ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC VẬT LÝ THỐNG KÊ

Một phân tử nào đó có một vận tốc xác định hoặc là có phương chuyển động xác định, số phân tử trong một đơn vị thể tích và năng lượng của chúng cũng được coi như là những biến cố ngẫunhi

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

HỌC PHẦN NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC VẬT LÝ

THỐNG KÊ

Chương 1 Đối tượng và phương pháp của nhiệt động lực học và vật lí thống kê Các cơ sở của lí

thuyết xác suất (LT: 6, BT: 2)

*) Mục tiêu:

1.1 Đối tượng và phương pháp của nhiệt động lực học và vật lí thống kê

1.1.1 Đối tượng của nhiệt động lực học và vật lí thống kê

Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê đều nghiên cứu những hệ bao gồm một sô rất lớn

các hạt như nguyên tử, phân tử, iôn và các hạt khác mà người ta gọi là hệ vi mô hay hệ nhiều hạt,

nhưng bằng các phương pháp khác nhau

1.1.2 Phương pháp của nhiệt động lực học và vật lí thống kê

a) Phương pháp của nhiệt động lực học

- Nhiệt đông lực học nghiên cứu các quy luật tính của chuyển động nhiệt trong các hệ cân

bằng và khi hệ chuyển về trạng thái cân bằng, đồng thời nó cũng khái quát hóa các quy luật tính

đó cho các hệ không cân bằng

- Cơ sở của nhiệt động lực học là những định luật tự nhiên tổng quát mà người ta gọi là các nguyên lí Các nguyên lí này chỉ là sự tổng quát hóa các kinh nghiệm lâu đời của nhân loại

và được xác nhận bằng thực nghiệm

- Nhiệt động lực học không phân tích chi tiết các quá trình phân tử mà khảo sát các hiện

tượng theo một quan điểm duy nhất, đó là quan điểm về sự biến đôi năng lượng trong các hiện tượng đó.

b) Phương pháp của vật lí thống kê

- Vật lí thống kê là nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ mà ta khảo sát

với các đặc tính và các định luật chuyển động của các hạt vi mô cấu thành hệ có thể có hai loại:+ Tìm các đặc tính vĩ mô của hệ dựa vào các tính chất đã biết của các hạt tạo thành hệ.+ Tìm các đặc tính của các hạt cấu thành hệ dựa vào các tính chất vĩ mô của hệ

Như vậy, Vật lí thống kê là ngành vật lí nghiên cứu các hệ nhiều hạt dùng phương phápthống kê, nói khác đi, Vật lí thống kê hiện đại là lí thuyết thống kê về các hệ nhiều hạt

- Trong trường hợp các hệ cân bằng, Vật lí thống kê đã đặt cơ sở lí thuyết cho các quy luậtnhiệt động lực học Vì vậy người ta thường gọi vật lí thống kê về các hệ cân bằng là Nhiệt độnglực học thống kê Nhiệt động lực học thống kê thiết lập mối liên hệ giữa các trạng thái phân tử

với đặc tính vĩ mô của hệ và cho phép ta tính được các hàm nhiệt động của các hệ khác nhau.

- Trong Vật lí thống kê cố điển, người ta đã dùng các phương trình cơ hoc cho hệ nhiều hạt làm cơ sở cho phương pháp lấy trung bình Vì vậy Vật lí thông kê thường được gọi là Cơ học thống kê.

- Tùy thuộc vào loại mô hình vật chất mà ta dùng để diễn tả hiện tượng này hay hiện tượngkhác mà người ta thường tách Vật lí thống kê làm hai phần: Vật lí thông kê cổ điển và Vật líthống kê lượng tử

1.2 Các biến cố ngẫu nhiên và các đại lượng ngẫu nhiên

1.2.1 Các hiện tượng ngẫu nhiên

- Hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng có thể xảy ra hay là có thể không xảy ra, thường là

xảy ra một cách bất ngờ và chúng ta không biết trước kết quả của chúng Bởi vì ta không biết khinào hiện tượng đó sẽ xảy ra và xảy ra như thế nào

- Ví dụ: sự phân rã của hạt nhân nguyên tử, sự bức xạ phôtôn từ nguyên tử, sự bùng nổ trênMặt Trời, vụ nô của sao, sự va chạm của các phân tử…

- Mỗi hiện tượng ngẫu nhiên đều được gây ra bởi những nguyên nhân nào đó, bởi một hoặcnhiều nguyên nhân Chúng ta không thể luôn luôn theo dõi được những nguyên nhân đã đưa đếnhiện tượng đó Vì vậy, đối với chúng ta những hiện tượng đó là ngẫu nhiên, mặc dù chúng donhững nguyên nhân nào đó gây ra

1.2.2 Các biến cố ngẫu nhiên

- Biến cố ngẫu nhiên là sự biểu hiện của dấu hiệu này hay dấu hiệu khác, bao gồm tính chất(hoặc đặc tính) này hay tính chất khác của quá trình, mà cũng là cả hiện tượng ngẫu nhiên nào

đó

- Ví dụ: hiện tượng ngẫu nhiên về sự va chạm của các phân tử là một biến cố ngẫu nhiên.

Một phân tử nào đó có một vận tốc xác định hoặc là có phương chuyển động xác định, số phân

tử trong một đơn vị thể tích và năng lượng của chúng cũng được coi như là những biến cố ngẫunhiên

1.2.3 Các đại lượng ngẫu nhiên

- Các đại lượng ngẫu nhiên là các đại lượng mà trị số của chúng phụ thuộc vào trường

hợp ngẫu nhiên

- Ví dụ: vận tốc của phân tử trong chất khí biến đổi tùy thuộc vào những va chạm vớiphân tử này hoặc phân tử khác của chất khí, hoặc với thành bình Đối với mỗi phân tử, những vachạm như vậy là ngẫu nhiên, trong các va chạm ngẫu nhiên đó vận tốc cũng sẽ biên đổi một cáchngẫu nhiên, nên vận tốc đó sẽ là đại lượng ngẫu nhiên

- Nếu x là một đại lượng ngẫu nhiên nào đó thì một hàm bất kì f(x) cũng sẽ là đại lượngngẫu nhiên

- Để đặc trưng hoàn toàn một đại lượng ngẫu nhiên nào đó ta cần phải biết bảng kê tất cảcác giá trị khả hữu của nó và biết xác suất của mỗi giá trị đó

1.3 Khái niệm xác suất, các tính chất của xác suất Công thức cộng và nhân xác suất

1.3.1 Khái niệm xác suất của biến cố

- Muốn đưa vào những quy luật thống kê chặt chẽ đòi hỏi phải có một định nghĩa toán họcchặt chẽ về sác xuất, coi như là đại lượng đo mức độ của khả năng khách quan của biến cố ngẫunhiên

- Nếu một biến cố nào đó xảy ra n lần trong tổng cộng N lần thử thì xác suất được xác địnhnhư là giới hạn của tỉ số của số biến cố thuận lợi ni chia cho số biến cố tổng cộng N (của một

nhóm đồng tính các phép thử) với điều kiện là số lần thử trong nhóm đó tiến đến vô hạn Nói

một cách khác, xác xuất W i của biến cố đó sẽ bằng:

i

n N

 (1.1)

- Trong vật lí học, các đại lượng ngẫu nhiên thường biến thiên theo thời gian Khi đó xácsuất của một trạng thái nào đó của hệ có thể xác định theo công thức:

Wi lim

T

t T

 

 (1.2)

trong đó t là thời gian lưu lại của hệ trong trạng thái đã cho, còn T là thời gian quan sáttổng cộng Từ đó suy ra rằng, để xác định bằng thí nghiệm xác suất của một biến cố nào đó, tacần phải tiến hành nếu không phải là một số vô hạn thì cũng là một số rất lớn phép thử N, tìm sốbiến cố thuận lợi ni và tìm xác suất W của biến cố đó bằng cách lập tỉ số của chúng Khi đó, xác suất được xác định càng chính xác nếu số lần thử càng lớn, hay là, thời gian khảo sát biến cố

càng lớn

1.3.2 Hàm phân bố

- Những đại lượng ngẫu nhiên có thể có một tập hợp vô hạn các trị số khác nhau vô cùnggần nhau (phổ liên tục) Khi đó sẽ xảy ra trường hợp đặc biệt sau đây: xác suất của một biến cốriêng biệt trong đó đại lượng ngẫu nhiên có một trị số nào đó thật là xác định sẽ bằng không Vìvậy, sẽ chỉ có nghĩa khi ta nói về xác suất sao cho đại lượng ngẫu nhiên đó có các trị số phân bốtrong một khoảng nào đó từ x cho đến x + ∆x Xác suất tìm thấy đại lượng x trong khoảng ∆x

được kí hiệu là ∆W(x) Khi chuyển tới khoảng vô cùng nhỏ các giá trị dx thì, xác suất sẽ là

dW(x), đồng thời các kí hiệu ∆ và d chỉ rõ rằng đại lượng ngẫu nhiên có thể có trị số trongkhoảng ∆x hoặc dx, nghĩa là từ x đến x + ∆x hoặc đến x + dx Xác suất dW(x) sao cho đại lượngngẫu nhiên có thể lấy các trị số từ x đến x + dx sẽ phụ thuộc vào chính số x đó, nghĩa là nó làmột hàm f(x) và dW(x) tỉ lệ với chiều rộng của khoảng dx Vì vậy ta có thể viết xác suất dW(x)như sau:

dW(x) = f(x)dx (1.3)

- Tập hợp tất cả các trị số của xác suất của một

đại lượng ngẫu nhiên đã cho sẽ tạo nên sự phân bố

của đại lượng ngẫu nhiên đó, sự phân bố này được xác

định bởi hàm f(x) Vì vậy, hàm f(x) này thường được

gọi là hàm phân bố xác suất Hàm đó chứng tỏ là: xác

suất trên cùng một khoảng dx được phân bố phụ thuộc

vào giá trị của chính đại lượng X như thế nào Hàm

đó còn thường được gọi là mật độ xác suất, bởi vì f(x)

có nghĩa là xác suất ứng với một đơn vị của chiều

rộng của khoảng biến thiên

1.3.2 Các tính chất của xác suất

- Vì 0 < ni < N, theo công thức tính xác suất (1.2) thì xác suất là một đại lượng không thứ nguyên, không thể là số âm cũng không thể lớn hơn đơn vị:

0 W 1 

+ Nếu W = 0 thì biến cố đó được gọi là biến cố không thể có.

+ Nếu W = 1 thì điều đó có nghĩa là: bất cứ phép thử nào cũng đều là phép thử thuận lợi

đối với biến cố đã cho Biến cố có xác suất bằng đơn vị được gọi là biến cố chắc chắn.

1.3.3 Công thức cộng và nhân xác suất

a) Định lí cộng xác suất

Giả sử có hai biến cố xung khắc A và B (tức là hai biến cố không thể xảy ra đồng thời).

Ta xét một biến cố phức tạp trong đó hoặc biến cố A hoặc biến cô B sẽ xảy ra Khi đó theo địnhnghĩa (1.1) ta có thể viết xác suất của biến cố phức tạp đó như sau:

trong đó N là số tổng cộng các phép thử còn n và A n là số lần xảy ra các biến cố A và BB

tương ứng Theo định nghĩa (1.1)

n N

dW(x  x ) dW(x ) dW(x ) f (x )dx   f (x )dx

- Mở rộng định lí đó ra cho một số bất kì các biến cố xung khắc:

W(A hoặc B, hoặc C, , hoặc K) = W(A) + W(B) + + W(K)

Xác suất của một biến cố sao cho một đại lượng ngẫu nhiên liên tục có một trong các trị sốnằm trong khoảng từ x1 đến x2 bằng:

2 1

Đôi khi, một biến cố phức tạp nào đó chỉ xảy ra với điều kiện là có biến cố khác xảy ra.

Trong trường hợp đó, xác suất của biến cố phức tạp đó được gọi là xác suất có điều kiện Xác

suất có điều kiện xảy ra biến cố A với điều kiện là có biến cố B xảy ra được xác định theo côngthức

W(A với điều kiện có B ) = W(A) W(B) (1.9)

Cũng đúng như vậy, xác suất của một biến cố phức tạp sao cho đồng thời xảy ra hai biến

cố độc lập A và B được xác định bằng tích của các xác suất W(A) và W(B) của các biến cố độc

lập riêng biệt A và B theo công thức:

ngẫu nhiên y có trị số trong khoảng từ y đến y + dy, sẽ được xác định bằng tích các xác suất:

dW (x, y) = dW(x) dW(y) = f(x)dx f(y)dy = f(x) f(y) dxdy (1.12)

1.4 Trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên Các ví dụ về các định luật phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên.

14.1 Trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên

- Trị trung bình: Giả sử đại lượng ngẫu nhiên x có thể có:

Trị số x1 với xác suất W1 (hoặc là trị số đó xuất hiện n1 lần trong số N lần thử);

Trị số x2 với xác suất W2 (hoặc là trị số đó xuất hiện n2 lần trong số N lần thử) … và sau cùng, trị số xk với xác suất (hoặc là trị số đó xuất hiện nk lần trong số N lần thử)

Khi đó, trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên x được tính bởi công thức:

Khi số lần thử tổng cộng N là khác nhau thì các trị số của đại lượng trung bình cũng sẽ là

khác nhau do các đại lượng mà ta xét mang tính ngẫu nhiên Tuy nhiên khi N tăng lên thì trịtrung bình của đại lượng x sẽ tiến tới một giới hạn xác định a và khi N càng lớn thì càng gần tớibằng a:

đại lượng ngẫu nhiên nhân với xác xuât tương ứng Nếu đại lượng ngẫu nhiên X biến thiên liêntục thì trị trung bình của nó có thể tìm được bằng cách lấy tích phân:

x xf (x)dx



 

 (1.15)

- Trị toàn phương trung bình:

Đối với các đại lượng có trị số gián đoạn:

1.4.2 Các ví dụ về các định luật phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên

a) Phân bố đều của đại lượng gián đoạn

Nếu như xác suất của các trị số bất kì của đại lượng ngẫu nhiên là như nhau thì chúng ta sẽ

có định luật phân bố đều Trong trường hợp đó, ta có thể xác định ngay xác suất của một trị sốbất kì nào đó: W 1

N

 (N là số các trị số khả hữu của đại lượng ngẫu nhiên) Đẳng thức đó tươngđương với điều kiện chuẩn hóa Trong thí dụ gieo con xúc xắc, đại lượng ngẫu nhiên tương ứngvới số điểm (con số) thu được sẽ có xác suất lấy các trị số nguyên từ 1 đến 6 là bằng nhau Vìvậy, xác suất thu được một trị số nào đó là bằng 1/6 bởi vì có tất cả là 6 trị số khả hữu

b) Phân bố Poisson

Đại lượng ngẫu nhiên gián đoạn x có trị số là các số nguyên từ không đến vô cực, cũng có thể tuân theo định luật phân bố Poisson Định luật đó được viết dưới dạng:

x a

Trong đó a là một đại lượng không đổi có trị số bằng trị trung bình của đại lượng ngẫunhiên trong phân bố đó a = x Số phân tử trong một thể khí đã cho hoặc lượng hạt bay hơi saumột khoảng thời gian xác định thỏa mãn định luật phân bố Poisson.

c) Phân bố đều của đại lượng liên tục

Trong trường hợp phân bố đều của một đại lượng ngẫu

nhiên liên tục như mật độ, năng lượng, phương của các phân

tử, được biểu diễn trên hình 1.2 về phương diện giải tích ta

có thể biểu thị hàm phân bố đó như sau:

Và đồ thị hàm phân bố như trên hình 1.3

e) Phân bố Gauss (định luật chuẩn tắc trong lí thuyết

Đôi khi, trong phân bố Gauss, chỉ xét các trị

dương của x (0 x  ), khi đó:

Hình 1.3: Đồ thị hàm phân bố có

dạng hàm mũ

Hình 1.4: đồ thị hàm phân bố bất kỳ

[1] Vũ Thanh Khiết (2008), Nhiệt động học và vật lí thống kê, NXB Đại học Quốc Gia Hà

Nội

[2]

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận

1 Tìm xác suất sao cho trong hai lần gieo liên tiếp con xúc xắc, ta đều thu được điểm 5

2 Tìm số điểm trung bình gieo trúng được trong một lần tung con xúc xắc

3 Chứng minh định lí về trị trung bình của tích và của tổng hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập

4 Chứng minh rằng:

(A A)(B B) AB A B   

5 Chứng minh rằng định luật Poisson dưới dạng (1.21) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa

6 Hãy tìm trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên tuân theo phân bố Poisson

7 Hãy tìm các trị số của X và X2 và phương sai (∆x)2 trong phân bố đểu của đại lượng X giữa a và b

8 Hãy tìm x và x trong phân bố có dạng hàm mũ đã chuẩn hóa sau:2

f (x) a.e  ax (0 x )

Chương 2 Thuyết động học phân tử chất khí

- Trong một thể tích vĩ mô của khí lí tưởng có chứa một số rất lớn phân tử

- Kích thước phân tử rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng, do đó, trong phần lớn phéptính toán ta có thể bỏ qua kích thước của phân tử và coi phân tử như chất điểm

- Các phân tử chuyển động hỗn độn không ngừng, chúng luôn luôn va chạm với nhau vàvới thành bình đựng khí

- Lực tương tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi va chạm; vì vậy giữa hai va chạm liên tiếp mỗi phân tử chuyển động tự do nghĩa là chuyển động thẳng đều Sự va chạm giữa các phân

tử với nhau và với thành bình xảy ra theo quy luật va chạm đàn hồi

2.1.2 Phương trình cơ bản của thuyết động học khí lí tưởng

 (2.1)Trong đó F là lực tác dụng vuông góc lên diện tích S

- Thành lập công thức tính áp suất của khí: Để thành lập công thức tính áp suất mà khí tácdụng lên thành bình ta cần phải tính lực trung bình theo thời gian mà các phân tử khí tác dụnglên diện tích S của thành bình:

0 2

3

Nm v F

1

p 

(2.3)Phương trình (2.3) là phương trình cơ bản của thuyết động học khí lí tưởng, từ phươngtrình ta thấy, áp suất mà các phân tử khí tác dụng lên thành bình tỷ lệ với khối lượng phân tử khí,mật độ phân tử và vận tốc toàn phương trung bình của phân tử khí

2.2 Phân bố vận tốc của các phân tử trong chất khí ở trạng thái cân bằng nhiệt

2.2.1 Phân bố về hướng của vận tốc phân tử

- Theo giả thiết về sự hỗn độn sơ cấp, trong trạng thái cân bằng nhiệt của chất khí, tất cả

các hướng vận tốc của các phân tử khí là có xác suất như nhau, nghĩa là không có hướng nào ưutiên hơn trong chuyển động của các phân tử; bởi vì, nếu có như vậy thì đã xảy ra chuyển độngdòng (vĩ mô) do chênh lệch về áp suất hoặc nhiệt độ Vì vậy, trong trạng thái cân bằng nhiệt củachất khí, hướng vận tốc của các phân tử tuân theo một định luật phân bố đơn giản: tất cả cáchướng chuyển động đều có thể gặp thấy một cách phổ biến như nhau ở các phân tử Tính đồngxác suất của tất cả các hướng chuyển động của các phân tử cho phép ta có thể thay chuyển độngthực của các phân tử bằng chuyển động trung bình.

- Thí dụ khi khảo sát chất khí đựng trong bình lập phương ta có thể phân tích chuyển độngcủa các phân tử theo ba trục tọa độ vuông góc và coi rằng số phân tử chuyển động theo các trụckhác nhau là như nhau

2.2.2 Phân bố về độ lớn của vận tốc phân tử - Phân bố vận tốc Maxwell

- Phân bố này do Mắcxoen tìm ra lần đầu tiên năm 1867, vì vậy còn mang tên là phân bố vận tốc Mắcxoen Gần đây phân bô' vận tốc Mắcxoen đã được thực nghiêm xác nhận là đúng.

- Do tính đẳng hướng của chuyển động phân tử, ta có thể tìm, hoặc là sự phân bố của hìnhchiếu vận tốc của các phân tử theo một phương nào đó, hoặc là sự phân bố của các phân tử theomôđun vận tốc

- Xác suất để phân tử có hình chiếu vận tốc trên trục Ox trong khoảng từ vx đến vx + dvx

bằng

dW(v ) f (v )dvx  2x x (2.4)Tương tự, xác suất sao cho phân tử có các hình chiếu của vận tốc lên trục Oy từ vy đến vy +

dvy và lên trục Oz từ vz đến vz + dvz là:

dW(v ) f (v )dv ; dW(v ) f (v )dvy  2y y z  2z z

Maxwell coi rằng các hình chiếu của vận tốc của phân tử là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập Do đó xác suất để phân tử khi có đồng thòi ba hình chiếu vận tốc vx, Vy và vz trong các khoảng dvx, dvy, dvz, sẽ được xác định bởi tích của ba xác suất:

Công thức (2.8) là phân bố vận tốc Maxwell

có dạng biểu diễn trên hình (2.1), đường cong I

- Hàm phân bố vận tốc của phân tử theo môđun v có dạng:

2

3 αxv

- Nếu trong hệ có N phân tử thì số hạt có hình chiếu vận tốc v trong khoảng từ vđến

vdv hay là có môđun v từ v đến v + dv sẽ được xác định theo công thức:

dn(v) = NdW(v) (2.10)trong đó dW(v) là xác suất tương ứng đối với một hạt Ta cũng có thể viết dn(v) = n(v)dvvới n(v) là hàm phân bố số hạt, ta có:

f (v) dn(v) n(v)

2.3 Mối liên hệ giữa phân bố vận tốc Maxwell và nhiệt độ tuyệt đối

Ở trên ta đã tìm được phân bố vận tốc Maxwell với thông số chưa xác định a, và phân bốnày là đúng đốì với các chất khí khác nhau trong các điều kiện khác nhau Tuy nhiên, khi nhiệt

độ của chất khí thay đổi, thì vận tốc chuyển động hỗn độn của các phân tử cũng sẽ thay đổi Khinhiệt độ tăng lên, vận tốc của các phân tử cũng tăng lên, do đó, trong sự phân bố theo vận tốc, sốphân tử có vận tốc lớn phải tăng lên Một sự biến đổi như vậy trong sự phân bố vận tốc của cácphân tử chỉ có thể xảy ra khi thông số a phụ thuộc vào nhiệt độ

Giả sử trong 1cm3 chất khí chứa n phân tử Khi đó số phân tử trong 1cm0 3 có hình chiếuvận tốc vz trong khoảng từ vz đến vz + dvz được xác định theo công thức:

2 αxv2z 0

0

mnαx

Theo phương trình Clapeyron - Mendeleev cho 1mol khí p RT

V

0

NnV

Các hàm phân bố của hình chiếu và môđun động lượng có dạng tương ứng:

+ Vận tốc toàn phương trung bình:

Động năng trung bình của chất khí là bằng tổng các động năng trung bình của các phân tử của nó

Ed 3kT

2

 (2.23)Như vậy, động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của phân tử sẽ không phụ thuộcvào bản chất của phân tử và tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối T của chất khí Từ đó suy ra, nhiệt độtuyệt đôi là thước đo động năng trung bình của phân tử

2.5 Sự tương ứng giữa mô hình khí lí tưởng với khí thực

pV = kNT (2.25)Như vậy, khí thực nào mà tuân theo phương trình trạng thái Clapeyron – Mendeleev (vàtuân theo các hệ quả của phương trình đó, tức là các phương trình Boillo - Mariott, Saclor vàGay Luyxac) có thể coi như là khí lí tưởng Các khí thực càng có tính chất gần giống với khí lítưởng khi chúng càng loãng, ở những nhiệt độ và áp suất nhất định Tất nhiên, các phân tử củakhí thực khác vể căn bản với các hạt của khí lí tưởng Các phân tử thực không phải luôn luôn làtuyệt đối đàn hồi, chúng tương tác với nhau không chỉ là do va chạm trực tiếp Thế tương tác củachúng có dạng rất phức tạp; ngoài ra, chúng có thể có các bậc tự do nội tại

Khi mật độ và áp suất của khí thực tăng lên, các phân tử sẽ tới gần nhau đến nỗi ta không

thể bỏ qua lực hút cũng như lực đẩy giữa các phân tử Ngoài các va chạm cặp đôi (tức là giữa 2phân tử) thì các tương tác cặp ba cũng như các tương tác phức tạp hơn sẽ đóng vai trò đáng kể.

Do đó, các tính chất của khí thực sẽ khác biệt với các tính chất của khí lí tưởng

Phương trình trạng thái đơn giản của khí thực là phương trình Van de Walls là nghiệm gầnđúng bậc nhất của bài toán về hệ các phân tử tương tác:

2 0

0 2

Các nhà bác học như Stern, Compton đã tiến

hành nhiều thí nghiệm để thử lại sự phân bố của các

phân tử theo vận tốc trong các khí thực Việc thử lại

phân bố vận tốc Maxwell của các phân tử trong chất

khí rất khó tiến hành; vì vậy, trong chân không người

ta tạo ra hơi của các kim loại khác nhau (như bitmút,

cađimi, xêdi, v.v ) và xem nó là chất khí Sơ đồ các thí

nghiệm như trên hình 2.2 Thực nghiệm chứng tỏ rằng

số phân tử trong hơi kim loại n(v) có vận tốc từ v đến v

+ dv đã nghiệm đúng phân bố Maxwell

Như vậy thực nghiệm đã xác nhận, đối với khí

thực ta cũng thu được phân bốvận tốc Maxwell.

2.6 Phân bố quãng đường tự do của các phân tử khí

Quãng đường tự do của phân tử là quãng đưòng mà phân tử đi được giữa hai va chạm liên tiếp với các phân tử khác, ở trạng thái cân bằng nhiệt, trong chất khí có tồn tại một sự phân bố nào đó của các quãng đường tự do

Ký hiệu P(x) là xác suất để phân tử đi hết quãng đưòng X mà chưa bị va chạm và là xácsuất để phân tử đi hết quãng đường x + dx mà chưa bị va chạm Việc phân tử đi hết quãng đường

x + dx mà chưa bị va chạm được gọi như là một biến cố phức tạp gồm hai biến cố độc lập: phân

tử đi hết quãng đường x mà chưa bị va chạm và phân tử đi hết quãng đường dx cũng chưa bị vachạm Gọi P(dx) là xác suất để phân tử đi quãng đường dx chưa bị va chạm, ta có:

P(x + dx) = P(x) P(dx) (2.27)

Ký hiệu Q(dx) là xác suất để phân tử đi quãng đường dx hết sức nhỏ và bị va chạm; ta coirằng Q(dx) tỉ lệ thuận với dx, nghĩa là

Q(dx) = adx (2.28)trong đó a là hệ số tỉ lệ Ta có:

P(dx) = 1 - Q(dx) = 1 - adx

Và P(x + dx) = P(x) (1 - adx)

Phân tích P(x + dx) thành chuỗi theo dx, vì dx hết sức nhỏ, nên trong chuỗi thu được ta chỉ

Hình 2.2: Sơ đồ thí nghiệm thử lại

sự phân bố của các phân tử theo vận tốc trong các khí thực

giữ lại số hạng chứa bậc một của dx:

1 λ

1

f (λ) eλ

[2] Đàm Trung Đồn, Nguyễn Trọng Phú (1994), Vật lí phân tử và nhiệt học, NXB Giáo

dục, Hà Nội

[3] Lê Văn (1978) , Vật lí phân tử và nhiệt học, NXB Giáo dục Hà Nội

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận

1 Hãy xác định vận tốc trung bình của các phân tử hyđrô, ni tơ và ôxy ở 273°K.

2 Hãy tìm số phân tử nitơ va chạm với một diện tích lcm2 của thành bình trong một giây ởcác điểu kiện chuẩn bằng cách áp dụng phân bố vận tốc Maxwell

3 Có bao nhiêu phần phân tử hyđrô ở nhiệt độ 300°K có vận tốc nằm trong khoảng từ

1800 đến 1810m/s?

4 Có bao nhiêu phần phân tử nitơ ở nhiệt độ 273°K có vận tốc trong khoảng từ 250 đến

255 m/s

Chương 3

Cơ sở thuyết động học phân tử cho quá trình không cân bằng

(LT: 4, BT: 1)

*) Mục tiêu:

3.1 Các hiện tượng truyền

Các phân tử khí luôn tham gia chuyển động, hỗn loạn và không ngừng Vận tốc của chúng phụ thuộc vào nhiệt độ Trong quá trình chuyển động, chúng va chạm nhau, truyền động năng vànăng lượng cho nhau để đưa hệ đến cân bằng nhiệt độ Nếu mật độ ban đầu không đồng nhất thì quá trình chuyển động sẽ làm cho mật độ chất khí đồng đều Có thể cho rằng: mọi quá trình xuất hiện khi có chuyển động nhiệt được gọi là các hiện tượng truyền

3.1.1 Quá trình khuếch tán

Quá trình khuếch tán được hiểu là một quá trình

truyền các phân tử chất khí từ chỗ này đến chỗ kia

làm cho chúng đồng nhất về mật độ và áp suất

Nếu gọi khối lượng khí là ∆M đã truyền qua

diện tích ∆S trong thời gian ∆t Khối lượng khí này

được chuyển từ nơi có mật độ cao (ρv1) đến nơi có mật

- Định luật Fick (định luật thực nghiệm): Khối lượng khí (∆M) truyền qua diện tích (∆S) tỷ

lệ với diện tích ∆S, với thời gian (∆t) và độ biến thiên khối lượng trên 1 đơn vị độ dài (

x



 ) theo phương vuông góc với ∆S

phương giảm dần của mật độ

Đơn vị của D là: [D] = m2/s

Thuyết động học phân tử đã chứng minh rằng:

3 2

Hệ số khuếch tán D tỷ lệ thuận với đoạn đường tự do trung bình và vận tốc trung bình củacác phân tử, tỷ lệ nghịch với áp suất và tỷ lệ thuận với T3/2 Như vậy áp suất càng nhỏ và nhiệt

độ càng cao thì quá trình khuếch tán càng mạnh

3.1.2 Quá trình nội ma sát

Quá trình nội ma sát là quá trình truyền làm cho

chất khí ở nhiều lớp có vận tốc khác nhau, đồng nhất

về vận tốc chuyển động theo một phương xác định

Hiện tượng này xảy ra khi có hai hoặc nhiều

lớp khí (hoặc lỏng) chuyển động với vận tốc song

song nhưng độ lớn khác nhau Kết quả là lớp chuyển

động nhanh bị kéo chậm lại, lớp chuyển động chậm

được kéo nhanh lên và trên mặt tiếp xúc giữa hai lớp

khí đã xuất hiện một lực Lực xuất hiện đó được gọi

là lực nội ma sát

Gọi ∆x là khoảng cách giữa 2 lớp khí có vận

tốc v1 và v2 (hình 3.2) Trong quá trình chuyển động theo cùng một phương sẽ xuất hiện các phân

tử khí ở hai lớp khí nhảy sang nhau Số phân tử khí từ lớp 1 sang lớp 2 bằng số phân tử khí từlớp 2 sang lớp 1 Như vậy, ở mặt tiếp xúc giữa hai lớp khí, số phân tử khí ở lớp chuyển độngnhanh có động năng lớn hơn truyền cho lớp chuyển động chậm thông qua va chạm Các phân tửkhí ở lớp chuyển động chậm nhận thêm năng lượng và chuyển động nhanh lên, còn lớp chuyểnđộng nhanh thì bị mất năng lượng nên chuyển động chậm lại Điều này dẫn đến hiện tượng giữahai lớp xuất hiện các lực nội ma sát

- Định luật Newton: Lực nội ma sát (∆F) tỷ lệ với diện tích tiếp xúc (∆S) giữa hai lớp khí

Thuyết động học phân tử đã chứng minh rằng:

- Quá trình dẫn nhiệt lượng(truyền nhiệt lượng) làm cho chất khí đồng nhất về nhiệt độ

Hình 3.2: Quá trình nội ma sát

được gọi là quá trình dẫn nhiệt Quá trình dẫn nhiệt xảy ra khi có sự chênh lệch nhiệt độ trong

hệ, khi đó dòng nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao đến nơi có nhiệt độ thấp Bản chất của quátrình này là do chuyển động nhiệt của các phân tử ở nơi có nhiệt độ cao dịch chuyển đến nơi cónhiệt độ thấp và ngược lại Các phân tử ở nơi có nhiệt độ cao truyền năng lượng cho các phân tử

ở nơi có nhiệt độ thấp thông qua va chạm, làm cho phân tử có nhiệt độ thấp nóng lên còn phân tử

có nhiệt độ cao thì lạnh đi Như vậy, đã có sự truyền nhiệt lượng từ nơi có nhiệt độ cao đến nơi

có nhiệt độ thấp thông qua va chạm của các phân tử khí trong chuyển động nhiệt Sự biến thiênnhiệt độ theo phương x đươc đặc trưng bằng đại lượng T

[J/m.độ.s] Dấu (-) trong biểu thức biểu thị nhiệt lượng

truyền theo chiều từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt

Hệ số truyền nhiệt chính là nhiệt lượng truyền

qua một đơn vị thời gian khi nhiệt độ biến thiên trên một đơn vị độ dài là 1 độ

3.1.4 Phương trình truyền

Trong các phương trình mô tả các quá trình khuếch tán, nội ma sát và truyền nhiệt trên đâycho chúng ta thấy các phương trình có dạng giống nhau, do đó có thể biểu diễn chung cho mộtdạng phương trình như sau:

Có 2 bình A và B đựng 2 chất khí khác nhau

đều có áp suất rất thấp là pA và pB Hai bình nối với

nhau qua van K (hình 3.4)

a) Giả thiết rẳng nhiệt độ 2 bình như nhau (TA =

TB) Gọi nA là số phân tử trên 1 đơn vị thể tích ở bình

A, nB là số phân tử trên 1 đơn vị thể tích ở bình B, vA

và v là vận tốc trung bình của các phân tử khí ở haiB

bình A và B

Mở van K, số phân tử khí chuyển qua 1 đơn vị

diện tích trong một đơn vị thời gian từ bình A sang B

là knAvA và từ B sang A là knBvB (với k là hệ số tỷ lệ)

Hai luồng khí chuyển qua nhau nhưng không va chạm

nhau Sự "chảy" của chất khí như vậy gọi là hiện tượng phóng lưu Hiện tượng này dừng lại khi

số phân tử chuyển qua 2 bình trong 1 đơn vị thời gian là bằng nhau

b) Trường hợp nhiệt độ hai bình khác nhau

Tính áp suất (p) và nhiệt độ (T) khi cân bằng: Ở trạng thái cân bằng ta có: (Tức là số phân

tử khí chuyển từ bình A qua bình B bằng nhau) Theo phương trình cơ bản của thuyết động họcphân tử ta có p n k T 0 B nên:

3.2.2 Hiện tượng truyền nhiệt của chất khí ỏ áp suất thấp và ứng dụng

Ở áp suất thấp đoạn đường tự do trung bình của các phân tử bằng hay lớn hơn kích thướcbình chứa, cho nên các phân tử trong quá trình chuyển động chỉ va chạm với thành bình màkhồng va chạm nhau Do đó, sự biến đổi động lượng và sự trao đổi nhiệt chỉ xảy ra khi va chạmvới thành bình và sự truyền nhiệt mang tính trực tiếp

Áp suất càng thấp, số phân tử đập vào thành bình càng ít, do đó sự truyền nhiệt càng kém.

Khi đó, hệ số truyền nhiệt phụ thuộc vào áp suất

Hiện tượng chất khí dẫn nhiệt kém ở áp suất thấp được ứng dụng để chế tạo các bình cách

nhiệt 2 lớp: Dewar Áp suất giữa 2 lớp của bình chứa phải nhỏ để sao cho quãng đường tự do

trong bình (  ) của các phân tử khí lớn hơn khoảng cách giữa hai lớp vỏ bình (d) Các bình nàyđược dùng để đựng các chất lỏng nóng hoặc lạnh hơn môi trường Do cơ chế truyền nhiệt kémnhư đã trình bày ở trên, nên các bình có cách nhiệt bằng lớp khí áp suất thấp (hoặc chân không)giữ nhiệt được lâu hơn (ví dụ như: phích đựng nước nóng hoặc nước đá, bình chứa nitơ lỏngv.v )

3.2.3 Sự chảy của chất khí ở áp suất rất thấp

Ở áp suất rất thấp, sự chảy của chất khí tuân theo phương trình Knútxen Nếu gọi V là thểtích khí truyền qua ống trong một đơn vị thời gian, d là đường kính của ống dẫn cho khí chảy

Hình 3.4: Hiện tượng phóng lưu

qua, p là khối lượng riêng của chất khí ở áp suất là 10-1 Pa, là chiều dài của ống dẫn khí và

  thì đại lượng nghịch đảo của nó là  1

được gọi là sức cản của ống dẫnkhí Thực tế cho thấy sức cản cửa một dãy ống ghép liên tiếp bằng tổng sức cản của từng ống.Sức cản của ống tỷ lệ nghịch bậc ba với đường kính của ống dẫn 13

d

  nên trong các hệ thốngdẫn khí, muốn giảm sức cản của ống dẫn, trong thực tế ta phải tăng đường kính ống dẫn để khílưu thông nhanh hơn

3.3 Phương pháp tạo chân không cao

3.3.1 Một số loại bơm chân không thông dụng

a) Bơm cơ học: Là loại bơm hoạt động dưới áp suất khí quyển Chân không đạt được cỡ

10-1-10-2 Pa

- Cấu tạo của bơm cơ học được minh

hoạ trên hình 3.5 bao gồm: ngoài cùng là

một ống hình trụ rỗng (1), phía trong là một

khối trụ đặc nhẵn (2) Hai ống trụ đặt lệch

tâm nhau và tiếp xúc nhau Hai lá gạt (3) và

(4) luôn tiếp xúc với thành trong ống trụ

rỗng nhờ lò xo nén (7) Toàn bộ bơm nhúng

gập trong dầu để tránh không khí lọt vào

(gọi là bơm dầu)

- Bơm hoạt động được là nhờ một mô

tơ kéo khối trụ đặc làm quay các lá gạt (3)

và (4), khí lần lượt được hút vào bơm theo

ống (5) và thoát ra ngoài qua ống thoát (6)

b) Bơm khuếch tán

- Cấu tạo:

Một bình đựng dầu khuếch tán (hoặc thuỷ ngân) Phía dưới là lò đốt cho dầu (hoặc Hg) bốcthành hơi Hơi dầu (hoặc Hg) phun qua ống phun vào một bình chứa hơi, bình này được làm lạnhbằng H2O hoặc không khí đủ lạnh để làm cho hơi dầu (hoặc Hg) ngưng tụ lại Khi ngưng tụ, hơithuỷ ngân nhả ra lượng không khí đã hấp phụ trước đó vào bình chứa, khí này được hút ra ngoài.Lượng dầu (hoặc Hg) ngưng tụ sẽ dồn trở lại bình chứa ban đầu và lại được nung nóng để bốchơi Quá trình cứ tiếp tục như vậy (hình 3.6)

- Hoạt động của bơm khuếch tán nhờ hai hiện tượng cơ bản:

+ Hiện tượng khuếch tán khí ở áp suất thấp: Nhờ bơm đầu (cơ học) tạo chân không banđầu ở bộ phận cần hút, nên từ đó khí dễ dàng khuếch tán qua ống nối vào luồng hơi dầu (hoặcHg) và thoát ra từ ống phun Áp suất càng thấp hiện tượng khuếch tán càng xảy ra nhanh

+ Hiện tượng hấp phụ khí: Hơi dầu (hoặc Hg) phụt mạnh qua ống phun kéo theo khíkhuếch tán từ bộ phận cần hút chân không Khí được các giọt dầu (hoặc Hg) nhỏ li ti hấp phụtrên bề mặt Khi chuyển động xuống dưới, dầu (hoặc Hg) đọng thành giọt ngày càng to hơn làmcho số phân tử khí bị hấp phụ bay ra khỏi giọt dầu (hoặc Hg) và thoát ra theo ống thoát khí Còncác giọt dầu (hoặc Hg) quay trở về bình chứa ban đầu

Bơm khuếch tán được dùng nhiều trong các phòng thí nghiệm nhằm phục vụ nghiên cứu

Nó có thể tạo được chân

- Hoạt động của bơm

phân tử: nhờ vào hiện tượng khuếch tán khí và hiện tượng kéo theo các phân tử khí từ bình cầnhút chân không khuếch tán qua ống hút khí (4) đến đập vào các rãnh của khối trụ đặc (2) Do

khối trụ đặc quay nhanh nên các phân tử khí bật ra với góc lớn hơn góc đập vào Phân tử bật ralại đập trở lại ống trụ rỗng rồi đập vào khối trụ đặc với góc đập lớn hơn Quá trình cứ tiếp tụcnhư vậy và làm cho các phân tử khí bị ''cuốn" ra ngoài theo ống thoát (5).

Sử dụng bơm phân tử có thể cho áp suất đạt đến 10-3 ÷ 10-4 Pa Tuy nhiên, việc lắp ráp loạibơm này rất phức tạp

3.3.2 Một số phương pháp xác định chân không

Muốn đo chân không cao ta phải dùng các loại áp kế Một số loại áp kế thường được sửdụng như sau:

a) Áp kế Máclêốt

Đó là loại áp kế có hình chữ u chứa thuỷ ngân Dựa vào mức chênh lệch thuỷ ngân ở hainơi có áp suất khác nhau để đo mức chân không tại nơi cần đo Trước khi đo, áp suất khí đượckhuếch đại nhiều lần Giới hạn đo của loại khí áp kế này từ 100 ÷ 10-2 Pa

*) Tài liệu học tập

[1] Bùi Trọng Tuân (2005), Nhiệt học, NXB Đại học Sư phạm.

[2] Đàm Trung Đồn, Nguyễn Trọng Phú (1994), Vật lí phân tử và nhiệt học, NXB Giáo

dục, Hà Nội

[3] Lê Văn (1978) , Vật lí phân tử và nhiệt học, NXB Giáo dục Hà Nội

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận

Chương 4 Khái niệm cơ bản của vật lí thống kê cổ điển

(LT: 7, BT: 1)

*) Mục tiêu:

4.1 Mô tả vĩ mô và vi mô một hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động Quy luật tính động lực và quy luật tính thống kê

4.1.1 Mô tả vĩ mô và vi mô một hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động

4.1.2 Quy luật tính động lực và quy luật tính thống kê

a) Quy luật tính động lực

Nội dung tổng quát nhất của quy luật tính đó là: dựa vào giá trị đã cho một cách chính xáccủa một số đại lượng đặc trưng cho một quá trình hay hiện tượng nhất định ta sẽ tính được mộtcách triệt để các giá trị của các đại lượng khác bất kì Theo quan điểm đó, khi cho biết một cáchtuyệt đối chính xác các nguyên nhân ta sẽ xác định được một cách tuyệt đối chính xác các kếtquả Quy luật tính động lực không những đã được vận dụng trong cơ học mà cả trong lĩnh vựckhác như trong lí thuyết về điện từ trường chẳng hạn Các đặc thù của quy luật tính động lực thểhiện rõ khi mô tả và khảo sát các hệ bao gồm một sô" tương đốì ít các phần tử (hạt) Thí dụ như,khi mô tả định luật tương tác của hai phân tử, chuyển động của hành tinh quanh mặt trời…Nhưng nếu chúng ta xét các quá trình trong các hệ gồm một số lớn hạt, như một lượng khí

vĩ mô (bao gồm một số lớn phân tử), hoặc một thanh kim loại (bao gồm một số rất lớn các

electron), thì, trong các hệ đó, quy luật tính động lực phải nhường chỗ cho quy luật tính thống kê.

b) quy luật tính thống kê

- Các tính chất của hệ nhiều hạt mang tính chất thống kê, cụ thể: tính chất của hệ nhiều hạt (như khí lí tưởng chẳng hạn) ở thời điểm đang xét thực tế là hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu, tức là vào các điều kiện ban đầu.

- Các va chạm ngẫu nhiên của các phân tử riêng lẻ đã làm thay đổi hướng chuyển độngcũng như vận tốc chuyển động của các phân tử đó, từ đó hình thành sự hỗn độn sơ cấp Kết quả

là, trong toàn bộ hệ nhiều hạt, các điều kiện ban đầu hình như “tiêu tan” mất và không thể làmảnh hưởng tới các tính chất kế tiếp về sau của toàn bộ hệ Từ đó suy ra rằng, trong hệ nhiều hạt

(tức là trong các hệ vĩ mô tồn tại trong thực tể) có biểu hiện quy luật tính thống kê Qui luật tính thống kê có tính chất khác hẳn các quy luật tính động lực và là hệ quả của tính chất số đông, đặc

thù cho cả tập thể to lớn của hệ nhiều hạt

- Quy luật tính thống kê cũng mang tính chất hoàn toàn khách quan, nó cũng không phụthuộc vào con người và thể hiện ngay trong bản thân thiên nhiên thực tại Trong các hệ nhiều hạtcủa các định luật thống kê cho phép ta có những kết luận hoàn toàn khẳng định về hành vi củatoàn bộ hệ, và, các đặc trưng tính toán được chính là trị trung bình tính theo tập hợp

4.2 Phương pháp cơ bản của vật lí thống kê

4.2.1 Trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô Xác suất nhiệt động

a) Trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô

- Trạng thái vĩ mô là trạng thái được xác định bởi các thông số vĩ mô như nhiệt độ, áp suất thể tích …, tức là các thông số đo được trong các thí nghiệm vĩ mô thông thường và nó chỉ có ý

nghĩa nhất định đối với thế giới vĩ mô

- Trạng thái vi mô là trạng thái xác định bằng các thông số vi mô tức là các tọa độ và xung

lượng của các hạt cấu thành hệ và chúng chỉ có ý nghĩa đối với thế giới vi mô ở đó ta xét cácphân tử (các hạt) riêng lẻ

Bất kì một trạng thái vĩ mô cân bằng nào của chất khí ở nhiệt độ và áp suất không đổi cũngđều tương ứng với một tập hợp các vị trí và chuyển động khác nhau của các phân tử Một cáchtổng quát ta có thể nói rằng, mỗi một trạng thái vĩ mô của hệ đều tương ứng với một số rất lớn

các trạng thái vi mô, đồng thời các trạng thái vi mô đó của hệ biến đổi một cách liên tục Điều đó

có nghĩa là mọi thông số vĩ mô bất kì F đều là hàm của các thông số vi mô (và của thời gian nữanếu xét một cách tổng quát)

F = F(q1…q3N, p1 …p3N, t) (4.1)

b) Xác suất nhiệt động

Xác suất nhiệt động WT của một trạng thái vĩ mô nhất định của hệ là số trạng thái vi mô

tương ứng với trạng thái vĩ mô đó, tức là số trạng thái vi mô mà hệ có thể thực hiện được, tươngthích với điều kiện bên ngoài đã cho Từ định nghĩa trên, xác suất nhiệt động không giống nhưxác suất toán học, được biểu thị bằng một số luôn luôn lớn hơn đơn vị rất nhiều:

WT 1 (4.2)

4.2.2 Phương pháp cơ bản của vật lí thống kê

Bài toán cơ học về chuyển động của một số lớn hạt thực tế là không thể giải được, và tacần phải tìm các phương pháp căn bản khác để mô tả các hệ nhiều hạt Các phương pháp đó

chính là các phương pháp thống kê.

Theo công thức (4.1), mọi thông số vĩ mô bất kỳ F đều là hàm của các thông số vi mô, vìvậy, trong trường hợp tổng quát, nó biến thiên liên tục theo thời gian Tuy nhiên, trong bất kỳmột thí nghiệm vật lí nào, ta cũng đều đo không phải là giá trị tức thời của các đại lượng vật lí,

mà (do sử dụng các dụng cụ vĩ mô) là đo các trị trung bình theo thời gian, theo định nghĩa về giátrị trung bình ta có:

t t

0

1

F F(q , q , p p , t)dtτ

Nhưng việc tìm trị trung bình theo thời gian như (4.3) trong trường hợp tổng quát không

thể tiến hành được do ta không biết được sự phụ thuộc của 6N thông số vi mô vào thời gian tức

là ta không thể theo dõi tất cả các biến đổi của trạng thái vi mô theo thời gian Để giải quyết khó

khăn đó Gibbs đã đề xuất ra phương pháp nổi tiếng gọi là phương pháp Gibbs.

- Cơ sở của phương pháp Gibbs là thay việc khảo sát sự biến đổi (vĩ mô) của hệ đã cho vớithời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự với hệ đã cho Cụ thể là, để khảo sát

một hệ, người ta sẽ khảo sát một tập hợp thống kê, tức là một tập hợp các hệ, tương tự với nhau

có số lượng và loại hạt như nhau và ở trong các điều kiện vĩ mô giống nhau và ở trong các trạng

thái vi mô khả hữu khác nhau Đồng thời, phải bảo đảm rằng mỗi một hệ trong tập hợp thống kêsớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi dành cho các hệ tương tự khác, tức là sẽ lần lượt

ở trong các trạng thái vi mô dành cho mọi hệ tương tự trong tập hợp

- Về mặt lí thuyết, không cần thiết phải coi tất cả các hệ trong tập hợp thống kê là có thực,bởi vì, thực tế là ta chỉ có một hệ (là hệ đang xét) và các hệ còn lại trong tập hợp chỉ là các bản

sao tưởng tượng của hệ đang xét.

- Tập hợp thống kê cũng có thể coi như là tập hợp các trạng thái vi mô khả dĩ tương ứngvới cùng một trạng thái vĩ mô đang xét của hệ Do đó, giả thiết chuẩn écgôđíc cũng có thể phát

biểu là: Trị trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê.

- Như vậy trong phương pháp cơ bản của vật lí thống kê (phương pháp Gibbs) một vấn đềđược đặt ra là: làm sao tìm được trị trung bình theo tập hợp; muốn vậy, ta phải tìm được mật độxác suất hay hàm phân bố thống kê của hệ Để giải quyết vấn đền này Gibbs đã dựa vào cáchbiểu diễn hệ trong không gian pha để đưa vào mật độ xác suất

4.3 Biểu diễn hệ trong không gian pha

4.2.1 Không gian pha

Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều hạt với thời gian người ta đưa vào

một không gian quy ước gọi là không gian pha0, đồng thời các tọa độ của không gian đó chính làcác thông số độc lập xác định trạng thái vi mô của hệ (tức là các tọa độ và xung lượng suy rộngcủa tất cả các hạt cấu thành hệ) Phương pháp đó phải coi là rất thuận tiện về mặt nguyên tắc vìrằng, việc mô tả tính chất của hệ nhiều hạt trong không gian thực ba chiều gặp phải những khó

khăn rất lớn Mặt khác, đối với tất cả các hệ vật lí thực, không gian pha là không gian nhiều chiều Chẳng hạn như, không gian pha của một phân tử khí lí tưởng đơn giản nhất là không gian

sáu chiều; đối với phân tử hai nguyên tử có năm bậc tự do, không gian pha là mười chiều; cònđối với một hệ phức tạp nói chung là 2fN chiều, với f là số’ bậc tự do của một hạt trong hệ, N là

số hạt trong hệ Có thể nói rằng việc đưa không gian pha nhiều chiều vào trong vật lí thống kê đãlàm cho lí thuyết mất hết nét cụ thể của nó, bởi vì, ta không thể hình dung nổi một không giannhiều chiểu Thế nhưng, trái lại, chính việc áp dụng không gian đó vào vật lí thông kê lại rấtphong phú và bổ ích để nghiên cứu các hệ nhiều hạt

Trong vật lí thống kê người ta thường xét hai loại không gian pha: không gian |J và khônggian K Không gian |I là không gian của một hạt, thí dụ như của một phân tử chẳng hạn Do đó

để khảo sát hành vi của một phân tử khí lí tưởng có ba bậc tự do ta đưa vào không gian |U, 6

chiều có sáu tọa độ (sáu thông số vi mô), và, khi đó, trạng thái vi mô của hệ đó được xác địnhbằng một điểm trong không gian ụ đó Không gian K được đưa vào để khảo sát hệ nhiều hạt, thí

dụ như, một chất khí xét toàn bộ, và không gian đó có 2fN chiều Trạng thái vi mô của một hệphức tạp được xác định, như ta đã biết, bởi 2fN thông số qk và pk và do đó “được biểu diễn” bằngmột điểm trong không gian K Đối với các hệ vĩ mô thì N rất lớn và do đó không gian K ià mộtkhông gian rất nhiều chiều

4.2.2 Các yếu tố cơ bản của không gian pha

Trạng thái của hệ được xác định bởi các giá trị của tất cả các tọa độ và xung lượng suyrộng của các hạt cấu thành hệ và được biểu diễn trong không gian pha bằng một điểm, gọi là