Về kiến thức và kỹ năng : - Định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức - Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối - Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức như : biến đổi tương đương , p
Trang 1Giáo án Đại số 10 Tiết 40 – Chương trình nâng cao
Giáo viên : Mai Trọng Đạt – Trường THPT Hai Bà Trưng
Chương 4 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài1 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
A.Mục tiêu : Qua bài học học sinh cần nắm vững :
1 Về kiến thức và kỹ năng : - Định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
- Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức như : biến đổi tương đương , phản chứng , biến đổi hệ quả , sử dụng các bất đẳng thức
cơ bản Đặc biệt , học sinh vận dụng được các tính chất của bất đẳng thức ( thực chất là các phép biến đổi tương đương và phép biến đổi hệ quả ) , vận dụng được bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối để chứng minh được một số bất đẳng thức
2 Về tư duy : - So sánh , đối chứng , chọn lọc , thay đổi từ các tính chất của đẳng thức để có các tính chất của bất đẳng thức
của bất đẳng thức Phân biệt được đâu là phép biến đổi hệ quả , đâu là phép biến đổi tương đương
3 Về thái độ : Cẩn thận , chính xác , chặt chẻ , biến đổi có cơ sở Tạo cơ sở cho thực hiện các biến đổi bất phương trình sau này
Trang 2C Phương pháp : Phương pháp gợi mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển tư duy , đan xen các hoạt động nhóm
D Tiến trình bài học và các hoạt động
Hoạt động 1: Giới thiệu tổng quan nội dung chương 4 và tầm quan trọng của chương trong toàn bộ chương trình đại số 10 và chương
trình Toán THPT
Hoạt động 2 : Định nghĩa bất đẳng thức
TG Hoạt động của thầy giáo Hoạt động của học sinh Nội dung
- So sánh 2 số thực a và b , có
thể xảy ra những khả năng nào
? a > b ( a < b ; a ≥ b ; a ≤ b )
?
- Chứng minh một BĐT là
khẳng định BĐT thức đó là
một mệnh đề đúng
- Có 3 khả năng
- a > b a- b > 0
a < b a - b < 0
a ≥ b a - b ≥ 0
a ≤ b a - b ≤ 0
1.Ôn tập và bổ sung các tính chất của bất đẳng thức
- Cho 2 số thực a , b Các mệnh đề a > b ; a < b ; a ≥ b ; a
≤ b được gọi là những bất đẵng thức
Hoạt động 3: Ôn tập và bổ sung các tính chất của bất đẳng thức
Trang 3- Nêu các tính chất của bất đẳng
thức đã học
- Gợi ý : + Cho a > b và b >c
nhận xét gì về hai số a và c?
+ Biết a > b với một số c bất kì
so sánh a + c với b + c?
+Biến đổi tương đương bất đẳng
thức a > b + c ?
+ Cho hai bất đẳng thức cùng
chiều a > b và c > d , nhận xét
gì về a + c và b + d?
+ Cho bất đẳng thức a > b và
một số thực c 0 Nhận xét gì về
ac và bc?
Với a>b và b>c thì a > c
*a > b a + c > b + c
Thật vậy a > b a - b > 0
a + c - (b + c) > 0 a + c >
b + c
Điều ngược lại cũng đúng
a > b + c a - c > b
a > b và c > d a + c > b + d
a > b
c > 0 ac > bc
Tính chất 1
c b
b a
a > c
Tính chất 2 a > b a + c > b + c
Hệ quả a > b + c a - c > b(chuyển vế và đổi dấu)
Tính chất 3
d c
b a
a + c > b + d
Chứng minh
0
0
d c
b a d c
b a
a - b + c - d > 0
a + c > b + d
Trang 40
ac - bc > 0 ac > bc
Tính chất 4
a > b
0 ,
0 ,
c bc ac
c bc ac
Chứng minh
* c > 0 : a > b a - b > 0 c( a - b) > 0
ac - bc > 0 ac > bc
Chứng minh tương tự khi c < 0
Trang 5Giúp hs phát hiện ra t/chất 5:
Cho hai bất đẳng thức a > b > 0
và c > d > 0, nhận xét gì về ac và
bd?
Từ bđt 5 giúp hs thấy được
t/chất 6 và 7 Cho a > b > 0
Từ bất đẳng thức ở tính chất 5 ta
có điều gì?
So sánh a và b ? Chứng
minh?
+
0
c
b a
ac > bc
+
0
b
d c
bc > bd
ac > bd
áp dụng tchất 5 ta có: a2 > b2
giả sử a b , áp dụng t/c 6 ta
có a b (vô lý)
Vậy a b
Tính chất 5
0
0
d c
b a
ac > bd
Chứng minh
+
0
c
b a
ac > bc (1)
+
0
b
d c
bc > bd (2)
Từ (1) và (2) suy ra ac > bd
Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức
cùng chiều
Tính chất 6 a > b ≥ 0 an > bn , n N*
Tính chất 7 a > b ≥ 0 a b
Tính chất 8 a > b 3 a 3b
Trang 6Hoạt động 4 : áp dụng các tính chất của bất đẳng thức
1 Không dùng bảng số hoặc máy tính , hãy so sánh hai số : 2 3 và 3
2 Chứng minh rằng : x2 > 2( x - 1)
3 Chứng minh nếu a, b , c là ba cạnh của một tam giác thì : ( b + c - a)( c + a - b)( a + b - c) ≤ abc
1 Gợi ý: Chứng minh phản chứng - Vận dụng tính chất 6 1/ Giả sử 2 3 ≤ 3 , 6 ≤ 4 Vôlý
Trang 7hoặc biến đổi tương đương Vậy 2 3 > 3
2 Làm rõ phương pháp chứng minh
bđt bằng cách biến đổi tương đương
và gợi ý hs tiếp tục vận dụng
phương pháp đó để giải bài tập 2
- Giải tại chổ và trình bày cách giải bằng lời
2/ x2 > 2( x - 1) x2 - 2x + 1 ≥ 0
( x - 1)2 ≥ 0 ( Hiển nhiên )
3 Gợi ý phương pháp : Hãy xuất
phát từ những bất đẵng thức quen
thuộc trong tam giác và biến đổi để
suy ra đpcm
3/ Ta có các bất đẳng thức hiển nhiên sau
a2 ≥ a2 - ( b - c )2 = ( a-b+c) (a+b-c) ≥ 0
b2 ≥ b2 - (c - a )2 = ( b-c+a) (b+c-a) ≥ 0
c2 ≥ c2 - ( a - b )2 = ( c-a+b) (c+a-b) ≥ 0
áp dụng tính chất 5 ta có :
a2b2c2 ≥ (b+c-a)2 (c+a-b)2 (a+b-c) 2 Tiếp tục áp dụng tính chất 7 thu được đpcm
Hoạt động 5 : Tìm kiếm các bất đẳng thức liên quan giá trị tuyệt đối
Trang 8- Từ định nghĩa GTTĐ , ta có được
những bất đẳng thức nào ?
- HS suy nghĩ , phát biểu và bổ sung cho nhau
2 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối a/ Từ định nghĩa ta có :
a a;a IR
x a a xa Với a > 0
x > a x < -a hoặc x > a Với a > 0
-Hãy so sánh GTTĐ của tổng hai số
với hiệu và tổng GTTĐ của hai số
đó ? Liên hệ với kết quả tương tự ở
vectơ ?
- HS liên hệ với kết quả tương tự ở vectơ , từ các ví dụ cụ thể để dự đoán và chứng minh
b/ Ta có a b a b Thật vậy
a b a b a b 2 ( a b )2
a ab b a ab b
ab ab ( Hiển nhiên đúng )
áp dụng BĐT trên cho 2 số a+b và -b ta có :
a a b b ab b a b a b
Trang 9Tóm lại : a b a b a b
Hoạt động 6: Cũng cố kiến thức
- Các phép biếnđổi bất đẳng thức nào là phép biến đổi tương đương ? Nêu phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương ? Các phép biếnđổi bất đẳng thức nào là phép biến đổi không tương đương ? Cách sử dụng pbđ không tương đương để chứng minh BĐT ?