SKKN Giải một số dạng toán bằng định lý Viet

MỞ ĐẦU 1/ Lý do chọn đề tài Trong chương trình môn Toán bậc THPT hiện nay cĩ rất nhiều bài tốn cĩ tham số liên quan tới phương trình bậc 2, quy về bậc 2, và trong số đĩ xuất hiện nhiều

MỞ ĐẦU 1/

Lý do chọn đề tài

Trong chương trình môn Toán bậc THPT hiện nay cĩ rất nhiều bài tốn cĩ tham số liên quan tới phương trình bậc 2, quy về bậc 2, và trong số đĩ xuất hiện nhiều và đa dạng các bài tốn “Tìm điều kiện để một phương trình cĩ nghiệm, cĩ một nghiệm, hai nghiệm,

ba nghiệm, bốn nghiệm …” Đây thực chất là các bài tốn so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với một số thực α , nếu xem xét các dạng tốn này theo quan điểm, chương trình bộ sách giáo khoa cũ thì các em học sinh khơng khĩ để cĩ thể giải quyết bởi

vì trong chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10, các em được trang bị đầy đủ nội dung các định lý thuận, đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả Nhưng hiện nay theo bộ sách giáo khoa mới đang phát hành thì phần kiến thức liên quan tới định lý đảo và các hệ quả

đã được giảm tải Đứng trước vấn đề “Khơng cĩ cơng cụ đĩ thì cần tìm hướng nào để

bằng kiến thức các em đang được học trong sách giáo khoa các em vẫn cĩ thể giải được các dạng tốn đĩ?” Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tịi, phát hiện, tạo hứng

thú trong quá trình học bộ mơn Tốn, và hơn nữa là gĩp phần nâng cao chất lượng giảng

dạy, nay tơi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng định lý Vi-et giải một số dạng

tốn phương trình bậc 2 – quy về bậc 2 cĩ tham số”.

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT.

 Nếu ∆ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.

 Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép 1 2

c) Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.

 Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R∈ : ax 2 + + =bx c 0 1( ) (a≠ 0) có hai

 Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ <P 0

 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ P∆ ≥>00

 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương

0 0 0

P S

 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm

0 0 0

P S

2) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Trong phần này tôi sẽ trình bày phương pháp giải quyết một cách tổng quát một số dạng toán liên quan đến phương trình bậc 2, và quy về bậc 2 trong tập số thực R: Thay vì so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với một số thực α, ta sẽ biến đổi để đưa về so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0

Bài toán 1 Cho phương trình: ax 2 + + =bx c 0 1( ) (a≠ 0,x R∈ )

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x≥ α

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x≤ α

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 < < α x2

d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: α < <x1 x2

e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 <x2 < α

Giải.

• Đặt t= − ⇒ = +x α x t α , thay vào pt (1) ta được pt: at2 +(2aα +b t a) + α 2 +bα + =c 0 2( )

a) Để phương trình (1) có nghiệm x≥ α ⇔ pt (2) có nghiệm t≥ 0

b) Phương trình (1) có nghiệm x≤ α ⇔ pt (2) có nghiệm t≤ 0

c) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 < < α x2 ⇔ pt (2) có 2 nghiệm t1 < < ⇔ < 0 t2 P 0

d) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa α < < ⇔x1 x2 pt (2) có 2 nghiệm 1 2

Nhận xét: Thoạt nhìn thì bài toán này mang đậm dấu ấn dùng kiến thức so sánh nghiệm

của một tam thức bậc 2 với số thực α, và bằng cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng dựa vào định lý Viet và các ứng dụng, tránh không sử dụng kiến thức về tam thức bậc 2 đã được giảm tải trong sách giáo khoa.

Bài toán 2 Cho phương trình: (x a x b x c x d+ ) ( + ) ( + ) ( + ) =k( )1 với a c b d+ = +

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Giải.

• Ta biến đổi phương trình (1) ⇔ x2 + +(a c x ac x) +    2 + +(b d x bd) + =k ( )2

Nhận xét: Trong các tài liệu sách giáo khoa, hoặc sách tham khảo, cách giải đưa ra đối

với dạng toán này là đặt: t=x2 + +(a c x) với điều kiện ( )2

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm dương.

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm âm.

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.

d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

trang bị công cụ Để giúp học sinh vượt qua trở ngại này chúng ta giải quyết như sau).

• Để phương trình (1) có nghiệm x> 0 thì phương trình (3) có nghiệm t≥ 0, ta xét:

d) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau;

 TH1 : Phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa:

 TH3 : Đồng thời phương trình (3), phương trình (4) có hai nghiệm trái dấu 1

2

0 0

P P

<



⇔  <



Nhận xét: Với cách tiếp cận này học sinh cũng có thể dễ dàng giải quyết các bài toán

như: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm, 3 nghiệm.

Bài toán 4 Cho phương trình ( 2 )2 ( 2 ) ( ) ( )

ax bx c ax bx c 0 1 0;a 0

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Giải.

• Xét a > 0 (với a < 0, làm tương tự)

• Ta có

2 22

b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm thỏa 1 2

(Trong đó ∆ là biệt thức của pt (3), S t= + 1 t2 , P t t= 1 2 )

Nhận xét: Khi gặp dạng toán này các em học sinh thường đặt t = ax 2 + +bx c với điều kiện

Bài toán 5 Cho phương trình 2 2 ( )

ax +b x + + = α c 0 1 với α > 0,a≠ 0.a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Giải.

• ĐK x R∈

(Trong đó ∆ là biệt thức của pt (3), S t= + 1 t2 , P t t= 1 2 )

Nhận xét: Với dạng toán này hầu hết các sách tham khảo đều đặt t = x2 + α (t≥ α), và đưa về phương trình bậc 2 có dạng: at2 + + −bt c aα = 0, khi đó để giải quyết các câu hỏi đặt ra thì đều phải sử dụng tới định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, hoặc sử dụng công cụ đạo hàm Cả hai cách này đều không phù hợp với tư duy, kiến thức của học sinh lớp 10, 11 và ngay cả đối với học sinh lớp 12, bởi vì công cụ dùng đạo hàm để giải không phải lúc nào cũng tối ưu

Bài toán 6 Cho phương trình: ax 2 + + = −bx c x α ( )1

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

a) Để phương trình (1) có nghiệm thì pt (3) có nghiệm t≥ 0

 TH1 : Xét a= 1, thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t0 ≥ 0

 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm 1 2

1 0

0 0

a

P S

0 0

a

P S

 TH1 : Xét a= 1, thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t0 ≥ 0

 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm 1 2

1 0

0 0

a

P S

(Trong đó ∆ là biệt thức của phương trình (3), S t= + 1 t2 , P t t= 1 2 )

Nhận xét: Dạng toán này hay xuất hiện trong chuyên đề về phương trình chứa căn, và

những bài toán như thế cũng từng xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, nhưng tất cả đều đưa ra phương án là đi so sánh nghiệm của phương trình (2) với số thực α Song với cách giải như trên thì ta đã đưa bài toán về so sánh nghiệm của phương trình (3) với số 0.

Bài toán 7.Cho phương trình: loga(αx2 + βx+ γ) = loga(x b− ) ( )1 với 0 < ≠a 1

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Giải.

a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t > 0

 TH1 : Xét α = 0, thay vào pt (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t0 > 0

 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm 1 2

0 0

0 0

P S

0 0

P S

0 0

P S

c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm t> 0

 TH1 : Xét α = 0, thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t0 > 0

 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm 1 2

0 0

 TH3 : Phương trình (3) có nghiệm 1 2

0 0 0

0 0

P S

Nhận xét: Đây là dạng toán giống với bài toán 6 đã giải quyết ở trên, ta cũng đã đưa về

so sánh nghiệm của một phương trình có dạng bậc 2 với số 0.

• Đặt t= − ⇒ = +x 1 x t 1, thay vào pt (1) ta được phương trình: t2 + 2 1( −m t m) + 2 − 3m+ = 2 0 2( )

a) Để phương trình (1) có nghiệm x≥ 1 ⇔ phương trình (2) có nghiệm t≥ 0

 TH1 : Phương trình (2) có nghiệm 2

• Kết luận: với m∈ +∞[1; ) thì phương trình (1) có nghiệm x≥ 1.

b) Để phương trình (1) có nghiệm x≤ 1 ⇔ phương trình (2) có nghiệm t≤ 0

• Kết luận: với m∈[ ]1; 2 thì phương trình (1) có nghiệm x≤ 1

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 < < 1 x2 ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm:

t < < ⇔t m − m+ < ⇔ < <m

• Kết luận: với 1 < <m 2 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 < < 1 x2

d) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 <x2 < ⇔ 1 phương trình (2) có 2 nghiệm:

1 2

1 0 ' 0

• Kết luận: không tồn tại m để phương trình (1) có nghiệm x1 <x2 < 1

Nhận xét: Đây chỉ là một ví dụ minh họa cho bài toán tổng quát, tương tự học sinh có

thể giải rất nhiều bài toán như vậy với phương pháp như trên mà không sử dụng kiến thức về tam thức bậc hai Rất nhiều em học sinh sau khi được học ứng dụng của đạo hàm

để giải một số dạng toán “Tìm tham số m để phương trình f x m( , ) = 0 có nghiệm?”, thì khi gặp bài tập này cũng lúng túng không giải quyết được vì không thể đưa bài toán về

dạng: g m( ) =h x( ) để khảo sát Do đó cách chuyển hóa phương trình như trên, đưa bài toán về so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với số 0 dựa vào ứng dụng định lý Vi-et là một lựa chọn tối ưu trong bối cảnh các kiến thức về so sánh nghiệm của một tam thức bậc 2 với một số thực α đã được giảm tải trong sách giáo khoa.

Bài 2 Cho phương trình: x x( − m+ 1)(x− m− 1)(x− 2 m) = 3m+ 2 1( ) , với tham số m≥ 0

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

c) Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

d) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Giải.

• Ta biến đổi phương trình (1) ⇔(x2 − 2 mx x)( 2 − 2 mx m+ − = 1) 3m− 5 2( )

• Đặt t=x2 − 2 mx m t+ ( ≥ 0), thay vào phương trình (2) ta được phương trình:

• Kết luận: Với m∈ − + 6 55;+∞) thì phương trình (1) có nghiệm.

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét 2 trường hợp sau:

• Kết luận: Với m= 52 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

d) Phương trình (1) có 4 nghiệm phận biệt ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:

Bài 3 Cho phương trình: 4 3 ( 2 ) 2 ( )

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương.

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm.

d) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau:

 TH1 : Phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa:

2 0 0

m

m S

2 0 0

m

m S

2 2

Bài 4: Cho phương trình ( 2 )2 ( 2 ) ( )

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

  thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

c) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm thỏa t1 < < 0 t2, hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa 0 t< = 1 t2

  thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Nhận xét: Tương tự ta cũng có thể giải quyết được ngay bài toán: “Tìm m để pt (1) có

nghiệm duy nhất”.

Bài 5 Cho phương trình x 2 −m x2 + + 1 3m+ = 2 0 1( )

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

• Kết luận: Với m∈ +(8 68; +∞) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c) Để pt (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau:

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

• Đặt t = −x 1, vì x− ≥ 1 0 nên ta có điều kiện t≥ 0, thay vào phương trình (2) ta được phương trình: t2 − 2(m− 1)t m+ 2 − =m 0 3( )

a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t≥ 0

• Kết luận: Với m∈[ ]0;1 thì phương trình (1) có nghiệm

b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm

• Kết luận: Không tồn tại m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm t≥ 0

Bài 7 Cho phương trình: ( 2 2 ) ( ) ( )

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm :

2 2

∪ ÷ thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm t> 0

0

3 4

m∈     ∪   thì phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 8 Cho phương trình: 4x2 + 1 −(2m− 1 2) x2 + 2 +m2 − 3m= 0 1( )

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

• Kết luận: Với m∈ +∞[0; ) thì phương trình (1) có nghiệm.

b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn

• Kết luận: Với m∈(0;11) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) có nghiệm thỏa:

2 2

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: − < ≤1 x1 x2

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1 < − < 1 x2

b) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương

d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm

Bài 3 Cho phương trình: (x− 1) (x− 2) (x− 3) (x− = 4) 2m− 1 ( )1

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c) Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

Bài 4 Cho phương trình: ( 2 )2 ( )( 2 ) 2 ( )

2 x − 4x+ 2 − 3 2m− 1 x − 4x+ + 2 m − 3m− = 1 0 1a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Bài 5 Cho phương trình: x2 +(3m+ 2) x2 + + 2 2m2 + 3m− = 3 0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Bài 6 Cho phương trình: 2x2 − 3mx+ 2m2 − = +m x m ( )1

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

log + x − 2m+ 3 x+ 2m + 3m− + 4  log − x− 2m+ = 1 0 1a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

em đạt điểm 8, 9, 10 môn Toán, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường

Khi tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, khu vực, Olympic 30 tháng 4 có nhiều em đạt giải cao ( 02 em đạt HSG cấp Quốc gia, 09 em đạt huy chương khi tham gia thi Olympic 30 – 4 )

Cuï theå:

1) Kết quả học tập bộ môn:

2) Kết quả thi HSG cấp tỉnh:

Năm học Kết quả thi HSG cấp tỉnh lớp 12

Giải nhất Giải nhì Giải ba Giải khuyến

BÀI HỌC KINH NGHIỆM

Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã được Đảng, Nhà nước coi là quốc sách hàng đầu, để chấn hưng nền giáo dục của nước nhà thì việc đổi mới phương pháp giảng dạy được Bộ Giáo dục luôn coi là một nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực hiện một cách có hiệu quả Muốn làm tốt công việc đó thì người thầy phải phấn đấu

tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chuyên môn, từ đó tìm ra cho mình phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cực trong công tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy và học Từ những nhận thức đó, hàng năm tôi đều chọn một

đề tài thiết thực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao năng lực về chuyên môn, góp phần chia sẻ cùng các đồng nghiệp, các em học sinh những ý tưởng phục vụ cho việc dạy và học được tốt hơn Thực tế qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy đại đa số các em học sinh đều ngại và lúng túng khi gặp các bài toán có chứa tham số, bên cạnh đó việc sách giáo khoa lớp 10 đã giảm tải phần định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, nên khi gặp các dạng toán trong chuyên đề này

đã trình bày các em cảm thấy lúng túng, nhất là các em học sinh lớp 10, ngay cả các em học sinh lớp 12 khi đã được trang bị công cụ là đạo hàm cũng thấy khó khăn Từ thực tế

đó nhằm giúp các em học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi học toán, biết cách vận dụng, khai thác một số dạng toán có chứa tham số, quy lạ về quen nên tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: