SKKN Dùng liên hợp giải phương trình vô tỉ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƢỜNG THPT SỐ 3 AN NHƠN ===================== SÁNG KIẾN, KINH NGHIỆM SỬ DỤNG KỸ THUẬT LIÊN HP ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Người thực hiện: Nguyễn Cơng Nhàn An Nhơn, Năm 2014 2 MỤC LỤC Nội dung Trang Mục lục 2 Phần 1. Mở đầu 3 Phần 2. Nội dung của đề tài 7 Tóm tắt kiến thức cơ bản 7 Phương trình mở đầu 10 Sử dụng kỹ thuật liên hợp khi đoán được nghiệm của phương trình 13 Sử dụng kỹ thuật liên hợp khi khó đoán được nghiệm của phương trình một cách nhanh chóng 17 Một số bài tập tự luyện 20 Phần 3. Kết luận 21 Tài liệu tham khảo 24 3 PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình giải phương trình, mục tiêu cuối cùng là phải tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. Để làm được điều này, chúng ta có rất nhiều cách, có thể giải trực tiếp, có thể đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất, ngoài ra ta cũng có thể đoán nghiệm để đưa về phương trình tích để giải. Khi giải những bài tập đòi hỏi phải đoán được nghiệm và biến đổi tiếp tục để giải, thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Đặc biệt trong các bài toán về phương trình chứa căn, mà ta gọi là phương trình vô tỉ thì việc đoán nghiệm và phân tích biểu thức về tích càng trở nên khó khăn hơn. Phương trình vô tỉ là một nhánh rất hay gặp trong các bài toán về phương trình trong các đề thì tuyển sinh đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi. Chính vì thế, bản thân luôn mong muốn có một tài liệu hoàn chỉnh về cách giải phương trình này, trong đó “sử dụng kỷ thuật liên hợp” là kỹ thuật mà học sinh gặp rất nhiều khó khăn và rất ít tài liệu viết về điều này. Do đó, tôi đã nghiên cứu và viết sáng kiến, kinh nghiệm về “Sử dụng kỹ thuật liên hợp để giải một số phƣơng trình vô tỉ” Mong rằng với tài liệu này, các em học sinh có thêm tự tin để giải tốt bài toán phương trình vô tỉ. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Với mục đích nêu “Sử dụng kỹ thuật liên hợp để giải phƣơng trình vô tỉ” nhằm giúp giải quyết một phần các khó khăn khi giải một số bài toán phương trình vô tỉ thông qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng tư duy và sử dụng kiến thức linh hoạt, tạo hứng thú tìm tòi, khám phá và định hướng cách giải một bài toán phương trình vô tỉ cho học sinh, cũng như mong muốn được đóng góp một phần nhỏ bé của mình vào việc nâng cao chất lượng dạy và học, nhằm để học sinh học tốt môn toán nói chung và từng bước biết vận dụng có hiệu quả bài toán giải phương trình vô tỉ nói riêng. 4 Trang bị cho học sinh một phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỉ mang lại hiệu quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh. 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Trang bị cho học sinh một phương pháp giải phương trình vô tỉ thông qua biểu thức liên hợp Phân loại bài tập có định hướng giải (đề thi học sinh giỏi, đại học, học kỳ) Một số bài tập tương tự, mở rộng, nâng cao. 4. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Các dạng toán giải phương trình vô tỉ nằm trong chương trình toán phổ thông; luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường phổ thông Nêu các tính chất của biểu thức liên hợp, kỹ thuật biến đổi biểu thức. Trong khuôn khổ của một sáng kiến, kinh nghiệm, dù biết không thể sử dụng một phương pháp để giải hết tất cả các bài toán về phương trình vô tỉ, nhưng với trách nhiệm của một người giáo viên trong một chừng mực nào đó tôi hy vọng đây là tài liệu giảng dạy bổ ích cho đồng nghiệp cũng như cho học sinh trong việc nhận dạng và giải thành thạo một số phương trình vô tỉ. 5. CHUẨN BỊ VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Giáo viên đọc tài liệu sách giáo khoa thật kỹ, sách nghiệp vụ của giáo viên và sách tham khảo đọc thêm. Biên soạn đề cương theo hướng đổi mới phương pháp giảng dạy và kiểm tra Chú trọng phương pháp dạy trên cơ sở phương pháp khoa học + Phương pháp tái hiện (phương pháp trí nhớ ) + Phương pháp tư duy + Phương pháp phân tích tổng hợp + Phương pháp so sánh + Phương pháp trừu tượng và khái quát hoá 5 Hướng dẫn học sinh phát huy khả năng quan sát. Quan sát trong toán học nhằm hai mục đích: một là thu nhận kiến thức mới, hai là vận dụng kiến thức để giải bài tập, hai là kết hợp với kiến thức khác để tạo ra kiến thức mới. Nắm vững phương pháp nhớ khoa học. Trí nhớ là chỉ sự việc đã trải qua còn giữ lại được trong đầu và quá trình tâm lí tái hiện. Việc làm lại bài tập đã được hướng dẫn và giải các bài tương tự cũng là một quá trình tái hiện, là mục đích cuối cùng của trí nhớ. Điều này có ý nghĩa rất lớn với việc học và giải toán. 6. Ý NGHĨA ĐỀ TÀI Cung cấp một kỹ thuật giải phƣơng trình vô tỉ thích hợp cho việc giải toán qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng tư duy và sử dụng kiến thức linh hoạt, tạo hứng thú tìm tòi, khám phá và định hướng được cách giải một bài toán cho học sinh. Trang bị cho học sinh một kỹ thuật giải phƣơng trình vô tỉ mang lại hiệu quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh. Bản thân cũng như nhiều đồng nghiệp, học sinh có thể dùng đề tài này làm tài liệu để ôn luyện cho học sinh khối THPT trong các kỳ thi cuối kỳ, thi học sinh giỏi, thi Đại học – Cao đẳng. 7. CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Dựa trên thực tế giảng dạy học sinh trường THPT, trên cơ sở tích luỹ trong quá trình soạn giảng và những bức xúc khi học sinh giải các bài toán về phương trình vô tỉ, bản thân tôi luôn tìm tòi cách dạy hiệu quả nhất cho đối tượng, cộng tác cùng đồng nghiệp, tham khảo ý kiến sửa chữa kịp thời. Thật vậy, từ khi biên soạn cho đến nay đã được gần 3 năm, tôi và đồng nghiệp nhận thấy đa số học sinh sau khi học cách áp dụng phương pháp này thì khả năng nhận dạng phương trình vô tỉ của các em có tiến bộ rõ rệt. Trong quá trình biên soạn tôi đã nhận được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp trong tổ Toán, tập thể giáo viên của trường THPT số 3 An Nhơn, tỉnh 6 Bình Định. Tôi xin chân thành cảm ơn và rất mong quy ́ thầy cô và bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến cho đề tài này để tôi tiếp tục hoàn chỉnh nó trong quá trình giảng dạy của mình, cũng như làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh. Giáo viên thực hiện Nguyễn Công Nhàn 7 PHẦN 2. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I. TÓM TẮT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các tính chất về phép biến đổi tƣơng đƣơng đổi với phƣơng trình Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Một số phép biến đổi tương đương:  Cộng, trừ hai vế của phương trình với cùng biểu thức mà không làm thay đổi tập xác định của phương trình.  Nhân, chia hai vế của phương trình với cùng biểu thức khác không mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình. 2. Phƣơng trình vô tỉ Định nghĩa: Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn ở dưới dấu căn. Các bƣớc giải phƣơng trình vô tỉ (dạng chung)  Tìm điều kiện của phương trình.  Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đã học.  Giải phương trình vừa tìm được.  So sánh kết quả với điều kiện và kết luận. 3. Các kiến thức cơ bản về căn thức     2 2 21 21 22 2 1 2 1 a 0 0 ,0 , n n n n nn nn a khi aa a khi a aa a b a b a b a b a b a b                   \ Lũy thừa hai vế của phương trình Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phương trình. Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của phương trình cùng không âm. 2 1 2 1 2 2 b 0 nn n n a b a b ab ab               8 2 1 2 1 22 0 ( b 0) nn nn a b a b a hay ab ab               4. Một số phƣơng pháp khác đƣợc dùng để giải bài toán phƣơng trình vô tỉ 4.1 Phương pháp biến đổi tương đương, kết hợp bình phương hai vế hai vế của một phương trình. 4.2 Biến đổi về phương trình tích. 4.3 Sử dụng kỷ thuật liên hợp. 4.4 Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình giải được. 4.5 Phương pháp lượng giác hóa. 4.6 Phương pháp tọa độ và vectơ. 4.7 Phương pháp đánh giá hai vế, có kết hợp tính chất hàm số. 5. Các kết quả sau sử dụng trong phƣơng pháp sử dụng kỷ thuật liên hợp Tính chất 1. Nếu x 0 là nghiệm của phương trình f(x) = 0 (1) thì phương trình (1)  (x – x 0 ).g(x) = 0 Tính chất 2. AB AB AB    Tính chất 3. AB AB AB    Tính chất 4. 33 22 33 33 AB AB A A B B    Tính chất 5. 33 22 33 33 AB AB A A B B    6. Cơ sở của phƣơng pháp: Khi gặp một phương trình vô tỉ có cấu trúc phức tạp:  Có sự xuất hiện của nhiều căn thức,  Có sự xuất hiện của nhiều căn thức khác bậc  Có sự xuất hiện của một đa thức bậc 2, bậc 3 Đối với các phương trình loại đó, ta khó thực hiện các thao tác  Biến đổi để đưa về nhân tử chung; 9  Biến đổi bằng cách bình phương hai vế hai vế, vì như thế sẽ tạo nên phương trình bậc cao  Khó có thể đặt ẩn phụ, vì như thế không có mối quan hệ giữa các biểu thức  Không thể xét các hàm số ở vế trái và vế phải có tính biến thiên ngược nhau, từ đó không thể kết luận nghiệm duy nhất, mặc dù ta vẫn đoán được một nghiệm của phương trình  Vì vậy, đối với loại phương trình này, chúng ta không thể biến đổi đồng thời các biểu thức của phương trình, mà phải biến đổi từng căn thức để tạo ra nhân tử chung. Sau đó đưa phương trình về dạng tích (x – x 0 ).g(x) = 0 Trong đó g(x) = 0 là phương trình vô nghiệm.  Để chứng minh g(x) = 0 ta thường dùng phương pháp đánh giá hai vế, hoặc dùng phương pháp hàm số để chứng minh phương trình này vô nghiệm. 10 II. PHƢƠNG TRÌNH MỞ ĐẦU   2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x          Điều kiện: 2 2 2 2 3 5 1 0 20 10 3 4 0 xx x xx xx                          Ta đi tìm cách giải cho phương trình này như sau: Cách 1: Biến đổi tương đương, cách này không có cơ sở để biến đổi, không thể bình phương hai vế vì khi bình phương hai vế bài toán sẽ dẫn đến phức tạp. Cách 2: Đưa về phương trình tích bình thường, ta không nhận thấy nhân tử chung hoặc biến đổi thế nào. Cách 3: Dùng ẩn phụ, nếu đặt ẩn phụ chúng ta phải đặt ít nhất hai ẩn phụ, nhưng cũng không nhận dạng được ẩn phụ hợp lí. Cách 4: Lượng giác hóa, chúng ta chưa nhận thấy dấu hiệu rõ ràng nào về cách đặt lượng giác. Cách 5: Phương pháp tọa độ và vectơ, để làm điều này ta phải đưa trong căn về tổng bình phương. Nhưng điều này không nhận ra. Cách 6: Dùng phương pháp hàm số và đánh giá hai vế, cách này phải biến đổi đưa về hàm số, chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến, điều này cũng không khả quan. Cuối cùng, ta có nhận xét về mối quan hệ của các biểu thức trong dấu căn nhƣ sau: [...]... em giải quyết được một số bài toán phương trình khó, biết nhận biết vấn đề và xác định được phương pháp hay, ngắn gọn để ứng dụng giải phương trình vô tỉ Qua đó các em có đầy đủ cách nhìn cho một phương trình vô tỉ, giúp các em tự tin và đủ bản lĩnh để nhận dạng và giải thành thạo một phương trình vô tỉ 4 Mức độ triển khai Dạy học sinh trong các tiết ôn tập, rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ, ... ,ngắn gọn để ứng dụng giải phương trình vô tỉ Chúng ta đã biết rằng không có một “chìa khoá ” vạn năng nào có thể mở được tất cả các kho tàng tri thức của nhân loại Cũng vậy một số phương pháp giải phương trình vô tỉ có thể chưa giải được tất cả các bài toán phương trình trong chương trình phổ thông, có rất nhiều bài toán giải bằng phương pháp đại số thông thường hoặc giải bằng phương khác hiệu quả... kết quả đạt đƣợc Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ đã được tôi áp dụng ở nhiều năm học, ở nhiều lớp và như vậy là trên nhiều học sinh Trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng hình thức như sau tiến hành hướng dẫn học sinh giải một số phương trình vô tỉ và trước hết tôi để các em tự tìm hướng giải, sau đó hướng dẫn học sinh kỹ thuật liên hợp để giải phƣơng trình vô tỉ Tôi nhận được sự ủng hộ... điểm khác     nhau Khi đi tìm lời giải đòi hỏi chúng ta phải có nhiều giải pháp khác nhau để đánh giá và giải phương trình một cách hợp lí Sau đây tôi xin giới thiệu Một số 12 phƣơng trình vô tỉ đƣợc giải bằng cách sử dụng kỹ thuật liên hợp Mong rằng, tài liệu này sẽ là một cẩm nang giúp đỡ các em học sinh nhiều kinh nghiệm hơn trong việc giải phương trình vô tỉ, một bài toán được xem là khó và cũng...  3 (3) Phương trình (3) vô nghiệm nên phương trình (1) tương đương phương trình (3)  và có tập nghiệm S  1 7;1  7  19 Ví dụ 2 x  3x  1  8  3x 3 2 (1) Nhận xét: Trong phương trình trên, ta nhận thấy chỉ có một căn bậc hai, có thể bình phương hai vế để làm mất căn Nhưng khi thực hiện thao tác bình phương hai vế, thì ta sẽ tạo ra phương trình bậc 6, dẫn đến khó khăn khi giải phương trình này... của phương trình đã cho Chúng ta chuyển vế phương trình (1) đưa về 3x 2  5x  1  3 x 2  x 1  x 2  2  x 2  3x  4 Sau đó dùng biểu thức liên hợp cho hai vế, ta được phương trình 2( x  2) 3x 2  5 x  1  3 x 2  x 1    3   3( x  2)  x  2  x 2  3x  4 2 x2  0  3x 2  5 x  1  3 x 2  x 1  2  x 2  2  x 2  3x  4  (*) Phương trình (*) vô nghiệm, nên phương trình. .. năngvận dụng Đề tài này khả năng áp dụng dễ và áp dụng tốt cho mọi học sinh khối THPT từ lớp 10 đến lớp 12 trong quá trình giải một số phương trình vô tỉ Đồng thời trang bị cho học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Bản thân cũng như nhiều đồng nghiệp, học sinh có thể dùng đề tài này làm tài liệu để ôn luyện cho học sinh trong các kỳ thi TSĐH, thi học sinh giỏi các cấp 3 Hiệu quả Học... vế trái và nhân liên hợp cho vế phải của phương trình Bước 4: Cho tử của hai vế bằng nhau để được cặp số (m, n) Khi đó ta xác định được biểu thức cần thêm bớt, sử dụng lượng liên hợp để giải Ví dụ 1 x 2  x 1   x  2 x 2  2 x  2 Nhận xét:  x + 2 tham gia vào phương trình để làm gì? 18  Vì x = -2 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho x + 2 ta được phương trình tương đương... số phương pháp giải phương trình vô tỉ, tôi nhận thấy đa số học sinh đã chủ động hơn, tự tin hơn khi tiếp xúc với bài toán giải phương trình vô tỉ Thật vậy, trong các tiết ôn tập cuối năm 12 chuẩn bị cho thi tốt nghiệp và dự tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng hàng năm của học sinh lớp 12 Qua khảo sát, nhìn chung các em biết vận dụng khá linh hoạt, biết nhận biết vấn đề và xác định được phương. .. phương khác hiệu quả và thuận lợi hơn nhưng nếu giáo viên hướng dẫn học sinh biết vận dụng tốt, có hiệu quả từng phương pháp 22 Thiết nghĩ một số phương pháp giải phương trình vô tỉ sẽ giải được một lớp các bài toán giải phương trình, một cách trọn vẹn, rõ ràng, chặt chẽ, dễ hiểu mà các phương pháp khác chưa chắc đã có được Từ những suy nghĩ thực tế giảng dạy thu được kết quả khả quan tôi đã mạnh dạn . là phương trình có chứa ẩn ở dưới dấu căn. Các bƣớc giải phƣơng trình vô tỉ (dạng chung)  Tìm điều kiện của phương trình.  Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đã học.  Giải phương. của phương trình.  Nhân, chia hai vế của phương trình với cùng biểu thức khác không mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình. 2. Phƣơng trình vô tỉ Định nghĩa: Phương trình vô tỉ. Với mục đích nêu “Sử dụng kỹ thuật liên hợp để giải phƣơng trình vô tỉ nhằm giúp giải quyết một phần các khó khăn khi giải một số bài toán phương trình vô tỉ thông qua đó nhằm rèn luyện kỹ