Một số thuật toán cần lưu ý: a.
Trang 1Chuyên đề: HÀM SỐ LIÊN TỤC
I- LÝ THUYẾT:
1 Hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng:
o Cho hàm số y f ( x ) xác định trên khoảng a;b Hàm số được gọi là liên tục tại điểm
( )
0 ;
x x f x f x
(Điểm x tại đó 0 y f ( x ) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số)
Hoặc: Hàm số y f ( x ) xác định trên khoảng (a;b), liên tục tại điểm x0a;b :
0 0
0
x x f x x x f x f x
o Hàm số y f ( x ) xác định trên khoảng a;b được gọi là liên tục trên khoảng a;b nếu
nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
o Hàm số y f ( x ) xác định trên khoảng a;b được gọi là liên tục trên đoạn a;b nếu:
( ) ( ) ( ) ( )
x a
x b
f x f b
liªn tôc trªn
lim
2 Một số định lý về hàm số liên tục:
o Định lý 1:
0
0
0 NÕu vµ liªn tôc t¹i th×: ; ;
còng liªn tôc t¹i
g x x
o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của
chúng
o Định lý 3: Nếu hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn a;b thì đạt GTLN, GTNN và mọi giá
trị trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó
· Hệ quả:
Nếu nếu hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn a;b và f ( a ) f ( b )0 thì tồn tại ít nhất một sè ca;b : f ( c ) 0
3 Một số thuật toán cần lưu ý:
a Xét (tìm điều kiện tham số) sự liên tục của hàm số tại điểm x : 0
Bước 1: Tính f x Tính (hoặc xác định sự tồn tại) giới hạn 0
0
x xlim f x
Bước 2: So sánh f x và 0
0
x x lim f x để đưa ra kết luận
0
0
x x
x x x x
x
lim
lim lim
Trang 2b Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b)
o Chứng tỏ hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn a;b
o Chứng tỏ f ( a ) f ( b )0 Khi đó f ( x )0có ít nhất một nghiệm thuộc a;b
· Muốn chứng minh : f ( x )0 có n nghiệm phân biệt thì ta tìm n khoảng rời nhau và
trên mỗi khoảng đó f ( x )0 đều có nghiệm
II- LUYỆN TẬP:
Bài tập 1: Xét sự liên tục của hàm số tại điểm x đã chỉ ra: 0
1) f(x) =
2 9
3 3
x
khi x x
khi x
tại x0 =3 2)
2 3
2
2
x
x
khi khi
tạix0 =2
3)
3
3
2
1 1
1
khi 4
khi 3
x x
f x
x
tại x0 = -1 4) 1 22 3 2
2
khi
1 khi
x
x
x
tại x0 =2
5)
33 2 2
2 2
2
khi 3
khi 4
x
x x
f x
x
tại x0 =2 6)
2
4
5 3
4
khi 3
khi 2
x
x x
f x
x
tại x0 =4
7) f x( ) 2x2 41 x 22
= í +î khi khi ³ tại x0 =2 8) f x( ) 3x4 2x2 1 x 11
-= í +î khi khi > - tại x0 = -1
f x
î
khi khi tại x0 =0 10) ( )
5
5
5
x
x x
f x
x
-= í
ïî
khi 3
khi 2
tại x0 =5
Bài tập 2: Tìm a để hàm số liên tục tại x đã chỉ ra: 0
x
x
khi khi
tại x0 =1 2) f(x) = 2
2 2
2 4
2
x
x x
î
khi khi
tại x0 =2
3) ( )
2 3 2
1 1
4 2
x x
f x
x
x x
î
khi
a khi 1
tại x0 =1 4)
33 2 2
2 2
1 4
khi khi 2
x
x x
f x
tạix0 =2
Bài tập 4: Tìm a để hàm số liên tục trên :
1) f x( ) 2x2 3 x 11
î
khi
f x
= í -î 1 khi khi >
3) ( )
2 4
2 2
2
x
x
ì
= í
î
khi khi
4)
3
ï
î
khi khi 1
4 khi
Trang 35)
2sin
2 ( ) sin
cos
p
p
-ï ïï
ï
ïî
khi
khi
khi
2
3 3
0 3
x
x x
2
Bài tập 5: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm thoả yêu cầu đề ra:
4 2
3
1 0
x x
cos x x
a) 4 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt trªn
b) 2 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn
c) sin cã nghiÖm
d) cã nghiÖm
e)
5 4
5 3
3
2
6
cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm trªn f) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn
g) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn
p p
-
MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC:
Bài tập 1: Giả sử hai hàm số y f x và 1
2
y f x đều liên tục trên 0 1; và
f ( ) f ( ) Chứng minh rằng phương trình 1 0
2
f ( x ) f x luôn có nghiệm trong đoạn 1
0
2
;
2
g( x ) f ( x ) f x liên tục trên 0 1;
Suy ra:
2
1
2
0 1
2
2
x g( ).g
x
Trang 4Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu: 2a3b6c0 thì phương trình: ax2bx c 0 có ít nhất một nghiệm trên 0 1;
Gợi ý:
Trường hợp1: a0 Ta có:
2
0
2
2
3
0
vµ
f ( ) f ycbt
Trường hợp 2: a0 Ta có: 0
bx c
* Nêu b0 th× c0 và do đó phương trình có vô số nghiệm suy ra phương trình có nghiệm trên 0 1;
* Nếu b0: 0 1 0 1
2
b
c
Bài tập 3: Cho hàm số y f ( x ) : f : 0 1; 0 1; và liên tục Chứng minh rằng tồn tại
0 1
c ; sao cho: f ( c )c
Gợi ý: Đặt hàm số g( x ) f ( x ) x liên tục trên 0 1;
0 1 0 1
Lu ý:
Ta có: g( )0 f ( )0 0; g( )1 f ( )1 1 0 do 0f ( x )1 , x 0 1;
Lúc đó: g( ).g( )0 1 0 , x 0;1
Bài tập 4: Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn ; Chứng minh rằng với mọi 1 1 a, b 0 cho trước, phương trình: 1 1
af ( ) bf ( )
f ( x )
a b luôn có nghiệm thuộc ; 1 1
af ( ) bf ( ) h( x ) f ( x )
a b liên tục trên ; 1 1
Ta có:
a f ( ) f ( )
af ( ) bf ( )
b f ( ) f ( )
af ( ) bf ( )
ab f ( ) f ( )
a b
Trang 5Bài tập 5: Cho phương trình: ax2bx c 0 ac0 Biết rằng 2a6b19c0 Chứng minh phương trình có nghiệm trên 0 1;
3
f ( ) f
Bài tập 6: Cho phương trình: ax3bx2cx c 0 ac0 Biết rằng 0
12a 9b 2c Chứng minh phương trình có nghiệm trên 0 1;
4
f ( ) f
Bài tập 7: Cho phương trình: ax2bx c 0 ac0 Biết rằng 0
2001a 2000b 1999c Chứng minh phương trình có nghiệm trên 0 1;
2001
f ( ) f
Bài tập 8: Cho phương trình: x4 x 2 0 (*) Chứng minh phương trình (*) có nghiệm
0 1 2
0 8
Gợi ý:
Xét dấu f ( ) f ( ) Chứng minh 1 2 7
0 8
2 2
DÊu b»ng x·y ra khi , vËy víi th× dÊu b»ng ë (2) kh«ng x·y ra
VËy ta cã: (3)
Tõ (1) vµ (3) suy ra:
7
C¸ch kh¸c: HoÆc cã thÓ chØ râ:
f ( ) f ( )
Bài tập 9: Cho phương trình: x6 x 1 0 (*) Chứng minh phương trình (*) có nghiệm
0 1 2
0 4
Bài tập 10: Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của tham
số m :
3
a) cosx m cos2 = b) x m( x ) ( x ) x
Gợi ý:
3
0
Suy ra:
1 2 1 0 Suy ra: f f
Trang 6Bài tập 11: Chứng minh cỏc phương trỡnh sau đõy luụn cú nghiệm với mọi giỏ trị của tham số :
3
a) b)
Bài tập 12: Chứng minh với mọi a, b, c cỏc phương trỡnh sau đõy luụn cú nghiệm:
0 0
a)
b)
a( x b )( x c ) b( x c )( x a ) c( x a )( x b )
ab( x a )( x b ) ac( x c )( x a ) bc( x b )( x c )
Gợi ý:
2
a) Đặt
Ta có liên tục trên R và:
f ( x ) a( x b )( x c ) b( x c )( x a ) c( x a )( x b )
f ( x )
f ( a ) a( a b )( a c )
f ( b ) b( b c )( b a )
f ( c ) c( c b )( c a )
f ( ) abc
f ( ) f ( a ) f ( b ) f ( c ) a
0
0
Tồn tại sao cho (đpcm)
b c ( a b ) ( b c ) ( c a )
f ( a ) f ( b ) f ( ) f ( c )
Bài tập 13:
a) Chứng minh rằng phương trỡnh: 3 2 1
100
x x cú ớt nhất một nghiệm dương
b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trỡnh: x3ax2bx c 0 cú ớt nhất một nghiệm
Gợi ý:
1000
100 1
100
x
x
x
f ( ) f M
f ( x )
a, b, c R
f ( x )
Ta có: và lim suy ra với số tuỳ ý thì
Lúc đó:
lim
lim
0
x
x
f ( A ) f ( B ) ycbt
Do lim nên tồn tại tuỳ ý sao cho:
Tương tự: lim nên tồn tại tuỳ ý sao cho:
Từ đó suy ra: