SKKN Giải một số bài toán về đa thức ở bậc THCS bằng máy tính cầm tay

- Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là “các bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải toán trên MTCT đều có.. - Trong thực tế, khi b

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC Ở BẬC THCS BẰNG

MTCT"

A MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

“…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kết hợp hữu cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử Có những bài toán khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp Nếu không dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện tử”

(Trích lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện toán học).

- Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được sử dụng rộng rãi trong học tập, thi cử Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc tính toán và những bàitập không thể giải bằng tay

- Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải

là “các bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải toán trên MTCT đều có

- Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, của huyện sử dụng MTCT để dạy về giải “Một số bài toán về đa thức” thì phần lớn các em nắm được kiếnthức nhưng sau đó việc vận dụng ,cũng như kĩ năng trình bày bài giải chưa hợp lý, chính xác

Vì vậy tôi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kĩ năng sử dụng MTCT để giải các bài toán nói chung và về đa thức nói riêng một cách thành thạo và chính xác là hết sức cần thiết

Làm thế nào để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quan đến đa thức đặc biệt là các đề thi giải toán bằng MTCT đã và đang diễn ra hầu hết các tỉnh thành

trong cả nước.

Do đó tôi chọn đề tài:“Giải một số bài toán về đa thức ở bậc THCS bằng MTCT ”

II.NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:

Nhiệm vụ chính:

Nâng cao hiệu quả hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải các bài toán liên quan đến đa thức

Đối với giáo viên:

- Có được nội dung ôn tập cho học sinh khi lồng ghép các tiết giảng dạy với sự hỗ trợ của MTCT và đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu quả hơn

- Định hướng được các dạng toán cũng như các phương pháp giải các bài toán về đa thức bằng MTCT

Đối với học sinh:

- Nắm được cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán về đa thức

- Vận dụng linh hoạt, có kĩ năng thành thạo

III.PHƯƠNG PHÁP – CƠ SỞ – THỜI GIAN TIẾN HÀNH NGHIÊN CỨU

 Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường

 Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện

Cơ sở – Thời gian tiến hành nghiên cứu: Năm học: 2009 – 2010

 Học sinh trường THCS Bình Nghi.(160 học sinh được lựa chọn ở các khối 7,8,9

- Học sinh không biết giải các bài tập về đa thức bằng MTCT như thế nào

- Nhìn chung số em giải được là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa ra được hướng giải chung cho dạng bài tập này

Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Bình Nghi trong năm học 2009 –

2010 khi chưa thực hiện đề tài

BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC

II NỘI DUNG – GIẢI PHÁP:

A.KIẾN THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC :

Định lý Bezout : “ Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a)”

Hệ quả :

- Nếu f(a) = 0 , đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a

- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f

- Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 ( n TM N) có n nghiệm x1 , x2

…,xn thì đa thức P(x) phân tích được thành nhân tử :

P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn)

Sơ đồ Horner:

Để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong trường hợp tổng quát P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c)

bn -3 = cbn - 2+ an -2

Vậy: P(x)=q(x)(x - c) + r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 và

r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0

B GIỚI THIỆU CÁC PHÍM CHỨC NĂNG PHỤC VỤ VIỆC GIẢI TOÁN CỦA CHỦNG LOẠI MTCT CASIO:

- Các loại máy được sử dụng hiện nay ở trường phổ thông hầu hết là dòng máy casio fx: 500MS,500ES;500VN-Plus;570MS;570ES

- Tuỳ theo cách sử dụng nhưng nhìn chung có hai cách cơ bản dành cho hai dòng máy:500ES;500VN-Plus;570ES và 500MS,570MS nhưng đối với dòng máy

500ES;500VN-Plus;570ES thì việc nhập dữ liệu vào máy cũng như kết quả truy xuất hiển thị giống như phép toán ở sách giáo khoa

- Các phím chức năng , các hàm cơ bản được bố trí dưới dạng hiển thị menu rất thông dụng

- Trong phạm vi của đề tài này chúng ta xem như học sinh đã biết cách sử dụng MTCT

Muốn P(x) chia hết cho x + thì m + r = 0 hay m = -r = - P( )

Sử dụng hệ quả của định lý Bezout và chức năng giải phương trình và hệ phương trình của MTCT để giải quyết.

Ví dụ 1:Tìm m để đa thức f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia hết cho x – 2

Giải :

Đặt g(x) = 4x4 – 5x3 – 80 ta có f(x) = g(x) +m2x2 – mx

f(x) M (x – 2 ) <-> f(2) = 0 hay g(2) +4m2 – 2m = 0

Ta có g(2) = –56 Þ f(2) = 0 khi 4m2 – 2m = 56 <-> 4m2 – 2m – 56 = 0

Giải phương trình ẩn m , ta được m1 = 4 và m2 = –3,5

(*) vào EQN chọn phương trình bậc hai một ẩn :

nhập vào máy a =4 ; b=- 2 ; c= -56-> x1 = 4; x2 =- 3,5

Nghĩa là hai đa thức f1(x) = 4x4 – 5x3 + 16 x2 – 4x – 80 và

f2(x) = 4x4 – 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x – 80 đều chia hết cho x – 2

Cho biết đa thức P(x) = x4 +mx3 -55x2 +nx –156 chia hết (x – 2) và chia hết cho (x – 3) Hãy tìm giá trị của m, n và các nghiệm của đa thức.

Dạng 2 : Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong

Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P( )

Ví dụ 3: (Sở GD - ĐT TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:

Tìm số dư trong phép chia

Dạng3 : Tìm đa thức thương và dư khi chia đa thức cho đa thức

Bài toán : Chia đa thức a3x3 + a2x2 + a1x + a0 cho x – c ta sẽ được thương là một

đa thức bậc hai Q(x) = b2x2 + b1x + b0 và số dư r

Vậy a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b2x2 + b1x + b0)(x - c) + r

= b2x3 + (b2-b1c)x2 + (b1-b0c)x + (r + b0c)

Ta lại có công thức truy hồi Horner: b2 = a3; b1= b2c + a2; b0= b1c + a1; r = b0c +

Vậy: r = a0 +ca1 + c2a2 + c3a3

Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong trường hợp tổng quát P(x)

= anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c)

Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q(x)(x - c)+r theo sơ đồ Horner để được q(x)

và r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 ta được bảng sau:

cbn1 + an 1

-bn -3 = cbn - 2+ an -2

Do đó: r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0

Ví dụ5: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.

( Ta cũng có thể sử dụng biến Ans để tìm các hệ số và số dư)

Ví dụ 6: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3

Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x - c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0 Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Nếu không có sự hỗ trợ của MTCT thì việc phân tích đa thức thành nhân tử là một bài toán khó.

Tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng chức năng giải phương trình của MTCT để tìm nghiệm, sau đó sử dụng hệ quả của định lý Bezout để giải quyết.

Vậy đa thức 105x2 + 514x – 304 được phân tích thành

Tìm được nghiệm của đa thức trên :

Vậy đa thức 65x2 + 4122x + 61039 được phân tích thành

b) 299 x2 – 2004x + 3337

HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc hai

Nhập a = 299 , b =- 2004 , c = 3337

Tìm được nghiệm của đa thức trên :

Vậy đa thức 299 x2 – 2004x + 3337 được phân tích thành

c) 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265

HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc ba

Nhập a = 156 , b =- 413 , c = -504, d = 1265 Tìm được nghiệm của đa thức

Vậy đa thức 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265 được phân tích thành

Dạng 5: Tính giá trị của đa thức

Dạng 5.1: Tính giá trị của đa thức tại các giá trị của biến(đa thức cho trước)

Bài toán:Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; …

Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.

Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)

Đặt bn-1 = bnx0 + an; bn-2 = bn-1x0 + an-1; …; b1= b0x0 + a0; bo=a0 Suy ra: P(x0) = bn

Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.

Giải trên máy: - Gán giá trị x0 vào biến nhớ M.

cách bấm , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là xong Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.

Ví dụ 10 : Tính khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:

Giải :

a) Rõ ràng nếu ta thế 1,2,3,4,5 chỉ xác định hệ số tự do , việc còn lại là giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn mà máy CASIO không thể giải quyết được Giải bằng tay thì rất vất vả Bài toán này có thể giải quyết như sau :

Từ đó suy ra g(x) phân tích được thành nhân tử :

g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)

mà g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) = g(x) + k(x)

Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 + 10

ÞP(11) = 30371;P(15)=240475

9 Vấn đề ở đây là làm sao tìm được đa thức phụ k(x) = x2 + 10 ?

Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và gán cho k(x) nhận các giá trị k(1) = 11 k(2) = 14 , k(3) = 19

(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

Ở câu b) việc tìm số dư quá đơn giản đây là bài toán ở dạng 2 ở trên.

Quy trình: Dư trong phép chia P(x) cho 10x -3 là P( )

CALC…X? à à r = - 45,78407.

Bài tập tương tự :

Bài 1:(Thi khu vực 2002, lớp 9)

 Cho đa thức P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e

Vậy ta cần giải quyết bài toán này như thế nào?

Đa thức g(x) phải có hệ số cao nhất là hệ số cao nhất của P(x) nên g(x) được phân tích thành nhân tử như sau g(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4)

Vấn đề còn lại là tìm số I như thế nào ?

Ví dụ 13:(Bộ GD – ĐT,2005)

Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2,3,4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần lượt là 8,11,14,17

Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11,12,13,14,15

HD: Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị

Gán n vào biến nhớ thực hiện dãy tăng ,giảm của biến nhớ để tìm nếu kết quả nhận được một số nguyên thì ta xác định được n để f(n) là một số chính phương.

Þ P(x) được phân tích thành nhân tử như sau :

P(x) = (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )

Với x TMZ thì (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 ) là 9 số

nguyên liên tiếp

Trong đó có ít nhất 1 số chia hết cho 2 , 1 số chia hết cho 5, 1 số chia hết cho 7 và 1 sốchia hết cho 9

Đặt A = (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )

Vì ƯCLN(2,5) = 1 Þ A M 10

ƯCLN(7,9) = 1Þ A M 63

ƯCLN(10 ,63) = 1 Þ A M 630

Þ là một số nguyên hay P(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x TMZ

Bài 4: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m.

d)Tìm chức năng giải phương trình bậc ba

Nhập a = 2 , b =- 5 , c = - 13, d = 30 Tìm được nghiệm của đa thức

a Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2

b Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm duy nhất

HD:P(x) , và Q(x) cùng chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) =Q(2) = 0

-> R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – 6 -> R(x) = 0 <-> x3 – x2 + x – 6 = 0

<->(x – 2)( x2 + x + 3) = 0 có nghiệm duy nhất x = 2

Bài 6: (Thi khu vực, 2003, lớp 9)

a Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m

1 Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003

2 Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5

Bài 9: (Thi khu vực 2004)

Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính:

b Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4.

c Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7

d Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7)

Bài 11: (Sở GD - ĐT Thái Nguyên, 2003)

a Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4)

2 1 20 q4(x)=1 = a0, r0 = 20Vậy hệ số của x2 trong đa thức Q(x) có bậc 3 là 10

1.Tính năng của các phím, chủng loại máy,

2.Dạng bài, kiểu bài, … -> định hướng đi.

3.Các phép biến đổi, thuật toán,… -> Dãy lệnh cho máy.

4.Trình bày bài làm(lộ trình đối với những bài tập yêu cầu viết qui trình hoặc kết quả)

Đề tài: “Một số kinh nghiệm về giải các bài toán đa thức ở bậc THCS bằng MTCT

” giúp chúng ta định hướng cho học sinh các dạng bài tập về đa thức và phương pháp

giải những dạng toán đó Giúp cho học sinh tự tin hơn trong việc giải các dạng bài tập

về đa thức một cách sáng tạo, phối hợp nhịp nhàng giữa tư duy và phương tiện bổ trợ,

sử dụng có hiệu quả và khai thác hết chức năng của MTCT

Kết quả khảo sát ở năm học 2009– 2010

BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA

 Kì thi HSG giải toán trên MTCT cấp Tỉnh:

1.Nguyễn Lực - lớp 9 trường THCS Bình Nghi giải KK - HSG- MTCT

2.Nguyễn Quang Sinh- lớp 9 trường THCS Bình Thành giải KK - HSG- MTCT

3 Lê Văn Đẽ- lớp 9 trường THCS Tây Giang giải KK - HSG- MTCT ( Đội tuyển Tỉnh dự thi khu vực)

2 lợi ích và khả năng vận dụng:

- Giáo viên định hướng cách giải các bài tập về đa thức bằng MTCT

- Có được tài liệu về việc giải toán bằng MTCT đan xen trong các tiết dạy chính khoá

và sử dụng trong các buổi sinh hoạt ngoại khoá về giải toán trên MTCT

- Học sinh nắm được phương pháp giải, vận dụng hợp lý, sáng tạo sử dụng hiệu quả MTCT trong việc giải toán Kết hợp giữa tư duy và thực hành bước đầu hình thành nề nếp làm việc với MTĐT phù hợp với xu thế phát triển của CNTT

3 Đề xuất kiến nghị:

- Giáo viên tự rèn, dạy rộng rãi MTCT nghiên cứu chuyên sâu phục vụ đội tuyển và nâng cao chất lượng các kì thi

- Thư viện trường cần tổng hợp nhiều nội dung ,kiến thức liên quan đến MTCT phục

vụ cho việc giảng dạy

- Lãnh đạo: Chỉ đạo, kiểm tra, giám sát phát triển rộng khắp việc sử dụng MTCT trongdạy học

Với kinh nghiệm còn ít mặc dù đã cố gắng tìm tòi nghiên cứu nhưng không tránh những thiếu sót Mong quý đồng nghiệp hãy thử áp dụng vào quá trình giảng dạy và đóng góp ý kiến để hoàn thiện đề tài tốt hơn

D.TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Sách hướng dẫn sử dụng và giải toán trên máy tính casio.( Nhà xuất bản GD)

- Đề kiểm tra HSG – Giải toán trên máy tính casio của các tỉnh, thành phố.(Từ năm

1998 đến nay)

- Chuyên đề về đa thức