Cho n là số nguyên dương lẻ.. Cho x, y là các số không âm.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.. Cho tam giác đều ABC.. Từ một điểm M trên cạnh AB vẽ hai đường thẳng song song với các cạ
Trang 1PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ
TRƯỜNG THCS TT PHÙ MỸ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2010 – 201
MÔN: TOÁN
Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
Bài 1: ( 3 điểm ) Tìm số nguyên m để m2 + +m 2010 là số nguyên
Bài 2: ( 3 điểm) Cho n là số nguyên dương lẻ
Chứng minh: ( 1n + 2n + 3n + …+ 2008n + 2009n) chia hết cho ( 1 + 2 + 3 + … + 2008 + 2009 )
Bài 3: ( 3 điểm ) Cho a , b là hai số thực dương thoả mãn : a + b = 2010
2009
2009
Bài 4 : ( 4 điểm ) Giải phương trình:
x − + x − + + x − + x + +x = 2x 3 + 3x 2 + 3x + 1 (có 2010 dấu căn)
Bài 5 : ( 2 điểm ) Cho x, y là các số không âm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
P = x - 2 xy+3y−2 x+2010,5
Bài 6 : ( 5 điểm ) Cho tam giác đều ABC Từ một điểm M trên cạnh AB vẽ hai đường
thẳng song song với các cạnh AC, BC chúng lần lượt cắt BC, AC tại D, E Tìm vị trí điểm M trên cạnh AB để độ dài đoạn DE đạt giá trị nhỏ nhất
- Hết
Trang 2-ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 9
Bài 1: Giả sử m2 + m + 2010 = k2 ( k ∈ N ) ⇔ 4m2 + 4m + 8040 = 4 k2 (0,5 đ) ⇔ 4k2 – ( 2m – 1)2 = 8039
⇔( 2k – 2m – 1)( 2k + 2m + 1) = 8039 (0,5 đ)
Vì 8039 là số nguyên tố nên 8039 = 1 8039 (0,5 đ) Xét hai khả năng xảy ra : 2 2 1 8039 2010
2 2 1 1 2010
− − = = −
Vậy: m = {2009; 2010− } (0,5 đ)
Bài 2 : Tính tổng 1 + 2 + 3 + … + 2008 + + 2009 = 2009(2009 1) 2009.1005
2 + = (0,5 đ) Xét T = ( 1n + 2n + 3n + …+ 2008n + 2009n) = (1n + 2008n) + (2n + 2007n) + … + (1004n + 1005n ) + 2009n chia hết cho 2009 ( vì n lẻ ) (0,5đ)
Xét T = ( 1n + 2n + 3n + …+ 2008n + 2009n) = ( 1n + 2009n) + (2n + 2008n) + … + (1004n + 1006n) + 1005n chia hết cho 1005 ( vì n lẻ ) (0,5 đ)
Suy ra T chia hết cho 2009 1005 (0,5 đ) Vậy : ( 1n + 2n + 3n + …+ 2008n + 2009n) chia hết cho ( 1 + 2 + 3 + … + 2008 + + 2009 )
(0,5 đ)
Bài 3: Ta có: 2009 1
2009
a + b + 2009a + 2009b – 2010 (0,5 đ)
= 2009 2009 2009 1 2010
2009
+ + + −
(1) (0,5 đ)
Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có :
2009a 2 2009a 2.2009
a + ≥ a = (2) (0,5 đ)
2009 2 2009 2
2009b+ b≥ 2009b b= (3) (0,5 đ)
Từ (1), (2) , (3) suy ra 2009 1
2009
a + b ≥ 2.2009 + 2 – 2010 = 2010 (0,5 đ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (a; b) = (1; 1
2009) (0,5 đ)
Bài 4: Giả sử x là nghiệm của phương trình suy ra:
2x3 + 3x2 + 3x + 1 = ( 2x + 1)(x2 + x + 1) ≥ 0 (1) (0,5 đ) Suy ra 2x + 1 ≥ 0 ⇔x ≥ - 1
2 ( vì x2 + x + 1 > 0 ) (0,5 đ) Với x ≥ - 1
2 ta có : 2 1 1 1
x + + = + = +x x x (0,5 đ)
Suy ra : 2 1 2 1 2 1 1
x − + x + + =x x − + +x = x + 1
2 (0,5 đ) Biến đổi và rút gọn vế trái ta có : 2(x + 1
2) = 2x + 1 (2) (0,5 đ)
Trang 3Kết hợp (1) với (2) ta có :
2
2 1 (2 1)( 1) 1
2
x
+ = + + +
≥ −
2
1 2 (2 1)( ) 0
0 1
1 2
x
x x
x
= −
≥ −
(0,5 đ)
Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = - 1
2 ; x2 = 0 (0,5 đ)
Bài 5: Đặt x a= ; y b= ; với a , b không âm ta có :
P = a2 – 2ab + 3b2 – 2a + 2010,5 (0,5 đ)
= a2 – 2(b + 1)a + (b + 1)2 + 2b2 – 2b + 2009,5
= ( a – b – 1)2 + 2(b - 1
2)2 + 2009 ≥ 2009 (1,0 đ) Vậy: Min P = 2009 ⇔a = 3; 1
Bài 6: Vì ·AME=·ABC ( đồng vị ) Nên ·AME MAE=· =600 (0,5 đ)
Suy ra tam giác AME đều
Chứng minh tương tự ta có tam giác BMD đều (0,5 đ)
Vẽ DH ⊥AB tại H, EK ⊥AB tại K, DN ⊥ KE tại N (0,5 đ)
Ta có : MK = 1
2AM ; MH =
1
2MB (0,5 đ)
Do đó : HK = MK + MH = 1
2AB (0,5 đ)
Tứ giác HKND có ba góc vuông là hình chữ nhật, suy ra DN = HK (0,5 đ)
Mà DN ⊥ NE nên DE ≥ DN Vậy DE ≥ 1
2AB ( không đổi ) (0,5 đ)
DE = 1
2AB ⇔ E trùng với N ⇔DE // AB (0,5 đ)
Khi đó các tứ giác BMED, DMEA là hình bình hành
⇔MA = MB (0,5 đ)
Vậy khi M là trung điểm cạnh AB thì độ dài đoạn thẳng DE đạt giá trị nhỏ nhất (0,5 đ)
-* Ghi chú: Mọi cách giải khác đúng và lập luận chặt chẽ đều đạt điểm tối đa
N K
M H
E
B
A