SKKN Kinh nghiệm giảng dạy phương trình vô tỉ ở trường THCS

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra phương pháp dạy học và giải bàitập toán đòi hỏi người giáo viêm phải chọn lọc có hệ thống, sử dụng đúngphương pháp dạy học góp phần hình thành và

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Toán học là môn học có ứng dụng hầu hết trong tất cả các ngành khoa học

tự nhiên cũng như trong các lĩnh vực khác của đời sống xã hội nên nó có vị tríđặc biệt trong viêc phát triển và nâng cao dân trí Toán học không chỉ cung cấpcho người học những kiến thức cơ bản, những kĩ năng tính toán cần thiết mà còngiúp rèn luyện và phát triển tư duy logic

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra phương pháp dạy học và giải bàitập toán đòi hỏi người giáo viêm phải chọn lọc có hệ thống, sử dụng đúngphương pháp dạy học góp phần hình thành và phát triểm tư duy của học sinh.Đồng thời qua việc học toán, học sinh được bồi dưỡng rèn luyện về phẩm chấtđạo đức, các thao tác tư duy để giải bài tập toán

Hiện nay từ lớp 7 học sinh đã được biết việc mở rộng tập số hữu tỉ Qthành tập số thực R, khi lên lớp 9 học sinh được học về phương trình vô tỉ nhưngtình trạng chung là học sinh thường lúng túng chưa biết cách giải hoặc giải đượcnhưng chưa chặt chẽ, mắc sai lầm Nguyên nhân của tình trạng trên chính là giảiphương trình vô tỉ là một dạng toán tương đối mới lạ và khó đối với học sinh,bên cạnh đó giáo viên trong quá trình dạy thường ít khai thác, phân tích đề bài,

mở rộng bài toán mới nên học sinh chưa được trạng bị các phương pháp giảimột cách có hệ thống vì vậy khi gặp bài toán giải phương trình vô tỉ việc suyluận còn hạn chế dẫn đến kết quả thấp

Do đó phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải phươngtrình vô tỉ là cần thiết nên tôi xin trình bày “Kinh nghiệm giảng dạy phươngtrình vô tỉ ở bậc THCS” của mình với mong muốn có thể trang bị cho học sinhmột số kiến thức về phương trình vô tỉ, giải đáp được thắc mắc, sửa chữa đượcnhững sai lầm hay gặp khi giải phương trình vô tỉ, giúp các em nắm được mộtcách có hệ thống các phương pháp cơ bản và áp dụng thành thạo các phươngpháp đó để giải bài tập, khắc phục tình trạng trên Mặt khác giúp các em tiếp thubài chủ động sáng tạo, thấy rõ được mục đích của việc học toán và học tốt hơncác bài tập về phương trình vô tỉ, từ đó góp phần nâng cao chất lượng học môntoán của học sinh trong trường THCS

Trong đề tài tôi đưa ra một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bảnphù hợp với trình độ của học sinh THCS, đi kèm là các ví dụ và lời giải cụ thể cùng với một số chú ý, nhận xét đối với từng phương pháp

Tôi hi vọng đề tài này sẽ giúp ích cho học sinh ở trường THCS trong việchọc và giải phương trình vô tỉ, qua đó các em có phương pháp giải đúng, tránhđược tình trạng giải bài toán sai hoặc còn lúng túng trong việc trình bày lời giải,giúp học sinh làm việc tích cực hơn đạt kết quả cao trong kiểm tra.

Các phương pháp nghiên cứu :

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp thực nghiệm

(Lớp thử nghiệm : 9A ; lớp không thử nghiệm : 9C)

- Phương pháp phân tích, so sánh - đối chiếu và đánh giá kết quả

x x

+

−

2 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản

Để giải phương trình vô tỉ thông thường ta tìm cách khử dấu căn, ta có thểtiến hành theo các bước cơ bản như sau :

- Tìm điều kiện xác định của phương trình (ĐKXĐ)

- Biến đổi phương trình về dạng đã học (quen thuộc)

- Giải phương trình vừa tìm được

- Đối chiếu với ĐKXĐ để kết luận nghiệm

Sau đây chúng ta sẽ đi tìm hiểu một số phương pháp cụ thể thường dùng

để giải phương trình vô tỉ :

2.1 Phương pháp nâng lên luỹ thừa

Trong phương pháp này ta sẽ đi tìm hiểu cách nâng lên luỹ thừa với một

3 0

x x

1 −x− +x = ⇔ 1 −x = 1 + 2 +x (1) Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được :

44 (Thoả mãn ĐKXĐ)

x2 = 8 (Thoả mãn ĐKXĐ)Vậy phương trình có hai nghiệm x1 =

5

44 ; x2 = 8

Ví dụ 2 Giải phương trình : 3 x− 1 + 3 x− 2 = 3 2x− 3

Giải Lập phương hai vế của phương trình ta được :

( 1 2) 2 3 2

1 3 2

1 + − + 3 − 3 − 3 − + 3 − = −

x

( 1 2) 0 2

1

3 3 − 3 − 3 − + 3 − =

2 1

0 2

0 1

2 1

0 2

0 1

0 2 1

0 2

0 1

3 3

3 3

3 3

x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Vậy phương trình có ba nghiệm : x1 = 1 ; x2 = 2 ; x3 =

2

3

≥ +

≥ +

≥ +

0 5

0 2

0 10

0 1

x x x

x x x

*) Nhận xét

Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng rộng rãi để giải một số dạngphương trình vô tỉ quen thuộc, tuy nhiên trong quá trình giảng dạy cần chú ý khinân lên luỹ thừa bậc chẵn cần phải đặt điều kiện tồn tại căn, điều kiện ở hai vếcủa phương trình đây chính là vấn đề mà học sinh thường mắc sai lầm, chủ quan

bỏ qua Giáo viên cần nhấn mạnh : “ Với a≥ 0 ;b≥ 0 và n N∈ , nếu a = b thì

a2n = b2n và ngược lại Bên cạnh đó cần kết hợp với các phép biến đổi khác, cácphương pháp khác để tạo thuận lợi cho quá trình giải phương trình

2.2.Phương pháp đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

2 (Thoả mãn x < 2)+ Khi 2 ≤ x ≤ 4 thì (*) có dạng : (x – 2) – (x – 4) = 0

⇔ 0.x + 2 = 5 ⇔ 0.x = 3Nên phương trình này vô nghiệm

+ Khi x > 4 thì (*) có dạng : (x – 2) + (x – 4) = 0

⇔ 2x – 6 = 5

⇔ x = 11

2 (Thoả mãn x > 4 )Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = 1

3 2 0 9 3 2

Phương trình (1) có dạng : y2 + y – 42 = 0

Phương trình này có nghiệm :

y1 = 6 (thoả mãn y > 0)

y2 = - 7 (loại) Với y = 6 ta có : 2x2 + 3x+ 9 = 6 ⇔ 2x2 + 3x - 27 = 0

Phương trình này có hai nghiệm

x1 = 3

x2 = 2 9

-Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 3 ; x2 =

-2 9

Chú ý : Học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện cho ẩn phụ.

Ví dụ 2 Giải phương trình : x+ 4 x = 12

Giải ĐKXĐ : x ≥ 0

Đặt : 4 x = y (ĐK : y ≥ 0)

⇒ x = y2 Khi đó phương trình x+ 4 x = 12 có dạng :

y2 + y – 12 = 0 Phương trình này có hai nghiệm

y1 = 3 (thoả mãn y ≥ 0 )

y2 = - 4 (loại)Với y = 3 ta có: 4 x = 3 ⇔ x = 81

Vậy phương trình có nghiệm x = 81

0 3

0 1



⇔ − = ⇔  = (vô lí)Vậy phương trình vô nghiệm

+ Với t = 2 thay vào (1) ta có : (x+ 1 )( 3 −x) = 0

Ví dụ 4 Giải phương trình : 5 x3 + 1 = 2(x2 + 2)

Giải ĐK : x3 + 1 ≥ 0 ⇔(x + 1)(x2 – x + 1) ≥ 0 ⇔x + 1 ≥ 0 ⇔x ≥ - 1

Vậy ĐKXĐ : x ≥ - 1

Ta có : 5 x3 + 1 = 2( x2 + 2) ⇔ 5 x+ 1 x2 −x+ 1 = 2 (x + 1 + x2 – x + 1)Đặt x+ 1 = a (ĐK a ≥ 0)

1

2 −x+

x = b (ĐK b ≥ 0) Phương trình đã cho viết được dưới dạng :

5ab = 2(a2 + b2) ⇔ (2a - b)( a - 2b) = 0 ⇔ 

0 2

b a

b a

Có : ∆ = 25 4.4.3 − = − < 23 0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 =

ĐKXĐ : -1 ≤ x ≤ 1Đặt x+ 1 = u (ĐK : u ≥ 0)

x

−

1 = t (ĐK : t ≥ 0) Phương trình (1) trở thành : u + 2u2 = - t2 + t +3ut

25

x

⇔ = − (Thoả mãn -1 ≤ x ≤ 1 )

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 0 ; x2 = 24

ẩn phụ để có thể thu được phương trình mới chứa ẩn phụ đã biết cách giải (như

ví dụ 1, 2, 3, 6), có thể thu được phương trình mới là phương trình tích (như ví

dụ 4, 5), …

2.4.Phương pháp đưa về hệ phương trình.

Ví dụ 1 Giải phương trình : 25 x− 2 - 15 x− 2 = 2

Giải ĐK : 15 15 15

0 15

2

2

b a b

b a

51 4

3 ) 3 ( 5

) 5 (

− +

−

−

− +

−

−

x x

x x

x x

= 2 (1) Giải ĐKXĐ : 3 ≤ x ≤ 5

Đặt 5 −x=u (ĐK : u≥ 0)

t

x− 3 = (ĐK : t≥ 0)Suy ra : u2 +t2 =( 5 −x) (2 + x− 3)2 = 2

Phương trình (1) trở thành : 2

3 3

= +

+

t u

t u

( ) ( 2 2) =2⇔ 2 − + 2 =2

+

+

− +

t u

t ut u t u

−

= +

2

2

2 2

2 2

t ut u

t u

⇔

0 0

2 0

2

2 2 2

2

v u

t u ut

t

u (thoả mãn u≥0; t≥0)

- Với u = 0 ta có : 5 −x = 0 ⇔ x= 5 (thoả mãn 3 ≤ x ≤ 5)

= +

) 2 ( 1

) 1 ( 1

2

u

t u

Từ phương trình (1) ⇒ u = 1 – t Thay vào phương trình (2) ta có :

t t

suy ra phương trình ban đầu có dạng : a2 + b 2 + ab = 1

2

1

3 3

2 2

b a

ab b a

−

= + +

+

) 2 ( 2

) 1 ( 1 2

1 2

2 2

2 2 3

3

2

2

b a

ab b a ab

b a b a

ab b a b

- Tìm điều kiện xác định của phương trình.

- Đặt ẩn phụ thích hợp (hai hay nhiều ẩn), dựa vào mối quan hệ của cácbiểu thức được đặt làm ẩn phụ và phương trình ban đầu để lập lên hệ phươngtrình, từ đó đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình

- Khi giải hệ phương trình cần chú ý đến việc phân tích đa thức thànhnhân tử, để đưa về phương trình tích (là phương trình đã biết cách giải)

Vì vậy muốn sử dụng tốt phương pháp này cần biết phối hợp chặt chẽ vàlinh hoạt với các phương pháp khác như phương pháp đặt ẩn phụ, phương phápđưa về phương trình tích, …

2.5 Phương pháp đưa về phương trình tích.

7

0 3

≥ +

x x

x x

x

Vậy ĐKXĐ : x ≥ -3

Ta có :

) 7 )(

3 (x+ x+ - 3 x+ 3 - 2 x+ 7 + 6 = 0 ⇔ x+3.( x+ 7 − 3) - 2.( x+ 7 − 3) = 3 ⇔ ( x+ 7 − 3).( x+ 7 − 2) = 0

=

− +

0 2 3

0 3 7

= +

) (

1

) (

2 4

3

9 7

TM x

x x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2

≥ + +

0 1 1

0 3 1

x x

x x

1

≥

x hoặc x = - 1

Vậy ĐKXĐ : x≥ 1 hoặc x = -1

Ta thấy VT của (1) 2(x+ 1)(x+ 3) (+ x+ 1)(x− 1) ≥ 0 nên (1) có nghiệm thì :

2(x + 1) ≥ 0 ⇔x ≥ - 1Nhận thấy x = - 1 là một nghiệm của (1)

Ta xét x > - 1, kết hợp với ĐKXĐ ta có : x≥ 1

Với x≥ 1 thì (1) ⇔ x+ 1( 2(x+ 3) + x− 1 − 2 x+ 1)= 0

⇔ 2(x+ 3) + x− 1 − 2 x+ 1 = 0 (vì x≥ 1 ⇒ x+ 1 > 0) ( )

( 3) 1 2 2( 3) 1 4( 1)2

1 2 1 3

2

+

=

− +

+

− + +

⇔

+

=

− + +

⇔

x x

x x

x

x x

Ta thấy x = -1 không thoả mãn ĐK (*) và x = 2 thoả mãn ĐK (*).

Vậy phương trình có nghiệm x = 2

⇔ (t - 2).( t2 - 2t - 1) = 0Phương trình này có ba nghiệm :

Ví dụ 5 Giải phương trình : (4x – 1). x2 + 1 = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1)

Giải ĐKXĐ : ∀ x∈ R

Đặt : x2 + 1 = y (ĐK : y ≥ 0)

(1) ⇔ (4x – 1) y = 2y2 + 2x – 1 ⇔ 2y2 – (4x – 1)y + 2x – 1= 0

−

⇔

0 1 2

0 1 2

y

x y

- Với y – 2x + 1 = 0 ta có : x2 + 1 − 2x+ 1 = 0 ⇔ x2 + 1 = 2x− 1

2 1 0

2 2

4 0

3 4

3

x

x x

3 4

1 1 2

Ví dụ 6 Giải phương trình : ( 1 +x− 1)( 1 −x+ 1) = 2x (*)

Giải ĐKXĐ : - 1 ≤ x ≤ 1

Đặt : 1 +x = u (ĐK: u ≥ 0)

⇒ x = u2 – 1 Khi đó phương trình (*) trở thành :

0 1

u u

u1 = - 1 < 0 (loại )5

1

2 =

u (thoả mãn u ≥ 0)Với

1 1

5

1

x x

2 2

*) Nhận xét

Khi sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích để giải phương trình

vô tỉ cần lưu ý cho học sinh có thể thực hiện theo các bước sau :

0 1 5

0 1

x x

x

3 2 5 1

0 3

x

x x

x

(vô lí)nên VT > VP

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

Ví dụ 2 Giải phương trình : 5 x2 + 28 + 2 3 x2 + 23 + x− 1 + x = 2 + 9 (1)

0

1 0

0 1

x x

x

Ta thấy x = 2 là một nghiệm của (1)

- Với x > 2 ta có :

2 28 2

28 5 2

3 23 2

23 3 2

1 1 2

nên 5 x2 + 28 + 2 3 x2 + 23 + x− 1 + x > 2 + 2 3 + 1 + 2 = 2 + 9

- Với 1 ≤ x < 2 ta có :

2 28 2

28 5 2

3 23 2

23 3 2

1 1 2

2.6.3.Phương pháp sử dụng tính đối nghịch ở hai vế.

Ví dụ 1 Giải phương trình : 3x2 + 6x+ 7 + 5x2 + 10x+ 14 = 4 – 2x – x2 (1) Giải

z y x

=

−

1 1996

1 1995

1 2

z y

z y

z y

1 0

0 1 4

x x

−

≥

− +

x x

x x

x x

3 2

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 2 + 3; x2 = 2 − 3.

- Biến đổi phương trình về dạng f(x) = m (m là hằng số) và chứng tỏ luôn

có f(x) ≥ m (hoặc f(x) ≤ m) thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x

để xảy ra dấu “ = ” trong bất đẳng thức f(x) ≥ m (hoặc f(x) ≤ m)

Để sử dụng tốt phương pháp này cần biết áp dụng các bất đẳng thức Côsi,Bunhia, …

C KẾT LUẬN

Trên đây tôi đã giới thiệu một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cơbản : Phương pháp nâng lên luỹ thừa, phương pháp đưa về phương trình chứadấu giá trị tuyệt đối, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp đưa về hệ phươngtrình, phương pháp đưa về phương trình tích, phương pháp bất đẳng thức, trongchương trình toán phổ thông còn những phương pháp khác nhưng tôi chỉ trìnhbày một số phương pháp thông dụng, phù hợp với trình độ học sinh THCS Nếunhư rèn luyện cho học sinh dạng toán này thì chúng ta đã trang bị cho học sinhmột lượng kiến thức không nhỏ, kết quả cũng có thể vận dụng trong nhiều dạngtoán khác Tuy nhiên không phải đối tượng nào cũng tiếp thu được một cách dễdàng vì thế giáo viên phải khéo léo lồng ghép vào các tiết dạy nhằm thu hút vàphát huy sự sáng tạo cho học sinh Đây cũng là một vấn đề hoàn toàn mới mẻ,khó khăn cho học sinh mức trung bình, giáo viên nên cho học sinh làm quendần, vừa phải lựa chọn đối tượng lại phải lựa chọn phương pháp, dạng bài chophù hợp, vừa sức

Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy rằng chất lượng qua kiểm tra đã được nânglên đáng kể, đặc biệt là đối tượng học sinh trung bình chất lượng được nâng lên

rõ rệt (Đề kiểm tra đánh giá – Xem Phụ lục)

Lớp 9A - Lớp thử nghiệm

Điểm dưới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10

- Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học tậpmôn toán

- Học sinh tránh được những sai sót cơ bản và có kĩ năng vận dụng thànhthạo cũng như phát huy được tính tích cực của học sinh

Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn, đòi hỏi người giáo viêncần hệ thống, phân loại bài tập thành tứng dạng, xây dựng kiến thức từ cũ đếnmới, từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ, đơn giản đến khó, phức tạp và phù hợp vớitrình độ nhận thức của học sinh Người thầy cần chú trọng, phát huy được tínhchủ động tích cực và sáng tạo của học sinh để có định hướng giải toán đúng đắn,như vậy là ta đã góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường

Trong đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế, tối rất mong được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp để tôi hoàn thiện đề tài này và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy những năm học sau

Người thực hiện

Phạm Thị Thảo

Ngày 25 tháng 1 năm 2009

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 SGK Đại số 9 – Nhà xuất bản GD

2 Một số vấn đề phát triển Đại số 9 – Nhà xuất bản GD 2001

3 Toán bồi dưỡng Đại số 9 – Nhà xuất bản GD 2002

4 Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9 – Nhà xuất bản GD 1995

5 Để học tốt Đại số 9 – Nhà xuất bản GD 1999

6 Nâng cao và phát triển toán 9 – Nguyễn Hữu Bình