Kế hoạch bài học Đại số và Giải tích 11 - Chủ đề: Hàm số liên tục với mục tiêu giúp học sinh nhận biết được hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn khi biết đồ thị của hàm số đã cho; biết cách xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn... Mời các bạn cùng tham khảo.
KẾ HOẠCH BÀI HỌC Chủ đề: HÀM SỐ LIÊN TỤC (2 tiết) (Đại số và Giải tích 11) A. Mục tiêu bài học 1. Năng lực cụ thể gắn với bài học: Học sinh nhận biết được hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn khi biết đồ thị của hàm số đã cho Học sinh biết cách xét tính liện tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn Học sinh biết áp dụng định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình đơn giản 2. Năng lực đặc thù: Giao tiếp tốn học, sử dụng cơng cụ và phương tiện tốn học, tư duy và lập luận, giải quyết vấn đề. 3. Năng lực phẩm chất: Tích cực, chủ động và hợp tác trong hoạt động nhóm Say mê hứng thú trong học tập và tìm tịi nghiên cứu liên hệ thực tiễn B. Chuẩn bị: + Giáo viên Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học. Máy chiếu, sử dụng các phần mềm dạy học + Học sinh Chuẩn bị các nội dung liên quan đến bài học theo sự hướng dẫn của giáo viên như chuẩn bị tài liệu, bảng phụ, các kiến thức liên quan. Ơn lại các kiến thức cua gi ̉ ới hạn hàm số C. Tiến trình dạy học: HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG * Mục tiêu: + Tạo sự chú ý cho học sinh để vào bài mới + Tạo tình huống để học sinh tiếp cận với khái niệm “liên tục” * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L1. Quan sát các hình ảnh (máy chiếu) L2. Lớp chia thành các nhóm (nhóm có đủ các đối tượng học sinh, khơng chia theo lực học) và tìm câu trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ H1. Theo em ở bức ảnh nào xe có thể chạy thơng suốt? Trang 1/10 Hình 1 Hình 2 Cầu quay sơng Hàn – Đà Nẵng H2. Cho hai đồ thị hàm số. Đồ thị nào được vẽ bằng một nét liền? Hình 3 Hình 4 H3. Em có thể đưa ra thêm một số ví dụ về những hàm số đã học có đồ thị là một đường liền nét trên TXĐ của nó? Đồ thị là một đường khơng liền nét trên TXĐ của nó? + Thực hiện Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Viết kết quả vào bảng phụ Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm khơng hiểu nội dung các câu hỏi, đặc biệt câu hỏi H3 + Báo cáo, thảo luận Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn. HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời GV quan sát, lắng nghe, ghi chép + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tun dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm cịn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo. Dự kiến các câu trả lời: TL1. Hình 2 các phương tiện đường bộ có thể chạy thơng suốt; ở Hình 1 vì “đường đứt đoạn” nên các phương tiện đường bộ khơng lưu thơng được TL2. Đồ thị ở Hình 3 là đường khơng liền nét mà bị đứt qng tại điểm có hồnh độ x0 ; đồ thị ở Hình 4 là một đường liền nét TL3. Đồ thị hàm số y = x; y = x , y = sin x, y = cos x là một đường liền nét trên ﾡ ( liên tục trên ﾡ ); Đồ thị hàm số y = tan x, y = cot x có đồ thị khơng liền nét trên tập xác định của nó ( khơng liên tục trên ﾡ ) Trang 2/10 Tùy vào chất lượng câu trả lời của HS, GV có thể đặt vấn đề: Đồ thị của hàm số là đường liền nét thì ta nói hàm số đó liên tục, vậy nếu chưa biết đồ thị hàm số mà chỉ biết phương trình hàm số thì để xét tính liên tục của hàm số ta làm như thế nào? Đó chính là nội dung bài học “Hàm số liên tục” * Sản phẩm: + Cac ph ́ ương an giai qut đ ́ ̉ ́ ược ba câu hỏi đặt ra ban đầu + Đưa ra được dự đốn: Đồ thị của hàm số liên tục là một đường “liền nét” HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 1. HTKT 1. Hàm số liên tục tại một điểm * Mục tiêu: Học sinh biết được khái niệm của hàm số liên tục tại một điểm Áp dụng để xét tính liên tục của một số hàm số tại một điểm cho trước * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L. Chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2 hồn thành Phiếu học tập số 1; Nhóm 3, 4 hồn thành Phiếu học tập số 2. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 Cho hàm số y = f ( x ) = x − x − có đồ thị như hình vẽ a) Tính f ( ) và lim f ( x ) x y b) So sánh các kết quả trên và nhận xét đồ thị của hàm số tại điểm x0 = O x 1 PHIỂU HỌC TẬP SỐ 2 Trang 3/10 x − x − 1 khi x Cho hàm số y = g ( x ) = 1 khi x > có đồ thị như hình vẽ a) Tính g ( ) , lim+ g ( x ) , lim− g ( x ) x x y O b) So sánh các giá trị trên và nhận xét đồ thị của hàm số tại điểm x0 = x 1 + Thực hiện Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập. Viết kết quả vào bảng phụ Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm khơng hiểu nội dung các câu hỏi. + Báo cáo, thảo luận Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn. HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận: Hàm số f ( x ) liên tục tại x = và hàm số g ( x ) gián đoạn tại x = , từ đó chính xác hóa định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa 1: Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng K và x0 gọi là liên tục tại x0 nếu xlimx0 f ( x ) = f ( x0 ) K Hàm số y = f ( x ) được + Củng cố, luyện tập Từ định nghĩa, hãy nêu phương pháp xét tính liên tục của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 ? u cầu học sinh Nhóm 1, 2 làm Ví dụ 1; Nhóm 3, 4 làm Ví dụ 2 Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = x + tại x0 = −2 Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = x khi x −1 tại điểm x0 = −1 x + 1 khi x > −1 * Sản phẩm: Lời giải các phiếu học tập số 1, 2; lời giải các Ví dụ 1, 2 Định nghĩa hàm số liên tục tại điểm 2. HTKT 2. Hàm số liên tục trên một khoảng * Mục tiêu: Học sinh biết khái niệm hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn. Từ đó xét tính liên tục của hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L1. Quan sát hình vẽ (máy chiếu) Hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a; b ) , Hàm số y = g ( x ) xác định trên khoảng ( a; b ) , x0 ( a; b ) , có đồ thị như hình vẽ x0 ( a; b ) , có đồ thị như hình vẽ Trang 4/10 L2. u cầu học sinh thảo luận theo nhóm hai học sinh và trả lời các câu hỏi sau H1. Nêu nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) trên khoảng ( a; b ) ? H2. Từ đồ thị trên, nhận xét về tính liên tục của hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) tại một điểm bất kì thuộc khoảng ( a; b ) H3 Với giả thiết đã cho của bài toán, theo em hàm số y = f ( x ) có liên tục tại điểm x = a và x = b khơng? Tại sao? + Thực hiện Gv gọi học sinh trả lời cho các câu hỏi H1, H2. TL1. Đồ thị hàm số y = f ( x ) đường liền nét khoảng ( a; b ) ; đồ thị hàm số y = g ( x ) là đường không liền nét trên khoảng ( a; b ) , bị gián đoạn tại điểm có hồnh độ x0 TL2. Hàm số y = f ( x ) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ( a; b ) ; Hàm số y = g ( x ) bị gián đoạn tại điểm x0 Giáo viên nhận xét và kết luận tính lien tục của hàm số trên khoảng ( a; b ) Gv gọi học sinh trả lời cho các câu hỏi H3 TL3. Nếu theo định nghĩa về tính liên tục của hàm số tại điểm thì với giả thiết của bài toán hàm số y = f ( x ) khơng liên tục tại x = a và x = b vì chưa xác định được f ( a ) , f ( b ) và lim− f ( x ) , lim+ f ( x ) a x b x + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận tính liên tục của hàm số nửa khoảng, đoạn Định nghĩa 2: Hàm số y = f ( x ) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó Hàm số y = f ( x ) được gọi là liên tục trên đoạn [ a; b ] nếu nó liên tục trên khoảng ( a; b ) và lim+ f ( x ) = f ( a ) , lim− f ( x ) = f ( b ) a x b x + Củng cố, luyện tập Từ định nghĩa 2, hãy nêu phương pháp xét tính liên tục của hàm số trên khoảng ( a; b ) , nữa khoảng [ a; b ) , đoạn [ a; b ] ? Yêu cầu học sinh làm ví dụ 3 Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số y = f ( x ) = x − trên nữa khoảng [ 1; + ) u cầu học sinh: + Tìm TXĐ + Tính xlimx0 f ( x ) với x0 �( 1; +�) Trang 5/10 f ( x ) , f ( 1) + Tính xlim 1+ + Kết luận về tính liên tục của hàm số * Sản phẩm Đáp án cho các câu hỏi Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn 3. HTKT 3. Một số định lí cơ bản. Định lý 1 * Mục tiêu: Học sinh biết được tính liên tục của một số hàm số thường gặp (hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác) trên từng khoảng xác định của nó. * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L. Học sinh nhận phiếu học tập. u cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau trong phiếu học tập PHIẾU HỌC TẬP SƠ 3 x2 + Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = x − x + Xét tính liên tục của hàm số g ( x ) = x −1 trên tập xác định trên tập xác định Yêu cầu học sinh: Yêu cầu học sinh: +Tìm TXĐ: D +Tìm TXĐ: D +Với x0 bất kỳ thuộc D , tính + Với x0 bất kỳ thuộc D , tính lim f ( x ) , f ( x0 ) x0 lim f ( x ) , f ( x0 ) x0 x x +So sánh và kết luận tính liên tục của hàm số +So sánh và kết luận tính liên tục của hàm số H1.1 Dự đốn về tính liên tục của các hàm đa H1.2 Dự đốn tính liên tục hàm thức bất kì phân thức hữu tỉ bất kì H2. Từ đồ thị các hàm số lượng giác đã học y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x hãy dự đốn về tính liên tục của các hàm số đó trên từng khoảng của tập xác định của nó H3. Với cách làm như Phiếu học tập số 3, hãy chứng minh các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng + Thực hiện Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi Các nhóm viết kết quả dự đốn của nhóm mình lên bảng phụ + Báo cáo, thảo luận Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi Giáo viên nhận xét, kết luận và phát biểu Định lý 1 Định lí 1. a) Hàm đa thức liên tục trên tồn bộ tập số thực ﾡ b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng * Sản phẩm Đáp án cho các câu hỏi Phát biểu được định lí 1 4. HTKT 4. Một số định lí cơ bản. Định lý 2 * Mục tiêu: Học sinh có thể kết luận được tính liên tục của hàm số thơng tính liên tục của từng biểu thức trong phương trình hàm số * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: Cho hai hàm số y = f ( x), y = g ( x ) liên tục tại điểm x0 , lim � f ( x) − g ( x) � H1. Tính xlimx � �f ( x ) + g ( x ) � � � , xlimx � �f ( x ) g ( x ) � � x x � 0 Trang 6/10 H2. Nhận xét tính liên tục của các hàm số y = f ( x ) + g ( x ) , y = f ( x ) − g ( x ) , y = f ( x ) g ( x ) tại điểm x0 f ( x) có liên tục tại điểm x0 ? Có cần điều kiện nào khơng? g ( x) + Thực hiện Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi Các nhóm viết kết quả dự đốn của nhóm mình lên bảng phụ + Báo cáo, thảo luận Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi Giáo viên nhận xét, kết luận và khẳng định bằng Định lý 2 + Củng cố Ví dụ 4: Nhận xét về tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x0 = sin x f ( x ) = sin x + x + 1; g ( x ) = ( x + 1) sin x; h ( x ) = x +1 TL. Hàm số y = sin x liên tục tại điểm x0 = , hàm số y = k ( x ) = x + liên tục tại x0 = và H3. Hàm số y = k ( ) = nên các hàm f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) liên tục tại x0 * Sản phẩm Đáp án cho các câu hỏi Phát biểu được định lí 2 5. HTKT 5. Một số định lí cơ bản. Định lý 3 * Mục tiêu: Học sinh hiểu được một trường hợp đặc biệt của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục thơng qua trực quan hình học Áp dụng định lí 3 để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình đơn giản * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] với f ( a ) và f ( b ) trái dấu nhau. Hỏi đồ thị hàm số của hàm số có cắt trục hồnh tại điểm thuộc khoảng ( a; b ) khơng? (GV sử dụng máy chiếu) GV u cầu học sinh thảo luận theo cặp và trả lời câu hỏi trên y y f(b) a f(a) b a 0 0 f(a) f(b) x x b Hình 2 Hình 1 TL Bạn A: Đồ thị của hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng ( a; b ) Trang 7/10 Bạn B: Đồ thị của hàm số y = f ( x ) cắt trục hồnh tại ít nhất một điểm nằm trong khoảng ( a; b ) + Thực hiện Học sinh thảo luận theo cặp và đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi Giáo viên nhận xét, kết luận và khẳng định bằng Định lý 3 Bạn A trả lời sai Bạn B trả lời đúng + Hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] Hình 2 Đồ thị là đường liền nét trên đoạn [ a; b ] + Vì f ( a ) f ( b ) < nên hai điểm A ( a; f ( a ) ) , B ( b; f ( b ) ) nằm khác phía so với Ox Đường nối hai điểm A, B phải cắt trục hồnh tại ít nhất 1 điểm Định lý 3. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] và f ( a ) f ( b ) < thì tồn tại ít nhất một điểm c ( a; b ) sao cho f ( c ) = Ghi chú: giá trị c là một nghiệm của phương trình f ( x ) = H1. Nếu thiếu giả thiết hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] thì kết luận của định lí có cịn đúng khơng? Tại sao? H2. Với giả thiết hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và f ( a ) f ( b ) thì kết luận của định lí có cịn đúng khơng? Tại sao? TL1 TL2 Với giả thiết cho tồn tại nhất điểm thuộc c [ a; b ] sao cho f ( c ) = + Củng cố Ví dụ 5: Chứng minh phương trình x − x − = có nghiệm trên đoạn [ 0; 2] Yêu cầu học sinh: + Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = x − x − trên đoạn [ 0; 2] + Tính f ( ) f ( ) + Kết luận HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP * Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng và ứng dụng chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình * Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: L1. HS nhận phiếu học tập gồm các câu hỏi trắc nghiệm L2. Học sinh hoạt động cá nhân, trả lời các câu hỏi trắc nghiệm Trang 8/10 PHIẾU HỌC TẬP SỐ 5 x −1 x −1 Câu 1. Cho hàm số f ( x ) = x + Mệnh đề nào dưới đây sai? −2 x = −1 A. Hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ B. Hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( − ; −1) C. Hàm số f ( x ) không liên tục trên ﾡ D. Hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( 1; + Câu 2. Cho hàm số f ( x) = ) x + x + x −1 Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x0 = −1 x + m − x = −1 A. m = 12 B. m = C. m = −10 D. m = 10 Câu 3. Cho phương trình −4 x + x − = ( 1) Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số f ( x ) = −4 x + x − liên tục trên ﾡ ; B. Phương trình (1) khơng có nghiệm trên khoảng ( − ;1) ; C. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng ( −2;0 ) ; � 1� D. Phương trình (1) có ít nhất 2 nghiệm trên khoảng �−3; � � 2� Câu 4. Cho phương trình x − x − = ( 1) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Phương trình ( 1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng ( −2;0 ) B. Phương trình ( 1) có nghiệm trong khoảng ( −1;0 ) C. Phương trình ( 1) vơ nghiệm trên tập ﾡ D. Phương trình ( 1) có nghiệm trong khoảng ( 1; ) + Thực hiện Học sinh làm việc cá nhân và khoanh đáp án vào phiếu trả lời trắc nghiệm Giáo viên theo dõi, đảm bảo tất cả học sinh đều tự giác làm việc + Báo cáo, thảo luận GV đưa ra đáp án cho từng câu hỏi, các nhóm thống kê số học sinh làm đúng từng câu GV u cầu học sinh trình bày cách làm cụ thể cho từng câu hỏi GV nhận xét và lựa chọn cách làm nhanh nhất cho từng câu trắc nghiệm * Sản phẩm: Đáp án các câu hỏi trắc nghiệm V. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TỊI, MỞ RỘNG * Bài tốn: Trong một nhà máy X , dây chuyền sản xuất được hoạt động qua hai cơng đoạn: Cơng đoạn 1: Thời gian sản xuất và vận chuyển lơ hàng từ A đến B được cho bởi phương trình f (t ) = 2t với t Công đoạn 2: Thời gian sản xuất và vận chuyển lơ hàng từ B đến C được cho bởi phương trình f ( t ) = −t + a với t > và a là độ trễ thời gian của cơng đoạn 2. Xác định hệ số a cần cài vào máy ở cơng đoạn 2 để dây chuyền sản xuất hoạt động liên tục Trang 9/10 TL. Thời gian sản xuất của dây chuyền được cho bởi phương trình f ( t ) = Để dây chuyền sản xuất hoạt động liên tục thì f ( t ) liên tục trên ﾡ 2t t −t + a t > 2 f ( t ) liên tục tại t = HẾT Trang 10/10 ... +So sánh? ?và? ?kết luận tính? ?liên? ?tục? ?của? ?hàm? ?số +So sánh? ?và? ?kết luận tính? ?liên? ?tục? ?của? ?hàm? ?số H1.1 Dự đốn về tính? ?liên? ?tục? ?của các? ?hàm? ?đa H1.2 Dự đốn tính liên tục hàm? ? thức bất kì... Lời? ?giải? ?các phiếu? ?học? ?tập? ?số? ?1, 2; lời? ?giải? ?các Ví dụ 1, 2 Định nghĩa? ?hàm? ?số? ?liên? ?tục? ?tại điểm 2. HTKT 2.? ?Hàm? ?số? ?liên? ?tục? ?trên một khoảng * Mục tiêu: ? ?Học? ?sinh biết khái niệm? ?hàm? ?số? ?liên? ?tục? ?trên một khoảng, trên một đoạn. Từ đó xét... Mệnh đề nào dưới đây sai? −2 x = −1 A.? ?Hàm? ?số? ? f ( x ) ? ?liên? ?tục? ?trên ﾡ B.? ?Hàm? ?số? ? f ( x ) ? ?liên? ?tục? ?trên khoảng ( − ; −1) C.? ?Hàm? ?số? ? f ( x ) không? ?liên? ?tục? ?trên ﾡ D.? ?Hàm? ?số? ? f ( x ) ? ?liên? ?tục? ?trên khoảng