HÀM SỐ LIÊN TỤC (2 tiết) (Đại số Giải tích 11) Nguyễn Tử Phúc Tổ Tốn – Tin, THPT Hoa Lư A I KẾ HOẠCH CHUNG Phân phối Tiến trình dạy học thời gian Hoạt động khởi động Tiết Hoạt động hình thành kiến thức Tiết KT1: Hàm số liên tục điểm KT2: Hàm số liên tục khoảng KT3: Một số định lí Định lí KT4: Một số định lí Định lí KT5: Một số định lí Định lí Hoạt động luyện tập Hoạt động vận dụng, tìm tòi, mở rộng II KẾ HOẠCH DẠY HỌC Mục tiêu học a Kiến thức - Học sinh biết khái niệm hàm số liên tục điểm, khoảng, đoạn; tính liên tục hàm số thường gặp tập xác định chúng - Học sinh hiểu định lí giá trị trung gian hàm số liên tục ý nghĩa hình học định lí - Học sinh biết đặc trưng hình học hàm số liên tục khoảng b Về kĩ - Học sinh biết cách chứng minh hàm số liên tục điểm, khoảng, đoạn - Áp dụng định lí giá trị trung gian hàm số liên tục để chứng minh tồn nghiệm số phương trình đơn giản c Thái độ - Tích cực, chủ động hợp tác hoạt động nhóm - Say mê hứng thú học tập tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn d Các lực hướng tới hình thành phát triển học sinh - Năng lực hợp tác: Tở chức nhóm học sinh hợp tác thực hoạt động - Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức phương pháp giải tập tình - Năng lực giải vấn đề: Học sinh biết cách huy động kiến thức học để giải câu hỏi Biết cách giải tình học - Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả báo cáo trước tập thể, khả thuyết trình Nhiệm vụ giáo viên học sinh + Giáo viên - Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với nhiệm vụ học - Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề + Học sinh - Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng phiếu học tập Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận nhóm sau thảo luận thống - Mỗi cá nhân hiểu trình bày kết luận nhóm cách tự học nhờ bạn nhóm hướng dẫn - Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn bạn có nhu cầu học tập Phương pháp dạy học - Phương pháp dạy học nêu vấn đề dạy học hợp tác Phương tiện dạy học - Máy chiếu, sử dụng phần mềm dạy học để tăng tính trực quan cho giảng Tiến trình dạy học Trang 1/10 A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG * Mục tiêu: + Tạo ý cho học sinh để vào mới + Tạo tình để học sinh tiếp cận với khái niệm “liên tục” * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L1 Quan sát hình ảnh (máy chiếu) L2 Lớp chia thành nhóm (nhóm có đủ đối tượng học sinh, không chia theo lực học) tìm câu trả lời cho câu hỏi H1, H2, H3 Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ H1 Theo em ảnh xe chạy thơng suốt? Hình Hình Cầu quay sơng Hàn – Đà Nẵng Hình Hình Hố tử thần xuất thành phố thành phố Fukuoka – Nhật Bản H2 Cho hai đồ thị hàm số Đồ thị vẽ nét liền? Hình Hình Trang 2/10 H3 Em đưa thêm số ví dụ hàm số học có đồ thị đường liền nét TXĐ nó? Đồ thị đường khơng liền nét TXĐ nó? + Thực - Các nhóm thảo luận đưa phương án trả lời cho câu hỏi H1, H2, H3 Viết kết vào bảng phụ - Giáo viên quan sát, theo dõi nhóm Giải thích câu hỏi nhóm khơng hiểu nội dung câu hỏi, đặc biệt câu hỏi H3 + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho câu hỏi - HS quan sát phương án trả lời nhóm bạn - HS đặt câu hỏi cho nhóm bạn để hiểu câu trả lời - GV quan sát, lắng nghe, ghi chép + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời nhóm, ghi nhận tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt Động viên nhóm lại tích cực, cố gắng hoạt động học - Dự kiến câu trả lời: TL1 Hình Hình phương tiện đường chạy thơng suốt; Hình Hình “đường đứt đoạn” nên phương tiện đường khơng lưu thơng TL2 Đồ thị Hình đường không liền nét mà bị đứt quãng điểm có hồnh độ x0 ; đồ thị Hình đường liền nét TL3 Đồ thị hàm số y x; y x , y sin x, y cos x đường liền nét �; Đồ thị hàm số y tan x, y cot x có đồ thị khơng liền nét tập xác định - Tùy vào chất lượng câu trả lời HS, GV đặt vấn đề: Đồ thị hàm số đường liền nét ta nói hàm số liên tục, chưa biết đồ thị hàm số mà biết phương trình hàm số để xét tính liên tục hàm số ta làm nào? Đó nội dung học “Hàm số liên tục” * Sản phẩm: + Các phương án giải ba câu hỏi đặt ban đầu + Đưa dự đoán: Đồ thị hàm số liên tục đường “liền nét” B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC HTKT Hàm số liên tục điểm * Mục tiêu: - Học sinh biết khái niệm hàm số liên tục điểm - Áp dụng để xét tính liên tục số hàm số điểm cho trước * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L Chia lớp thành nhóm Nhóm 1, hồn thành Phiếu học tập số 1; Nhóm 3, hồn thành Phiếu học tập số Các nhóm nhận phiếu học tập viết câu trả lời vào bảng phụ PHIẾU HỌC TẬP SỐ Trang 3/10 Cho hàm số y f x x x có đồ thị hình vẽ f x a) Tính f lim x �2 b) So sánh kết nhận xét đồ thị hàm số điểm x0 PHIỂU HỌC TẬP SỐ �x x x �2 Cho hàm số y g x � x � có đồ thị hình vẽ a) Tính g , lim g x , lim g x x �2 x �2 b) So sánh giá trị nhận xét đồ thị hàm số điểm x0 + Thực - Các nhóm thảo luận đưa phương án trả lời cho câu hỏi phiếu học tập Viết kết vào bảng phụ - Giáo viên quan sát, theo dõi nhóm Giải thích câu hỏi nhóm không hiểu nội dung câu hỏi + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho câu hỏi - HS quan sát phương án trả lời nhóm bạn - HS đặt câu hỏi cho nhóm bạn để hiểu câu trả lời + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: - Trên sở câu trả lời học sinh, GV kết luận: Hàm số f x liên tục x hàm số g x gián đoạn x , từ xác hóa định nghĩa hàm số liên tục điểm Định nghĩa 1: Cho hàm số f x xác định khoảng K x0 �K Hàm số y f x gọi f x f x0 liên tục x0 xlim � x0 + Củng cố, luyện tập - Từ định nghĩa, nêu phương pháp xét tính liên tục hàm số y f x điểm x0 ? - Yêu cầu học sinh Nhóm 1, làm Ví dụ 1; Nhóm 3, làm Ví dụ Ví dụ 1: Xét tính liên tục hàm số f x x x0 2 �x x �1 Ví dụ 2: Xét tính liên tục hàm số f x � điểm x0 1 �x x 1 * Sản phẩm: - Lời giải phiếu học tập số 1, 2; lời giải Ví dụ 1, - Định nghĩa hàm số liên tục điểm HTKT Hàm số liên tục khoảng * Mục tiêu: Học sinh biết khái niệm hàm số liên tục khoảng, đoạn Từ xét tính liên tục hàm số thường gặp tập xác định chúng Trang 4/10 * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L1 Quan sát hình vẽ (máy chiếu) Hàm số y f x xác định khoảng a; b , Hàm số y g x xác định khoảng a; b , x0 � a; b , có đồ thị hình vẽ x0 � a; b , có đồ thị hình vẽ L2 Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm trả lời câu hỏi sau H1 Nêu nhận xét khác hai đồ thị hàm số y f x y g x khoảng a; b ? H2 Từ đồ thị trên, nhận xét tính liên tục hàm số y f x y g x điểm thuộc khoảng a; b H3 Với giả thiết cho toán, theo em hàm số y f x có liên tục điểm x a x b khơng? Tại sao? + Thực - Các nhóm thảo luận đưa phương án trả lời cho câu hỏi H1, H2, H3 Viết kết vào bảng phụ - Giáo viên quan sát, theo dõi nhóm Giải thích câu hỏi nhóm khơng hiểu nội dung câu hỏi + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho câu hỏi Đại diện nhóm trình bày - Dự kiến câu trả lời: TL1 Đồ thị hàm số y f x đường liền nét khoảng a; b ; đồ thị hàm số y g x đường không liền nét khoảng a; b , bị gián đoạn điểm có hồnh độ x0 TL2 Hàm số y f x liên tục điểm thuộc khoảng a; b ; Hàm số y g x bị gián đoạn điểm x0 TL3 Nếu theo định nghĩa tính liên tục hàm số điểm với giả thiết tốn hàm số y f x không liên tục x a x b chưa xác định f a , f b lim f x , lim f x x �b x �a + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: - Trên sở câu trả lời học sinh, GV kết luận tính liên tục hàm số khoảng, nửa khoảng, đoạn Định nghĩa 2: - Hàm số y f x gọi liên tục khoảng liên tục điểm khoảng - Hàm số y f x gọi liên tục đoạn a; b liên tục khoảng a; b lim f x f a , lim f x f b x �a x �b + Củng cố, luyện tập Trang 5/10 - Từ định nghĩa 2, nêu phương pháp xét tính liên tục hàm số khoảng a; b , khoảng a; b , đoạn a; b ? - Yêu cầu học sinh làm ví dụ Ví dụ 3: Xét tính liên tục hàm số y f x x khoảng 1; � Yêu cầu học sinh: + Tìm TXĐ f x với x0 � 1; � + Tính xlim �x f x , f 1 + Tính xlim �1 + Kết luận tính liên tục hàm số * Sản phẩm - Đáp án cho câu hỏi - Định nghĩa hàm số liên tục khoảng, đoạn HTKT Một số định lí Định lý * Mục tiêu: Học sinh biết tính liên tục số hàm số thường gặp (hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác) khoảng xác định * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L Học sinh nhận phiếu học tập Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm trả lời câu hỏi sau phiếu học tập PHIẾU HỌC TẬP SƠ 3 Xét tính liên tục hàm số f x x x tập xác định Yêu cầu học sinh: +Tìm TXĐ: D f x , f x0 +Với x0 thuộc D , tính xlim � x0 Xét tính liên tục hàm số g x x2 x 1 tập xác định Yêu cầu học sinh: +Tìm TXĐ: D f x , f x0 + Với x0 thuộc D , tính xlim � x0 +So sánh kết luận tính liên tục hàm số +So sánh kết luận tính liên tục hàm số H1.1 Dự đốn tính liên tục hàm đa H1.2 Dự đốn tính liên tục hàm phân thức thức hữu tỉ H2 Từ đồ thị hàm số lượng giác học y sin x, y cos x, y tan x, y cot x dự đoán tính liên tục hàm số khoảng tập xác định H3 Với cách làm Phiếu học tập số 3, chứng minh hàm số lượng giác liên tục khoảng tập xác định chúng + Thực - Các nhóm thảo luận đưa phương án trả lời cho câu hỏi - Các nhóm viết kết dự đốn nhóm lên bảng phụ + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho câu hỏi - Giáo viên nhận xét, kết luận phát biểu Định lý Định lí a) Hàm đa thức liên tục toàn tập số thực � b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương hai đa thức) hàm số lượng giác liên tục khoảng tập xác định chúng * Sản phẩm - Đáp án cho câu hỏi - Phát biểu định lí HTKT Một số định lí Định lý * Mục tiêu: Học sinh kết luận tính liên tục hàm số thơng tính liên tục biểu thức phương trình hàm số * Nội dung, phương thức tổ chức: Trang 6/10 + Chuyển giao: Cho hai hàm số y f ( x), y g x liên tục điểm x0 , lim � f x g x � �f x g x � �f x g x � H1 Tính xlim � �, xlim � � x0 � x � x0 � � x0 � H2 Nhận xét tính liên tục hàm số y f x g x , y f x g x , y f x g x điểm x0 f x có liên tục điểm x0 ? Có cần điều kiện khơng? g x + Thực - Các nhóm thảo luận đưa phương án trả lời cho câu hỏi - Các nhóm viết kết dự đốn nhóm lên bảng phụ + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho câu hỏi - Giáo viên nhận xét, kết luận khẳng định Định lý + Củng cố Ví dụ 4: Nhận xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 sin x f x sin x x 1; g x x 1 sin x; h x x 1 TL Hàm số y sin x liên tục điểm x0 , hàm số y k x x liên tục x0 H3 Hàm số y k �0 nên hàm f x , g x , h x liên tục x0 * Sản phẩm - Đáp án cho câu hỏi - Phát biểu định lí HTKT Một số định lí Định lý * Mục tiêu: - Học sinh hiểu trường hợp đặc biệt định lí giá trị trung gian hàm số liên tục thơng qua trực quan hình học - Áp dụng định lí để chứng minh tồn nghiệm số phương trình đơn giản * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L Học sinh nhận phiếu học tập Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm trả lời câu hỏi sau phiếu học tập PHIẾU HỌC TẬP SỐ Giả sử hàm số y f x liên tục đoạn a; b với f a f b trái dấu Hỏi đồ thị hàm số hàm số có cắt trục hồnh điểm thuộc khoảng a; b không? Bạn A: Đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành điểm nằm khoảng a; b Bạn B: Đồ thị hàm số y f x cắt trục hồnh điểm nằm khoảng a; b Bạn C: Đồ thị hàm số y f x khơng cắt trục hồnh khoảng a; b , chẳng hạn đường parabol hình bên Câu trả lời bạn đúng? Vì sao? + Thực - Các nhóm thảo luận đưa phương án trả lời cho câu hỏi Trang 7/10 - Các nhóm viết câu trả lời nhóm lên bảng phụ + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho câu hỏi - HS quan sát phương án trả lời nhóm bạn - HS đặt câu hỏi cho nhóm bạn để hiểu câu trả lời TL Bạn A trả lời sai Bạn B trả lời + Hàm số y f x liên tục Bạn C trả lời sai x y hàm x đoạn a; b � Đồ thị số biến đường liền nét đoạn a; b + Vì f a f b nên hai điểm A a; f a , B b; f b nằm khác phía so với Ox � Đường nối hai điểm A, B phải cắt trục hồnh điểm - Giáo viên nhận xét, kết luận khẳng định Định lý Định lý Nếu hàm số y f x liên tục đoạn a; b f a f b tồn điểm c � a; b cho f c Ghi chú: giá trị c nghiệm phương trình f x H1 Nếu thiếu giả thiết hàm số y f x liên tục a; b kết luận định lí có khơng? Tại sao? H2 Với giả thiết hàm số y f x liên tục a; b f a f b �0 kết luận định lí có khơng? Tại sao? TL1 TL2 Với giả thiết cho tồn điểm thuộc c � a; b cho f c + Củng cố Ví dụ 5: Chứng minh phương trình x x có nghiệm đoạn 0; 2 Yêu cầu học sinh: + Xét tính liên tục hàm số f x x x đoạn 0; 2 + Tính f f + Kết luận C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP * Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức rèn luyện cho học sinh kĩ xét tính liên tục hàm số điểm, khoảng ứng dụng chứng minh tồn nghiệm phương trình * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L1 HS nhận phiếu học tập gồm câu hỏi trắc nghiệm L2 Học sinh hoạt động cá nhân, trả lời câu hỏi trắc nghiệm Trang 8/10 PHIẾU HỌC TẬP SỐ �x x �1 � Câu Cho hàm số f x �x Mệnh đề dưới sai? � 2 x 1 � A Hàm số f x liên tục � B Hàm số f x liên tục khoảng �; 1 C Hàm số f x không liên tục � D Hàm số f x liên tục khoảng 1; � �x x x �1 Câu Cho hàm số f ( x) � Tìm m để hàm số liên tục điểm x0 1 x m x 1 � A m 12 B m C m 10 Câu Cho phương trình 4 x x 1 Mệnh đề dưới sai? D m 10 A Hàm số f x 4 x x liên tục �; B Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng �;1 ; C Phương trình (1) có nghiệm khoảng 2;0 ; � 1� D Phương trình (1) có nghiệm khoảng �3; � � 2� Câu Cho phương trình x 3x 1 Mệnh đề dưới đúng? A Phương trình 1 có hai nghiệm khoảng 2;0 B Phương trình 1 có nghiệm khoảng 1;0 C Phương trình 1 vơ nghiệm tập � D Phương trình 1 có nghiệm khoảng 1; + Thực - Học sinh làm việc cá nhân khoanh đáp án vào phiếu trả lời trắc nghiệm - Giáo viên theo dõi, đảm bảo tất học sinh tự giác làm việc + Báo cáo, thảo luận - GV đưa đáp án cho câu hỏi, nhóm thống kê số học sinh làm câu - GV yêu cầu học sinh trình bày cách làm cụ thể cho câu hỏi - GV nhận xét lựa chọn cách làm nhanh cho câu trắc nghiệm * Sản phẩm: Đáp án câu hỏi trắc nghiệm V HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TỊI, MỞ RỘNG * Bài tốn: Trong nhà máy X , dây chuyền sản xuất hoạt động qua hai công đoạn: Công đoạn 1: Thời gian sản xuất vận chuyển lô hàng từ A đến B cho phương trình f (t ) 2t với �t �2 Công đoạn 2: Thời gian sản xuất vận chuyển lô hàng từ B đến C cho phương trình f t t a với t a độ trễ thời gian công đoạn Xác định hệ số a cần cài vào máy công đoạn để dây chuyền sản xuất hoạt động liên tục � 2t �t �2 � TL Thời gian sản xuất dây chuyền cho phương trình f t � t a t � Trang 9/10 Để dây chuyền sản xuất hoạt động liên tục f t liên tục � � f t liên tục t * Một số ứng dụng hàm số liên tục - Tính chất hàm số liên tục sử dụng để tính giới hạn: Nếu f hàm số liên tục lim un a lim f un f a Ví dụ: Tính lim sin n2 n n - Sử dụng định lí giá trị trung gian nhiều lần khoanh vùng nghiệm phương trình số trường hợp, tìm số nghiệm phương trình Ví dụ: a) Chứng minh phương trình x x có ba nghiệm phân biệt b) Chứng minh phương trình x x x có nghiệm phân biệt - Tính chất hàm số liên tục đặc biệt hiệu tốn tìm điều kiện có nghiệm phương trình Nếu hàm số f x liên tục đoạn a; b có giá trị nhỏ lớn đoạn tương ứng M , M phương trình f x m có nghiệm x0 � a; b M �m �M Ví dụ: Tìm tất giá trị m cho phương trình x x m có nghiệm * Tìm hiểu thêm lịch sử toán học Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn đưa Cauchy Cauchy định nghĩa liên tục f sau: Một tăng vô nhỏ biến độc lập x luôn thay đổi tăng vô nhỏ f ( x ) Cauchy định nghĩa lượng vô nhỏ biến, định nghĩa ông ta gần với định nghĩa sử dụng ngày Định nghĩa thức phân biệt liên tục điểm liên tục đưa Bolzano vào năm 1830 điều khơng cơng bố đến năm 1930, Eduard Heine công bố lần định nghĩa liên tục năm 1872, dựa ý tưởng từ giảng Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854 Cauchy Eduard Heine Dirichlet - HẾT - Trang 10/10 ... dây chuyền sản xuất hoạt động qua hai công đoạn: Công đoạn 1: Thời gian sản xuất vận chuyển lô hàng từ A đến B cho phương trình f (t ) 2t với �t �2 Công đoạn 2: Thời gian sản xuất vận chuyển... vào máy công đoạn để dây chuyền sản xuất hoạt động liên tục � 2t �t �2 � TL Thời gian sản xuất dây chuyền cho phương trình f t � t a t � Trang 9/10 Để dây chuyền sản xuất hoạt động... b) So sánh kết nhận xét đồ thị hàm số điểm x0 PHIỂU HỌC TẬP SỐ �x x x �2 Cho hàm số y g x � x � có đồ thị hình vẽ a) Tính g , lim g x , lim g x x �2 x �2 b) So