CHU DE HAM SO LIEN TUC

Phân phối thời gian Tiến trình dạy học Tiết 1 Hoạt động khởi động Hoạt động hình thành kiến thức KT1: Hàm số liên tục tại một điểm KT2: Hàm số liên tục trên một khoảng Tiết 2 KT3: Một số

Trang 1

HÀM SỐ LIÊN TỤC (2 tiết) (Đại số và Giải tích 11)

Nguyễn Tử Phúc

Tổ Toán – Tin, THPT Hoa Lư A

I KẾ HOẠCH CHUNG.

Phân phối

thời gian Tiến trình dạy học

Tiết 1

Hoạt động khởi động Hoạt động hình thành kiến thức KT1: Hàm số liên tục tại một điểm

KT2: Hàm số liên tục trên một khoảng

Tiết 2

KT3: Một số định lí cơ bản Định lí 1 KT4: Một số định lí cơ bản Định lí 2 KT5: Một số định lí cơ bản Định lí 3 Hoạt động luyện tập

Hoạt động vận dụng, tìm tòi, mở rộng

II KẾ HOẠCH DẠY HỌC

1 Mục tiêu bài học

a Kiến thức

- Học sinh biết khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn; tính liên tục của hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng

- Học sinh hiểu được định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý nghĩa hình học của định lí này

- Học sinh biết được đặc trưng hình học của hàm số liên tục trên một khoảng

b Về kĩ năng

- Học sinh biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn

- Áp dụng định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một

số phương trình đơn giản

c Thái độ

- Tích cực, chủ động và hợp tác trong hoạt động nhóm

- Say mê hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn

d Các năng lực chính hướng tới sự hình thành và phát triển ở học sinh

- Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động

- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình

2 Nhiệm vụ của giáo viên và học sinh

+ Giáo viên

- Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học

- Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề

+ Học sinh

- Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng và phiếu học tập Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận của nhóm sau khi đã thảo luận và thống nhất

- Mỗi cá nhân hiểu và trình bày được kết luận của nhóm bằng cách tự học hoặc nhờ bạn trong nhóm hướng dẫn

- Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn có nhu cầu học tập

3 Phương pháp dạy học

- Phương pháp dạy học nêu vấn đề và dạy học hợp tác.

4 Phương tiện dạy học

- Máy chiếu, sử dụng các phần mềm dạy học để tăng tính trực quan cho bài giảng

5 Tiến trình dạy học

Trang 2

A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

* Mục tiêu:

+ Tạo sự chú ý cho học sinh để vào bài mới

+ Tạo tình huống để học sinh tiếp cận với khái niệm “liên tục”

* Nội dung, phương thức tổ chức:

+ Chuyển giao:

L1 Quan sát các hình ảnh (máy chiếu)

L2 Lớp chia thành các nhóm (nhóm có đủ các đối tượng học sinh, không chia theo lực học)

và tìm câu trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3 Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ

H1 Theo em ở bức ảnh nào xe có thể chạy thông suốt?

Cầu quay sông Hàn – Đà Nẵng

Hố tử thần xuất hiện ở thành phố thành phố Fukuoka – Nhật Bản H2 Cho hai đồ thị hàm số Đồ thị nào được vẽ bằng một nét liền?

Trang 3

H3 Em có thể đưa ra thêm một số ví dụ về những hàm số đã học có đồ thị là một đường liền

nét trên TXĐ của nó? Đồ thị là một đường không liền nét trên TXĐ của nó?

+ Thực hiện

- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3 Viết kết quả

vào bảng phụ

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội

dung các câu hỏi, đặc biệt câu hỏi H3.

+ Báo cáo, thảo luận

- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời

- GV quan sát, lắng nghe, ghi chép

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Dự kiến các câu trả lời:

TL1 Hình 2 và Hình 4 các phương tiện đường bộ có thể chạy thông suốt; ở Hình 1 và Hình

3 vì “đường đứt đoạn” nên các phương tiện đường bộ không lưu thông được

TL2 Đồ thị ở Hình 5 là đường không liền nét mà bị đứt quãng tại điểm có hoành độ x ; đồ0

thị ở Hình 6 là một đường liền nét.

TL3 Đồ thị hàm số y x y x ;  , 2 ysin ,x ycosx là một đường liền nét trên �; Đồ thị hàm số ytan ,x ycotx có đồ thị không liền nét trên tập xác định của nó.

- Tùy vào chất lượng câu trả lời của HS, GV có thể đặt vấn đề: Đồ thị của hàm số là đường liền nét thì ta nói hàm số đó liên tục, vậy nếu chưa biết đồ thị hàm số mà chỉ biết phương trình hàm

số thì để xét tính liên tục của hàm số ta làm như thế nào? Đó chính là nội dung bài học “Hàm số liên tục”.

* Sản phẩm:

+ Các phương án giải quyết được ba câu hỏi đặt ra ban đầu.

+ Đưa ra được dự đoán: Đồ thị của hàm số liên tục là một đường “liền nét”

B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1 HTKT 1 Hàm số liên tục tại một điểm

* Mục tiêu:

- Học sinh biết được khái niệm của hàm số liên tục tại một điểm

- Áp dụng để xét tính liên tục của một số hàm số tại một điểm cho trước

+ Chuyển giao:

L Chia lớp thành 4 nhóm Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 1; Nhóm 3, 4 hoàn thành

Phiếu học tập số 2 Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1

Trang 4

Cho hàm số y f x  x22x có đồ thị1

như hình vẽ

a) Tính f  2 và lim2  

�

b) So sánh các kết quả trên và nhận xét đồ thị

của hàm số tại điểm x0 2

PHIỂU HỌC TẬP SỐ 2

Cho hàm số   2 2 1 khi x 2

1 khi 2

y g x

x

�

có đồ thị như hình vẽ

a) Tính g 2 , lim2  , lim2  

x g x x g x

b) So sánh các giá trị trên và nhận xét đồ thị của

hàm số tại điểm x0  2

+ Thực hiện

- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập Viết kết quả vào bảng phụ

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận: Hàm số f x liên tục tại   x và hàm2

số g x gián đoạn tại   x , từ đó chính xác hóa định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm.2

Định nghĩa 1: Cho hàm số f x xác định trên khoảng K và   x0� Hàm số K y f x  được gọi

là liên tục tại x nếu 0    

lim

+ Củng cố, luyện tập

- Từ định nghĩa, hãy nêu phương pháp xét tính liên tục của hàm số y f x  tại điểm x0?

- Yêu cầu học sinh Nhóm 1, 2 làm Ví dụ 1; Nhóm 3, 4 làm Ví dụ 2

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số   3

1

f x   tại x x0   2

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số f x  x3 khi 1 khi x 11

� tại điểm x0   1

* Sản phẩm:

- Lời giải các phiếu học tập số 1, 2; lời giải các Ví dụ 1, 2

- Định nghĩa hàm số liên tục tại điểm

2 HTKT 2 Hàm số liên tục trên một khoảng

* Mục tiêu: Học sinh biết khái niệm hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn Từ đó xét

Trang 5

+ Chuyển giao:

L1 Quan sát hình vẽ (máy chiếu)

Hàm số y f x  xác định trên khoảng  a b ,;

 

x �a b , có đồ thị như hình vẽ

Hàm số y g x   xác định trên khoảng  a b ,;

 

x �a b , có đồ thị như hình vẽ

L2 Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời các câu hỏi sau.

H1 Nêu nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị hàm số y f x  và y g x   trên khoảng  a b ?;

H2 Từ đồ thị trên, nhận xét về tính liên tục của hàm số y f x  và y g x   tại một điểm bất kì thuộc khoảng  a b ;

H3 Với giả thiết đã cho của bài toán, theo em hàm số y f x  có liên tục tại điểm x a

và x b không? Tại sao?

+ Thực hiện

- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3 Viết kết quả

vào bảng phụ

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi

- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi Đại diện các nhóm trình bày

- Dự kiến câu trả lời:

TL1 Đồ thị hàm số y f x  là đường liền nét trên khoảng  a b ; đồ thị hàm số ; y g x  

là đường không liền nét trên khoảng  a b , bị gián đoạn tại điểm có hoành độ ; x 0

TL2 Hàm số y f x  liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng  a b ; Hàm số ; y g x   bị gián đoạn tại điểm x 0

TL3 Nếu theo định nghĩa về tính liên tục của hàm số tại điểm thì với giả thiết của bài toán

hàm số y f x  không liên tục tại x a  và x b vì chưa xác định được f a f b và   ,

 

lim

x a f x

x b f x

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận tính liên tục của hàm số trên khoảng, nửa khoảng, đoạn

Định nghĩa 2:

- Hàm số y f x  được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

- Hàm số y f x  được gọi là liên tục trên đoạn  a b nếu nó liên tục trên khoảng ;  a b và;

       

+ Củng cố, luyện tập

Trang 6

- Từ định nghĩa 2, hãy nêu phương pháp xét tính liên tục của hàm số trên khoảng  a b , nữa; khoảng a b , đoạn ;   a b ?;

- Yêu cầu học sinh làm ví dụ 3

Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số y f x   x trên nữa khoảng 1 1;� 

Yêu cầu học sinh:

+ Tìm TXĐ

+ Tính  

0

lim

x x f x

� với x0�1;� + Tính lim1  

x  f x

� , f  1 + Kết luận về tính liên tục của hàm số

* Sản phẩm

- Đáp án cho các câu hỏi.

- Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

3 HTKT 3 Một số định lí cơ bản Định lý 1

* Mục tiêu: Học sinh biết được tính liên tục của một số hàm số thường gặp (hàm đa thức, hàm

phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác) trên từng khoảng xác định của nó

+ Chuyển giao:

L Học sinh nhận phiếu học tập Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau trong phiếu học tập

PHIẾU HỌC TẬP SÔ 3

Xét tính liên tục của hàm số   3

1

f x    x x

trên tập xác định

Xét tính liên tục của hàm số g x  x2 11

x





 trên tập xác định

Yêu cầu học sinh:

+Tìm TXĐ: D

+Với x bất kỳ thuộc D , tính 0    

x x f x f x

�

+So sánh và kết luận tính liên tục của hàm số

H1.1 Dự đoán về tính liên tục của các hàm đa

thức bất kì

+Tìm TXĐ: D

+ Với x bất kỳ thuộc D , tính 0    

x x f x f x

�

+So sánh và kết luận tính liên tục của hàm số

H1.2 Dự đoán về tính liên tục của các hàm phân

thức hữu tỉ bất kì

H2 Từ đồ thị các hàm số lượng giác đã học ysin ,x ycos ,x ytan ,x ycotx hãy dự đoán về tính liên tục của các hàm số đó trên từng khoảng của tập xác định của nó

H3 Với cách làm như Phiếu học tập số 3, hãy chứng minh các hàm số lượng giác liên tục

trên từng khoảng của tập xác định của chúng

+ Thực hiện

- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi

- Các nhóm viết kết quả dự đoán của nhóm mình lên bảng phụ

- Giáo viên nhận xét, kết luận và phát biểu Định lý 1

Định lí 1

a) Hàm đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực �

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng

* Sản phẩm

- Phát biểu được định lí 1

* Mục tiêu: Học sinh có thể kết luận được tính liên tục của hàm số thông tính liên tục của từng biểu

thức trong phương trình hàm số

Trang 7

+ Chuyển giao:

Cho hai hàm số y f x y g x( ),    liên tục tại điểm x0

lim , lim , lim

H2 Nhận xét tính liên tục của các hàm số y f x  g x , y f x g x , y f x g x    tại điểm x 0

H3 Hàm số  

 

f x y

g x

 có liên tục tại điểm x0?Có cần điều kiện nào không?

+ Thực hiện

- Các nhóm viết kết quả dự đoán của nhóm mình lên bảng phụ

- Giáo viên nhận xét, kết luận và khẳng định bằng Định lý 2

+ Củng cố

Ví dụ 4: Nhận xét về tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x0 0

  sin 1; g   1 sin ;   sin

1

x



TL Hàm số ysinx liên tục tại điểm x0  , hàm số 0 y k x     liên tục tại x 1 x0  và0

 0 1 0

k  � nên các hàm f x g x h x liên tục tại      , , x 0

* Sản phẩm

- Phát biểu được định lí 2

* Mục tiêu:

- Học sinh hiểu được một trường hợp đặc biệt của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục thông qua trực quan hình học

- Áp dụng định lí 3 để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình đơn giản.

+ Chuyển giao:

L Học sinh nhận phiếu học tập Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau trong phiếu học tập

Giả sử hàm số y f x  liên tục trên đoạn  a b với ; f a và   f b trái dấu nhau Hỏi đồ thị hàm 

số của hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng  a b không? ;

Bạn A: Đồ thị của hàm số y f x  cắt trục hoành tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng  a b ;

Bạn B: Đồ thị của hàm số y f x  cắt trục hoành tại ít nhất một điểm nằm trong khoảng  a b ;

Bạn C: Đồ thị của hàm số y f x  có thể không cắt trục

hoành trong khoảng  a b , chẳng hạn như đường parabol ở;

hình bên

Câu trả lời bạn nào đúng? Vì sao?

+ Thực hiện

Trang 8

- Các nhóm viết câu trả lời của nhóm mình lên bảng phụ.

TL

Bạn A trả lời sai Bạn B trả lời đúng Bạn C trả lời sai

+ Hàm số y f x  liên tục trên đoạn  a b; � Đồ thị là đường liền nét trên đoạn  a b; + Vì f a f b     nên hai0 điểm A a f a ;   ,B b f b ;   

nằm khác phía so với Ox

� Đường nối hai điểm ,A B

phải cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm

2

x y không phải là một hàm

số biến x

- Giáo viên nhận xét, kết luận và khẳng định bằng Định lý 3

Định lý 3 Nếu hàm số y f x  liên tục trên đoạn  a b và ; f a f b     thì tồn tại ít nhất một0 điểm c� a b; sao cho f c   0

Ghi chú: giá trị c là một nghiệm của phương trình f x   0

H1 Nếu thiếu giả thiết hàm số y f x  liên tục trên  a b thì kết luận của định lí có còn đúng; không? Tại sao?

H2 Với giả thiết hàm số y f x  liên tục trên  a b và ; f a f b    �0 thì kết luận của định lí

có còn đúng không? Tại sao?

Với giả thiết đã cho thì tồn tại ít nhất một điểm thuộc c� a b; sao cho f c   0

+ Củng cố

Ví dụ 5: Chứng minh phương trình x3   có nghiệm trên đoạn x 1 0  0; 2

+ Xét tính liên tục của hàm số f x     trên đoạn x3 x 1  0; 2

+ Tính f    0 f 2

+ Kết luận

C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

* Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng xét tính liên tục của

hàm số tại một điểm, trên một khoảng và ứng dụng chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình

+ Chuyển giao:

L1 HS nhận phiếu học tập gồm các câu hỏi trắc nghiệm.

L2 Học sinh hoạt động cá nhân, trả lời các câu hỏi trắc nghiệm.

Trang 9

Câu 1 Cho hàm số  

2

1

1 1

x khi x

khi x

�

� 

�

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số f x liên tục trên �.  B Hàm số f x liên tục trên khoảng    �; 1.

C Hàm số f x không liên tục trên �.  D Hàm số f x liên tục trên khoảng   1;� 

Câu 2 Cho hàm số

( )

f x

x m khi x

� Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x0   1

A m B 12 m C 8 m  D 10 m 10

Câu 3 Cho phương trình 4x34x 1 0 1  Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số f x   4x34x liên tục trên ;1 �

B Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng � ;1 ;

C Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng 2;0 ;

D Phương trình (1) có ít nhất 2 nghiệm trên khoảng 3;1

2

Câu 4 Cho phương trình x5  3x 7 0 1  Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Phương trình  1 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng 2;0

B Phương trình  1 có nghiệm trong khoảng 1;0

C Phương trình  1 vô nghiệm trên tập �

D Phương trình  1 có nghiệm trong khoảng  1; 2

+ Thực hiện

- Học sinh làm việc cá nhân và khoanh đáp án vào phiếu trả lời trắc nghiệm

- Giáo viên theo dõi, đảm bảo tất cả học sinh đều tự giác làm việc

- GV đưa ra đáp án cho từng câu hỏi, các nhóm thống kê số học sinh làm đúng từng câu

- GV yêu cầu học sinh trình bày cách làm cụ thể cho từng câu hỏi

- GV nhận xét và lựa chọn cách làm nhanh nhất cho từng câu trắc nghiệm

* Sản phẩm: Đáp án các câu hỏi trắc nghiệm.

V HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI, MỞ RỘNG

* Bài toán: Trong một nhà máy X , dây chuyền sản xuất được hoạt động qua hai công đoạn:

Công đoạn 1: Thời gian sản xuất và vận chuyển lô hàng từ A đến B được cho bởi phương trình

2

( ) 2

f t  t với 0� �t 2

Công đoạn 2: Thời gian sản xuất và vận chuyển lô hàng từ B đến C được cho bởi phương trình

  2

f t    với t a t  và a là độ trễ thời gian của công đoạn 2 2

Xác định hệ số a cần cài vào máy ở công đoạn 2 để dây chuyền sản xuất hoạt động liên tục.

TL Thời gian sản xuất của dây chuyền được cho bởi phương trình   22

2

f t

t a khi t

�

 �

�

Trang 10

Để dây chuyền sản xuất hoạt động liên tục thì f t liên tục trên � �  f t liên tục tại   t 2

* Một số ứng dụng của hàm số liên tục

- Tính chất của hàm số liên tục có thể sử dụng để tính giới hạn:

Nếu f là một hàm số liên tục và lim u n  thì a lim f u n  f a  .

lim sin n   n n

- Sử dụng định lí giá trị trung gian nhiều lần có thể khoanh vùng các nghiệm của một phương trình

và trong một số trường hợp, tìm ra số nghiệm của phương trình đó

Ví dụ:

a) Chứng minh rằng phương trình x3   có đúng ba nghiệm phân biệt.3x 1 0

b) Chứng minh phương trình x55x34x 1 0 có 5 nghiệm phân biệt

- Tính chất của hàm số liên tục đặc biệt hiệu quả trong các bài toán tìm điều kiện có nghiệm của một phương trình

Nếu hàm số f x liên tục trên đoạn    a b và có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn này;

tương ứng là M M thì phương trình 1, 2 f x   có nghiệm m x0� a b; khi và chỉ khi M1� �m M2

.

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị m sao cho phương trình x 1x2  có nghiệm.m

* Tìm hiểu thêm về lịch sử toán học

Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Cauchy Cauchy định

nghĩa liên tục của f như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập x luôn luôn là một sự thay

đổi tăng vô cùng nhỏ của ( )f x Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa

của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930, Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854

HẾT

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	3,88 MB