4.4.1. Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt
Trong phương pháp Gibbs, thay cho việc khảo sát một hệ thực nào đó người ta khảo sát một tập hợp thống kê tức là một tập hợp các hệ tương tự như nhau và ở trong các trạng thái vi mô khác nhau. Trong không gian pha K, trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một điểm pha, điểm pha này được gọi là điểm biểu
diễn pha của hệ đó, và trạng thái của cả tập hợp thống kê được
biểu diễn bằng một tập hợp các điểm biểu diễn pha riêng biệt, gọi là tập hợp pha thống kê hay gọi tắt là tập hợp pha.
Vì các hệ trong tập hợp thống kê biến đổi với thời gian, nên các điểm biểu diễn pha của các hệ đó chuyển động trong không gian pha và vạch ra các quỹ đạo pha, đồng thời mỗi điểm dịch chuyển một cách độc lập đổi với sự tồn tại của các điểm khác.
4.4.2. Xác suất trạng thái
Xét một thể tích nguyên tố dX của không gian pha bao quanh một điểm pha nào đó (hình
Hình 4.1: Biểu diễn không gian pha bao quanh một điểm pha
4.1), ở thời điểm t đang xét, có một số hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong thể tích nguyên tố dX đó, đó là các điểm biểu diễn pha mà các quỹ đạo pha của chúng gặp dX ở thời điểm t. Một cách tổng quát có thể coi rằng, số lượng dn của các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong thể tích nguyên tố dX của không gian pha, sẽ tỉ lệ vói độ lớn dX của thể tích đó, và ta có thể viết:
dnρdX= (4.5)
Trong đó ρ f (q ,q ,...p , p ...t) f (X, t)= 1 2 1 2 = được gọi là mật độ phân bố các hệ, nó chỉ rõ số lượng các hệ có điểm biểu diễn pha ở trong một đơn vị thể tích pha. Theo lý thuyết xác suất, do các hệ trong tập hợp thống kê đều bình đẳng như nhau nên xác suất để một hệ nào đó trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha rơi vào trong thể tích nguyên tố dX sẽ là:
dW dnρ dXω(X, t)dX
n n
= = = (4.6)
Trong đó gọi n là số hệ trong tập hợp thống kê, hàm (X, t)ω là mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống kê thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa.
(X)
dWω(X, t)dX 1= =
∫ ∫ (4.7)
Mặt khác, mỗi điểm pha biểu diễn một trạng thái vi mô khả hữu của hệ thực nên ta có thể kết luận rằng: Xác suất để hệ thực mà ta xét ở trong một trạng thái vi mô nào đó, đặc trưng bằng
một tập hợp các giá trị của các biến số X nằm trong khoảng dX sẽ bằng:
dWω(X, t)dX= (4.8)
Trong đó (X, t)ω là hàm phân bố thống kê thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa (4.7).
Như vậy, mỗi trạng thái vi mô của hệ mà ta khảo sát được đặc trưng bằng một xác suất dW. Điều đó là hoàn toàn dĩ nhiên. Thực vậy, khi hệ nằm trong một trạng thái vĩ mô nào đó ta chỉ có thể biết được một số ít. biến số thôi, đó là các thông số vĩ mô đo được trong thí nghiệm (như nhiệt độ, áp suất chẳng hạn), chúng là hàm của các biến số vi mô X:
Fk =F (X)k với k = 1, 2,..., m; mà m= N
Do đó, dù cho biết tất cả các thông số vĩ mô ta cũng không thể xác định tất cả các biến số X, có nghĩa là từ các phép đo vĩ mô ta chỉ có thể dự đoán một cách thông kê (xác suất) về các giá trị của các biến số vi mô X tức là về các trạng thái vi mô mà thôi. Biết hàm phân bố (X, t)ω ta có thể tìm được trung bình thống kê (trung bình theo tập hợp) của một đại lượng vật lí bất kì F(X) theo công thức:
(X) (X)