phương trình mũ và bất phương trình mũ

Phương trình và bất phương trình mũ 181 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương trình mũ cơ bản: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 f x g x a a a f x g x < ≠   = ⇔  =   ; ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 f x g x A x A x A x A x f x g x  =  = ⇔  >     =     2. Phương trình mũ đưa về cùng một cơ số: 2.1. Phương trình mũ đưa về cùng 1 cơ số là hằng số: Bài mẫu. GPT: ( ) 2 2 2 2 1 1 2 5 3 2 5 3 x x x x+ − − − = − (1) (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 5 5 2 2 1 5 3 3 3 3 5 9 3 3 x x x x x − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± Bài tập. 10 5 10 15 16 0,125.8 x x x x + + − − = ; 1 2 2 1 3 18 .2 .3 x x x x − − + = ; 17 3 5 7 1 243 2187 9 x x x x + − + − = ⋅ ; 1 1 2 2 3 3 2 x x x x − − + − = − ; 3 2 2 3 7 9.5 5 9.7 x x x x + = + ; ( ) 1 1 5 1 5 1 4 2 2 x x x x + +   ⋅ =   ; 3 1 2 1 2 2 9 2 2 3 x x x x + + − − = − ; ( ) ( ) 3 1 1 3 10 3 10 3 x x x x − + − + + = − ; ( ) 2 1 2 .3 3 x x x + + = ; 2 1 1 1 1 3.4 9 6.4 9 3 2 x x x x + + + + ⋅ = − ⋅ ; 1 2 2 1 2 2 2 3 3 3 x x x x x x − − − − + + = + − ; 2.2. Phương trình mũ đưa về cùng 1 cơ số là hàm số: Bài mẫu. GPT: 2 3 x x x x − = (1) (1) ⇔ ( ) 1 2 3 2 2 1 1 1 2 0 1 2 3 0 6 2 4 2 3 x x x x x x x x x x x x x x − =  = =     = ⇔ ⇔ ⇔ =  >     = − >    =    = −     Bài tập. ( ) 2 4 2 5 4 1 x x x − − + = ; ( ) 2 5 6 4 1 x x x − + + = ; ( ) 3 2 x x x x = ( ) ( ) 5 1 1 2 2 2 2 1 1 x x x x + − = + + ; ( ) 2 9 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x − − + = − + ; ( ) 2 4 2 2 1 1 x x x x x − − + = − + ; ( ) 1 cos 2 cos 2 2 2 2 x x x x x + + = + ; www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 182 3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3: Bài mẫu. GPT: 2 2 2 2 6 9 3 5 2 6 9 3 4.15 3.5 x x x x x x + − + − + − + = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 5 3 5 2 3 5 3 5 3 5 3 5 3 3 4.15 15 5 3 9 4.15 15 25 x x x x x x x x x x x x + − + − + − + − + − + − ⋅ + = ⋅ ⇔ ⋅ + = ⋅ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 5 3 5 3 5 2 9 3 3 3 4 15 0 3 4 15 0; 0 25 5 5 x x x x x x u u u + − + − + − ⇔ + − = ⇔ + − = = > ( )( ) ( ) ( ) 2 3 5 1 2 1 5 3 3 3 5 3 0 3 4 0 3 5 5 4 x x x u u u x x x + − − =  ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = ⇔   = −  Bài tập. 2 1 3 9 4 x x+ + + = ; 3 7 4 2 17 0 x x+ + + − = ; 2 2 1 1 5 5 24 x x+ − − = ; 3 5 5 20 0 x x− − − = ; 1 4 4 3.2 x x x x + + − = ; 1 1 1 49 35 25 x x x − = ; 3 1 125 50 2 x x x + + = ; 2 2 2 2.49 9.14 7.4 0 x x x − + = ; 1 1 1 2 1 2 25 3.10 2 0 x x x + + + − = ; 2 2 2 1 2 4 5.2 x x x x + − − + − − ; 2 2 5 1 5 4 12.2 8 0 x x x x− − − − − − + = ; 1 1 1 2 3.2 8.2 4 0 x x x − − + − + = ; 3 3 2 8 2 20 0 x x x + + − = ; 2 4 2 2 3 45.6 9.2 0 x x x+ + + − = ; 2 3 1 2 1 4 2 2 .9 2.6 4 .3 0 x x x x x− − − − + = ; 8 18 2.27 x x x + = ; ( ) 3 5 2 1 6 12 6 x x − − = − ; 1 1 1 2.4 6 9 x x x + = ; 2 4 9 7 x x = + ; 2 2 2 3.2 32 0 x x+ − + = ; ( ) 3 3 5 9.5 27 5 5 64 x x x x− − + + + = ; ( ) 3 3 1 2 6.2 2 12.2 1 x x x x− − − − + = ; ( ) ( ) 2 3 2 3 4 x x + + − = ; ( ) ( ) 4 15 4 15 62 x x + + − = ; ( ) ( )( ) ( ) 2 3 7 4 3 2 3 4 2 3 x x + + + − = + ; ( ) ( ) 7 4 3 3 2 3 2 0 x x + − − + = ; ( ) ( ) 3 5 21 7 5 21 2 x x x + − + + = ; ( ) ( ) 3 3 5 16 3 5 2 x x x + + + − = ; ( ) ( ) 3 5 3 5 7.2 x x x + + − = ; ( ) ( ) 1 3 5 1 5 1 2 x x x + + − − = ; 1 5 1 3 5 6 7 14 98 x x x −     − + + =         ; ( ) ( ) cos cos 7 4 3 7 4 4 x x x + + − = ; ( ) ( ) 2 2 2 1 5 1 2 3 5 1 x x x x x x − − + − + + = − ; ( ) 2 2 3.25 3 10 .5 3 0 x x x x − − + − + − = ; ( ) 9 2 2 3 2 5 0 x x x x + − + − = ; ( ) ( ) 2 3 2 2 1 2 0 x x x x − − + − = ; ( ) ( ) 2 2 2 4 4 1 .2 16 0 x x x x − − + + + − = ; 3 8 .2 2 0 x x x x − − + − = ; GBL: ( ) ( ) 3 7 3 5 7 3 5 2 x x x m + + + − = ; ( ) ( ) tg tg 5 2 6 5 2 6 x x m + + − = ; ( ) ( ) tg tg 3 2 2 3 2 2 x x m + + − = ; www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 183 4. Đặt thừa số chung đưa về phương trình tích: Bài mẫu. GPT: 1 2 3 6 2 x x x+ + = + (1) Đặt 2 3 x x a b  =    =  thì (1) ⇔ ( )( ) 3 0 1 2 2 1 2 0 log 2 2 x a a b ab a b x b = =   + = + ⇔ − − = ⇔ ⇔     = =   Bài tập. 15 3.5 3 3 x x x − + = ; 1 2 3 2 3.2 6 2 x x x + + = + ; 1 2 3 6 2 x x x+ + = + ; 2 1 2 4 .3 3 2. .3 2 6 x x x x x x x + + + = + + ; 2 2 2 2 5 2 4 8 3 6 13 5 2 2 1 2 x x x x x x − + − + − + + = + ; ( ) 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 x x x x− + − − + = + ; 4 3 2 5 7 3 3 9 3 x x x − − − + = + ; 2 2 2 3 2 1 1 2 5 5 5 5 x x x x x − + − + − + = + ; 2 2 1 .2 6 12 6 .2 2 x x x x x x x + + + = + + ; 3 1 3 .3 27 .3 9 x x x x x x + + = + ; 2 1 3 2 2 3 4 1 .2 2 .2 2 x x x x x x + − + − + − + = + ; ( ) 2 2 1 2 4 7 7 7 7 x x x x + − + − + = + 5. Phương pháp lôgarit hoá: Dạng 1: ( ) ( ) ( ) log log log u x u x a a a a m a m u x m = ⇔ = ⇔ = (0 < a ≠ 1) Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log log .log u x v x u x v x a a a a b a b u x v x b = ⇔ = ⇔ = (0 < a , b ≠ 1) Bài mẫu. GPT: 1 5 .8 500 x x x − = (1) (1) ⇔ ( ) 3 1 3 2 5 .2 5 2 x x x − = ⋅ ⇔ 3 3 5 .2 1 x x x − − = ⇔ ( ) 3 3 2 2 log 5 .2 log 1 x x x − − = ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 3 log 5 0 3 log 5 0 x x x x x − ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ 5 3 log 2 x x= ∨ = − Bài tập. 2 4 3 3 25.125 x x − = ; ( ) 2 3 2 8 36.3 x x x + + = ; 2 2 2 .3 1,5 x x x− = ; 2 4 .6 2.9 x x x = ; 1 3 .8 36 x x x+ = ; 3 2 1 5 .2 4 x x x − + = ; 4 tg 2 4 1600 x x = ; 4 tg 100 x x = ; ( ) 2 25 5 log 5 1 log 7 7 x x − = 6. Phương trình mũ đơn điệu Dạng 1: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x u x n a a a b+ + + = với 0 , 1 k a b < ≠ ; { } 1 2 Max , , , n a a a b < Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x u x n a a a b+ + + = với 0 , 1 k a b < ≠ ; { } 1 2 Min , , , n a a a b > Bài 1. Giải phương trình: 2 3 1 2 x x + = (1) (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 2 1 2 2 x x x x x f x   + = ⇔ = + =     . Do ( ) 3 1 ; 2 2 x x y y   = =     giảm nên ( ) f x giảm, khi đó ( ) ( ) ( ) 1 2 2 f x f x f x = ⇔ = ⇔ = . www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 184 Bài 2. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 4 15 4 15 2 2 x x x + + − = (1) (1) ⇔ ( ) 4 15 4 15 1 2 2 2 2 x x f x     + − = + =         . Ta có 4 15 4 15 1;0 1 2 2 2 2 + − > < < nên 4 15 2 2 x y   + =     tăng và 4 15 2 2 x y   − =     giảm. Xét 2 khả năng sau: Nếu 0 x ≥ thì ( ) 0 4 15 4 15 4 15 0 1 2 2 2 2 2 2 x x f x       + − + = + > + =             Nếu 0 x ≤ thì ( ) 0 4 15 4 15 4 15 0 1 2 2 2 2 2 2 x x f x       + − − = + > + =             Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 3. Giải phương trình: 2 2 sin cos 2009 2009 cos 2 x x x − = (1) (1) ⇔ 2 2 2 2 sin cos 2 2 sin 2 cos 2 2009 2009 cos sin 2009 sin 2009 cos x x x x x x x x − = − ⇔ + = + Đặt ( ) 2009 u f u u = + ⇒ ( ) f u tăng nên (1) ⇔ ( ) ( ) 2 2 sin cos f x f x = 2 2 2 2 cos sin cos sin 0 cos 2 0 ; 4 2 x x x x x x k k π π = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈  Bài tập dành cho bạn đọc tự giải. 2 4 9 7 x x = + ; 2 3 4 5 x x − = ; 3 4 5 14 8 x x x x + + + = ; 2 2 8 3 2 39 x x x − − = ; ( ) 1 2 3 6 0,7 x x x x + + + = ; 15.2 4.7 23,5.10 6.5 4.3 x x x x x + = − − ; 2 2 5 29 x x x + = ; ( ) ( ) 2 3 2 3 4 x x x − + + = ; ( ) ( ) ( ) 6 4 2 17 12 2 34 24 2 1 x x x − + − + − = ; 3 2 1 1 1 5 4 3 2 2 5 7 17 2 3 6 x x x x x x x x x x + + + = + + − + − + ; ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 5 x x x − + + = ; 2 2 log 3 log 5 x x x+ = ; ( ) ( ) ( ) 6 4 2 17 12 2 34 24 2 1 x x x − + − + − = ; 2 2 log 3 log 7 2 x x x + = − ; ( ) ( ) 2 3 2 2 1 2 0 x x x x − − + − = ; ( ) ( ) .2 3 2 2 1 x x x x x = − + − ; 3 8 .2 2 0 x x x − − + = ; ( ) ( ) 2 2 2 4 4 1 2 16 0 x x x x − − + + + − = ; ( ) 2 2 3.25 3 10 5 3 0 x x x x − − + − + − = 1 2 4 1 x x x + − = − ; 2 1 2 2 1 1 2 2 3 5 2 3 5 x x x x x x − + + + + + = + + ; 1 2 2 x x = ; www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 185 ( ) 2 2 1 1 1 0 2 2 x x a a a a a     + − − = >         ; ( ) 9 2 2 3 2 5 0 x x x x + − + − = ; 2 3 5 10 x x x x + + = ; ( ) 5 3 3 12 14 x x x x + + = ; ( ) ( ) 3 2 2 2 1 3 x x + = − + ; ( ) ( ) ( ) 2 3 4 15 2 3 5 x x x − + − = − ; 2 2 2 2 log (2 ) log 6 log 4 4 2.3 x x x− = ; ( ) ( ) 2 2 2 3 3 5 7 3 5 2 x x x + + + − = ; ( ) 2 2 2 2 2 log 15 2 x x x x − + + = + − ; 2 2 3 3 2 4 x x x x + = + ; ( ) ( ) ( ) 2 2 cos2 sin cos cos2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 x x x x   + − + + − = +     ; 3 3 sin 2 tg cotg 2 x x x+ = ; sin cos x x π = ; ( ) 1 2 1 1 2 2 x x x − = + + − ; 1 2 2 x x = ; 2 2 2 1 1 2 1 1 e e 2 x x x x x − − − = − ; ( ) 2 2 1 2 2 1 x x x x − − − = − ; 2 2 2 2 2 4 2 2 5 5 2 x mx x mx m x mx m + + + + + − = + + 7. Phương trình mũ và phương pháp đánh giá: 7.1. Sử dụng bất đẳng thức Côsi: Bài mẫu. 2 2 2 2 1 8 7 8 9 8 7 8 9 2 x x x x x x x x x x x +     − + + − − + − + − − − =     Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 8 7 8 9 8 7 8 9 x x VT x x x x x x x x = − + + − − + − + − − − ≥ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 8 7 8 9 8 7 8 9 x x x x x x x x x x− + + − − − + − − − ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 8 7 8 9 2 16 2.2 2 x x x x x x x x +   = − + − − − = = =   Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ Dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 8 7 8 9 8 7 8 9 8 7 8 9 8 7 8 9 4 x x x x x x x x x x x x x x x x  − + + − − = − + − − −  ⇔   − + + − − − + − − − =  2 2 2 8 7 4 1 8 9 0 9 8 9 0 x x x x x x x x  − + = = −   ⇔ ⇔ − − = ⇔   =   − − =  www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 186 7.2. Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli: Cho t > 0, khi đó: ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 0 1 t t t t α α  + − α ≥ ∀α ≤ ∨ α ≥    + − α ≤ ∀ ≤ α ≤  Bài 1. Giải phương trình: 3 2 3 2 x x x + = + Giải Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: • Nếu 0 1 x ≤ ≤ thì ( ) ( ) 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x   + − ≤ ≤ +   ⇔   + − ≤ ≤ +     3 2 3 2 x x x ⇒ + ≤ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1 x x ⇔ = = • Nếu 0 1 x x ≤   ≥  thì ( ) ( ) 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x   + − ≥ ≥ +   ⇔   + − ≥ ≥ +     3 2 3 2 x x x ⇒ + ≥ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1 x x ⇔ = = Kết luận: Phương trình có đúng hai nghiệm 0; 1 x x = = Bài 3. Giải phương trình: 3 5 6 2 x x x + = + Giải • Nếu 0 1 x ≤ ≤ thì ( ) ( ) 5 1 5 1 5 4 1 3 1 3 1 3 2 1 x x x x x x x x   + − ≤ ≤ +   ⇔   + − ≤ ≤ +     5 3 6 2 x x x ⇒ + ≤ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1 x x ⇔ = = • Nếu 0 1 x x ≤   ≥  thì ( ) ( ) 5 1 5 1 5 4 1 3 1 3 1 3 2 1 x x x x x x x x   + − ≥ ≥ +   ⇔   + − ≥ ≥ +     5 3 6 2 x x x ⇒ + ≥ + . Dấu bằng xảy ra 0; 1 x x ⇔ = = Kết luận: Phương trình có đúng hai nghiệm 0; 1 x x = = Bài tập. 4 5 6 12 3 x x x x + + = + ; 4 2 4 2 x x x + = + ; ( ) 2 2 27 6 4 1 9 x x x x= − + 8. Phương trình mũ sử dụng định lý Lagrange: Định lý Lagrange: Nếu f liên tục trên [ a , b ] và có đạo hàm trên ( a , b ) thì tồn tại x 0 ∈ ( a , b ) sao cho ( ) ( ) ( ) 0 f b f a f x b a − ′ = − Bài tập. 2 3.2 7 17 x x + − = ; 2004 2007 2005 2006 x x x x + = + ; 3 11 4 10 x x x x + = + ; 1 5 2.3 x x + = ; 2 2 2 2 12 2.7 x x x x x x − − − + = www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 187 II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Bất phương trình mũ cơ bản: Sử dụng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 1 0 1 1 0 x x a a a a a x x x x a x x α β >  > < <      > ⇔ ∨ ⇔    α > β α < β − α − β >       2. Bất phương trình mũ đưa về cùng một cơ số: Bài 1. Giải BPT: 1 1 1 1 4 32 4 x x x x − + − ≤ ⋅ ( ) ( ) 3 2 2 1 5 1 2 1 1 2 1 3 2 2 2 2 2 1 1 x x x x x x x x x x + − − − + − − + ≤ ⋅ = ⇔ ≤ + − ⇔ ( ) ( ) ( ) 9 ; 1 9 0 1 1 1 0 x x x x x x x ≤ − >  + ≥ ⇔  − +  − < ≤  Bài 2. Giải BPT: ( ) 2 2 4 2 1 1 x x x x − + + > (1) (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 1 1 2 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 0 4 2 1 1 2 1 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x    + + >  + >       >  − > − >        ⇔ ⇔   < −   + <  < + + <          − <  − <      Bài tập. 2 3 4 1 2 2 2 2 5 5 x x x x x + + + + + − − > − ; 1 1 2 2 3 3 x x x x + − + ≤ + ; ( ) ( ) 1 1 1 5 2 5 2 x x x − − + + ≤ − ; ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 x x x + − + ≥ − ; ( ) ( ) 3 1 1 3 10 3 10 3 x x x x − + − + + < − ; ( ) 2 1 2 1 3 3 x x x x − − − ≥ ; ( ) 2 2 3 2 2 1 1 x x x x + − ≤ − ; ( ) ( ) 3 2 2 2 1 5 1 1 x x x x x x x x + − − + − + > − + ; 2 2 7 3 1 1 x x x − + − < ; 2 2 2 2 1 3 3 2 5 x x x + + + ≤ ⋅ ; ( ) ( ) 72 1 1 3 1 3 3 x x > ; 2 3 3 log log 2 5 400 x x ⋅ < ; ( ) 2 5 6 3 1 x x x − + + > ; ( ) 6 2 8 16 1 x x x − − + < ; 2 lg 2 lg 5 3 3 2 x x+ + < − ; lg 3lg 1 1000 x x x x − + > ; 1 lg .lg 1 x x x < ; 2 lg 10 x x x ≥ ; 2 log 2 x x ≥ ; 1 8 6 9 x x − ≥ ⋅ ; ( ) ( ) 6 3 2 1 1 1 1 2 2 x x x − + − < ; 2 1 2 3 2 5 7 5 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x x − − − − − − + − > + − ; www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 188 3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3: Bài mẫu. Giải BPT: 2 2 2 2 49 9 14 7 4 0 x x x ⋅ − ⋅ + ⋅ ≥ (1) (1) ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 7 1 1 49 7 2 2 9 7 0 2 9 7 0 4 2 0 0 1 x x u x x u u x x u   ≥ ≥  ≥    − + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ⇔ ⇔    = ≤   ≤   Bài 2. Giải BPT: ( ) 1 1 1 1 5 1 2 2 2 2 1 3 2 2 x x x x − − − − − + < + − + (1) ( ) ( ) 1 1 1 1 5 2 2 1 2 1 2 1 3 2 2 x x x x − − − − ⇔ + < + − + . Đặt 1 1 2 1 1 2 0 2 1 1 x x u uv v u u v v − −  = + > − = −    ⇒   + >   = − > −   (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 6 4 5 6 5 5 2 2 0 0 3 3 3 v u uv uv u v uv u v u v uv u v uv u v   − + − + −   + < ⇔ < ⇔ < + + + ( ) ( ) 2 2 6 2 4 5 6 5 24 0 0 0 0 1 uv uv uv uv uv uv v x uv uv   − + − − +   ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < Bài tập. 2 2 2 2 1 2 1 2 25 9 34 15 x x x x x x − + − + − + ≥ ⋅ ; 2 10 3 2 5 1 3 2 5 4 5 5 x x x x − − − − + − − ⋅ < ; 2 2 2 1 2 6 2 4 2 52 4 x x x − − − + > + ; 1 2 1 2 3 2 12 0 x x x+ + − − < ; 2 1 4 7 5 2 3 5 12 5 4 x x x+ − ⋅ ≤ − ⋅ + ; 4 4 1 8 3 9 9 x x x x + + ⋅ + ≥ ; 2 4 4 3 8 3 9 9 0 x x x x+ + + − ⋅ − ⋅ > ; 1 2 2 1 0 2 1 x x x − − + ≤ − ; 9 3 2 3 9 x x x − + > − ; ( ) 13 5 2 13 12 13 5 x x x − ≤ + − + ; ( ) 2 5 4 5 3 5 3 x x x + − − ≤ + ; ( ) ( ) ( ) 26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1 x x x + + + − − < ; 4. Đặt thừa số chung đưa về phương trình tích: Bài mẫu. Giải BPT: ( ) 2 2 2 1 1 4 2 2 1 x x x x+ − + + ≥ + (1) (1) ⇔ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 x x x x x+ − + + + ≥ + . Đặt 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ; 2 2 x x x x x a b ab + − + + = = ⇒ = (1) ⇔ ( ) 1; 1 1 1 0 ( 1) 1 0 1; 1 0 a b x ab a b a b a b x ≥ ≤ ≥   + − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ⇔     ≤ ≥ ≤   www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 189 Bài tập. 2 1 2 4 3 3 2 3 2 6 x x x x x x x + + ⋅ + < ⋅ + + ; ( ) 2 2 1 2 4 8 2 4 2 2 2 x x x x x x x x + + − > + − + ⋅ − ; 2 2 2 2 5 3 2 2 3 2 5 3 4 3 x x x x x x x x x − − + > ⋅ − − + ⋅ ; ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 9 2 2 8 2 2 9 2 8 16 x x x x x x x x x x ⋅ + + ⋅ + ≤ + + ⋅ + + ; 5. Bất phương trình mũ đơn điệu Bài 1. Giải BPT: 1 1 2 3 6 1 x x x+ + + < − (1) (1) ⇔ ( ) f x = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 3 1 2 6 3 2 x x x f+ + < = ⇔ 2 x > (do ( ) f x giảm) Bài 2. Giải BPT: ( ) ( ) 1 5 29 2 2 5 10 x x + > (1) Nếu 0 x < thì 1 x giảm trên ( ) ; 0 −∞ nên ( ) 1 2 5 x y = tăng trên ( ) ; 0 −∞ , khi đó: ( ) ( ) ( ) 1 5 2 2 5 x x f x = + tăng trên ( ) ; 0 −∞ và (1) ⇔ ( ) ( ) 29 1 1 0 10 f x f x > − = ⇔ − < < Nếu 0 x > thì 1 x giảm trên ( ) 0; +∞ nên ( ) 1 2 5 x y = tăng trên ( ) 0; +∞ , khi đó: ( ) ( ) ( ) 1 5 2 2 5 x x f x = + tăng trên ( ) 0; +∞ và (1) ⇔ ( ) ( ) 29 1 1 10 f x f x > = ⇔ > Bài 3. Tìm nghiệm 0 x > của BPT: 1 6 3 10 2 1 x x x + − > − (1) (1) ⇔ ( ) ( ) 1 1 1 10 10 2 6 2 6 6 3 6 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x f x g x x x x x + + + − − − > ⇔ − = > ⇔ = > = − − − − Nếu 1 3 2 x < ≤ thì ( ) 1 2 6 0 3 2 1 x x f x x + − = ≤ < − nên (1) vô nghiệm. Nếu 1 0 2 x < < thì dễ thấy ( ) ( ) , f x g x tăng trên ( ) 1 0; 2 , khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 6 3 3 2 f x f g g x > = > = > ⇒ Nghiệm của (1) là 1 0 2 x < < Nếu 3 x > thì dễ thấy ( ) ( ) , f x g x tăng trên ( ) 3; +∞ , khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) 2 6 5 1 1 81 3 2 1 2 1 x f x g g x x x − = = − < < = < − − ⇒ (1) vô nghiệm. www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 190 Bài tập. 1 2 2 1 0 2 1 x x x − − + ≤ − ; 2 3 3 2 0 4 2 x x x − + − ≥ − ; 1 1 2 5 3 1 2 3 x x x x + + − ⋅ < − ; ( ) 2 3 2 8 1 3 3 2 x x x x − ⋅ > + − ; 2 2 2 2 1 2 4 2 3 2 2 8 12 x x x x x x x + + ⋅ + ⋅ > ⋅ + + ; ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 6 4 6 2 2 4 6 2 1 1 0 1 x x x x x x a a a a − + − + − + + − ≥ + < < ; 6. Bất phương trình mũ chứa tham số Bài 1. Tìm m để BPT sau có nghiệm: 2 2 2 sin cos sin 2 3 3 x x x m+ ≥ ⋅ (1) (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 sin sin sin 1 2 sin 6 2 1 3 3 3 9 9 x x x x m m − + ≥ ⇔ + ≥ Đặt [ ] 2 sin 0;1 u x= ∈ , ycbt ⇔ ( ) ( ) ( ) 6 1 3 9 9 u u f u m = + ≥ có nghiệm [ ] 0;1 u ∈ ⇔ [ ] ( ) ( ) 0;1 Max 0 4 u f u f m ∈ = = ≥ Bài 2. Tìm m để BPT sau đúng ∀ x ∈  : ( ) ( ) 2 4 1 2 1 0 x x m m m + ⋅ + − + − > (1) Đặt 2 0 x u = > , khi đó: (1) ⇔ ( ) ( ) 2 4 1 1 0 mu m u m + − + − > ⇔ ( ) 2 4 1 4 1 m u u u + + > + ⇔ ( ) 2 4 1 4 1 u f u m u u + = < + + . Ta có ( ) ( ) 2 2 2 4 2 0 4 1 u u f u u u − − ′ = < + + [ ) 0;u ∀ ∈ +∞ ⇒ ( ) f u giảm trên [ ) 0; +∞ ycbt ⇔ ( ) 2 4 1 , 0 4 1 u f u m u u u + = < ∀ > + + ⇔ ( ) ( ) 0 Max 0 1 u f u f m > = = ≤ Bài tập. Tìm m để BPT sau có nghiệm: 49 5 7 0 x x m − ⋅ + ≤ ; ( ) 4 2 3 0 x x m m − ⋅ + + ≤ ; Tìm m để bất phương trình sau đúng ∀ x > 0: ( ) ( ) 3 1 12 2 6 3 0 x x x m m + + − + < Tìm m để BPT sau đúng ∀ x ≤ 0: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 3 5 3 5 0 x x x m m + ⋅ + + − + + < Tìm m để BPT sau đúng 1 2 x ∀ ≥ : ( ) 2 2 2 2 2 2 9 2 1 6 4 0 x x x x x x m m m − − − ⋅ − + + ⋅ ≤ www.VNMATH.com [...]...www.VNMATH.com Phương trình và b t phương trình mũ 191 . Phương trình và bất phương trình mũ 181 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương trình mũ cơ bản: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 f x. 2 2 12 2.7 x x x x x x − − − + = www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình mũ 187 II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Bất phương trình mũ cơ bản: Sử dụng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 2 x x x x x + + = + ; www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 182 3. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3: Bài mẫu. GPT: 2 2 2 2