ôn tập bất phương trình mũ và logarit

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:... Tìm a để bất phương trình sau nghiệm ∀x... Phương pháp tham số: Coi một bộ phận của ẩn là tham số: a.. Ví dụ 1 giải phương trình sau... Phương

Hướng dẫn giải bài tập Bài 1:

Câu a:

+txđ: x2 − 5x+ > 6 0

1 0

2

x− > ⇔ < < 1 x 2; x > 3

x – 3 ≠ 0

( 1) 3 1

log ( 5 6) log log 3 log

x x x

2(x 2)(x 3) (x 1)x 3

⇔ − − = − − (2)

+ nếu 1 <x <2: (2) 2( 2)( 3) ( 1)( 3) 5

3

+ nếu x >3: (2) ⇔ 2(x− 2)(x− 3) 9 = x− 1)(x− 3) ⇔ =x 3 loại

+ Kết luận pt có nghiệm 5

3

x= Câu b:

+ điều kiện 2x+ 1 − > 3 o (*)

log 4x + 4 = log 2x+ log (2x+ − 3) log 2 (2 = x x+ − 3)

4x 22x 4 0 2x t 0

⇔ − − = ⇔ = > thì:t2 − 2t− = 4 0 t =-1 loại; t =4

Vậy 2x = ⇔ = 4 x 2 thoả mãn (*)

log 2x − +x 2m− 4m = log x +mx− 2m

⇔ 2x2 − +x 2m− 4m2 =x2 +mx− 2m2 (1)

x2 +mx− 2m2 > 0 (2)

+ (1) ⇔x2 − (m− 1)x+ 2m− 2m2 = 0 (3)

có 2 nghiệm: x1,2 = − +m 1 và 2m

⇒ + > ⇔ − + + > ⇔ m< 0 (*)

2

5

m>

+ từ (3) ⇔x2 − 2m2 = (m+ 1)x− 2m nên (2) trở thành

mx+ (m+ 1)x− 2m> ⇔ 0 (2m+ 1)x− 2m> 0 (4)

với x= − + ⇒m 1 (2m+ 1)( − + −m 1) 2m> ⇒ − 0 2m2 −m+ > 1 0

-1<m<1

2 (*)(*)

Khi x=2m ⇒ thay vào (4): (2m+ 1)2m− 2m> ⇔ 0 4m2 > ⇒ 0 m≠ 0

Kết hợp với (*) và (*)(*) ta có -1 <m < 0; 2 1

5 <m< 2 thì yêu cầu của bài toán được thoả mãn

Bài 2: câu a

+ bpt tương đương: 2

1 log ( log x) log (log x) log 2 2

2

1

log log x log x log 2

2

a

3 a

1

log log x log 2a

a

  (*)

1 (*) 0 log x 2 0<log x 2 a 1

⇒ ⇔ < ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ <

(*) log x 8 log x 2 x a

+ kết luận 0 <a < 1 bpt cú nghiệm a2 ≤ <x 1

a >1 bpt cú nghiệm x a≥ 2

Cõu b:

+điều kiện: x > 0

x2 + > 3 x2 + ⇔ 1 x2 < ⇒ < < 1 0 x 1

+ với 0 <x <1⇒ x2 + ư 3 x2 ư < 1 1 3 1 1 + ư =

⇒ 2 + ư 2 ư < =

log x 3 x 1 log 1 0 và log x<log 1=02 2 ⇒

VT < 0 ⇒ nghiệm của bpt 0 <x <1

Bài 27: Một số phương pháp giải phương trình – bất

phương trình lôgarít (tiếp theo)

3 Phương pháp đặt ẩn phụ

a Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

α xlgx

= 102lg2xư3lgx+2

β Log

2

xx2 – 14log16xx3 + 40log4x x = 0

γ Tìm m để phương trình: log x log x2 3

2 1

2

2 + ư = m(log4x2 – 3) có nghiệm x ∈ [32,+∞)

Giải: Câu α: Đổi sang cơ số 2

x log 2

x log 2

1 40 x log 4

x log 3 14 1

x

log

x

log

2

2

2

2

2 2

+

+ +

ư

ư

+ Đặt log2x = t ⇒ Phương trình:

t 2

t 20 t 4

t 42 1 t

t 2

+

+ +

ư

Điều kiện: t ≠ 1; -2 ; -4

⇔ -10t (2t2

– 3t – 2) = 0 ⇔ t = 0; t =

-2

1

; t = 2 thoả mãn điều kiện trên

+ t = 0 ⇒ x =1; t =

-2

1 ⇒ x =

2

1

; t = 2⇒ x = 4

Kết quả: x =

2

1

; 1;4 Câu β: đk: x > 0; lg hoá 2 vế ta có

lg2x = 2lg2x –3lgx + 2 ⇔ lg2x – 3lgx + 2 = 0 + Đặt lgx = t ⇒ t2 – 3t + 2 = 0 ⇒ t = 1; t = 2

⇒ 





=

⇒

=

=

⇒

=

100 x 2 x lg

10 x 1 x lg

Câu y: Đổi sang cơ số 2 ta có (γ) ⇔ log2 x 2log2 x 3

2 ư ư = m(log2x-3) đặt log2x = t

⇔ t2 ư2tư3 = m(t-3) theo điều kiện x ≥ 32 ⇒ t ≥ 5







ư

=

ư

ư

≥

ư

2 3

t m 3 t 2 t

1 0

3 t m

2 2

2

+ Vì t ≥ 5 ⇒ t – 3 > 0 từ (1) ⇒ m ≥ 0 + (2) ⇔ (t+1)(t-3) = m2(t-3)2 ⇔ t+1 = m2(t-3)

⇔ t =

1 m

1 m 3

2

2

ư

+ theo yêu cầu bài toán t ≥ 5 ⇒

1 m

1 m 3

2

2

ư

+ ≥ 5 ⇔

1 m

m 2 6

2

2

ư

ư

≥ 0 ⇔ 1 < m2 ⇔ 3 và do m ≥ 0

⇔ 1 < m ≤ 3 thì phương trình đã cho có nghiệm x ∈ [32;+∞)

b Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:

∝ Logx2log2x2.log24x > 1

β Log3(x+2) > logx29

γ Tìm a để bất phương trình sau nghiệm ∀x

3 x 2 x

2 log a

log x

2

a

2 2 2

ư +

ư

+

< 1 Giải

Câu∝ : TXĐ : x > 0; x ≠1; x ≠

2

1 đổi sang cơ số 2

+ Ta có:

x log

1

1

x

log

1

2

2 + > 1 đặt log2x = t

⇒

t

t

2

+

+

> 1 ⇔ t(t 1) 0

t

2 2

>

+

ư

⇒ - 2 < t < -1; 0 < t< 2 vậy - 2 < log2x< -1 ⇔ 2

2

< x < 2-1

Và 0 < log2x < 2 ⇔ 1 < x < 2

2

Kết luận nghiệm của phương trình











<

<

<

<

2

2 1

2 x 1

2

1 x 2

Câuβ: đk:







ư

≠

ư

>

1 x

2 x

; đổi ra cơ số 3 ta có

log3(x+2) >

log

2

3 + đặt log3(x+2) = t

Bất phương trình trở thành: t >

t

2 ⇔

t

2

t2 ư

>0 ⇔ - 2 < t < 0; t > 2

+









>

⇔

>

<

<

⇔

<

<

2

2

10 x 2

lg

1 x 10

0 x lg

2

là nghiệm của bất phương trình

Câu γ: + Điều kiện a > 0; a ≠ 1

+ Nhận thấy –x2 + 2x -3 < 0 với ∀x vì a = -1; ∆’ = 1-3 < 0

+ Vậy bất phương trình tương đương: x2log2a2 + loga2 > -x2 + 2x – 3

⇔ x2

(2log2a + 1) = 0 ⇔ log2a =

-2

1 ⇔ a = 2 2

1

ư

= 2 1

Thì (1) trở thành : - 2x +

a log

1

2

+ 3 > 0 ⇔ -2x + 1 > 0

x <

2

1

không nghiệm với ∀x ⇒ không thoả mãn

+ Để (1) thoả mãn với ∀x ⇔ ∆ = ư( + )( + )<

>

+

0 3 2 log 1 a log 2 1 '

0 1 a log 2

a 2

2

- Giải: 2log2a + 1 > 0 ⇔ log2a >

-2

1 ⇔ a > 2 2

1

ư

= 2 2

- giải: 1 – (2log2a + 1) (loga2 + 3) < 0 đặt log2a = t

⇔ 1 – (2 t + 1) 









 + 3 t

1 < 0

⇔ 1 – 2 – 6t -

t

1

- 3 < 0 ⇔ 6t + 4 +

t

1 > 0

⇔

t

1 t

4

t

6 2 + +

>0 ⇔ t 0 ⇔ log2a > 0 ⇔ a > 1

Kết hợp 2 kết quả: a> 1 vậy a > 1 thì bất phương trình đúng ∀x

4 Chú ý:

a Ta có dạng phương trình: logg(x)[f(x)] = a ⇔

( ) ( )











=

≠

>

a

x g x f

1 x g

0 x g

Ví dụng giải phương trình: logx+1(x2-x+1)2 = 2

⇔











+

= +

ư

≠

+

>

+

2 2

x

1

1

x

0

1

x

⇔











=

ư +

≠

ư

>

0 x 2 x 2 x

0 x

1 x

2 2 2

⇔ x = 2

b Với bất phương trình ta có dạng: loga(f(x)) ≥ loga(g(x)) ⇔

⇔











>

>

≠

>

≥

ư

ư

0 x g

;

0

x

f

1 a

;

0

a

0 x g x f

1

a

Đã được nêu nên ở ví dụng trong bài ôn tập đầu tiên (vấn đề tập xác định … của hàm số)

Ví dụ: giải bất phương trình: log xư x 2(3-x) > 1 = log xư x 2(3x-x2)

⇔















>

ư

>

+

ư

ư

ư

ư

≠

ư

>

ư

0

x

3

0 x x 3 x 3 1 x

x

3

1 x

x

3

0 x

x

3

2 2

2

2

⇔

















<

>

ư +

ư +

ư

±

≠

<

<

3 x

0 1 x 3 x 3 x 4 x 2

5 3 x

3 x 0

2 2

⇔

2

5

3ư

< x < 1 ;

2

5

3+

< x < 3 ;

5 Phương pháp tham số: Coi một bộ phận của ẩn là tham số:

a Ví dụ 1 giải phương trình sau

(x+2)log32(x+1) + 4(x+1) log3(x+1) – 16 = 0

Giải: ĐK x + 1 > 0 ⇒ x + 2 > 0 vậy

Đặt log3(x+1) = t ⇒ phương trình trở thành:

(x+2)t2 + 4(x+1)t – 16 = 0

∆’ = 4(x+1)2

+ 16(x+2) = 4(x+3)2

⇒ t12 = ( ) ( )

2 x

3 x 2 1 x

2

+

+

± +

ư

= -4;

2 x

4 + + t = -4 ⇒ log3(x+1) = -4 ⇔ x = -

81

80 > -1 thoả mãn

+ t =

2

x

4

+ ⇔ log3(x+1) =

2 x

4 + có x = 2 là nghiệm và log3(x+1) là hàm đồng

biến;

2

x

4

+ là hàm nghịch biến nên phương trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất x = 2

+ Kết luận: Phương trình trên có 2 nghiệm x = -

81

80

và x = 2

b Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: (x+1)log2 x

2

1 + (2x+5)

2 1

log x + 6 ≥ 0

Giải: + ĐK x > 0 ⇒

2 1

log x = -log2x vậy bất phương trình trở thành ⇒

(x+1)log22x – (2x+5)log2x + 6 ≥ 0 đặt log2x = t

⇒ (x+1)t2 – (2x+5)t + 6 ≥ 0 đặt log2x = t

⇒ (x+1)t2

– (2x+5)t + 6 ≥ 0 do x > 0 ⇒ x + 1 > 0

⇒ Tam thức vế trái của bất phương trình có:

∆ = (2x+5)2 – 24(x+1) = (2x-1)2

2

1 x 2 5

x

2

+

ư

±

+

= 2;

1 x

3 +

+ Bất phương trình trở thành: (x+1) 2)

(t-1 x

3 + ) ≥ 0

⇔ (log2x-2)[(x+1)log2x-3] ≥ 0 (*)

+ Mà log2x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 ⇒ dấu cảu log2x – 2 như dấu của x – 4 ⇒ thay log2

x-2 bằng x –4

+ y = (x+1)log2x-3 có y’ = log2x + (x+1)log2x – 3 cùng dấu với x – 2 ⇒ bpt (*)

tương đương với bất phương trình (x-4)(x-2) ≥0 ⇔ 





≥

≤ 4 x

2 x kết hợp với điều kiện x

> 0

+ Kết luận nghiệm của bpt là 





≥

≤

<

4 x

2 x 0

6 Phương pháp chọn: Cách làm giống như phương pháp chọn với phương trình bất phương trình mũ

a Ví dụ giải phương trình: ĐK x > 5

lg(x2 – 6x + 5) = lg(x-1)+6-x

Giải: ⇔ lg(x-1)(x-5) = lg(x-1) + 6-x

⇔ lg(x-5) = 6-x nhận thấy x = 6 là nghiệm và là nghiệm duy nhất vì hàm y = lg(x-5) đồng biến khi

x > 5 (cơ số 10>1) và hàm y = 6-x là nghịch biến vì a = -1 < 0 ⇒ 2 đồ thị chỉ cắt nhau đúng 1 lần

7 Bài tập: Giải các phương trình – bất phương trình sau:

1 log2x + 2log7x = 2+log2x.log7x

2 log4(x- x2 ư ) log1 5(x+ x2 ư ) = log1 20(x- x2 ư ) 1

3 xlog2 x+4 ≤ 32

4 log32(x+1) + (x-5)log3(x+1) – 2x + 6 = 0

5 3

x

log2

+ x

3 log2

= 6 6.2log3(cõtg) = log2cosx

7 6log2x +xlog6x ≤ 12

8 log5x = log7(x+2)