Tiểu luận MỐI LIÊN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC

Mối quan hệ này được vận dụng như thế nào để những người học toán nói riêng nghiên cứu toán học hiệu quả hơn và con người nói chung nhận thức được thế giới sâu sắc hơn để phục vụ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH – KHCN & QHĐN

BÀI TIỂU LUẬN

MÔN TRIẾT HỌC

M I LIÊN H GI A ỐI LIÊN HỆ GIỮA Ệ GIỮA ỮA TRI T H C VÀ TOÁN H C ẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC ỌC VÀ TOÁN HỌC ỌC VÀ TOÁN HỌC

GVHD: TS BÙI VĂN MƯA HVTH:LÊ MINH TUẤN

TPHCM, tháng08năm 2014

MỞ ĐẦU

Triết học và toán học đóng vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực của đời sống Giữa chúng có mối quan hệ biện chứng sâu sắc thể hiện trong suốt quá trình hình thành và phát triển của mỗi lĩnh vực Mối quan hệ này được vận dụng như thế nào để những người học toán (nói riêng) nghiên cứu toán học hiệu quả hơn và con người (nói chung) nhận thức được thế giới sâu sắc hơn để phục vụ cho sự tồn tại và phát triển của xã hội là một vấn đề đáng được quan tâm Nếu triết học nghiên cứu

về sự vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng thì toán học nghiên cứu về những đối tượng và các tính chất bất biến của nó.Triết học là thành tựu nhận thức và hoạt động thực tiễn cải tạo con người và loài người nói chung Quá trình hình thành

và phát triển của triết học diễn ra quanh co, phức tạp và lâu dài.Trong quá trình đó, toán học đã đóng góp một phần rất quan trọng.Trong bài viết ngắn này chúng ta sẽ

đề cập đến mối liên hệ giữa triết học và toán học ở một số khía cạnh có ích trong việc nhận thức toán học và vài vận dụng trong đời sống

Điều đó cho thấy rằng toán học và triết học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau Vì thời gian có hạn nên bài thu hoạch này chỉ nêu khái quát một số vấn đề:

Vai trò của triết học đối với toán học

Tác động của toán học đối với sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật

Một số phân tích về nội dung toán học theo quan điểm duy vật biện chứng

NỘI DUNG

I - VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TOÁN HỌC

Triết học là một trong những hình thái ý thức xã hội, là học thuyết về những nguyên tắc chung nhất của tồn tại và nhận thức, của thái độ con người đối với thế giới; là khoa học về những quy luật chung nhất của tự nhiên, xã hội và tư duy Hay định nghĩa khác: Triết học là hệ thống tri thức lý luận chung nhất của con người về thế giới; về vị trí, vai trò của con người trong thế giới ấy

Triết học có tác động rất lớn đối sự hình thành và phát triển của toán học.Triết học cung cấp thế giới quan khoa học và phương pháp luận duy vật biện chứng nhằm định hướng và cung cấp công cụ nhận thức cho sự phát triển của toán học.Đây là quan niệm rất kinh điển mà ta không bàn thêm về tính đúng đắn của nó.Sau đây chúng ta khai thác một vài khía cạnh cần thiết trong việc nhận thức toán học

1 Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực.

Toán học hình thành và phát triển do những nhu cầu thực tế của con người Toán học nghiên cứu những tương quan số lượng và các dạng không gian của thế giới khách quan.Qua từng thời kì lịch sử toán học đã phát triển các đối tượng của nó liên tục và phong phú nhờ sự vận động không ngừng của các sự vật hiện tượng trong thực tiễn.Hầu hết các đối tượng của toán học, không trực tiếp thì cũng gián tiếp, xuất phát từ thực tiễn Dù cho con người có khám phá ra hay không thì chúng vẫn tồn tại Ví dụ:

• Các con số tương ứng với một lượng nào đó các sự vật trong thực tế như trong lớp có ba mươi lăm học sinh, tương ứng với số 35, nếu thêm một học sinh

mới vào thì số tương ứng sẽ là 36, không thể là 37 được Ta thấy rằng dù các số tự nhiên ra đời ở những nơi khác nhau trên thế giới, được kí hiệu khác nhau nhưng bản chất là như nhau

• Các đối tượng hình học như đường tròn, elip, hyperbol, parabol lần lượt tương ứng với những hình ảnh trong thực tế như mặt trăng, mặt nước trong ly (hình trụ tròn) khi nghiêng, bóng của ngọn đèn dầu hắt lên tường, sợi dây bị võng xuống

Đối với hình học, C Mác và Ăngghen cho rằng:“Các kết quả của hình học không phải cái gì khác là những thuộc tính tự nhiên của các đường, của bề mặt và của các vật thể, cũng như của những tổ hợp của chúng mà đại bộ phận đã có trong

tự nhiên từ lâu trước khi loài người xuất hiện” (xem 832, [3])

Điều này đã được các nhà sư phạm ứng dụng trong việc dạy toán cho học sinh,

từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng Chẳng hạn: dạy phép cộng qua việc đếm các que tính, dùng hình ảnh nền nhà mô phỏng mặt phẳng, hình ảnh trụ cờ đứng trong sân trường mô phỏng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,

Từ quan điểm toán học xuất phát từ thực tiễn ta có thể liên hệ với thực tế những vấn đề toán học để dễ dàng nắm bắt hơn Một ví dụ khá trực quan để nắm bắt khái niệm đa tạp, khái niệm hàm số:

Người ta cần khảo sát các họa tiết trên một chiếc bình gốm cổ Khi đó vì bình gốm không phẳng nên ta không thể in một lượt tất cả họa tiết của nó lên một tờ giấy nhưng ta có thể in từng phần họa tiết của bình gốm lên mặt giấy Như vậy ở đây ta

có thể xem bề mặt bình gốm là đa tạp 2 chiều vì tại mỗi điểm trên bình có vùng hoa văn chứa điểm đó tương ứng (đồng phôi) với một vùng trên tờ giấy (không gian Euclide 2 chiều)

Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng tìm được một mô hình cho các đối tượng toán học, bởi vì: đặc điểm đặc trưng của đối tượng toán học là tính trừu tượng rất cao Tính trừu tượng này thể hiện trước hết qua chính đối tượng toán học, chúng được trừu xuất từ các sự vật, hiện tượng trong thực tiễn chứ không phải luôn là một

sự vật, hiện tượng cụ thể nào (ví dụ: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, ) Toán học chỉ quan tâm đến tương quan số lượng và dạng không gian của chúng Các khái niệm, tính chất trong toán học được trình bày cho những đối tượng được trừu xuất và tính đúng đắn của các mệnh đề toán học được chứng minh theo tư duy logic từ tính đúng đắn của các mệnh đề chứ không qua sự kiện thực tiễn

Tính trừu tượng này ngày càng cao cùng với trình độ phát triển của toán học, nhất là từ khi các kí hiệu toán học phát huy được sức mạnh của nó.Với các kí hiệu toán học người ta có thể trình bày những vấn đề toán học mà không dùng đến sự liên hệ thực tế nào.Điều này thể hiện mạnh mẽ trong việc nhóm Bourbaki muốn trình bày tất cả các kiến thức toán học dưới dạng các tiên đề, kí hiệu

Mặc dù, tính trừu tượng của toán học rất cao nhưng chúng đều bắt nguồn từ thực tiễn và cuối cùng cũng sẽ phục vụ cho thực tiễn.Nhiều khái niệm toán học là kết quả của các khái niệm xuất phát từ thực tế được trừu tượng hóa nhiều tầng lớp

2 Thực tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong toán học.

Từ chỗ toán học bắt nguồn từ thực tiễn, tính đúng đắn của nó cũng được kiểm tra theo tiêu chuẩn xuất phát từ thực tiễn Các công trình toán học, xét cho cùng, sẽ được con người sử dụng để nhận thức và cải tạo thế giới, đó cũng là cách để thực tiễn kiểm tra lại tính đúng đắn của tri thức toán học

Một trong những tiêu chuẩn để xét giá trị của một công trình toán học là khả năng ứng dụng vào đời sống Tất nhiên, việc ứng dụng là trực tiếp hay gián tiếp, dưới hình thức nào, trong lĩnh vực nào, mức độ và phạm vi ra sao thì khác nhau tùy trường hợp Nhưng nhìn chung chúng phải phục vụ được cho việc cải tạo thế giới của con người (ngay cả phát triển tư duy, phục vụ cho nội bộ toán học vẫn có giá trị thực tiễn ở một mức nào đấy)

Vận dụng điều này trong việc học toán ra sao? Sau đây là một số ví dụ:

• Ở mức độ đơn giản, ta thường kiểm tra mình làm đúng bài tập hay không bằng cách tìm ra được một mô hình thực tế thể hiện được suy luận và kết quả của mình

Hoặc trong chứng minh khẳng định nào đó sai bằng cách tìm phản ví dụ, ta thường

cố gắng tìm một mô hình thực tế (đúng) mà trái với điều được phát biểu

Thực tiễn có thể kiểm tra tính đúng đắn của các lí thuyết toán học ở những hình thức khác nhau, mức độ khác nhau, thời gian khác nhau.Điều này dễ nhận thấy vì các sự vật, hiện tượng rất đa dạng và phong phú, toán học xuất phát từ thực tiễn nên cũng mang nhiều nội dung, đặc điểm khác nhau.Nhiều kết quả của toán học không đúng trong thời điểm này nhưng đúng trong thời điểm khác

3 Triết học cung cấp công cụ để nhận thức Toán học

Triết học thể hiện các quy luật chung nhất của sự phát triển của tự nhiên, xã hội và tư duy con người Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực vào đầu óc con người nên không nằm ngoài quy luật chung nhất của sự phát triển của tự nhiên, xã hội và tư duy con người Do đó triết học cung cấp cho ta công cụ để nghiên cứu toán học Vậy công cụ đó là gì? Tại sao lại cần đến công cụ đó?

Công cụ để nghiên cứu toán học là phép biện chứng duy vật Phương pháp luận duy vật biện chứng là phương pháp luận chung nhất cho mọi sự vật hiện tượng trong tự nhiên, xã hội và tư duy con người Do đó nó cũng được dùng để nhận thức toán học Lịch sử đã chứng minh được vai trò của phép biện chứng duy vật đối với

sự hình thành và phát triển của toán học

Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn đánh giá rất cao phép biện chứng duy vật trong việc nhận thức toán học Ông đã chỉ ra nguồn gốc của các phát minh toán học trên

cơ sở phép biện chứng duy vật: “ Mọi phát minh toán học không phải là một việc ngẫu nhiên mà là một bước nhảy vọt tất yếu kết thúc một quá trình tích lũy xã hội thông qua một cá nhân hay tập thể và đều là kết quả của sự đấu tranh giữa hai mặt đối lập.” (xem 73, [4])

Trong đời sống thường ngày chúng ta vẫn vận dụng những quy luật triết học vào trong nhận thức toán học hoặc vận dụng tư duy toán học để nhận thức những vấn đề trong cuộc sống nhưng ở những mức độ và hiệu quả khác nhau, nhiều khi

không nhận ra Do đó, việc nghiên cứu triết học sẽ cho chúng ta một sự chủ động trong việc nắm bắt và vận dụng các quy luật của triết học trong nhận thức toán học

và trong các hoạt động thường ngày

II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT

Quan điểm duy vật biện chứng thúc đẩy toán học tiến lên.Ngược lại các phát minh toán học củng cố cho quan điểm duy vật biện chứng

1 Toán học góp phần hoàn thiện những tri thức triết học

Toán học cung cấp cho triết học những tri thức về mặt số lượng và hình thức không gian của các sự vật, hiện tượng ở mức chính xác rất cao.Toán học có các đối tượng là tương quan số lượng và dạng không gian của các sự vật, hiện tượng.Toán học đã nghiên cứu những đặc điểm của các đối tượng này bằng những phương pháp mang tính trừu tượng và khái quát rất cao.Vì thế mà tính đúng đắn của các tri thức toán học không phụ thuộc vào một sự vật, hiện tượng cụ thể nào Do đó, các tri thức của nó dễ dàng đem phục vụ cho sự phát triển của các ngành khoa học khác

Qua từng thời kì lịch sử toán học phản ánh ngày càng sâu sắc, chính xác về mặt lượng của các đối tượng khác nhau Do đó, toán học cung cấp tri thức cho những lĩnh vực khác nhau của đời sống ngày càng hiệu quả

Mỗi người, cuộc sống của mình, dù làm nghề gì cũng cần đến một số kiến thức toán học, nhiều hay ít là tùy trường hợp Vì thế việc học toán và nhất là các phương pháp toán học, tư duy toán học rất cần thiết đối với mọi người

2 Toán học góp phần điều chỉnh và hoàn thiện những nguyên tắc Triết học

Trong suốt quá trình hình thành và phát triển, toán học đã góp phần điều chỉnh

và hoàn thiện các nguyên tắc triết học để phù hợp và phản ánh đúng đắn bản chất của sự vật hiện tượng

Thời kì toán học của các đại lượng bất biến (nghiên cứu về các giá trị cố định): Toán học góp phần vào sự hình thành cơ sở của logic hình thức Nó giúp cho lập luận được chính xác, chặt chẽ hơn

Thời kì toán học của các đại lượng biến thiên: giới hạn, liên tục, phép tính vi phân, tích phân,…Điều này góp phần thay đổi về chất tư duy khoa học, giúp phát triển logic biện chứng

“Mỗi lần có một phát minh vạch thời đại, ngay cả trong lĩnh vực khoa học tự nhiên, thì chủ nghĩa duy vật không tránh khỏi thay đổi hình thức của nó.”( xem 606, [2])

3 Toán học là công cụ của nhận thức

Toán học không những giúp con người kiểm chứng các nguyên tắc nhận thức,

nó còn cho ta những công cụ thật khoa học để nghiên cứu thế giới tự nhiên Từ lâu toán học và phương pháp của nó được ứng dụng rộng rãi trong các nghiên cứu khoa học Loài người sử dụng toán học không chỉ để tính toán mà còn để khám phá những tri thức mới Toán học giúp cho con người có một cách thức khoa học để tìm hiểu thế giới tự nhiên Nếu như trước đây người ta phải phụ thuộc vào các sự kiện thực tế mà ngẫu nhiên xảy ra thì nay con người nghiên cứu có mục đích, có kế hoạch và còn có thể dự đoán các sự việc xảy ra

Toán học được xem như là công cụ để nhận thức triết học.Trước đây, toán học chưa được xem trọng, người ta chỉ xem việc học các môn tự nhiên là để nhận thức được triết học Và bởi mối quan hệ mật thiết giữa triết học và toán học mà nhiều nhà toán học đồng thời là nhà triết học: Cantor, Descartes, D’Alembert, Các nhà toán học và triết học cũng đánh giá cao vai trò của toán học trong việc nhận thức thế giới Descartes muốn áp dụng phương pháp quy nạp hợp lý của khoa học, nhất là của toán học, vào triết học Ông cho rằng “Trong khi tìm kiếm con đường thẳng đi đến chân lý, chúng ta không cần phải quan tâm tới những gì mà chúng ta không thể thấu đáo một cách chắc chắn như việc chứng minh bằng đại số và hình học”

III - MỘT SỐ PHÂN TÍCH VỀ NỘI DUNG TOÁN HỌC THEO QUAN

ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG

1 Mối quan hệ giữa nội dung và hình thức trong toán học

Trong toán học, nội dung là các tính chất xác định đối tượng toán học, còn hình thức là phương thức tồn tại của đối tượng (như kí hiệu, mô hình, cách diễn đạt đối tượng,…) Nội dung và hình thức trong toán học cũng đa dạng và thay đổi tùy tình huống cụ thể Sự thống nhất giữa nội dung và hình thức trong toán học được thể hiện rất rõ bởi lẽ những đối tượng toán học được sử dụng đều mang một ý nghĩa

rõ ràng, thông thường được nhắc đến lần đầu tiên qua các định nghĩa, một khi tuân theo định nghĩa thì đối tượng được xác định chính xác và tất cả những đối tượng thỏa mãn định nghĩa đều đúng là cái mà ta đang muốn đề cập đến

Ví dụ: đường kính của đường tròn có thể nhìn dưới các góc độ: dây cung qua tâm, dây cung mà khoảng cách từ tâm đến nó nhỏ nhất, dây cung có độ dài lớn nhất,

…

2 Sự phủ định của phủ định trong toán học

Sự phủ định là sự thay thế sự vật này bằng sự vật khác trong quá trình vận động và phát triển Sự phủ định trong toán học có ý nghĩa to lớn trong việc mở rộng các kết quả toán học, nó cho người ta cái nhìn rộng hơn trước rất nhiều Sự phủ định cho ta nhiều dữ kiện hơn khi giải quyết bài toán

Ví dụ:• “Thẳng hàng” và “không thẳng hàng” là phủ định lẫn nhau nhưng khi phủ định khái niệm thẳng hàng thì ta có khái niệm mở rộng của thẳng hàng Ba điểm A, B, C thẳng hàng là trường hợp riêng của ba điểm A, B, C không thẳng hàng ứng với góc ABC là góc bẹt

3 Bất biến và vạn biến trong toán học

Bất biến và vạn biến thể hiện rất rõ ràng và đa dạng trong toán học Mỗi định

lí nói lên một quy luật tức là cái gì đó đúng ở khắp mọi nơi (bất biến) và ta dùng định lí đó ở rất nhiều nơi (vạn biến) Mỗi một công thức là bất biến và nó được dùng để tính những giá trị cụ thể (vạn biến)

Ví dụ: công thức nghiệm của phương trình bậc hai tổng quát là bất biến và nó dùng để tính nghiệm cho mọi phương trình bậc hai với hệ số cụ thể (vạn biến)