4.2.1. Không gian pha
Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều hạt với thời gian người ta đưa vào một không gian quy ước gọi là không gian pha0, đồng thời các tọa độ của không gian đó chính là các thông số độc lập xác định trạng thái vi mô của hệ (tức là các tọa độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấu thành hệ). Phương pháp đó phải coi là rất thuận tiện về mặt nguyên tắc vì rằng, việc mô tả tính chất của hệ nhiều hạt trong không gian thực ba chiều gặp phải những khó khăn rất lớn. Mặt khác, đối với tất cả các hệ vật lí thực, không gian pha là không gian nhiều
chiều. Chẳng hạn như, không gian pha của một phân tử khí lí tưởng đơn giản nhất là không gian
sáu chiều; đối với phân tử hai nguyên tử có năm bậc tự do, không gian pha là mười chiều; còn đối với một hệ phức tạp nói chung là 2fN chiều, với f là số’ bậc tự do của một hạt trong hệ, N là số hạt trong hệ. Có thể nói rằng việc đưa không gian pha nhiều chiều vào trong vật lí thống kê đã làm cho lí thuyết mất hết nét cụ thể của nó, bởi vì, ta không thể hình dung nổi một không gian nhiều chiểu. Thế nhưng, trái lại, chính việc áp dụng không gian đó vào vật lí thông kê lại rất phong phú và bổ ích để nghiên cứu các hệ nhiều hạt.
Trong vật lí thống kê người ta thường xét hai loại không gian pha: không gian |J. và không gian K. Không gian |I là không gian của một hạt, thí dụ như của một phân tử chẳng hạn. Do đó để khảo sát hành vi của một phân tử khí lí tưởng có ba bậc tự do ta đưa vào không gian |U, 6 chiều có sáu tọa độ (sáu thông số vi mô), và, khi đó, trạng thái vi mô của hệ đó được xác định bằng một điểm trong không gian ụ. đó. Không gian K được đưa vào để khảo sát hệ nhiều hạt, thí dụ như, một chất khí xét toàn bộ, và không gian đó có 2fN chiều. Trạng thái vi mô của một hệ phức tạp được xác định, như ta đã biết, bởi 2fN thông số qk và pk và do đó “được biểu diễn” bằng một điểm trong không gian K. Đối với các hệ vĩ mô thì N rất lớn và do đó không gian K ià một không gian rất nhiều chiều.
rộng của các hạt cấu thành hệ và được biểu diễn trong không gian pha bằng một điểm, gọi là
điểm pha, và đó là yếu tố đơn giản nhất của không gian pha. Khi trạng thái của hệ biến đổi với
thời gian, điểm pha sẽ “chuyển động” và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha, đồng thòi mỗi một điểm trên quỹ đạo sẽ tương ứng với một trạng thái tức thời xác định nào đó của hệ. Ta cần chú ý rằng, chắc chắn là quỹ đạo pha không có nét gì giống với quỹ đạo thực của hệ chuyển động mà chỉ là một quỹ đạo quy ước giống như bản thân không gian pha vậy.
Bởi vì, các phương trình Hamilton luôn luôn xác định một cách đơn trị tính chất của hệ, nên từ đó ta suy ra rằng, các quỹ đạo pha của hệ không thể cắt nhau trong không gian pha, bởi vì, nếu như vậy, thì ứng với mỗi giao điểm của chúng sẽ có hai nghiệm của phương trình Hamilton! Thành thử, đốì với mỗi điểm của không gian pha, chỉ có một qũy đạo pha đi qua.
Nếu ta xét một hệ cô lập, thì, đốỉ với hệ đó năng lượng toàn phần là không đổi, nghĩa là E = E (q1( q2, ... Pi, p2...) = const. (4.4)
Điều kiện đó có thể xem như một phương trình liên hệ tất cả các thông số vi mô của trạng thái, và trong không gian pha nó là phương trình của một mặt nào đó. Mặt đó được gọi là siêu diện năng lượng, hay, vắn tắt hơn là mặt năng lượng trong không gian pha. Dễ dàng thấy rằng,
mặt đó là mặt có 2fN-1 chiều, giống như trong không gian thực 3 chiều, một mặt bất kỳ là hai chiều.
Sau này, ta sẽ xét không phải là một hệ mà là một tập hợp hệ (tập hợp thống kê) và sự phân bố của các điểm pha của chúng trong không gian pha. Vì vậy, ta có lí do để đưa vào quan niệm về thể tích pha, giống như trong hình học của không gian ba chiều ta đã xét thể tích. Hiển nhiên là, một thể tích bất kỳ trong không gian pha có 2fN chiều. Để thuận tiện cho việc nghiên cứu sự phân bố của các hệ, ta chia không gian pha ra thành các thể tích nguyên tố, đồng thời, tương tự như thể tích của hình hộp ba chiều, độ lớn của mỗi thể tích đó được biểu thị như sau:
dX = dq1, dq2 ... dqfN, dp1, dp2... dpfN (4.5) trong đó tất cả các dqk và dpk biểu thị các khoảng đủ nhỏ của các thông số trạng thái.