + 1) = f    y  y  y (1) ( 3) Xét hàm số đặc trưng : f ( t ) = t + 3t , t  R có f / ( t ) = 3t +  0, t  f ( t ) đồng biến Suy (4) thay vào (2) được: y x = x + x + = ( x + 1) + ( x + 1)    x = −1 Từ (3) (4) ta có x + = + Với x = ta có y= + Với x = -1 khơng có giá trị y cần tìm Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ;y)= (1;1) Nhận xét: Qua hai ví dụ ta nhận thấy sử dụng phương pháp tư biến đổi kết hợp phương trình hệ để suy hàm số đặc trưng yêu cầu người giải toán cần phải quan sát kỹ trước hành động, xem phương trình ban đầu chỗ cần phải xếp lại vị trí ẩn ta phải xắp xếp trước Mặt khác chia cho y, em cần phải kiểm tra xem y có nghiệm hệ phương trình hay khơng Tránh trường hợp sót nghiệm, tốn thiếu chặt chẽ Ngồi việc rút x y tìm mối liên hệ chúng để vào phương trình cịn lại, em phải quan sát xem nên rút ẩn để việc tính tốn đơn giản Ví dụ 4: Giải hệ phương trình   xy + = y x + (1)  2   y + ( x + 1) x + x + = x − x ( 2) x, y  R Phân tích tốn: Dựa vào đặc điểm nhận dạng nêu để quan sát tốn ta thấy phương trình (1) chứa biến y, bậc đơn giản nên rút y vào phương trình (2) Mặt khác x2 +  x  x nên ta nhân liên hợp để có mối liên hệ đơn giản y x sau nắp ráp vào phương trình cịn lại để xuất hàm số đặc trưng Giải 49 Ta có (1)  y ( ) x2 + − x =  y = x +2−x  y = x2 + + x (*) Thế vào phương trình (2) ta ( ) x + + x + ( x + 1) x + x + = x − x  + x x + + x + ( x + 1) x + x + =  ( x + 1) 1 +  ( x + 1) +  = ( − x ) 1 +   ( (−x) ) +   f ( x + 1) = f ( − x ) ( 3)  Xét hàm số f ( t ) = t + t + , t  R có f ( t ) = + t + + / t2 t2 +  , t  R Do hàm số f ( t ) đồng biến R (4) −1 thay vào (*) y=  −1  Vậy hệ phương trình có nghiệm : ( x; y ) =  ;1   Từ (3) (4) ta có : x + = − x  x = Nhận xét: Ví dụ khác với ví dụ trình bày trước nó, giúp em mở rộng tầm mắt, lúc em tìm cách cộng, trừ hai vế xuất hàm số đặc trưng mà ta phải rút x, y từ phương trình này, vào phương trình Mặt khác, ta nhận thấy biểu thức bậc hai lớn khơng nên khơng cần phải tìm điều kiện hệ phương trình Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau  x + x + − y − y + = y − 3x − (1)  2 ( 2)  y − y + = x − x Phân tích tốn: Dựa vào đặc điểm nhận dạng nêu ta thấy tốn khó tốn trước khơng đơn việc rút x, y từ phương tình vào phương trình mà ta rút nguyên biểu thức Do hai phương trình chứa cụm y- 3x- Mà phương trình (2) đơn giản nên ( 2)  y − 3x − = y − x − y − x vào (1) để biến đổi làm xuất hình ảnh hàm số đặc trưng Giải Từ ( )  y − 3x − = y − x − y − x vào phương trình (1) ta được: ( x + 1) +4− ( y − 1) + = y − x2 − y − x 50  ( x + 1) +4− ( y − 1)  ( x + 1) + + ( x + 1) = 2 + = ( y − 1) − ( x + 1) ( y − 1) 2 + + ( y − 1) ( 3) Xét hàm số f ( t ) = t + + t , t   0; + ) có f / ( t ) = f ( t ) đồng biến 0;+ ) (4) +  0, t  nên hàm số t+4 x = y−2  2 2 Từ (3) (4) suy f ( x + 1)  = f ( y − 1)   ( x + 1) = ( y − 1)   x = − y Với x = y-2 Thế vào (2) ta tìm x = Với x = -y vào (2) ta tìm x = −1 ;y = 2 −3 ;y = 4  −1   −3  ; , ;   2  4 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt : ( x; y ) =  Nhận xét: Bài toán giúp em hiểu biết thêm nhiều việc kết nối kiện phương trình hệ để xuất hình ảnh hàm số đặc trưng Mặt khác biểu thức bậc hai >0 với x, y nên ta không cần tìm điều kiện phương trình Qua tốn lại cho ta thêm tiến trình tích lũy tri thức Đến em hồn tồn làm chủ đứng trước dạng toán tư sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng giải hệ phương trình BƯỚC HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỰ RA ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG Với tất quỹ thầy cô dạy tri thức lại truyền đạt hết tất hiểu biết cho học trị mình, với mong muốn học sinh phải người tài giỏi, thành cơng người thầy, người cô em Bởi hướng dẫn em tìm hiểu, nghiên cứu dạng tốn nào, ngồi cách hướng dẫn phân tích nhận dạng, đưa lời giải tối ưu, tơi cịn hướng dẫn em tự đề tự giải, tự thử thách lĩnh vực chinh phục tri thức nói chung phần kiến thức “tư sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng giải hệ phương trình” nói riêng Nên đưa bước soạn đề giải hệ phương trình phương pháp hàm số đặc trưng sau: Bước 1: Bắt đầu từ việc cho sẵn hàm số đặc trưng f ( t ) từ cho f ( u ) = f ( v ) Bước 2: Từ việc cho f ( u ) = f ( v ) ta khai triển biểu thức, kết hợp nhân, chia với đại lượng khác để gây nhiễu Bước 3: Dựa vào hàm đặc trưng bước 1, ta có mối liên hệ x y Cho x y giá trị cụ thể để phương trình cịn lại theo ý muốn Chú ý: Khi đề, em nghĩ nhiều tình xóa dấu vết thực chất hàm 51 số đặc trưng cách cho phương trình hệ vài thông tin, manh mối liên quan đến hàm số đặc trưng, manh mối giống mảnh ghép vụn vỡ, phân chia rải rác đến toàn phương tình hệ Nhiệm vụ người giải phải tìm mảnh ghép ghép chúng lại thành tranh hoàn chỉnh hàm số đặc trưng bị ẩn giấu Ngồi em sử dụng đặc điểm nhận dạng để đề theo ý muốn Ví dụ: Bước 1: Cho hàm đặc trưng f ( t ) = t + 3t Thì ta cho phương trình (1) dạng : ( x − y ) + 3( x − y ) = ( x) +3 x (1) Bước : Nếu khai triển (1) ta : 8x3 − x − x x − y3 − 12x2 y + 6xy + x − y = Bước : Giả sử cho trước giá trị x = 1, kết hợp với mối liên hệ x ,y bước : y = x − x để tiếp phương trình thứ hai hệ Có thể phương trình ( ) (2) sau : x + x y = x − Như qua vài bước tính tốn đơn giản ta có hệ phương trình giải phương pháp hàm số đặc trưng: 8 x3 − x − x x − y − 12 x y + xy + x − y =    x + x y = x − ( ) Nhận xét: Ví dụ ví dụ đơn giản cách đề, thực tế ta nhiều dạng cồng kềnh thách thức người giải toán Việc hướng dẫn học sinh cách đề nhằm mục đích giải hệ phương trình mà ta thấy việc tìm trực tiếp hàm số đặc trưng q khó khăn giống vũ khí bí mật để em bình tĩnh quan sát lại đề nhận diện hàm số đặc trưng ẩn chứa Ngồi việc tự đề cho tự giải khơng giúp em hiểu cách sâu sắc chất việc giải hệ phương trình phương pháp hàm số mà giúp em đột phá tư Như qua việc yêu cầu học sinh tự đề tự làm en học sinh hiểu thực chất việc đề che giấu chất thật Qua vài phép biến đổi, người đề xóa phần dấu vết, manh mối mà học sinh phải tìm manh mối Khả áp dụng sáng kiến Sáng kiến và đồng nghiệp chuyên môn áp dụng vào ôn thi học sinh giỏi toán 12, học sinh lớp 11 nằm nguồn ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh hiệu Mặc dù cố gắng để hoàn thành sáng kiến cách nhanh nhất, thống kê đầy đủ dạng toán thường gặp, từ dạng phổ biến đến gặp, từ dễ đến khó khó đề thi học sinh giỏi Đồng thời tham khảo ý kiến đồng nghiệp cách chỉnh sửa nội dung, hình thức trao đổi với em đội tuyển ôn thi học sinh giỏi tơi mong bạn đọc góp ý trân thành để sáng kiến tơi hồn thiện Bởi “ điều biết giọt nước, điều chưa biết mênh mơng đại dương” 52 II Những thông tin cần bảo mật: Không III Các điều kiện cần để áp dụng sáng kiến: + Về phía nhà trường: Ban giám hiệu khuyến khích sử dụng sở vật chất nhà trường phục vụ cho việc học tập sáng tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi + Về phía giáo viên: Tổ trưởng tổ chuyên môn phân công giáo viên ôn thi học sinh giỏi theo khối Có kiến thức chuyên mơn sâu, có lịng nhiệt huyết, ham học hỏi + Về phía học sinh: Sáng kiến cho em học sinh khá, giỏi ôn thi học sinh giỏi, ôn thi THPT quốc gia, em đam mê tự học tốn, đặc biệt em có đam mê giải hệ phương trình 53 Minh chứng : Bài tập tự luyện Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 2 3  x + x + x = y + y + a)   x − = y − 2  x − y − x + y = −1 b)   xy − y = y  x − y + x + − y + x = −2 c)   x − xy = − y 2 2 2 x + + x − y = y + d)   x − y ( x + y ) − x =  x + + y − 10 = e)   x − 10 + y + =  2 xy + xy y + = g)  2 y + − =  x  x10 + xy = y 20 + y11 f)   x + + y + = x −1 − x ( )( )  2x + 4x2 + y + y + =  h)  6 x + y − x + + = Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  x + y + = x − x − 10 y + + − x − y a)  3  x − x + 13x = y + y + 10 ( x − 1)( y − 1) = 11xy b)  2  x + y + xy + 14 = x + y  x + x = ( y + 1) y + d)   x − + y − = 2  xy + = y x + c)  2  y + ( x + 3) x + x + = y + x − x Bài 3: Giải hệ phương trình sau:  x 12 − y + y (12 − x ) = 12    x − x − = y − Bài 4: Giải hệ phương trình sau: (1 − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y  2 y − 3x + y + = x − y − x − y − Bài 5: Giải hệ phương trình sau: 2 x + x + x + = y + y + y + a)  2  x + y − x + y =  x + x − = y + y + y b)  2 y − ( x + 1) x + y + + = x  x3 + xy = y + y  a)   4x + + y + =   x + x2 + y + y + =  b)   x2 − y =  Bài 6: Giải hệ phương trình sau: ( )( ) 54 Bài 7: Giải hệ phương trình sau: 3 2   x − y + 3x y + 3xy − 12 y + x − y − =    x + y + 19 = 3x + + y + 14 Bài 8: Giải hệ phương trình sau:  x3 − y + 3x + x − y + =  ( x + 1) y + + ( x + ) y + = x + x + 12 Bài 9: Giải hệ phương trình sau: ( )( )  x + + x2 y + + y =  a)  3x − xy − x + = ( )( )  x + + x2 y + + y =  b)   x + y − xy − 3x + = Minh chứng 3: Các tài liệu tham khảo Tư logic tìm tịi lời giải hệ phương trình TS Mai Xuân Vinh (chủ biên) – Nhà xuất ĐH Quốc Gia Hà Nội Phương pháp hàm số chinh phục giải tốn phương trình- Hệ phương trình, bất phương trình – Bất đẳng thức, GTLN – GTNN Tác giả Nguyễn Đình Thành Cơng - Nhà xuất ĐH Quốc Gia Hà Nội Trang web http/hocmai.com Các đề thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh tỉnh nước Các video giảng giải hệ phương trình phương pháp hàm số thầy Đặng Thành Nam, thầy Đồn Trí Dũng 55 56 57 ... Không biết giải Tại giải theo cách mà không giải theo cách khác Do lựa chọn đề tài “ TƯ DUY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG TRƯNG TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNGTRÌNH TRONG VIỆC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI” Mục... cụ thể phương pháp giải hệ phương trình phương pháp hàm đặc trưng nhằm giúp học sinh giải tốt toán hệ phương trình Đối tư? ??ng nghiên cứu: Phương pháp hàm đặc trưng giải hệ phương trình Phương. .. phần hệ phương trình Như kiến thức từ phương trình đến hệ phương trình giống sợi đỏ gắn liền với bạn học sinh đội tuyển học sinh giỏi toán suốt ba năm ôn thi học sinh giỏi Qua thực tế bồi dưỡng học