Ham so lien tuc (Boi duong)

Hàm số liên tục I/ Kiến thức cơ bản: 1/ Hàm số liên tục tại một điểm: Giả sử hàm số f xác định trên (a,b) và 0 x (a,b).Hàm số f đợc gọi là liên gọi là liên tục tại điểm x 0 nếu: o 0 x x lim f(x) f(x ) = Hàm số không liên tục tại x 0 đợc gọi là gián đoạn tại x 0 2/Hàm số liên tục trên một khoảng,một đoạn. +/ Hàm số f xác định trên (a,b) gọi là liên tục trên (a,b),nếu nó liên tục tại mọi điểm trên (a,b). +/ Hàm số f xác định trên [ ] a,b gọi là liên tục trên [ ] a,b ,nếu nó liên tục trên (a,b) và x a lim f(x) f(a) + = , x b lim f(x) f(b) = 3/ Tính chất +/ Định lý về giá trị trung gian của hàm số liên. Giả sử hàm số f liên tục trên [ ] a,b .Nếu f(a) f(b),thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b),tồn tại ít nhất một điểm c (a,b) sao cho f(c) = M +/ Hệ quả : Nếu hàm số f liên tục trên [ ] a,b và f(a)f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất c (a,b) sao cho f(c) = 0 L u ý :Một số kết quả quan trọng +/ Tổng,hiệu , tích , thơng của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó.(Trong trờng hợp thơng,giá trị của mẫu tại điểm phải khác 0) +/ Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ(thơng của 2 đa thức) liên tục trên TXĐ của chúng +/ Các hàm số y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx liên tục trên TXĐ của chúng II/Kỹ năng cơ bản +/ Chứng minh hàm số liên tục tại một điểm,trên một khoảng,trên một đoạn,nửa khoảng. +/ Vận dụng định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phơng trình III/Một số ví dụ A. Ví dụ 1.Xét tính liên tục của hàm số 2 2 x 4 khi x 2 f(x) = x 2x 2 khi x 2 = Tại điểm x=2. Giải: +/ TXĐ : Ă ,chứa điểm x = 2 +/ ( ) ( ) ( ) 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 2 limf(x) lim lim lim 2 x x 2 x x 2x + + = = = = +/ Mà f(2) = 2 Suy ra,hàm số liên tục tại điểm x = 2 Ví dụ 2.Xét xem các hàm số sau có liên tục trên Ă hay không ? 1/ f(x)= 3 2 x 2x 3x 1 + + 2/ f(x) = 2 2x 1 x 3x 2 + + 3/ f(x) = 2 2 x 5x 6 x 2x + 4/ f(x) = 2 x 16 nếu x 4 x 4 8 nếu x=4 Gii 1/ Hàm số có TXĐ là :R nên nó liên tục trên R,vì đây là hàm đa thức. 2/ Hàm số có TXĐ là : { } \ 1,2Ă +/Vậy hàm số liên tục +/Điểm x=1,x=2 là điểm gián đoạn của hàm số 3/ Hàm số có TXĐ là :R\ { } 0,2 +/Vậy hàm số liên tục trên R\ { } 0,2 +/Điểm x=0,x=2 là điểm gián đoạn của hàm số. 4/ TXĐ của hàm số là : Ă + ( ) ( ) ( ) 2 x 4 x 4 x 4 x 4 x 16 x 4 x 4 limf(x) lim lim lim x 4 8 x 4 x 4 + = = = + = +/f(4) = 8 Suy ra, hàm số liên tục tại x=4 +/Mặt khác,với 2 x 16 x 4,f(x) x 4 = là hàm số liên tục (vì đây là hàm số phân thức hữu tỷ,xác định tại mọi x 4 ) +/Vậy hàm số liên tục trên R Ví dụ 3.Cho các hàm số f(x) cha xác định tại x=0 1/ 2 x 2x f(x) x = 2/ 2 2 x 2x f(x) x + = Có thể cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) trở thành liên tục tại x = 0 Giải 1/ Đặt 2 x 2x khi x 0 f(x) x a khi x 0 = = Ta tìm a để hàm số liên tục tại x=0 +/TXĐ của hàm số :R,chứa x=o +/f(0) = a +/ ( ) 2 x 0 x 0 x 0 x 2x limf(x) lim lim x 2 2 x = = = Vậy để hàm số liên tục tại x=0 ta phải có a= 2 2/ Đặt 2 2 x 2x khi x 0 f(x) x a khi x 0 + = = Ta tìm a để hàm số liên tục tại x=0 +/TXĐ củahàm sô : Ă ,chứa x=0 +/f(0)=a +/ 2 2 x 0 x 0 x 0 x 2x x 2 limf(x) lim lim x x + + = = Ta có : x 0 x 0 x 2 lim x x 2 lim x + + = + + = Do đó không tồn tại x 0 limf(x) Vậy không có giá trị nào của f(0)=a để hàm số đã cho liên tục tại x=0 Ví dụ 4:Tìm a để hàm số 2 2x khi x 1 f(x) 2ax khi x 1 < = liên tục trên R Giải + TXĐ :R + Khi x<1 ,f(x)= 2 2x là hàm số liên tục,vì đây là hàm đa thức. + Khi x>1 ,f(x)= 2ax-3 là hàm số liên tục,vì đây là hàm đa thức. + Để hàm số liên tục trên R thìhàm số phải kiên tục tại x=1 + Ta có f(1) = 2a-3 ( ) x 1 x 1 2 x 1 x 1 lim f(x) lim 2ax 3 2a 3 lim f(x) lim 2x 2 + + = = = = Hàm số liên tục tại x=1 5 2a 3 2 a 2 = = Vậy với 5 a 2 = thì hàm số liên tục trên R Ví dụ 5.Chứng minh phơng trình 1/ 2 3x 2x 2 0 cónghiệm+ = 2/ ( ) 4 2 4x 2x x 3 0 cóít nhất hai nghiệm phân biệt trên -1,1+ = Gii 1/ Hàm số 2 fx) 3x 2x 2= + là hàm số liên tục trên R + Mặt khác f(0) 2 f(1) 3 = = f(0).f(1) 0 < Vậy phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0,1) 2/ Hàm số 4 2 fx) 4x 2x x 3= + là hàm số liên tục trên R +/ Mặt khác : f( 1).f(0) = 4.( 3) = 12<0 ( ) 1 1 x 1,0 ,f(x ) 0 = f(0).f(1) = ( 3).2 = 6<0 ( ) ( ) 2 2 x 0;1 :f x 0 < +/Vậy phơng trình đã cho có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong (-1;1). Ví dụ 6.Chứng minh rằng phơng trình 3 x 3x 1 0 + = có 3 nghiệm phân biệt. Giải : +/ Hàm số 3 f(x) = x 3x 1 + liên tục trên Ă +/Ta có f( 2)= 1, f( 1) = 3, f(1) = 1,f(2) = 3 +/Chứng tỏ tồn tại ( ) ( ) ( ) 1 2 3 x 2;1 ,x 1;1 ,x 1;2 cho 1 2 3 f(x ) f(x ) f(x ) 0= = = Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. Ví dụ 7.Chứng minh phơng trình 3 x mx 1 0+ = luôn có một nghiệm dơng m Giải: +/Hàm số f(x)= 3 x mx 1+ liên tục trên Ă +/Ta có ( ) f 0 1= , x lim f(x) + = + 0 x 0 > sao cho ( ) 0 f x 0> +/Vì f(x) liên tục trên Ă , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f 0 .f x 0 c 0;x : f c 0< = +/ Vậy phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm dơng B.Bài tập trăc nghiệm. Chọn những đáp án đúng cho những ví dụ sau Vý dụ 8.Hàm số f(x) = 2 x 1 x 4 + có các điểm gián đoạn là: A.x= 1 và x=2 B.x= 2 và x=2 C.x=1 và x=2 D.x=1 và x= 2 Ví dụ 9.Hàm số f(x) = x 1+ A.Liên tục trên Ă B.Liên tục trên ( ) ; 1 C.Liên tục trên ( ;1] D.Liên tục trên [1; )+ Ví dụ10.Hàm số f(x)= 2 x khi x 1 2ax -3 khi x 1 < liên tục trên Ă .Khi đó a bằng A.2 B.1 C.0 D 1 Ví dụ 11.Để hàm số f(x) = 2 x x x + xác định và liên tục tại x=0,cần phải cho f(0) giá trị là: A.3 B.2 C.1 D.0 Ví dụ 12.Để hàm số : F(x)= 2 x 6x 8 khi x 2 a khi x 2 + = liên tục trên ,giá trị của a là A 2 B 3 C.2 D.3 Ví dụ 13.Mệnh đề nào sau đây sai A.Hàm số y= 3 x liên tục trên Ă B.Hàm số y= 2 sinx+x liên tục trên Ă C.Hàm số y=tgx liên tục trên (0, p ). D.Hàm số y= 1 x liên tục trên ( ) 0,+ Ví dụ 14.Hàm số f(x)= 3 1 x 1 khi x 0 x m khi x 0 + = liên tục tai x=0 Giá trị của m bằng: A.m= 1 3 B. 1 3 C.0 D.1 Đáp án VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 B D A C A C A IV.Bi tp A.Bài tập tự luận Bài 1.Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng 1/ 3 2 y x 5x 4x 1= + + 2/ 2 2 2x 3x 5 y x 1 + = 3/ 2 x 1 y x 4 + = + 4/ 2 x 1 y 2sinx + = Hớng dẫn 1/TXĐ của hàm số là Ă ,nên hàm số liên tục trên Ă 2/ TXĐ của hàm số là { } \ 1 Ă hàm số liên tục trên { } \ 1 Ă . 3/TXĐ của hàm số là Ă ,nên hàm số liên tục trên Ă 4/ TXĐ của hàm số là { } \ k ,kp Ă Â hàm số liên tục trên { } \ k ,kp Ă Â . Bài 2.Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra. 1/ f(x)= 2 x 4 khi x 2 2x 1 khi x 2 + < + tại x= 1 2/ f(x)= x 1 khi x 1 2 x 1 2x khi x 1 < tại x=1 3/ f(x)= 2 3x với x<0 1 x với x 0 + tại x=0 4/ f(x)= 2 x 9 khi x 3 x 3 6 khi x 3 = tại x=3 Hớng dẫn 1/ +/ TXĐ: ,chứa x = 2 .Ă ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 x 2 2 x 2 x 2 +/ lim f x lim 2x 1 5 lim f x lim x 4 8 Hàm số đã cho gián đoạn tại x=3 . + + = + = = + = 2/ +/ TXĐ: ,chứa x = 1 .Ă ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 +/ lim f x lim 2x 2 x 1 lim f x lim 2 x 1 lim 2 x 1 2 Hàm số đã choliên tục tại x=1 . + + = = = = + = 3/ +/TXĐ: ,chứa x = 0 .Ă ( ) ( ) ( ) ( ) x 0 x 0 2 x 0 x 0 +/ lim f x lim 1 x 1 lim f x lim 3x 0 Hàm số đã cho liên tục tại x=3 . + = + = = = 4/ +/ TXĐ: Ă chứa x= 3 . +/ ( ) ( ) 2 x 3 x 3 x 3 x 9 limf x lim lim x 3 6 x 3 = = + = +/ ( ) f 3 6= +/ Vậy hàm số liên tục tại x=3 Bài 4: Tìm a,b để các hàm số sau liên tục trên Ă . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 x 1 khix 2 1/ f x 7 ax khix 2 x 4x 4 khix 3 2 / f x ax b khix 3 . 5ax b khix 1 3/ f x 2a b 3 khi x 1 x ax b khix 1 x 8 khix 8 4 / f x x 2 ax 4 khi x 8 . + ≤  =  − >   − + ≤ =  + >  + >   = − + =   − + <  −  <  = −   + ≥  HD: 1/ +/ TX§: ¡ +/ Hµm sè liªn tôc khi x>2 vµ khi x<2 . +/ Hµm sè liªn tôc trªn ¡ ⇔ Hµm sè liªn tôc t¹i x=2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 +/ lim f x lim 7 ax 7 4a lim f x lim x 1 3 f 2 3 + + − − → → → → = − = − = + = = +/ Ta ph¶i cã 7 4a 3 a 1.− = ⇔ = +/ VËy gi¸ trÞ ph¶i t×m lµ a=1. 2/ +/ TX§: ¡ +/ Hµm sè liªn tôc khi x>3 vµ khi x<3. +/ Hµm sè liªn tôc trªn ¡ ⇔ Hµm sè liªn tôc t¹i x=3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 3 x 3 2 x 3 x 3 / lim f x lim ax b 3a b lim f x lim x 4x 4 1 f 3 1 + + − − → → → → + = + = + = − + = = +/ Ta ph¶i cã 3a 1 4+ = . +/ VËy gi¸ trÞ ph¶i t×m lµ a b 1 3a. ∈   = −  ¡ 3/ +/ TX§: ¡ +/ Hµm sè liªn tôc trªn ¡ ⇔ Hµm sè liªn tôc t¹i x=1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 1 2 x 1 x 1 / lim f x lim 5ax b 5a b lim f x lim x ax 2b 1 a 2b f 1 2a b 3. + + + = + = + = + = + = + +/ Ta phải có 1 5a b 1 a 2b a 3 2a b 3 1 a 2b b 1 + = + = + = + = +/ Vậy giá trị phải tìm là 1 a 3 b 1. = = 4/ +/ TXĐ: Ă +/ Hàm số liên tục trên Ă Hàm số liên tục tại x=8. ( ) ( ) ( ) ( ) x 8 x 8 3 x 8 x 8 / lim f x lim ax 4 8a 4 x 8 lim f x lim 12 x 2 f 8 8a 4. + + + = + = + = = ữ = + +/ Ta phải có 8a 4 12 a 1+ = = +/ Vậy a=1 là giá trị phải tìm. Bài 4:Chứng minh rằng phơng trình 3 2x 6x 1 0 + = có ba nghiệm phân biệt trong khoảng ( ) 2;2 . HD: +/ Hàm số ( ) 3 f x 2x 6x 1= + liên tục trên Ă . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / f 2 .f 0 0,f 0 .f 1 0,f 1 .f 2 0.+ < < < +/ Phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt trong khoảng ( ) 2;2 . Bài 5: CMR các phơng trình sau có nghiệm. 5 4 3 1/ sinx x 1 0 2 / x ax bx cx d 0. + = + + + + = HD: 1/ +/Hàm số ( ) f x sinx x 1 liên tục trên .= + Ă +/Ta có ( ) 3 3 f 0 .f 1. 0 đpcm 2 2 p p = < ữ ữ . 2/ +/Hàm số ( ) 5 4 3 f x x ax bx cx d liên tục trên .= + + + + Ă +/Do ( ) ( ) 1 1 x lim f x + nên tồn tại x 1, đủ lớn sao cho f x 0. = < > ( ) ( ) 2 2 2 x lim f x nên tồn tại x 0, x đủ lớn sao cho f x 0. = < > Nh vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x .f x 0 c x ;x : f c 0< = tức là phơng trình đã cho luôn có nghiệm. Bài 6: CMR nếu 2a 3b 6c 0+ + = thì phơng trình 2 a tan x btanx c 0+ + = Có ít nhất một nghiệm trong khoảng k ; k 4 p p p + ữ . HD: +/ Đặt t=tanx, x k ; k 4 p p p + ữ k  . +/ Ta có pt +/ Để pt đã cho có nghiệm trên khoảng k ; k 4 p p p + ữ ,pt ( ) 2 phải có nghiệm thuộc khoảng ( ) 0;1 . +/ Nếu a 0 ta có : ( ) 2 4a 2b f 0 c,f c 3 9 3 = = + + ữ . ( ) ( ) [ ] 2 2 c c f 0 .f 2 2a 3b 6c 3c 3 9 3 = + + = ữ . +/ Nếu c 0 thì ( ) 2 f 0 .f 0 đpcm 3 < ữ . +/ Nếu c=0 khi đó ( ) 1 2 b 2 có nghiệm t 0,t a = = . Từ giả thiết b 2 2a 3b 6c 0 . a 3 + + = = ( ) 2 Vậy t= 0;1 đpcm. 3 +/ Nếu a=0 ta có ( ) ( ) bt c 0 3 3b 6c 0 4 + = + Nếu b=c=0 ( ) ( ) pt 2 nghiệm đúng t đúng t 0;1 đpcm. Nếu b 0 thì ta có ( ) c 1 t 0;1 đpcm b 2 = = .