Chương 4: Bất đẳng thức

Xin chào các bạn, sau khi học xong cách giải một phương trình, hệ phương trình, ta bước sang chương mới cũng rất quan trọng. Nó chiếm từ 1 đến 2 điểm trong bài thi Tuyển sinh Đại học, riêng phần bất đẳng thức là 1 điểm. Mặt khác chương này lại có phần khó đối với các bạn học sinh lớp 10, do đó chúng ta cần phải xác định phương pháp học thật rõ ràng và chăm chỉ làm bài tập thì mới có kết quả cao. Rất mong các bạn ý thức được việc đó và hợp tác với nhau để đạt được kết quả thật cao. Bây giờ ta bắt đầu cùng nhau khám phá Bài học mới: Chương Bài 1: Bất đẳng thức  Bất đẳng thức là gì?  Tính chất của bất đẳng thức  Một số bất đẳng thức thường gặp  Vận dụng một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức I- Ôn tập bất đẳng thức 1. Khái niệm bất đẳng thức: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng: b) 4 1 45 −>− c) 32 ≤− a) 425,3 < Đáp án: a,c đúng; b sai. Định nghĩa: Các mệnh đề dạng “a<b” hoặc a>b” được gọi là bất đẳng thức. Vd: a) 5 < 10 b) -15<-1 c) a< b với a<0, b>0 Cũng như các mệnh đề logic khác, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Việc chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng. II. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương Định lí: Nếu mệnh đề đúng thì ta nói bất đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a<b và cũng viết là "" dcba <⇒< dcba <⇒< Vd: ba < và cacb <⇒< (tính chất bắc cầu) Định lí: Nếu bất đẳng thức a<b là hệ quả của bất đẳng thức c<d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là dcba <⇔< Vd: R∈∀≥+− xxx ,012 2 ,12 2 −≥⇔ xx R∈∀x III. Tính chất của bất đẳng thức Ta dễ dàng chứng minh được hai bất đẳng thức sau đây là tương đương nhau: do đó để chứng minh a<b ta chỉ cần chứng minh a-b<0. 0<−⇔< baba Tổng quát Tổng quát: Khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được cho trong bảng sau: Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều Nâng hai vế của bất đẳng thức lên lũy thừa Khai căn hai vế một bất đẳng thức cbcaba +<+⇔< 0>c bcacba <⇔< 0<c bcacba >⇔< dbcadcba +<+⇒<< và 0,0 >> ca bdacdcba <⇔<< và * Nn ∈ 1212 ++ <⇔< nn baba 0 và * > ∈ a Nn nn baba 22 <⇔< 0>a nn baba 22 <⇔< 1212 ++ <⇔< nn baba Vd: )()(minh . Cho b) 6 và 2 171 sánh So a) abbbaaba −−>−< + Chứng Giải 917 317 4.6171721 )2.6()171( 2.6171 6 22 >⇔ >⇔ >++⇔ >+⇔ >+⇔ > + 2 171 a) Giả sử (Đúng) Vậy 6> + 2 171 [...]... mệnh đề dạng ≤ b hoặc ≥ b cũng được gọi là bất đẳng thức Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng ab là các bất đẳng thức ngặt Các tính chất đã nêu trong bảng cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt Chú ý: 2) Nếu A, B là những biểu thức chứa biến thì A>B là một mệnh đề chứa biến Chứng minh bất đẳng thức A>B (với điều kiện của biến), nghĩa là... điều kiện đã cho) Qui ước: Khi nói ta có bất đẳng thức A>B (A, B là những biểu thức chứa biến) mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến thuộc R 2 Vd: Chứng minh: x > 2( x − 1) Giải Ta có: x > 2( x − 1) 2 ⇔ x − 2x + 2 > 0 2 ⇔ ( x − 1) + 1 > 0 2 Điều này đúng với mọi Chứng minh xong  x ∈ℜ IV Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Từ định... với ba số không âm như sau: Định lí: ∀a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, ta có : a+b+c 3 ≥ abc 3 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c Áp dụng: CMR : a, b, c ≥ 0, thì : 1 1 1 ( a + b + c )( + + ) ≥ 9 a b c Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Biến đổi tương đương Sử dụng các bất đẳng thức đã biết (Cauchy, Bunhiacopxki, ) Dùng tam thức bậc hai Dùng qui nạp toán học Làm trội số hạng Sử dụng hình học vector Phối... đã được chứng minh  V Bất đẳng thức Trung bình cộng và Trung bình nhân: a) Đối với hai số không âm: a+b ab là Ta đã biết 2 là trung bình cộng của a và b, khi a,b không âm thì trung bình nhân của chúng Định lí: ∀a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a+b ≥ ab 2 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b Chứng minh: ∀a, b ≥ 0, ta có : a+b 1 1 2 − ab = (a + b − 2 ab ) = ( a − b ) ≥ 0 2 2 2 a+b Do đó : ≥ ab 2 Đẳng thức xảy ra ⇔ ( a − b... a, (a > 0) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối: a − b ≤ a + b ≤ a + b , ∀a, b ∈ ℜ Chứng minh: i) a + b ≤ a + b , ∀a, b ∈ ℜ ⇔ a + 2ab + b ≤ a + 2 ab + b 2 2 ⇔ ab ≤ ab 2 Điều này luôn đúng với mọi a,b∈ ℜ Vậy i) đã dược chứng minh 2 ii) a − b ≤ a + b Ta có: a + b + (−b) − b ≤ a + b + − b − b ⇔ a + b + (−b) − b ≤ a + b + b − b ⇔ a + b + (−b) − b ≤ a + b Hay: a − b ≤ a+b Từ i) và ii) bất đẳng thức về giá... hai Dùng qui nạp toán học Làm trội số hạng Sử dụng hình học vector Phối hợp nhiều phương pháp Một số phương pháp khác như dùng đạo hàm, tích phân, phương pháp hàm số… Ứng dụng bất đẳng thức để tìm min, max của các biểu thức Bài tập: A = x −1 + 4 − x 2 2 2 2) CMR: a + b + c ≥ ab + bc + ca, ∀a, b, c ∈ ℜ a4 b4 c4 3)CM: + + ≥ 3abc ( a, b, c > 0) b c a 2 2 4) CM: x + 5 y − 4 xy + 2 x − 6 y + 3 > 0 ∀x, . chứng minh bất đẳng thức đó đúng. II. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương Định lí: Nếu mệnh đề đúng thì ta nói bất đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a<b. gì?  Tính chất của bất đẳng thức  Một số bất đẳng thức thường gặp  Vận dụng một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức I- Ôn tập bất đẳng thức 1. Khái niệm bất đẳng thức: Trong các mệnh. hai vế của bất đẳng thức với một số Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều Nâng hai vế của bất đẳng thức lên lũy thừa Khai căn hai vế một bất đẳng thức cbcaba