MỐI LIÊN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC

Cặp phạm trù Nội dung - Hình thức và quy luật Phủ định của phủ định của phép biện chứng duy vật thể hiện trong toán học và vận dụng việc vào dạy toán.. Những tư tưởng, quan niệm toán họ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TPHCM

PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH-KHCN&QHĐN

Bài tiểu luận môn Triết học

MỐI LIÊN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC

Học viên thực hiện: Trương Thị Tuyết Hoa – MSHV: CH1301014

Giảng viên phụ trách: TS.Bùi Văn Mưa

TP Hồ Chí Minh, tháng 8/2014

LỜI MỞ ĐẦU

Triết học và toán học đóng vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực của đời sống Giữa chúng có mối quan hê ̣ biê ̣n chứng sâu sắc thể hiê ̣n trong suốt quá trình hình thành và phát triển của mỗi lĩnh vực Bài viết ngắn này sẽ đề cập đến mối liên hệ giữa triết học và toán học ở một số khía cạnh có ích trong việc nhận thức toán học và vài vận dụng trong việc giảng dạy toán học

Bố cục bài viết gồm 3 phần:

1 Vai trò của triết học đối với sự phát triển của toán học

2 Vai trò của toán học đối với sự phát triển của triết học

3 Cặp phạm trù Nội dung - Hình thức và quy luật Phủ định của phủ định của phép biện chứng duy vật thể hiện trong toán học và vận dụng việc vào dạy toán

Cuối cùng là kết luận và tài liệu tham khảo

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Văn Mưa vì những bài giảng triết học của thầy đã truyền cảm hứng cho tôi thêm yêu thích triết học và có hứng thú tìm hiểu vấn đề vâ ̣n du ̣ng triết ho ̣c vào viê ̣c ho ̣c tâ ̣p của bản thân Tôi xin được cảm

ơn giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn vì những quyển sách tham khảo rất có giá tri ̣

1 VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC

Triết học đã cung cấp các nguyên tắc phương pháp luận nhận thức toán học

Theo Đềcáctơ, nhiệm vụ của siêu hình học là xây dựng các nguyên tắc mang tính phương pháp luận để giúp cho các ngành khoa học khám phá ra chân

lý Ông có những tư tưởng biện chứng vượt trước thời đại Ông đã sữa đổi lại đại

số, dùng hình chỉ số và dùng số chỉ hình; dùng chữ để chỉ những đại lượng biến thiên (x, y, z, ), và đưa ra các đại lượng biến thiên vào trong toán học bên cạnh những đại lượng không đổi (a, b, c, ) Từ đó, xuất hiện hình học giải tích, đại số và phương pháp đồ thị Với ý tưởng biện chứng này, Đềcáctơ đã đặt nền móng cho toán học hiện đại 1

Sự ra đời của chủ nghĩa duy vật biện chứng đã tạo ra một cuộc cách mạng trong lý luận nhận thức Chủ nghĩa duy vật biện chứng khẳng định: Về bản chất, nhận thức là quá trình phản ánh tích cực, tự giác và sáng tạo thế giới khách quan vào bộ óc con người trên cơ sở thực tiễn Thực tiễn là điểm xuất phát trực tiếp của nhận thức Con người, bằng hoạt động thực tiễn của mình, đã nắm bắt được bản chất, các quy luật vận động và phát triển của thế giới Trên cơ sở đó mà hình thành nên các lý thuyết khoa học, trong đó có toán học Chẳng hạn, xuất phát từ nhu cầu thực tiễn của con người cần phải “đo đạc diện tích và đong lường sức chứa của những cái bình, từ sự tính toán thời gian và sự chế tạo cơ khí” mà toán học đã ra đời và phát triển Đối với hình học, C Mác và Ăngghen cho rằng:

“Các kết quả của hình học không phải cái gì khác là những thuộc tính tự nhiên của các đường, của bề mặt và của các vật thể, cũng như của những tổ hợp của chúng mà đại bộ phận đã có trong tự nhiên từ lâu trước khi loài người xuất hiện” 2

1

Bùi Văn Mưa, Đại cương lịch sử Triết học, tr 55

2 C.Mác, Ph Ăngghen, C Mác, Ph Ăngghen toàn tập, tập 20, NXB Sự thật Hà Nội, năm 1994, tr 832

Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn đánh giá rất cao phép biện chứng duy vật trong viê ̣c nhâ ̣n thức toán ho ̣c Ông đã chỉ ra nguồn gốc của các phát minh toán

học trên cơ sở phép biê ̣n chứng duy vâ ̣t : “ Mọi phát minh toán học không phải là

một việc ngẫu nhiên mà là một bước nhảy vọt tất yếu kết thúc một quá trình tích lũy xã hội thông qua một cá nhân hay tập thể và đều là kết quả của sự đấu tranh giữa hai mặt đối lập.”3

Từ phân tích trên cho thấy, việc nghiên cứu triết học sẽ cho chúng ta một

sự chủ động trong việc nắm bắt và vận dụng các quy luật của triết học trong nhận thức toán học

2 VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TRIẾT HỌC

Trong từng thời kỳ phát triển, toán học đã góp phần hình thành luận chứng cho triết học

Thời kỳ cổ đại hay toán học sơ cấp, toán học về các đại lượng bất biến (từ thế kỷ thứ V trước công nguyên đến thế kỷ XVII) Lúc này triết học và toán học gắn bó tới mức khó phân biệt ranh giới giữa chúng

Những tư tưởng, quan niệm toán học đã ảnh hưởng đến thế giới quan triết học của các nhà triết gia cũng đồng thời là các nhà toán học: Thales, Pythagore, Zenon…, dù còn nhiều hạn chế nhưng ít nhiều chứa đựng những quan điểm duy vật biện chứng khá sâu sắc

Dưới ảnh hưởng của toán học, Pythagore (547 – 471 TCN) cho rằng con

số là khởi nguyên của thế giới Đối với ông, mọi cái trên thế giới đều là hiện thân của những con số, một vật tương ứng với một con số nhất định Chẳng hạn, điểm hình học được coi là đơn vị đơn giản nhất tương ứng với số 1, đường thẳng coi như số 2, mặt phẳng xem như số 3…Thậm chí linh hồn con người cũng đươc tạo

3

Nguyễn Cảnh Toàn, Tuyển tập tác phẩm Tự giáo dục, tự học, tự nghiên cứu (tập 1), ĐHSP Hà

Nô ̣i, TTVH ngôn ngữ đông tây, năm 2001, tr 73

thành từ các con số Chúng đóng vai trò quyết định tính đa dạng của các hiện tượng tự nhiên và đẳng cấp trong xã hội.4

Quan niệm ấy của các ông đã thể hiện lập trường duy tâm khi thần thánh hóa các con số nhưng nó lại có điểm hợp lí ở chỗ nhấn mạnh vai trò quan trọng của các con số và nhận thức toán học Hơn nữa, ông còn có nhiều quan điểm biện chứng sâu sắc về mối quan hệ giữa số chẵn và số lẻ, số hữu hạn và số vô hạn, giữa tính thống nhất và tính nhiều vẻ, vận động và đứng yên

Toán học các đại lượng biến đổi, trước hết là tư tưởng vận động, là một trong các nguồn gốc đẻ ra tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để hình thành và luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng trong giới tự nhiên vô sinh

Ở thời kỳ này, các nhà kinh điển chú ý đến toán học, trước hết vì những tư tưởng về vận động, về các mối liên hệ, được phát triển trong toán học sớm hơn ở

các khoa học tự nhiên thực nghiệm khác F Enghen đã đánh giá: “Đại lượng biến

đổi của Đềcác đã đánh dấu một bước ngoặt trong toán học Nhờ đó mà vận động

và biện chứng đã đi vào toán học và phép tính vi phân và tích phân lập tức trở thành cần thiết.”5

Thật vậy, trong lập luận của giải tích toán và phép tính vi phân, người ta đã dùng các khái niệm như hàm số, giới hạn, liên tục, gián đoạn vô hạn, hữu hạn Rõ ràng, toán học đã nghiên cứu về sự vận động, về các mối liên hệ ở những khía cạnh rất quan trọng Có thể nói rằng, tư tưởng vận động, về liên hệ của toán học đã góp phần thay đổi về chất tư duy khoa học Ở thời kỳ trước cổ điển, lôgic hình thức và cơ học Niuton chịu sự chi phối của các khái niệm, phạm trù bất biến cố định của toán học sơ cấp Với tư tưởng vận động, liên hệ của toán học, người ta có một quan niệm mềm dẻo hơn đối với các hình thức của tư duy nói chung và của các phạm trù bất biến trong logic hình thức nói riêng Ví dụ, để

đo được độ dài của đường cong, ta phải xem đường cong là giới hạn của những đường thẳng Vì vậy, tư tưởng vận động, liên hệ của toán học là một trong các

4

Bùi Văn Mưa, Đại cương lịch sử Triết học, tr 37

5

(1) F Engel Phép biện chứng của tự nhiên, NXB Sự thật, Hà Nội, 1963, tr 417.

nguồn gốc đẻ ra tư duy biện chứng Nó góp phần hình thành bước đầu cơ sở khoa học của logic biện chứng

Sự ra đời của phép tính vi phân, giải tích toán học đã tạo cho các nhà khoa học một phương tiện mới trong nhận thức về các hiện tượng, sự vật, quá trình trong tự nhiên Nhờ đó, người ta mới phát hiện ra định luật vạn vật hấp dẫn ở thế

kỷ XVII, quy luật truyền sóng và truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII Sự ra đời thuyết tương đối của Anhxtanh ở thế kỷ XIX chính là nhờ sự phát triển từ trước của hình học phi Ơclít Như vậy, toán học đã thông qua vật lý học, đóng góp vào cuộc cách mạng thế giới quan, thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc dựa trên cơ học Niutơn (với đặc điểm là khối lượng bất biến, không gian và thời gian tách biệt nhau) bằng chủ nghĩa duy vật biện chứng mà sự ra đời của thuyết tương đối Anhxtanh và những lý thuyết khoa học hiện đại khác là ví dụ (với đặc điểm là khối lượng, không gian và thời gian không tách rời nhau)

Một thành tựu quan trọng khác của toán học thời kỳ này là sự ra đời của tưởng thống kê – xác suất Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định sự tồn tại khách quan của cái ngẫu nhiên Thế giới không chỉ có những cái tất nhiên mà có

cả những cái ngẫu nhiên Ngẫu nhiên và tất nhiên liên hệ chặt chẽ và bổ sung cho nhau Tư tưởng thống kê- xác suất cho ta một quan niệm mới mềm dẻo và chính xác hơn về sự phụ thuộc lẫn nhau, giữa các sự vật, hiện tượng, quá trình Sự tồn tại cái ngẫu nhiên bổ sung vào bức tranh khoa học chung về thế giới

Như vậy, các tư tưởng vận động, liên hệ và thống kê – xác suất đã góp phần hình thành tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng

Toán học hiện đại hoàn thiện một cách sâu sắc thế giới quan duy vật biện chứng trong các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy Nó góp phần củng cố hoàn thiện và phát triển thế giới quan duy vật biện chứng

Trong giai đoạn hiện đại, thành tựu nổi bật của toán học thời kỳ này là tư tưởng cấu trúc Thực chất của tư tưởng này là cho phép ta tiếp cận một cách trừu tượng và khái quát các đối tượng có bản chất rất khác nhau để vạch ra quy luật

chung của chúng Tư tưởng cấu trúc của toán học còn phản ánh sâu sắc sự thống nhất vật chất của thế giới Sự thống nhất của toán học với thế giới quan triết học biểu hiện ở chỗ chúng xác nhận những tư tưởng cơ bản của chủ nghĩa duy vật: tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới và tính có thể nhận thức được của thế giới đó Chẳng hạn, cùng một phương trình có thể diễn tả sự phân huỷ chất phóng xạ, sự sinh sản của vi khuẩn, sự tăng trưởng của nền kinh tế Như vậy, tư tưởng cấu trúc của toán học hiện đại góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng của sự tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương pháp luận sâu sắc Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng về sự thống nhất vật chất của thế giới

3 CẶP PHẠM TRÙ NỘI DUNG - HÌNH THỨC VÀ QUY LUẬT PHỦ ĐỊNH CỦA PHỦ ĐỊNH CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT THỂ HIỆN TRONG TOÁN HỌC VÀ VẬN DỤNG VÀO VIỆC DẠY TOÁN 3.1 Cặp phạm trù Nội dung - Hình thức của phép biện chứng duy

vật thể hiện trong toán học

Trong toán ho ̣c, nô ̣i dung là các tính chất xác đi ̣nh đối tượng toán ho ̣c , còn hình thức là phương thức tồn ta ̣i của đối tượng (như kí hiê ̣u, mô hình, cách diễn

đa ̣t đối tượng,…) Nô ̣i dung và hình thức trong toán ho ̣c cũng đa da ̣ng và thay đổi tùy tình huống cụ thể Sự thống nhất giữa nô ̣i dung và hình thức trong toán học được thể hiê ̣n rất rõ bởi lẽ những đối tượng toán ho ̣c được sử du ̣ng đều mang

mô ̣t ý nghĩa rõ ràng , thông thường được nhắc đến lần đầu tiên qua các đi ̣nh nghĩa, mô ̣t khi tuân theo đi ̣nh nghĩa thì đối tượng được xác đi ̣nh chính xác và tất

cả những đối tượng thỏa mãn định nghĩa đều đúng là cái mà ta đang muốn đề cập đến

Mô ̣t nô ̣i dung có thể có nhiều hình thức biểu hiê ̣n nhưng chúng phải phù

hơ ̣p với nhau Ví dụ: Cùng nội dung là số phức nhưng có nhiều hình thức thể hiê ̣n: (a;b), a+bi, reiφ, r(cosφ +isinφ)

Nhìn một khái niệm dưới nhiều hình thức khác nhau sẽ cho ta hiểu sâu sắc nhiều khía ca ̣nh của nô ̣i dung Ví dụ : đường kính của đường tròn có thể nhìn dưới các góc độ: dây cung qua tâm, dây cung mà khoảng cách từ tâm đến nó nhỏ nhất, hai bán kính ta ̣o mô ̣t góc 180o, dây cung có đô ̣ dài lớn nhất,…

Nô ̣i dung quyết đi ̣nh hình thức , đây là điều tất nhiên vì nô ̣i dung quyết

đi ̣nh bản chất của đối tượng là cái gì và do đó nó sẽ quyết định hình thức phù hợp thể hiê ̣n được nô ̣i dung đó Ví dụ: Các hệ phương trình tuyến tính được biểu thị trên các ma trâ ̣n thì viê ̣c biến đổi ma trâ ̣n phải thể hi ện được các biến đổi như khi làm với các phương trình tuyến tính

Hình thức độc lập tương đối với nội dung và bị chi phối bởi nội dung nhưng nó có tác động trở lại nội dung Mô ̣t hình thức phù hợp sẽ biểu hiê ̣n được

nô ̣i dung rất chính xác, rõ ràng Ngược la ̣i, nô ̣i dung cũng có thể bi ̣ hình thức che lấp Mô ̣t hình thức cũng có thể chứa nhiều nội dung Ví dụ: Cho p là số nguyên tố, p+1 là hình thức biểu hiện còn nội dung có thể là số tự nhiên liền sau hoặc tổng của các ước của p

Tóm lại , cần chú ý mối tương quan giữa nô ̣i dung và hình thức Trong toán học cần biểu thị một nội dung ở nhiều hình thức để thấy rõ các khía cạnh khác nhau của nội dung; cũng cần khai thác khả năng biểu thị nhiều nội dung của

mô ̣t hình thức để khi gă ̣p bài toán ta sẽ linh đô ̣ng sử du ̣ng được nhiều công cu ̣ khác nhau để giải quyết Càng đưa ra nhiều mô hình cho một nội dung toán học thì toán học càng dễ được áp du ̣ng vào trong thực tiễn

Vận dụng vào giảng dạy toán học: Dựa vào mối liên hệ giữa nội dung và

hình thức, chúng ta có thể áp dụng trong xây dựng hệ thống bài tập

Dưới một nội dung (bài tập), giáo viên có thể tìm ra nhiều hình thức khác nhau để diễn tả nội dung đó Sau đó, căn cứ vào tình hình của lớp mà lựa chọn hình thức cho phù hợp

Ví dụ, từ nội dung : sin2x = 2.sinx.cosx (1) giáo viên có thể yêu cầu học

sinh làm những chứnh minh sau:

1) sin4x = 4.sinx.cosx.cos2x (nhân hai vế cho 2cos2x)

sin8x = 8.sinx.cosx.cos2x.cos4x (nhân hai vế cho 2cos4x)

sin2nx = 2n.sinx.cosx.cos2x.cos4x… cos2n-1x

2) Tính giá trị biểu thức :

A = sin10.sin20.sin40 (nhân 2 vế cho 2cos10 rồi áp dụng (1))

3.2 Quy luật Phủ định của phủ định của phép biện chứng duy vật

thể hiện trong toán học

Sự phủ đi ̣nh là sự thay thế sự vâ ̣t này bằng sự vâ ̣t khác trong quá trình vâ ̣n Động và phát triển Sự phủ đi ̣nh trong toán ho ̣c có ý nghĩa to lớn trong viê ̣c mở

rô ̣ng các kết quả toán học , nó cho người ta cái nhìn rô ̣ng hơn trước rất nhiều Ví dụ: “Thẳng hàng” và “không thẳng hàng” là phủ định lẫn nhau nhưng khi phủ định khái niệm thẳng hàng thì ta có khái niệm mở rộng của thẳng hàng Ba điểm

A, B, C thẳng hàng là trường hợp riêng của ba điểm A, B, C không thẳng hàng ứng với góc ABC là góc bẹt

Sự phủ đi ̣nh cho ta nhiều dữ kiê ̣n hơn khi giải quyết bài toán Đó là tư tưởng của phép chứng minh phản chứng Ví dụ: Xét bài toán “Cho X là không gian Banach vô hạn chiều Chứng minh X không thể có mô ̣t cơ sở Hamel gồm

mô ̣t số đếm được các phần tử.” Trong bài này viê ̣c giả sử ngược la ̣i “X có mô ̣t cơ sở Hamel gồm mô ̣t số đếm được các phần tử” sẽ cho ta thêm dữ kiê ̣n để giải bài toán

Quy luâ ̣t phủ đi ̣nh của phủ đi ̣nh cho phép ta nhìn thấy quá trình phát triển của toán học là một quá trình biện chứng lâu dài Trong đó các kiến thức toán ho ̣c mới không phải tự nhiên mà có , đó là sự kế thừa những mă ̣t tích cự c từ các kết quả cũ và khắc phục những mặt kém của các kết quả đó Điều này cho ta mô ̣t tư tưởng tiến công trong khoa ho ̣c : các kết quả toán học dù có phức tạp đến đâu thì cũng phát triển lần lươ ̣t từng bước chứ không đô ̣t nhiên mà có cả mô ̣t công trình trong ngày mô ̣t ngày hai, nếu nắm bắt được quy luâ ̣t phát triển của chúng và làm viê ̣c khoa ho ̣c thì cũng đạt được những kết quả nhất định Trong vấn đề giúp ho ̣c sinh phát triển được tư du y toán ho ̣c và tăng niềm tin vào khả năng nghiên cứu

toán học, giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn có nói: “nên hiểu rằng “mới” không phải là

“mới toanh” hoàn toàn chẳng dính gì đến cái cũ Chẳng bao giờ có cái mới như vậy cả Cái mới bao giờ cũng ra đời từ cái cũ , kế thừa những mặt tích cực trong cái cũ, đồng thời hơn cái cũ ở chỗ giải quyết được khó khăn mà cái cũ không giải quyết nổi.”6

Vận dụng vào giảng dạy toán học: Tập cho học sinh biết tìm tòi phát hiện

lời giải các bài toán dựa trên biến đổi, thay thế các dạng bài toán chưa biết về dạng quen thuộc đã biết

Ví dụ: Giải phương trình 2  3  3 2

1 1x  1x  1x  2 1x

Điều kiện tồn tại của phương trình: -1 ≤ x ≤ 1

Có thể giải phương trình trên bằng cách đưa vào các ẩn phụ để chuyển phương trình một ẩn khó giải về hệ phương trình hữu tỷ nhiều ẩn

Ta có thể chọn hai ẩn phụ:

Mối liên hệ giữa hai ẩn cho bởi phương trình: u2+v2=2 Khi đó phương trình đã cho biến đổi được về dạng  3 3

1 uv u v   2 uv Cuối cùng ta thu được phương trình: 2 2

2

Như vậy việc giải phương trình đã cho chuyển về việc giải hệ phương trình:

2 2

  







Như vậy, quá trình tìm lời giải cho phương trình trên đã dựa vào quy luật triết học: Các sự vật, hiện tượng luôn luôn liên quan mật thiết với nhau trong quá trình vận động và phát triển, sự ra đời cái mới là kết quả của sự phủ định cái cũ

6

Nguyễn Cảnh Toàn, Tuyển tập tác phẩm Tự giáo dục, tự học, tự nghiên cứu (tập 1), ĐHSP Hà Nô ̣i, TTVH ngôn ngữ đông tây, năm 2001, tr 105