PHềNG GD T PH M THI HOẽC SINH GIOI CAP HUYEN (2010-2011) TRNG THCS TT BèNH DNG Mụn TON, lp 9 xut Thi gian lm bi:150 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) Cõu 1: (5 im) a) Cho biu thc (x + 200620062006 22 =+++ )yy()x Hóy tớnh tng : S = x + y b) Cho 3 s tha món iu kin: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0x y y z z x+ + = + + = + + = Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc : A = x 2010 + y 2010 + z 2010 Bi 2 : (5im) a) Cho biu thc : 2 2 5 4 2017M x x y xy y= + + + Vi giỏ tr no ca x, y thỡ M t giỏ tr nh nht ? tớnh giỏ tr nh nht ú. b) Tỡm cỏc s nguyờn dng n sao cho x = 2n + 2003 v y = 3n + 2005 u l nhng s chớnh phng. Cõu 3 : ( 5im ) gii phng trỡnh a) xx x 1 36 = 3 + 2 2 xx b) 4 2 4 2 2 2 2 1 1 3 3 2 5 3 1 ( x ) ( x ) x x ( x ) ( x ) + + = Cõu 4: ( 5im) Mt ng giỏc cú tớnh cht: Tt c cỏc tam giỏc co 3 nh l 3 nh liờn tip ca ng giỏc u cú din tớch bng 1. Tớnh din tớch ca ng giỏc ú. HNG DN CHM UBND HUYN PH M THI HOẽC SINH GIOI CAP HUYEN PHềNG GIO DC O TO Nm hc 2010-2011 Mụn TON, lp 9 xut Thi gian lm bi:150 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) Câu 1: (5 điểm) Ta có: ( 2 2 2 2 2006 2006 2006 2006x x )( y y )( x x x )( y y ) + + + + + + )2006()2006(2006 22 xyyxx ++= )2006)()2006(2006 22 ++=<=> yyxx Vậy )yy()xx()yy)(xx( 2006200620062006 2222 ++=++++ 20062006 22 +=+ xyyx (*) Nếu x = 0 => y = 0 => S = 0 Nếu x 0 => y 0 từ (*) => 0 2006 2006 2 2 >= + + y x y x => xy < 0 Vậy 2 2 2 2 2006 2006 y x y x = + + => 2006x 2 = 2006y 2 => x 2 = y 2 => (x-y)(x+y) = 0 mà xy < 0 => x - y 0 b) T gi thit ta cú : 2 2 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x y y z z x + + = + + = + + = Cng tng v cỏc ng thc ta cú: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0x x y y z z+ + + + + + + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 0x y z + + + + + = 1 0 1 0 1 0 x y z + = + = + = x = y = z = -1 Vy : A = x 2010 + y 2010 + z 2010 = (-1) 2010 + (-1) 2010 + (-1) 2010 A = 3 Bi 2 . (5,0 im) Ta cú: => S = x + y = 0 im 0.5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 a) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 2 1 2 2 2010M x x y y xy x y= + + + + + + − − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2010M x y x y= − + − + − − + ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 2 1 1 2010 2 4 M x y y ⇒ = − + − + − + Do ( ) 2 1 0y − ≥ vµ ( ) ( ) 2 1 2 1 0 2 x y − + − ≥ ,x y∀ 2010M ⇒ ≥ min 2010 2; 1M x y⇒ = ⇔ = = Câu 2 ( 2 điểm) Giả sử 2n + 2003 = a 2 vµ 3n + 2005 = b 2 (a, b nguyên dương). Khi ®ã 3a 2 - 2b 2 = 1999 (1) => a lÎ. §Æt a = 2a 1 + 1(a 1 ∈ Z) => 2b 2 = 3.4a 1 (a 1 +1) - 1996 = 3.4a 1 (a 1 +1) - 2000 + 4 => b 2 ≡ 2 ( mod 4) Vô lý. Vậy không tồn tại số nguyên dương thoả mãn. Câu 3: (2 điểm) a) §K 0 < x < 1 vµ x ≠ 2 1 Khử mẫu ở vế trái ta được phương trình: 3( xx −+ 1 ) = 3 + 2 2 xx − §Æt xx −+ 1 = t ⇒ ®k : 0 < t < 2 Phương trình viết thành : t 2 - 3 t + 2 = 0 Kết luận: x = 0 ; x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho b) điều kiện: 1 3 x x ≠ ≠ ± Đặt a =(x-1) 2 ; b = x 2 - 3 Phương trình 4 2 4 2 2 2 2 1 1 3 3 2 5 3 1 ( x ) ( x ) x x ( x ) ( x ) − + − + = − − − − trở thành: 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 a b a b b a a a b ( a b ) Ta có : b a b a b b a b a a b + + = + + + + + = + + ≥ = + + ≥ + + + Dấu = xãy ra khi 2 1 1 a b b = = = khi đó x = 2 Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 0.25 0.25 C©u 5: (5 ®iÓm) Giả sử ngũ giác ABCDE thỏa mãn đk bài toán Xét ∆BCD và ECD và S BCD = S ECD đáy CD chung, các đường cao hạ từ. B và E xuống, CD bằng nhau => EB//CD, Tương tự AC// ED, BD //AE, CE // AB, DA// BC Gọi I = EC ∩ BC => ABIE là hình bình hành. => S IBE = S ABE = 1. §Æt S ICD = x < 1 => S IBC = S BCD - S ICD = 1-x = S ECD - S ICD = S IED L¹i cã IBE IBC IDE ICD S S IE IC S S == hay 1 1 1 x x x − = − => x 2 - 3x + 1 = 0 => x = 2 53± do x < 1 => x = 2 53 − . VËy S IED = 2 15 − Do ®ã S ABCDE = S EAB + S EBI + S BCD + S IED = 3 + 2 15 − = 2 55+ A B C E D I 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 . PHềNG GD T PH M THI HOẽC SINH GIOI CAP HUYEN (2010-2011) TRNG THCS TT BèNH DNG Mụn TON, lp 9 xut Thi gian lm bi:150 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) Cõu 1: (5 im) a) Cho. 2 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 0.25 0.25 C©u 5: (5 ®iÓm) Giả sử ngũ giác ABCDE thỏa mãn đk bài toán Xét ∆BCD và ECD và S BCD = S ECD đáy CD chung, các đường cao hạ từ. B và E xuống, CD bằng nhau => EB//CD, Tương tự AC// ED,. cht: Tt c cỏc tam giỏc co 3 nh l 3 nh liờn tip ca ng giỏc u cú din tớch bng 1. Tớnh din tớch ca ng giỏc ú. HNG DN CHM UBND HUYN PH M THI HOẽC SINH GIOI CAP HUYEN PHềNG GIO DC O TO Nm hc 2010-2011