Bất phương trình mũ Đó là bất phương trình có dạng f x gx a >a hoặc af x≥agx.. vô nghiệm Ví dụ 2... Chú ý : Khi giải bất phương trình mũ ta có thể logarit hóa hai vế... vì hệ sau vô nghi
Trang 1Bài 5
Bất phương trình mũ và logarit
1 Bất phương trình mũ
Đó là bất phương trình có dạng
f (x) g(x)
a >a (hoặc af (x)≥ag(x)) (1)
Để giải (1), người ta thường dựa vào các phép biến đổi tương đương sau
f (x) g(x)
a 1
>
>
f(x) g(x)
a 1
>
>
f (x) g(x)
0 a 1
>
< <
f(x) g(x)
0 a 1
<
< <
Ví dụ 1 Giải các bất phương trình sau
a) 2x2ư ưx 6>1 ; b)
2
4x 15x 13
3x 4 1
4 4
ư
Giải a) Bất phương trình tương đương với
x2 ư x ư 6 > 0 ⇔ (x ư 3)(x + 2) > 0
⇔ x ∈ (ư∞, ư2) ∪ (3, +∞)
b) (1) ⇔ 4x2 ư 15x + 13 < 4 ư 3x (vì 43xư 4
=
4 x 1 ) 4
ư
⇔ 4x2
ư 12x + 9 < 0 ⇔ (2x ư 3)2 < 0 ⇔ x ∈ ∅ (vô nghiệm)
Ví dụ 2 Giải bất phương trình x25x ư 5x+2 ≤ 0 (2)
Giải (2) ⇔ 5x.(x2 ư 52) ≤ 0 ⇔ x2 ư 52 ≤ 0
(vì 5x > 0) ⇔ ư5 ≤ x ≤ 5
Ví dụ 3 Giải bất phương trình
a)
2
ư
ư
< + 6, (3)
b) 6ưx(5x2ư7,2x 3,9+ ư25 5)≥ (4) 0
a) (3) ⇔ x x2 ( )x x2
8 8
ư
< + 6 (5)
Đặt
2
x x
8
ư
=
7 y Từ (5) ta có
7
y
y 0
< +
>
⇔
(y 7)(y 1)
0 y
y 0
>
⇔ 0 < y < 7 Trở lại biến cũ, ta có
1
Trang 2(5) ⇔
2 x
8
ư < ⇔ (x 4 2 2)(x 4 2 2) 0ư + ư ư <
⇔ x ∈ (ư∞, 4 ư (ư∞ ư, 4 2 2 )∪(4+2 2,+ ∞ )
b) (4) ⇔ x2 7,2x 3,9
x 6
<
x 6
x 7,2x 1, 4
x 6
=
<
⇔
x 6
1
5
x 6
=
ư ư ≥
<
0 ⇔ x ∈ ,1
5
ư∞
∪ {6}
Chú ý Để đơn giản trong quá trình giải, ta có thể dùng ẩn phụ Chẳng
hạn đối với bất phương trình
f(ax) ≥ 0, 0 < a ≠ 1,
ta đặt t = ax để đi đến hệ
f(t) 0
t 0
≥
>
Ví dụ 4 Giải các bất phương trình sau
a)
>
b)
3 1>1 2 ư
Giải a) (6) ⇔ 372 xư ư x > 1
⇔ 72 ư x ư x > 0 ⇒ t2 t 72
+ ư <0
⇔ 0 t 8
≤ <
=
⇔ 0 ≤ x < 64
b) (7) ⇔
x 1 x
0
(3 1)(1 3 )
ư
ư
>
Đặt t= 3x, (8) có dạng
Trang 3t 0
t
t
(t 1) 1
3
>
⇔
t 0 4
t (t 1) 1
3
>
ư
⇔
3
t
(t 1)(4 t)
t 0
>
⇔
3
1 t 2
t 4
< <
>
Từ đó (8) ⇔
x
x
3
1 3
2
4 3
< <
<
3
3
0 x log
2 log 4 x
< <
<
Ví dụ 5 Giải bất phương trình
( 2 ) +(4 2 ) ≥2.8 (9)
(9) ⇔
2
3
x
2
2
+ ư ≥
= >
⇔
2
x
(t 1)(t t 2) 0
2
2
= >
⇔
x 2 1 2
≥
(vì t2 + t + 2 > 0) ⇔ x ≤ x ⇔ x ∈ (ư∞, 0]
Chú ý : Khi giải bất phương trình mũ ta có thể logarit hóa hai vế
Ví dụ 6 Giải các bất phương trình
a) 52x 1ư <73 xư , (10)
b)
x 1 (3 / 4)x 1
>
Giải a) (10) ⇔ 2x ư 1 < (log57)(3 ư x) (vì hai vế dương)
⇔ (2 + log57)x < 3log57 + 1
⇔ x < 5
5
1 3log 7
2 log 7
+
+
b) (11) ⇔ (x 1) log54 1log54 3x 1 3
⇔ x log54 3 1log54 5
3
Trang 4⇔ x < 5
5
4
2 log
ư
ư
Ví dụ 7 Tìm a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x,
9 +2(2a 1)3+ +4a ư > (12) 3 0
Đặt t = 3x, (12) có dạng
f(t) := t2 + 2(2a + 1)t + 4a2 ư 3 > 0 (13)
Bài toán trở thành : tìm a để (13) đúng với mọi t > 0
Ta có f(t) = (t + 2a + 1)2 ư 4(a + 1)
a) a + 1 < 0 (⇔ a < ư1), (13) đúng với mọi t
b) a + 1 ≥ 0, (13) ⇔ (t + 2a + 1 ư 2 a 1+ )(t + 2a + 1 + 2 a+1) > 0
⇔ t 2a 1 2 a
< ư ư ư +
> ư ư + +
1 1
Để (13) đúng với mọi t > 0, cần và đủ là
ư2a ư 1 + 2 a 1 0+ ≤ ⇔ 2 a 1 2a 1+ ≤ + (14)
2 4(a 1) 4a 4a 1
2a 1 0
+ ≥
1 a 2
≥ ư
⇔ a ≥ 3
2
Đáp số a ∈ (ư∞, ư1) ∪ 3, )
2
+∞
Ví dụ 8 Giải và biện luận
a) a2 ư 9x+1 ư 8a.3x > 0, (15)
b) a2 ư 2.4x+1 ư a.2x+1 > 0 (16)
a) (15) ⇔ a2 ư 8a.3x ư 9x+1 > 0 ⇔ (aư4.3 )x 2ư25.9x> 0
⇔ (4.3xưa)2>(5.3 )x 2 ⇔
4.3 a 5.3 (17) 4.3 a 5.3 (18)
ư >
ư < ư
x
x 2
< ư
<
+ Với a = 0, (19) vô nghiệm
+ Với a < 0 (19) ⇔ 3x < ưa ⇔ x < log3(ưa)
Trang 5+ Với a > 0 (19) ⇔ 3x+2 < a ⇔ x < log3a ư 2
b) Đặt t = 2x, (16) có dạng
t 0
+ ư <
>
t 0
ư ư >
>
(a 4t)(a 2t) 0
t 0
>
⇔
+ Với a = 0, hệ vô nghiệm
+ Với a < 0, hệ tương đương với t < ưa
2 nghĩa là (16) nghiệm đúng với mọi x ∈ , log2 a
2
ư∞ ư
+ Với a > 0, hệ tương đương với
0 < t < a
4 hay x ∈ (ư∞, log2a ư 2)
Ví dụ 9 Với mỗi a (a > 0, a ≠ 1), giải
2x x 2
a +a + ư ≥ (20) 1 1.
Đặt t = a > 0 Lúc đó (20) có dạng x
t +a t 1ư ≥ 1 ⇔ (21
≥
⇔
o
1
2
0 t
(vô nghiệm) 2
2
2
t a t 1 1
2
< <
Vì t2 > to > 0 và t1 < 0 nên
(21) ⇔ t ≥ t2 Từ đó
a) Nếu 0 < a < 1 thì (20) ⇔ x ≤ logat2
5
Trang 6b) NÕu a > 1 th× (20) ⇒ x ≥ logat2
VÝ dô 10 Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
x
−
−
+
>
− − x víi a > 0, a ≠ 1 (22)
(22) ⇔
0
−
−
+
0 (a 1)(1 2a )
−
−
− − − + + >
(a 2)a
0 (a 1)(a 2)
− − >
x
1 2a
0 (a 1)(a 2)
§Æt t = ax > 0, (23) cho ta
1
t
(t 1)(t 2)
−
<
1
0 t 2
1 t 2
< <
< <
(24)
a) Víi 0 < a < 1, (24) cho ta
x
x
1
0 a
2
< <
< <
a
0 x log 2
> −
> >
b) Víi a > 1
a
0 x log 2
< −
< <
2 BÊt ph−¬ng tr×nh logarit
C¸c tÝnh chÊt sau ®©y cña logarit hay ®−îc sö dông
a) log f(x)a log g(x)a ⇔
a 1
>
>
g(x) 0 f(x) g(x)
a 1,
>
>
>
b) log f(x)a log g(x)a ⇔
>
< <
f(x) 0 g(x) f(x)
0 a 1,
>
>
< <
c) logf (x)g(x)>0 ⇔
0 f(x) 1
0 g(x) 1 f(x) 1 g(x) 1,
< <
< <
>
>
Trang 7d) logf (x)g(x)<0 ⇔
0 f(x) 1 g(x) 1 f(x) 1
0 g(x) 1
,
< <
>
>
< <
Ví dụ 1 Giải bất phương trình
a) log5(x2 ư x) < 0 (1)
b) g3x 1 0,
x 2
ư >
ư
Giải a) (1) ⇔ 0 < x2 ư x < 1 ⇔
2
x(x 1) 0
ư >
0
ư ư <
⇔
x 0
x 1
x
<
>
< <
⇔ x ∈ 1 5,0 1,1 5
∪
b) (2) ⇔ x 1 1
x 2
ư >
1
xư2 > 0 ⇔ x > 2
Ví dụ 2 Giải
2
1
5
x log (x + + > (3) x 1) 0
5
x log (x + + <x 1) 0
2
2
x 0
x 0
>
+ + <
<
+ + >
1
1
0 2
x 0
+ >
<
⇔ x < ư1
Ví dụ 3 Giải bất phương trình
3
3
log (3 ư1) log (3 + ư9) > ư (4) 3
b) 7ưlog x2 2 +log x2 4>4
0
(5)
Giải a) Đặt t = log3(3x ư 1) Khi đó (4) có dạng
t( 2ư ư > ư ⇔ t) 3 t2+2tư < 3
⇔ ư3 < t < 1 Do đó
(4) ⇔ 3ư3<3xư < 31 ⇔ 28 x
27< <
7
Trang 8⇔ log3 28 x log 43
27
< <
b) Đặt t = log x2 2 ta nhận được bất phương trình
7ư +t 2t> ⇔ 7 t 4 2t4 ư > ư
2
7 t 0
4 2t 0
4 2t 0
7 t 4t 16t 16
ư ≥
ư <
ư ≥
2 t 7 3
t 2
4
< ≤
< ≤
Chú ý Trong khi giải bất phương trình logarit, đôi khi người ta dùng công thức
a
g(x) log f (x) g(x)
Ví dụ 4 Giải bất phương trình
2 lg(x 1) lg x
2.x ư ≥ +1 (x 1)ư (6)
(6) ⇔ 2.102 lg(x 1) lg xư ≥ +1 10lg(x 1) lg xư
Đặt t = 10lg(x 1) lg xư , ta có
2
t 0
ư ư ≥
>
(2t 1)(t 1) 0
t 0
>
Từ đó, (6) ⇔ 10lg(x 1) lg xư ≥1 ⇔ lg(x ư 1)lgx ≥ 0
lg(x 1) 0
lg x 0
lg(x 1) 0
lg x 0
x 2 hay x [2, + )
(vì hệ sau vô nghiệm)
Ví dụ 5 Giải các bất phương trình sau
x
log
| x 2 | 2
ư
b) log 2xx ≤ log (2x ).x 3 (8)
Giải a) Điều kiện có nghĩa là
x 0, x
4x 5
0
| x 2 |
> ≠
>
ư
1 ⇔ x > 5
4, x ≠ 2
(7) ⇔
5
4 4x 5
x
| x 2 |
> ≠
ư
2 ⇔
5
4 4x 5 x | x 2 |
> ≠
(9)
Trang 9(9) ⇔
x 2
4x 5 x(x 2)
5
x 2 4
>
< <
ư ≥ ư ư
⇔
2
2
x 2
5
x 2 4
>
0
0
< <
+ ư ≥
6 1 x 2
< ≤
ư ≤ <
⇔ x ∈ (2, 5]∪[ 6ư1, 2).
b) Điều kiện x ≠ 1, x > 0 Đặt t = logx2, (8) có dạng t + 1 ≤ t+ ⇔ 3
⇔ 2
t 1 0
t 3 0
t 1 0
(t 1) t 3
+ <
+ ≥
+ ≥
+ ≤ +
1 t 1
ư ≤ < ư
ư ≤ ≤
Từ đó (8) ⇔ ư3 ≤ logx2 ≤ 1 ⇔ x
x
x 1
3 log 2 1
3 log 2 1
>
< <
⇔
3
x 2
1
0 x
2
≥
< ≤
⇔ x ∈ 31
2
Ví dụ 6 Giải bất phương trình
2
log (x 4x 11) log (x 4x 11)
0
2 5x 3x
≥
2
2
ư ư >
0
15 ) ∪ (2 +
15 , +∞) = D
Với x ∈ D,
2
11
5
3log (x 4x 11)
log 11
Do đó, trên D
(10) ⇒
2 5
2 5
log (x 4x 11) 3
2
log 11 2 5x 3x
2
log (x 4x 11)
0
2 5x 3x
≤
3 0 log 11< )
9
Trang 10⇔ ⇔
2 5
2
2 5
2
log (x 4x 11) 0
log (x 4x 11) 0
ư ư <
ư ư >
2
2
2
2
ư ư ≥
+ ư >
ư ư ≤
+ ư <
⇔
1
3
∈ ư
⇔ x ∈ (ư∞, ư2) ∪ (ư2, 2 ư 15 ) ∪ [6, +∞)
Ví dụ 7 Giải các bất phương trình
a) log x 1 (x 1) log x 1 x (12)
x + ư +(x 1)ư + ≤ 2
Giải : Điều kiện
x 0
x 1 0
x 1 0
x 1 1
>
ư >
+ >
+ ≠
⇔ x > 1
Đặt xlog x 1 + (x 1) ư =t Khi đó
t > 0, x =
1 logx 1(x 1)
x 1
1
log (x 1)
ư
+
=
ư hay logx 1+ x=logx 1ư t ⇔ t = log x 1 x
(x 1)ư + Từ đó (12) có dạng 2t ≤ 2
⇔ t ≤ 1 hay
x 1
log (x 1)
x + ư ≤ ⇔ 1 logx 1+ (x 1)ư ≤ (vì x > 1) 0
⇔ x ư 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 2
Kết luận 1 < x ≤ 2
Ví dụ 8 Giải loga(x ư a) > 1
a log (x 1),+ (13)
ở đây 0 < a ≠ 1
Giải Điều kiện x > a Khi đó
(13) ⇔ log (xa ư > ưa) log (xa +a) ⇔ 2 2
a log (x ưa )> (14) 0 a) a > 1, khi đó (14) ⇔
x a
ư >1
>
⇔ x >
2
1 a+
b) 0 < a < 1, lúc đó (14) ⇔
x a
ư <1
>
⇔ a < x <
2
1 a+
Trang 11Đáp số : x ∈ ( 1 a ,+ 2 + ∞ với a > 1 )
x ∈ (a, 1 a )+ 2 với 0 < a < 1
Ví dụ 9 Giải bất phương trình
2
a
log x log x 2
1 log x 2
>
ư ; 0 < a ≠ 1 (15)
Điều kiện x > 0, logax ư 2 ≠ 0 hay
0 < x ≠ a2
Đặt t = log xa Khi đó (15) có dạng 2
1
t 2
+ +
>
2
0
t 2
+
>
ư ⇔ t > 2 Trở lại biến cũ
t > 2 ⇔ log xa >2 ⇔
2
2
x a
a 1
0 a 1
>
>
< <
< <
Kết luận
2
2
x (a , ) khi a 1
x (0, a ) khi 0 a 1
11