Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình trong bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán học cấp THCS tỉnh phú thọ

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO UBND TỈNH PHÚ THỌ TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG ĐỖ THỊ HỒNG HẠNH RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH CĨ NĂNG KHIẾU TỐN HỌC CẤP THCS TỈNH PHÚ THỌ LUẬN VĂN THẠC SĨ C P Phú Thọ, năm 2021 T BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO UBND TỈNH PHÚ THỌ TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG ĐỖ THỊ HỒNG HẠNH RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH CĨ NĂNG KHIẾU TỐN HỌC CẤP THCS TỈNH PHÚ THỌ LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuy g h: L u v Ph g h yh Mã g h: 8140111 Ng ời h ớng dẫn khoa h c: TS Đỗ Tù g Phú Thọ, năm 2021 T i LỜI CAM ĐOAN T h t i Đỗ Thị Hồng Hạnh, h g h yh cb T vi a h , Tr g Đ i h huy Hù g V g h: L u v g, khóa h c 2019 - 2021 T i xi a đ ợc thực hiệ vă y tr g qu trì h ghi T i xi g trì h ghi ứu thực hâ , ới h ớng dẫn khoa h c TS Đỗ Tù g vă tuâ thủ đú g guy Lu thu th đ a : Lu ứu tắ v kết trì h y tr tru g thự , h a từ g hịu tr h hiệm ghi ứu g u vă đ ợc g ố tr ì h Phú Thọ, ngày 05 tháng 01 năm 2021 Tác giả luận văn Đỗ Thị Hồng Hạnh ii LỜI CẢM ƠN Đề t i Rèn kĩ giải hệ PT bồi dưỡng học sinh có khiếu tốn học cấp trung học sở tỉnh Phú Thọ đ ợ h thâ tí h ũy kiến thức h c t h ghi ghi ứu huy t i Tr g Đ i h ứu h thiệ đề t i, t i h tì h thầy gi tr Hù g V đ ợc đ trực tiế giú đỡ, h ớng dẫ vă lu h t i tr h g g suốt qu trì h tiế h h v v ghi thầy trực ứu t i tr ờng trâ tr ng tới TS Đỗ Tù g – Thầy g suốt qu trì h ghi ứu v h thiện y Dù cố gắng, song lu mong nh v g vi , giú đỡ, h ớng dẫn g qu trì h h c t Đặc biệt, t i xi đ ợc gửi lời u g Để ó đ ợc kết g Kh a Kh a h c tự hi tiếp giảng d y, giú đỡ h t i tr lu g hL vă , g i nỗ lực cố gắng bả thâ , tr lu t T yh cb v thiện sau m t qu trì h ản đ ợc gó vă đ ợ h vă kh g thể tr h khỏi thiếu sót Rất , hỉ dẫn qu thầy gi v đồng nghiệ để thiện Xi trâ tr ng ! Phú Thọ, tháng 01 năm 2021 Tác giả Đỗ Thị Hồng Hạnh iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT vi DANH MỤC CÁC BẢNG SỐ LIỆU VÀ BIỂU ĐỒ vii MỞ ĐẦU 1 Tí h ấp thiết .1 Mụ đí h ghi ứu Đối t ợng ghi ứu 4 Ph vi ghi ứu .4 Giả thuyết khoa h c .4 Nhiệm vụ ghi Tổ g qua ứu ghi ứu 7.1 Những kết ghi ứu giới .5 7.2 Những kết ghi ứu tr Bố cục lu g ớc vă .6 Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kĩ ă g v kĩ ă g giải t .7 1.1.1 Kh i iệm kĩ ă g v kĩ ă g giải t 1.1.2 Sự hì h th h kĩ ă g 1.1.3 Điều kiệ để ó kĩ ă g 1.1.4 C ứ đ kĩ ă g giải t 1.2 Nhiệm vụ rè uyệ kĩ ă g giải t h si h ó ă g khiếu t ấp THCS .13 1.2.1 Mụ ti u yh cb 1.2.2 Y u ầu việ rè khiếu T T 13 uyệ kĩ ă g giải t h h si h THCS ó ă g 14 1.3 Nhữ g h g h giải hệ h g trì h hù hợp với h c sinh cấp THCS 15 iv 1.3.1 Ph g h giải hệ h g trì h ản 16 g h 19 1.3.2 Giải hệ h g trì h ằ g h 1.3.3 Giải hệ h g trì h ằ g hâ tí h th h hâ tử 22 1.3.4 Giải hệ PT bằ g h g h g đ i số 23 1.3.5 Giải hệ PT bằ g h g h đặt ẩn phụ 26 1.3.6 Giải hệ PT bằ g h g h hâ i hợ hệ h g trì h chứa ă thức 30 1.3.7 Giải hệ h g trì h ằng ph g h đ h gi 1.3.8 Giải hệ h g trì h ằ g h g h hệ số bất định 34 1.3.9 Giải hệ h g trì h ằ g h g h 1.4 M t số đặ điể tâ si h h h g trì h h c sinh ó ă g khiếu t g trì h .31 c hai .37 h c cấp THCS 39 1.5 Thực tr ng ho t đ khiếu t g rè kĩ ă g giải hệ h g trì h h h c sinh ó ă g h c t i m t số tr ờng THCS tỉ h Phú Th 41 1.5.1 Mụ đí h việc khả s t .41 1.5.2 Đối t ợng khả s t 41 1.5.3 Ph g h khả s t 41 1.5.4 N i dung khả s t .41 1.5.5 Thời gian khả s t 42 1.5.6 Kết khả s t .42 1.6 Kết lu h g 47 Chƣơng 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH CĨ NĂNG KHIẾU TỐN HỌC 48 2.1 M t v i đị h h ớng việc xây ựng biệ h g trì h h h h 2.2 M t số biệ ă g khiếu t 2.2.1 Biệ gợi si h ó ă g khiếu t rè h rè uyệ kĩ ă g giải hệ h c .48 uyệ kĩ ă g giải hệ h g trì h h h si h ó h c .48 h 1: Rè uyện cho h c sinh v n dụ g P ya để giải hệ h ớc giải t the g trì h .48 v 2.2.2 Biệ h ă g khai th , 2.2.3 Biệ d g h it 2.2.4 Biệ 2: Rè ởr uyện cho h g 3: Rè it tr uyệ g h ấ THCS kĩ y h c giải hệ PT .57 e h si h kĩ ă g hệ thố g hóa, hâ 71 h ă g sử dụ g 4: Rè uyện cho h y tí h tr g ă g khiếu t si h ó ă g khiếu t ấ THCS kĩ y h c giải hệ PT .79 2.3 M t số kế ho ch d y h c nhằ 2.4 Kết lu si h ó ă g khiếu t rè uyệ kĩ ă g giải hệ PT cho h si h ó b c THCS 86 h g 89 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 90 3.1 Mụ đí h, tổ chức thực nghiệ s h m 90 3.1.1 Mụ đí h thực nghiệm 90 3.1.2 Kế ho ch thực nghiệm 90 3.2 N i dung thực nghiệ s h m 92 3.2.1 N i dung thực nghiệm .92 3.2.2 N i dung kiể tra đ h gi 92 3.3 Đ h gi kết thực nghiệ s h m .93 3.3.1 Phâ tí h đị h tí h 93 3.3.2 Phâ tí h đị h 3.3.3 Kiể 3.4 Kết lu ợng 95 định giả thuyết thố g k 98 h g 101 KẾT LUẬN 102 TÀI LIỆU THAM KHẢO 103 PHỤ LỤC vi DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Nghĩa viết đầy đủ Chữ viết tắt ĐC Đối chứng ĐKXĐ Điều kiệ x HSG H c sinh giỏi KHTN Khoa h c tự hi NXB Nh xuất PT Ph TH Tr ờng hợp TN Thực nghiệm THCS Trung h c cở sở THPT Trung h c phổ th định g trì h g vii DANH MỤC CÁC BẢNG SỐ LIỆU VÀ BIỂU ĐỒ Bảng Bả g hâ ố tần số kết Bảng Bả g hâ ố tần số (ghé i kiểm tra lớ ớp) kết TN v ĐC 95 i kiể tra 90 hút TN v lớ ĐC 95 Bả g Phâ ố tần suất Bả g Phâ ố (ghé điểm kiể ớp) tần suất tra 90 hút lớ TN v ĐC 95 điểm kiể tra 90 hút lớ TN v ớp ĐC 96 Biểu đồ Biểu đồ hâ ố tần số điể i kiể Biểu đồ Biểu đồ hâ ố tần số (ghé ) điể Biểu đồ Biểu đồ hì h c t hâ ố tần suất Biểu đồ Biểu đồ hì h qu t tần suất (ghé tra 90 hút 96 i kiể tra 90 hút 96 điể i kiể tra 90 hút 97 ) điể i kiể tra 45 hút 97 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết Đ i h i Đả g t quố ầ thứ XII x đị h: "Giáo dục quốc sách hàng đầu Tiếp tục đổi mạnh mẽ, đồng yếu tố GD & ĐT theo hướng coi trọng phát triển phẩm chất, lực người học" [2, trang 26] H i ghị Ba ă hấ h h Tru g g Đả g ầ thứ khóa VIII (th g 12 1996), Đả g khẳ g đị h: "Thực coi giáo dục - đào tạo, quốc sách hàng đầu", tr g hỉ đ đ g ối v hí h s h h t triể GD&ĐT, Đả g ta u x đị h: Muố thự hiệ th h t tru g h t triể GD&ĐT, h t huy guồ h t triể h hó g v g ả hất ợ g guồ Quố gia tr g ời, yếu tố hâ ự u ả g ời u xã h i Bởi v y, việ vấ đề đ ợ t ồi yếu tố ỡ g hâ t i, xã h i qua tâ tất giới Da h sĩ Thâ Nhâ Tru g ù g v ự ề vữ g Bất kỳ thời đ i h g đầu đị h h t triể â g a g ghiệ hóa, hiệ đ i hóa, tr hết hải ia tiế sĩ đầu ti qua Việt Na v ễ viết ă i vă 1484, tr ia để khắ g ó âu ổi tiế g: "Hiền tài nguyên khí quốc gia, nguyên khí thịnh nước mạnh mà hưng thịnh, ngun khí suy nước yếu mà thấp hèn", với t t g Đả g v h ta u hâ t i h đất qua tâ kh a h trẻ g trở h t hiệ , tuyể h , ồi ỡ gv đ t Ng y ay, tr triể đế việ v g xu t ầu hóa v h i h g ghệ đ t , ồi ầ thiết Đả g v Nh quố tế, ù g với h t ỡ g hâ t i, đặ ta đề a tầ qua tr iệt g t i ă g i u g y Ng y 04/10/2013, Ba hấ h h Tru g Nghị 29-NQ/TW, tr g x g Đả g khóa XI a h h định: "Phát triển giáo dục đào tạo nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện lực phẩm chất người học Học đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình giáo dục xã hội" ([1, trang 2]) PL-22 linh ho t từ g it vế PT Dạng Cộng, trừ đại số để H ớng đƣa tổng dẫn bình si h ả trì h h c H a sinh it p y ời giải phƣơng - Kiểm tra phần Cộng vế với vế (1) Ví ụ Giải hệ PT trì h 2  x  3y  3x    2  x  y  x  4y   sinh Giải dẫn si h đƣa PT ẩn ụ hệ h c (2)  x; y   1;1 Dạng Cộng, trừ đại số để H ớng Ví y h c H a si h it p ả trì h y ời giải PT: - Kiểm tra phần Cộng theo vế PT (1) 2  2x  x  y  1  2   x  y  2 trì h y h c (2) sinh - Đáp án (x, y) = (1, 0) Dạng Cộng, trừ đại số để H ớng si h đƣa PT tích Ví ụ Giải dẫn hệ x2  y  xy   4y  2  y  x  y   2x  7y  h c H a si h it p ả trì h y ời giải PT: - Kiểm tra phần Nhân vế PT (1)  1 2 trì h y h c với (2) cộng với PT sinh (2) Đ 1;  ,  2; 5 Dạng Các tốn hệ PT H ớng dẫn khơng mẫu mực giải si h h c H a si h it p ả trì h y ời giải cách cộng, trừ, nhân theo vế - Kiểm tra phần Lấy (1) + (2): hai PT hệ với trì h Ví ụ Giải hệ PT sinh y h c x   y2  x  y  125 x2  y  (x  xy  y ) x  y  185 Đ  thay vào (1)  xy  12  (x, y) {(4; 3), (3; 2 (x  xy  y ) x  y  65 PL-23 4), (-3;-4), (-4; -3)} Phƣơng pháp đặt ẩn phụ - H ớng dẫn h c Dấu hiệu thƣờng gặp: sinh nh n biết d ng - Hệ đối xứng lo i I - Hệ ó i t hâ tử l p l i dụ g h - Đối với g h đặt ẩn phụ hai PT hệ thứ sử hệ chứa ă hu g ta ũ g hú tới việ đặt ẩn phụ -C hệ chứa tổ g v hiệu (x + y), (x – y) - Đối với m t số tr ờng hợp đặt ẩn phụ để đ a hệ đối xứng lo i I v i II Dạng Dùng ẩn phụ đƣa H ớng dạng bậc ẩn Ví ụ Giải hệ  2x y  x1  y 1     x  3y  1  x  y  dẫn si h it p trì h y ời giải y h c sinh Đáp án  x, y    2;  21  Dạng Dùng ẩn phụ đƣa H ớng Ví  x  u  x  + Đặt  , y v  y1   dẫn si h h c H a si h it p trì h y Đ Viết hệ x  y  x y    x  y   xy  x  y   xy  h c  sinh ả g trì h y ời giải ụ 10 Giải hệ PT: - Kiểm tra phần 2 2 x  y  x y   2xy  2 x  x y  xy  xy  y  ả g trì h PT: - Kiểm tra phần ĐK: x  1, y  1  hệ đối xứng loại I h c H a si h 2 (x, y) = (1; 0), (0; -1), (1; 1), (-1, x – y = u, xy = v PL-24 -1) Dạng Dùng ẩn phụ đƣa H ớng dẫn h c H c si h hệ đối xứng loại II si h it p Ví dụ 11 Giải hệ PT: - Kiểm tra phần    3x  y   x    y  trì h y ả g trì h y ời giải h c Đặt  z Hệ cho y  trở thành 2  3x  z sinh 2  3z  x Đ 3 (x, y)  ( 1; 2),  2,1 Dạng Dùng ẩn phụ đƣa H ớng dẫn h c H c si h PT ẩn si h it p Ví ụ 12 Giải hệ PT - Kiểm tra phần Xét x = x  4y  y  16x   2  1  y  5(1  x ) trì h y y ời giải h c Xét sinh Đ ả g trì h x ≠ 0, đặt y  t  y  xt Có hệ: x : (0;2), (0;–2), (1;–3), x  4xt  x t  16x  2 1  x t  5(1  x ) (–1;3) Dạng Dùng ẩn phụ dạng H ớng dẫn si h tổng hiệu h c H a si h it p ả g trì h y ời giải Ví dụ 13 Giải hệ PT: - Kiểm tra phần Đặt u = x + y, v = x – y 2 trì h y h c x  y  xy  xy  y Đưa hệ  2 x  y  sinh  u2  v2 u2  v2  u   uv   Đ  x ; y    ; 1 Hoạt động Luyện tập, củng cố Mụ ti u: Củng cố kĩ ă g giải hệ PT, ứng dụng biệ 45 hút để rè Ph h mở r g it uyệ kĩ ă g giải hệ PT g h :H tđ g hó Chia lớ th h hó , ỗi hó iv giấy A0 , sau hó PL-25 i x g, i từ g hó ả g, hó đ h gi i kh nhó Sau chữa x B i Giải g i, hó rút h hệ PT sau bằ g h g h  3x  (5  y ) x  xy  x    x  x  y  4 a)  b)  hệ PT sau bằ g h g h  x  xy  y  3x   a)    xy  y  y   hệ PT sau bằ g h g h   x   y    1 a)  2 2   xy  x  y  x  2y  x  y   1    2  3x   x  y   6x y  y B i Giải ng, trừ, hâ vế 2 x  3x  y   b)  2  2 y  y  x  2 B i Giải   x  xy  x  y  2   x  x y  3x  y  B i Giải xét hâ tí h th h hâ tử b) hệ PT sau bằ g h g h đổi biến   x  y  xy  b)    x 1  y 1   x  y  2( x  y )  a)   y ( y  x)  x  10 Các vấn đề cần lƣu ý sử dụng phƣơng pháp giải hệ PT * Khi giải hệ PT phương pháp - Nếu rút ẩ the ẩ nhẹ h g h - Nếu v ò i v v PT tr t iểu thứ v g h PT hệ hải lựa ch , để v g việ tí h t PT hệ, h ù g h t t ẩ the ẩ i hệ hú g ta PT ị g ó PT ò rút h i ó thể rút trực tiếp ẩn từ PT hay h ời giải hay h y hú g ta iế đổi sau v hẹ h g mặt tí h Nếu hằ g số từ PT y, từ PT đẳng cấ đ ợc mối i yv PT t o m t PT đẳng cấp x v y hú g ta ễ g huyể th h hệ x với y Tuy hi biế đổi ó thể ù g h g h ó hữ g * Khi giải hệ PT phân tích thành nhân tử g tí h để rút i ần phải qua v i PL-26 - Khi gặp hệ PT ó t PT ó kiể sinh phải tra xe theo ẩ v v t g PT PT ò ẩn, h c t tam thức b y ó thể chuyển PT tí h để rút i Tuy hi g đối khó, ta ó thể coi m t ẩ t ẩn đ i việc chuyển PT tí h tham số sau đ a PT hệ d g tí h - Tr g tr ờng hợp  kh bằ g g số hí h h g hệ kh h đ a PT hệ d g tí h, ta tì ó thể PT hệ, hoặ ối i g giải đ ợc hệ ẩn hải kết hợp PT cử hệ tì đ ợc ẩn quan hệ * Khi giải hệ PT phương pháp cộng đại số - Nếu g, trừ đ i số để đ a tổ g hệ số iến PT iế kh số v g ó PT c hệ PT, hằ g đẳng thứ Tuy hi ối i g g: Khi gặ hai số hoặ đối xứng nhau, c ng trừ PT cho t hệ PT ì h h hệ với ó hững PT, việ PT thu đ ợc với hau ó thể t hâ th đẳng thức - Nếu g, trừ đ i số để đ a PT t ẩ : Có hững hệ ó thể c ng trừ ngay, nhữ g ũ g ó hững hệ phải qua m t v i đ ợ - Nếu ng trừ PT cho t iế đổi thực PT t ẩn g, trừ đ i số để đ a PT tí h: Có thể hâ tí h hệ th h tí h hâ tử Đ i hải qua v i t hai PT iế đổi v kết hợp biế đổi hai PT th h PT hệ đ a d g tí h Nếu it hệ PT kh g ẫu ự giải ằ g vế hai PT hệ với hau: Chú g ó đặ điể xứ g hau, h ặ gầ giố g hau h g kh h g, trừ, hâ the PT hệ ó g đối hau ấu * Khi giải hệ PT phương pháp đặt ẩn phụ: - Giải hệ PT ằ g h giải Có hệ PT ù g h i ó thể đặt ẩ g h g h hụ gay, h đặt ẩ hụ, đa y ta g ũ g ó gv i h h t tr i hải qua g h g hú Khi h đặt ẩ t v i hụ iế PL-27 đổi Tùy the ỗi i sử ụ g t số đặt ẩ hụ kh hau Hoạt động Tìm tịi mở rộng Mụ ti u: Ph t triển khả ă g hâ tí h, Ph g h : Thuyết trì h, h t đ g it g hó  x  y  x  y  18 si h Cho h ởr i t p sau: Giải hệ PT   xy ( x  1)( y  1)  72 Gi vi h h H si h trì h si h it hó , g i đ i diệ hó y ời giải bằ g h g h I  trì h y đặt ẩn phụ:  x  x    y  y   18  Tóm tắt lời giải: Hệ (I)   2  x  x    y  y   72  1  x  x  u  u       Đặt   y2  y  v  v       4  40 hút Ta ó u  v  18 u  6, v  12   uv  72 u  12, v  Từ giải đ ợc t p nghiệm; S  (2;3); (2; 4); (3;3); (3; 4); (3; 2); (4; 2); (3; 3); (4; 3) Gi vi hỏi: Có e giải h kh ? Gợi ý: Biểu diễn PT theo tổng x  y tích xy Đặt x  y  u; xy  v , tiếp tục giải để tìm nghiệm hệ Gi vi hỏi: E s s h h đặt ẩn phụ, h hay h ? (Học sinh nhận thấy làm theo cách 1sẽ hợp lý cách giải độc đáo hơn) Gi vi tiếp tục hỏi h c sinh sau đặt ẩn phụ em thấy hệ PT ó ? Hãy hỉ it gố ? Hãy h t triể gốc? C hó trì h y h h t triể kh hau it ới từ g h it PL-28 (B i t gố u  v  18 giản  uv  72 hệ PT đ C h Nếu ta thay u  x2  x, v  y  y v  II  hệ (II) ta đ ợc hệ 2  x  y  x  y  18   xy  x  1 y  1  72 C h Nếu ta thay u  x2  xy, v  y  xy v hệ (II) ta ó  x  y  18  2  xy ( x  y )  72 C h Nếu ta thay u  x2  3x, v  x  y v hệ (I) ta ó  x  x  y  18   x  x  3 x  y   36 x C h Nếu ta thay u  x  , v  y  v y hệ (II) ta ó ( x  y ) xy  x  y  18 xy  2 ( x  1)( y  1)  72 xy C h Nếu ta thay u  x2  3xy, v  y  xy v hệ (II) ta ó  x  y  xy  18   xy ( x  y )( y  x)  72 Hoạt động Hƣớng dẫn nhà -H si h t p tất h c, sử dụ g h g h giải hệ PT Sử dụng biệ hút it thực hiệ - Ng i h h h g h giải để ứu V Kết luận rút kinh nghiệm it r ng uyệ kĩ ă g g hóa để giú h c sinh h , ò t số h hợp; hệ số bất định; sử dụng HS h tự tì ghi g i t p tự h , rè hệ thố g hóa, hâ đ ợc thu n lợi h g h giải v g h kh : Nhâ i hiểu, buổi h c sau tiếp tục PL-29 Phụ lục Kiểm tra đánh giá (sau thực nghiệm) ĐỀ KIỂM TRA Thời gian: 90 phút x y 4  Bài 1.(2 điểm)Giải hệ PT:  3 2  x  y  x  y  12  x  y  x  y   x  1 y  1  2 Bài 2.(2 điểm)Giải hệ PT:   x   y       1  y 1  x 1   3x  xy  x  y   Bài 3.(2 điểm)Giải hệ PT:    x  x  1  y  y  1      x  x  2012 y  y  2012  2012  Bài (1,5 điểm) Giải hệ PT:  x2  z   y  z     Bài (1,5 điểm) Giải hệ PT:   x 1  x   x   y 1  y   y   x  y  10    x yz 3   1 1 Bài 6.(1 điểm)Giải hệ PT:      x y z 2   x  y  z  17 -Hết- PL-30 ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA (Sau thực nghiệm) x  y  (1)  Bài Giải hệ PT:  3 2  x  y  x  y  12 (2) Dụng ý sư phạm: Đ h gi - Qua s t đề i, h t PT (2) ó thể hâ tí h đa thứ th h hâ tử - Ứng dụ g h - Biết hâ g h ng hệ PT - Sử dụ g th h th - Sử dụ g t số kĩ ă g h c sinh: hâ tí h đa thứ th h hâ tử v yv h h ng hệ PT đối xứng lo i I g h hệ PT đối xứng lo i I y tí h/ hẩm nhanh nghiệm PT b c hai Hướng dẫn giải x  y  (1)   3 2  x  y  x  y  12 (2) Biế đổi PT (2), ta đ ợc:  x  y   x  y  xy    x  y  3 PT tr :  x  y  xy    x  y  3 Ta PT (1) v  xy  x  y  Từ đó, ta ó:  ,  xy  x,y  X 1  V y ta ó X   ghiệm PT X  X   ặp nghiệm 1;3 ,  3;1  x  y  x  y   x  1 y  1 (1)  2 Bài Giải hệ PT:   x   y        (2)  y 1  x 1  Dụng ý sư phạm: Đ h gi - Qua s t đề t số kĩ ă g h c sinh: i, ó thể hâ tí h PT (1) th h - Ứng dụ g h Hướng dẫn giải g h đặt ẩn phụ hâ tử g h PL-31  x  y  x  y   x  1 y  1  2   x   y        1 y  x       ĐKXĐ: x, y  t Hệ g đ g với: x y   1  x  x  1  y  y  1   x  1 y  1  y  x    2    x   y    x    y       1  y 1  x 1   y    x    a  b   a b 1 a  b   x y    a  Đặt a  Khi hệ trở th h:  ,b  a  b  ab  y 1 x 1    b      x 0   x  a   y 1 TH1:     y 1 b 1  y 1   x 1     x   y 1   x 1 a   TH2:    y  b   y 0    x 1  V y cặp nghiệm hệ  0;1 , 1;0   3x  xy  x  y   Bài Giải hệ PT:    x  x  1  y  y  1  Dụng ý sư phạm: Đ h gi - Qua s t đề h g h i, ứng dụng biệ h hâ g để đ a hệ PT d ng sử dụng c hai - Ứng dụ g h - Sử dụ g t số kĩ ă g h c sinh: g h g đ i số, h g h c hai y tí h ầm tay/ nhẩm nhanh nghiệm PT b c hai Hướng dẫn giải: Ta ó hệ t gđ 3x  xy  x  y   2  x x y  y 4  x  x  y  y  (1)  2 2 x  y  xy  x  y  2 (*) g: PL-32  *  x  x  y  5   y  y    (**) C i PT b c hai ẩn x v tha số y    y  5  4.2. y  y    y  18 y    y  1  y 2   y   y  1 y   x  PT (**) ó hai ghiệm   y   y  1   2 y  x  y 1  y 1 y 1  1    y  y   y  y  13  TH1: x    2    y  1, x    y  13 , x  4 5  TH2: x   y  (1)    y    y  y  y   y  y    y  1, x  V y ặp nghiệm hệ  13 4  (1;1),  ;   5      x  x  2012 y  y  2012  2012 (1)  Bài Giải hệ PT:  x2  z   y  z     Dụng ý sư phạm: Đ h gi - Qua s t đề h g h t số kĩ ă g h c sinh: i, PT (1) hâ - Ứng dụ g h i h g tì h v tỷ, sử dụ g hâ g đ a sử dụng hợp g h hâ i hợ , h g h đ h gi Hướng dẫn giải     x  x  2012 y  y  2012  2012 (1)   x  z   y  z    (2)  Ta ó: 1   x  x  2012  y  y  2012   y  2012  y  2012  y  2012  y  PL-33 (Do y  2012  y  0y )    x  x  2012 2012  2012  x  x  2012   y  2012  y  y  2012  y  x  y  y  2012  x  2012   x y   x y    x  y y  2012  x  2012  y  2012  x  2012  y  2012  x  2012 y  x2 y  2012  x  2012 y  2012  y  x  2012  x y  2012  x  2012 0 Do y  2012  y  yy   x  2012  x   xx   y  2012  y  x  2012  x   y   x Thay y   x v (2):  x2  z  4x  4z     x  2   z  2  2  x  2   x  2    z   z     y  x  V y hệ ó nghiệm  x; y; z    2;2;2   x   x   x   y   y   y  (1)  Bài Giải hệ PT:  x  y  10   Dụng ý sư phạm: Đ h gi t số kĩ ă g h c sinh: PL-34 - Qua s t đề i, ta thấy h sử dụng biệ h - Ứng dụ g h số vế tr i v vế phải PT (1) hâ g h g đ a sử dụ g h g h h số đồng biến đ h gi đ h gi để giải hệ PT Hướng dẫn giải ĐKXĐ: x  1, y  Ta xét tr ờng hợp: TH1: x   y   y  x  Khi đó, x 1  x   x   Suy hệ PT v y 1  y2  y 3 y 1  y2  y 3 ghiệm TH2: x   y   y  x  Khi đó, x 1  x   x   Suy hệ PT v ghiệm V y x   y   y  x  Thay v PT thứ hai hệ h , ta đ ợc:  x  1 x2  8x     , kết hợp với điều kiện suy ra: x  1  y   x  3 V y cặp nghiệm hệ PT  x; y    1;3  x y z 3   1 1 Bài Giải hệ PT:      x y z 2   x  y  z  17 Dụng ý sư phạm: Đ h gi t số kĩ ă g h c sinh: - Qua s t hệ số hệ PT - Ứng dụ g h g h hâ tí h đa thứ th h hâ tử v giải hệ PT Hướng dẫn giải Từ x  y  z  v Khi ta đ ợc: 1 1 1 1    ta đ ợc    x y z x y z x yz PL-35 1 1    0 x y z x yz x y x y   0 xy zx  y  z   x  y   xy  yz  zx  z     x  y  y  z  z  x   Xét x  y  , từ x  y  z  ta đ ợc z  Mặt kh Thế v ã x  y   x  y x2  y  z  17 ta đ ợc x2   x  2 Từ ta đ ợc hai b số thỏa  2; 2;3 ,  2;2;3 Với y  z  v z  x  h t t g tự ta đ ợ số b số tr V y số  x; y; z  cầ tì :  2; 2;3 ,  2;2;3 ,  2;3; 2  ,  2;3;2  , 3;2; 2  , 3; 2;2  h vị hai Phú Thọ, ngày 28 tháng 01 năm 2021 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC HỌC VIÊN CAO HỌC TS Đỗ Tùng Đỗ Thị Hồng Hạnh ... & ĐÀO TẠO UBND TỈNH PHÚ THỌ TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG ĐỖ THỊ HỒNG HẠNH RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH CĨ NĂNG KHIẾU TỐN HỌC CẤP THCS TỈNH PHÚ THỌ LUẬN VĂN THẠC... ứu đề t i Rèn luyện kĩ giải hệ phƣơng trình bồi dƣỡng học sinh có khiếu toán học cấp THCS tỉnh Phú Thọ Mục đích nghiên cứu Mụ đí h việ để rè t ghi ứu huy uyệ kĩ ă g giải hệ PT tr h ấ THCS, từ... g ố tr ì h Phú Thọ, ngày 05 tháng 01 năm 2021 Tác giả luận văn Đỗ Thị Hồng Hạnh ii LỜI CẢM ƠN Đề t i Rèn kĩ giải hệ PT bồi dưỡng học sinh có khiếu toán học cấp trung học sở tỉnh Phú Thọ đ ợ h