www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải Đề tài: phơng trình vô tỷ Phơng pháp dạy cho học sinh lớp Giải phơng trình vô tỷ Nhận thức cũ- Giải pháp cũ: Phơng trình vô tỷ phơng trình chứa ẩn dấu Trong chơng trình đại số ,phơng trình vô tỷ dạng toán khó Khi gặp phơng trình có chứa tơng đối phức tạp, học sinh lúng túng không tìm cách giải hay mắc sai lầm giải Có phơng trình giải phơng pháp quen thuộc Khi gặp phơng trình vô tỷ , học sinh thờng quen phơng pháp nâng luỹ thừa vế để làm dấu Nhng trình giải thờng mắc phải số sai lầm phép biến đổi tơng đơng phơng trình ,vì dẫn đến thừa thiếu nghiệm Có số phơng trình sau làm dấu dẫn đến phơng trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đa phơng trình bậc nhất, bậc để giải lại khó khăn Vì học sinh lúng túng không tìm lời giải B Nhận thức giải pháp I Nhận thức mới: Để khắc phục tồn dạy cho học sinh giải phơng trình vô tỷ , giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thức sách giáo khoa kiến thức mở rộng, hình thành phơng pháp giải cách kịp thời Với phơng trình cần học sinh nhận dạng phát cách giải tìm cách giải phù hợp , nhanh Qua dạng tổng quát cách giải hớng dẫn học sinh đặt đề toán tơng tự, từ khắc sâu cách làm cho học sinh Nếu biết phân dạng , chọn ví dụ tiêu biểu , hình thành đờng lối t cho học sinh tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu nâng cao hiệu giáo dục A II Giải pháp mới: A- Hệ thống hoá kiến thức liên quan bổ sung số kiến thức mở réng C¸c tÝnh chÊt cđa l thõa bËc 2, bËc 3, tỉng qu¸t ho¸ c¸c tÝnh chÊt cđa luỹ thừa bậc chẵn luỹ thừa bậc lẻ Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử , đẳng thức Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ Cách giải phơng trình, bất phơng trình bậc , bậc ẩn, cách giải hệ phơng trình Bổ sung kiến thức để giải phơng trình đơn giản: * A A = B ⇔ B ≥ A = B2 A ≥ A = B * A= B⇔ * A+ B =0⇔ A=B=0 B Cung cÊp cho häc sinh phơng pháp thờng dùng để giải phơng ttrình vô tỷ Phơng pháp Nâng lên luỹ thừa để làm vế phơng trình( thêng dïng vÕ cã luü thõa cïng bËc) Ví dụ: Giải phơng trình x x − = 3x − (1) + ë phơng trình (1) hai vế có bậc hai, học sinh mắc sai lầm để nguyên hai vế nh bình phơng hai vế để làm Vì giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất luü thõa bËc 2: a = b ⇔ a2 = b2 ( Khi a, b cïng dÊu ) V× vËy bình phơng hai vế đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình ban đầu hai vế dấu phơng trình (1), VP , nhng vế trái cha đà ta nên chuyển vế đa phơng trình có vế cïng ≥ (1) ⇔ x − = x + 3x Đến học sinh bình phơng hai vế: x = 5x − + 3x − ⇔ − x = 15 x − 13 x + (*) Ta lại gặp phơng trình có vế chứa , học sinh mắc sai lầm bình phơng tiếp vế để vế phải mà không để ý hai vế đà cïng dÊu hay cha ⇔ − 14 x + 49 x = 4(15 x − 13x + 2) Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tû ⇔ 11x − 24 x + = ⇔ (11x − 2)( x − 2) = x= 11 Và trả lời phơng trình (*) có nghiệm : x1 = ; x = 11 x = Sai lầm học sinh gì? Tôi cho học sinh khác phát sai lầm : + Khi giải cha ý đến điều kiện để thức có nghĩa nên sau giải không chiếu với điều kiện (1) : ĐK : x x1 = 11 nghiệm (1) + Khi bình phơng hai vế phơng trình (*) cần có điều kiện x ≥ ⇔ x ≤ vËy x = không nghiệm (1) - Sau phân tích sai lầm mà học sinh thờng gặp , từ cho học sinh tìm cách giải không phạm sai lầm đà phân tích C1: Sau tìm đợc x = x = thử lại (1) không nghiệm Vậy (1) vô 11 nghiệm ( cách thử lại làm việc tìm TXĐ phơng trình đà cho tơng ®èi phøc t¹p ) x ≥ x ≥ ⇔ x ≥ x C2: Đặt điều kiện tồn thức (1) Sau giải đến (*) bình phơng hai vế đặt thêm điều kiƯn x ≤ vËy x tho¶ x mÃn : nên phơng trình (1)vô nghiệm x Ngời thực hiện: Hoàng Thị BÝch Lai –Trêng THCS DiƠn Trêng www.huongdanvn.com S¸ng kiÕn kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ C3: Có thể dựa vào điều kiện ẩn để xét nghiệm phơng trình §iỊu kiƯn cđa (1) : x ≥ ®ã x < x ⇒ x − < x − ⇒ x − < x Vế trái vËy chØ xÐt dÊu x − − 2 x − ≥ 16 19 2x − − ≥ ⇔ ⇔x≥ x ≥ NÕu Th× x − + + x − − = ⇔ 2 x − = ⇔ x − = Gi¶i x = (Không thoả mÃn điều kiện) + Nếu x − < ⇔ Th× 19 ≤x≤ 2 x − + − x − + = ⇔ x = vô số nghiệm x thoả mÃn 19 ≤x≤ 2 KÕt luËn: C2: 19 ≤x≤ 2 ( Để giải (***) sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối A + B ≥ A + B dÊu “=” x¶y A.B 0) Giải: (***) 2x − + + ⇔ 2x − − = 2x − + + − 2x − = Ta cã: 2x − + + − 2x − ≥ VËy: x − + + − x − = Khi 4 − x − ≥ ⇔ x ≥ 2x − + + − 2x − = Gi¶i ra: ( )( ) 2x − + − 2x − 19 x 2 Bài tập tơng tự: Giải phơng trình a) x + x − + x + − x − = b) x + x − + x − x − = (Nhân vế với xuất đẳng thức) Phơng pháp 3: Đặt ẩn phụ: Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ Phơng pháp đặt ẩn phụ phơng pháp hay mà tâm đắc , phơng pháp dùng để giải đợc nhiều phơng trình phơng pháp dùng cách đặt ẩn phụ để đa dạng phơng trình vô tỷ đơn giản Cách đặt ẩn phụ: + Đặt ẩn phụ + Đặt ẩn phụ + Đặt nhiều ẩn phụ A) Cách đặt ẩn phụ : C1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đa phơng trình phơng trình có ẩn ẩn phụ đà đặt Giải phơng trình tìm ẩn phụ , từ tìm ẩn VD1:Giải phơng trình: x +6x+12+ x + 3x + =9 (4) -Nhận xét:+ phơng trình bình phơng vế đa phơng trình bậc mà việc tìm nghiệm khó + Biểu thức có mối liên quan : 2x2+6x+12=2(x2+3x+2)+8 Hớng giải:+ Đặt ẩn phụ y= x + 3x + + Chó ý: §èi víi §K: x2+3x+2 giải đợc nhng với toán mà biểu thức phức tạp tìm giá trị x thử lại xem có thoả mÃn ĐK hay không x Giải: §K: x2+3x + ≥ ⇔ ( x+1) (x+2) x Đặt : x + 3x + =y ≥ PT (4) ⇔ 2y2+y+8=9 ⇔ 2y2+y -1=0 Gi¶i ra:y1=1/2 ( Tho¶ mÃn ĐK); y2=-1( Loại) Thay vào: x + 3x + =1/2 ⇔ x2+3x+2=1/4 Gi¶i ra:x1= − + ; x2= −3− 2 §èi chiÕu víi ĐK: x= + thoả mÃn nghiệm PT (4) Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trêng THCS DiƠn Trêng www.huongdanvn.com S¸ng kiÕn kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ VD2: Giải phơng trình: x − x + x − 12 x + = ( §Ị thi häc sinh giái tỉnh lớp 10 năm 2003-2004) Hớng dẫn : ĐK : x − 12 x + ≥ 0; x Ta biến đổi để thấy đợc mối quan hệ biểu thứctrong phơng trình: x x + 6( x − x ) + = Đặt : x x = a Ta có phơng trình: 6a + = a (I) Giải(I) tìm a từ tìm x VD2: Giải phơng trình: ( + x 1)( − x + 1) = x HD: ë bµi ta tìm mối liên hệ biểu thức cách đặt : 1+ x = u ; Rút x theo u thay vào biểu thức lại phơng trình để đa phơng trình ẩn u Giải: §K : -1 ≤ x ≤ ; C1: §Ỉt: 1+ x = u (0 ≤ u ≤ ) ⇒ x = u2 −1 (5) ⇔ (u − 1)( − u + 1) = 2(u − 1) ⇔ (u − 1)[ ( − u + 1) − 2(u + 1) ] u − = ⇔ − u + − 2(u + 1) = + NÕu : u − = ⇒ u = 1( tho¶ m·n) ⇒ x + = ⇒ x = (Thoả mÃn ĐK) u + = 2(u + 1) 2u + ≥ ⇔ ⇔ 5u + 4u − = 2 2 − u = ( 2u + 1) Gi¶i ra: u1 = −1( lo¹i); u = ⇒ x = − = − 24 thoả mÃn điều kiện 5 25 Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ Vậy x = 0; x = − 24 lµ nghiƯm cđa (5) 25 c2:ở đặt : x = a; + x = b ; §a vỊ hệ phơng trình: (a 1)(b + 1) = a − b a + b = C2: Đặt ẩn phụ đa phơng trình ẩn: ẩn ẩn phụ, tìm mối quan hệ già ẩn ẩn phụ VD3: Giải phơng tr×nh: − x = − x (6) Nhận xét:- Nếu bình phơng hai vế đa phơng trình bậc khó nhẩm nghiệm vô tỷ.Vì ta đặt ẩn phụ nhng cha đa đợc phơng trình chứa ẩn -HÃy tìm cách đa hệ phơng trình có ẩn ẩn ẩn phụ Tìm mối quan hệ ẩn ẩn phụ từ đ a phơng trình đơn giản x Giải: ĐK: 2 − x ≥ 2 − x = y Đặt: y = x x = − y ;Ta cã hÖ: y = x Đây hệ phơng trình đối xứng ( y x)( y + x − 1) = x = y ⇒ 1 − x = y + NÕu x=y ta cã ph¬ng trình: x = x giải x = (thoả mÃn điều kiện) + Nếu1-x=y ta có phơng trình: x = x giải ra: x = ( Thoả mÃn điều kiện) Vậy phơng trình (6) có nghiệm x1 = 1; x = − VD4: Gi¶i phơng trình: x + x + 2006 = 2006 Cách 1: Đặt x + 2006 = y ta có hệ phơng trình Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trêng THCS DiƠn Trêng www.huongdanvn.com S¸ng kiÕn kinh nghiƯm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ x + 2006 = x x = − y ⇔ x = y − x + 2006 = x + x + 2006 = y gi¶i x + y = 2006 tõ ®ã sư dụng phơng pháp để giải tiếp Chú ý : Cách thờng sử dụng quan hệ ẩn ẩn phụ đa đợc hệ phơng trình đối xứng Cách 2: Đa vế bậc: x2 + x + 1 = x + 2006 − x + 2006 + 4 1 ⇔ x + 2 x + = ⇔ x + = 1 = x + 2006 − 2 x + 2006 − − x + 2006 2 Đến tiếp tục giải theo phơng pháp Bài tập tơng tự : Giải phơng trình x + = y a) x + = 23 x ; HD: Đặt Èn phô y = x − ta cã hÖ : 3 y + = x b) x + x + = x + ; HD : §Ỉt Èn phơ y = x + x c) x + x + + x + 3x + = 15 B) Đặt ẩn phụ: dạng ta đặt ẩn phụ đa hệ phơng trình ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị ẩn phụ, từ từ mối quan hệ ẩn ẩn phụ đặt lúc đầu đa phơng trình đơn giản VD1: Giải phơng trình: x + x = (7) Nhận xét: vế trái có bậc bậc nên việc nâng luỹ thừa vế để làm dấu khó + Hai biểu thức có mối quan hÖ: − x + x − = (hằng số) + Đặt ẩn phụ: Sẽ đa hệ phơng trình không chứa giải Giải: ĐK: x Đặt: Ngời thực hiện: Hoàng Thị BÝch Lai –Trêng THCS DiƠn Trêng 10 www.huongdanvn.com S¸ng kiÕn kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ x = u; x − = v Ta cã hƯ ph¬ng tr×nh: u + v = 3 u + v = gi¶i u1 = 0; u = 1; u = −2 Tõ ®ã: x1 = 1; x = 2; x3 = 10 ( thoả mÃn điều kiện) Vậy phơng trình (7) có nghiÖm: x1 = 1; x = 2; x3 = 10 VD2: Giải phơng trình: x + x +1 = ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005) a + b = HD: Đặt x − = a; x + = b ; Ta cã hÖ: a − b = Giải ra:a=1; b=1 ; từ giải tìm x=3 Tổng quát: Đối với phơng trình có d¹ng: n a − f ( x) + m b f ( x) = c Ta thờng đặt: u = n a − f ( x) ; v = m b + f ( x) Khi ta đợc hệ phơng trình: u + v = c n m u + v = a + b u + v = c n m u − v = a b Giải hệ tìm u, v sau dó tìm x VD3: Giải phơng trình: ( 3x + 1) ( ) + ( 3x − 1) + x − = (9) NhËn xÐt: NÕu lËp ph¬ng hai vÕ phức tạp không đa đợc dạng a.b=0 nh phơng trình (2) x − = (3 x + 1)(3 x − 1) Nên đặt ẩn phụ Giải: Đặt u = 3x + v = 3x − u + v + uv = (9) trë thµnh: 3 u + v = u = v = −1 Gi¶i ra: ta có: Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trêng THCS DiƠn Trêng 11 www.huongdanvn.com S¸ng kiÕn kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ 3x + = ⇒ x = VËy (9) cã nghiÖm x=0 3 3x = Bài tập tơng tự: Giải phơng trình : a) 1 +x+ − x =1 2 b) x + a x +b =1 Ngoài cách có số đặt ẩn phụ nhng không đa đợc vỊ hƯ PT th× ta cã thĨ t×m quan hƯ ẩn phụ , thay vào hệ thức đà đặt lúc đầu để đa phơng trình đơn giản Nh VD sau: VD4: Giải phơng trình: (10) 2( x + 2) = x + Nhận xét: Nếu bình phơng hai vế phơng trình đa phơng trình bậc khó giải: Híng dÉn: + NhËn xÐt g× vỊ biĨu thøc x3+1 ? có dạng HĐT: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1) + Tìm mối quan hệ x2+2 x3 +1 x2 +2 =(x2-x+1)+(x+1) + Từ ta đặt ẩn phụ: a = x + 1; b = x − x + tìm mối quan hệ a, b từ tìm x Giải: ĐK : x 2( x + 1) = ( x + 1)( x x + 1) Đặt a = x + 1; b = x − x + Ta cã: a2=x+1 ; b2= x2-x+1 ; x2+2=a2+b2 Ph¬ng trình đà cho trở thành: 2(a + b ) = 5ab a = 2b ⇔ (2a − b)(a − 2b) = ⇔ b = 2a * Víi a= 2b ta cã: x +1 = x2 x +1 Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trêng THCS DiƠn Trêng 12 www.huongdanvn.com S¸ng kiÕn kinh nghiƯm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ x 5x = + 37 x1 = ( Thoả mÃn điều kiện) 37 x2 = + Víi b=2a Ta cã: x − x + = x + Từ giải tìm x ( dạng việc tìm mối quan hệ biểu thức hai vế quan trọng Vì trớc giải phải quan sát nhận xét để tìm phơng pháp giải phù hợp) VD5:Giải phơng trình: 2(3 x + 5) x + = 3x + x + 30 ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2004-2005) HD : HÃy biểu diễn để thÊy mèi quan hƯ c¸c biĨu thøc: [ 3( x + 3) + 1] x + = 3( x + 9) + x + §Ỉt: x + = a; x + = b ; Ta cã PT: (3a + 1)b = a + 3b ⇔ (3b − 1)(b − a) = b = a x +9 = Gi¶i ra: ⇔ ; Gi¶i ra: x=0 b = 2 x + = x + VD5: Giải phơng tr×nh: x + 16 = 2( x + 8); ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005) HD: BiÕn ®ỉi 2( x + 2)( x − x + 4) = 2( x + 8) Mèi liªn hƯ: x + = ( x − x + 4) + (2 x + 4) ; Đặt: 2( x + 2) = a; x − x + = b Ta có phơng trình: 5ab = 2(a + b ) ⇔ (2a − b)(a − 2b) = Từ tìm a,b, tìm đợc x BT Tơng tự: Giải phơng trình Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trêng THCS DiƠn Trêng 13 www.huongdanvn.com S¸ng kiÕn kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ a) 2( x 3x + 2) = x + b) x + + x + = 3x + x + x + − 16 Híng dÉn:NhËn xÐt: (2 x + 3)( x + 1) = x + x + §Ỉt : u = x + ≥ 0; v = x + ≥ ⇒ u + v = 3x + ⇒ 3x = u + v − Nªn ta có phơng trình: u + v = u + v − 20 + 2uv ⇔ (u + v) (u + v) 20 = Đặt: u+v=t Ta có phơng trình: t2-t-20=0 t = Giải ra: Do ®ã: t = −4(loai ) 2x + + x + = Đến dùng phơng pháp để giải: x=3 C) Đặt nhiều ẩn phụ: VD1: Giải phơng trình: x + x − 3x − = x + x + + x − x + Nhận xét: + Phơng trình nhìn phức tạp , nghĩ đến phơng pháp bình phơng vế đa phơng trình phức tạp + Việc đặt điều kiện để thức có nghĩa phức tạp , nên ta giải phơng trình tìm x thử lại + Quan sát nhận xét biểu thức : (2 x − 1) − ( x − x − 2) = ( x + x + 3) − ( x − x + 2) Nên nghĩ đến phơng pháp đặt ẩn phụ : Giải: Đặt x = u; x − 3x − = v; x + x + = z; x − x + = t u + v = z + t Ta cã hÖ : 2 2 u − v = z − t Tõ ®ã suy ra: u = t ⇒ x − = x + x + Giải : x=-2 Thay vào thoả mÃn phơng trình đà cho , Vậy phơng trình có nghiệm x=-2 ( Phơng pháp thấy hay độc đáo , từ GV đặt nhiều đề toán đẹp) Bài tập tơng tự: Giải phơng trình 2006 x − 2005 + 2005 x − x − 2004 = 2006 x + x − 2003 + 2005 x + x − 2002 Ph¬ng pháp 4: Đa dạng : A2 + B2 = A.B=0 phơng pháp ta sử dụng A2 + B2 = A = B = ; A.B =0 Khi A=0 hc B=0 VÝ dơ: Giải phơng trình: x + 4x + = 2x + Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trêng THCS DiƠn Trêng 14 www.huongdanvn.com S¸ng kiÕn kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ Nhận xét: + Sử dụng phơng pháp 1, 2, khó giải + Biến đổi đa dạng A2 + B2 = Giải:Điều kiÖn: x ≥ − x + 4x + − 2x + = ⇔ ( x − x + 1) + (2 x + − 2 x + + 1) = ⇔ ( x + 1) + ( x + − 1) = x + = 2x + −1 = Gi¶i x=-1 VÝ dơ 2: Gi¶i phơng trình: 2x + 2x + = 4x + Nhận xét: + phơng trình ta đặt ẩn phụ y = x2 + x từ đa hệ phơng trình đối y = x + x xøng: x = y + y x = y Tõ ®ã suy ra: giải tìm x x = − y + Ta cịng cã thĨ nh©n vÕ phơng trình với đa dạng: x + ( x + − 1) = giải x=0 ( cách giải đơn giản hơn) Bài tập tơng tự: a) Giải phơng tr×nh x − x + 26 = x + VD: Giải phơng trình: b) x+ y + z +4 = x−2 +4 y −3 +6 z −5 x + x + − − x = −3 ( §Ị thi häc sinh giỏi huyện 2005) HD: Tìm mối quan hệ c¸c biĨu thøc: x + = 4( x + 1) − (1 − x) ; PT trë thµnh: (2 x + 1) − ( − x ) + x + + − x = ⇔ (2 x + 1) − − x + = ⇔ ( x + 1) (5 x + − 1) = Gi¶i ra: x=-24/25 ( TMĐK) Ngoài ta đặt: x + = a; − x = b ; ta có hê: Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trêng THCS DiƠn Trêng 15 www.huongdanvn.com S¸ng kiÕn kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ a + b = ; Từ giải tìm a;b tìm đợc x 2 2a − b + 4a − b = 2 Bài tập tơng tự : Giải phơng trình x + 3x = x+3 HD: NhËn xÐt x + = ( x + 1) − ( 3x − ) Từ biến đổi đa dạng :A.B =0 Phơng pháp 5: Dùng bất đẳng thức Sử dụng điều kiện xảy dấu = bất đẳng thức không chặt VD1: Giải phơng trình: Giải: ĐK: x > vµ chØ a=b x 4x − + 4x − =2 x (`11) a b ;Sö dụng bất đẳng thức: + b a Ta cã: x 4x − + víi a, b > dÊu “=” x¶y 4x − ≥2 x Do ®ã (11) ⇔ x = x − Gi¶i ra: x = ± tho¶ m·n ®iỊu kiƯn VËy (11) cã hai nghiƯm x = VD2: Giải phơng trình: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x (12) Nhận xét:+ở phơng trình ta không nên bình phơng hai vế + Xét biểu thức 3x2+6x+7 = 3(x+1)2 +4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; 4-2x-x2=-(x+1)2+5 từ có lời giải: Gi¶i: VT: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x ≥ + = VP: − x − x = − ( x + 1) ≤ VËy vÕ ®Ịu b»ng 5, ®ã x + = ⇒ x = −1 KÕt luËn pt (12) có nghiệm x=-1 BT tơng tự: Giải phơng tr×nh a) 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x 2 b) x − x + 15 = x − x + 18 x − x + 11 Ngêi thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng 16 www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ VD3: Giải phơng trình: x + x = x − 10 x + 27 NhËn xÐt: Nếu bình phơng vế đa phơng trình bậc 4, khó giải Hớng dẫn : Sử dụng BĐT so sánh vế Giải: ĐK: x Ta thÊy: x − 10 x + 27 = ( x − 5) + ≥ Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có (1 x − + − x ) ≤ (1 2 ) + 12 ( x − + − x ) = 2.2 = ⇒ x−4 + 6− x ≤ VËy ta suy ra: x2-10x+27=2 x−4 + 6− x = (1) (2) Gi¶i (1) ta đợc x=5 thay vào (2) ta thấy vế Vậy phơng trình có nghiệm x=5 BT tơng tự : Giải phơng trình a) b) x2 + 1+ x + 1− x = x2 + Đa dạng: ( (HD: áp dụng BĐT cô si) 1 = 4−x+ x x ) 1 − x + x + − + = áp dụng BĐT Bunhiacopxki x x Tổng quát cách giải: + Biến đổi pt dạng f(x)=g(x) mà f ( x) a; g ( x) ≤ a víi a lµ h»ng sè Nghiệm pt giá trị x thoả mÃn đồng thời f(x)=a g(x) = a + Biến đổi pt dạng h(x) =m ( m số) mà ta có h(x) m h(x) m nghiệm pt giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy + áp dụng BĐT Côsi Bunhiacôpxki Phơng pháp 6: Đoán nghiƯm, chøng minh nghiƯm nhÊt VÝ dơ: Gi¶i pt: − x − 3x − = Nhận xét: Nếu sử dụng phơng pháp khó giải đợc nên suy nghĩ để tìm cách giải khác Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trêng THCS DiƠn Trêng 17 www.huongdanvn.com S¸ng kiÕn kinh nghiƯm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ Hớng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm cđa pt + Chøng minh nghiƯm nhÊt Gi¶i: NhËn thÊy x = lµ mét nghiiƯm cđa pt + XÐt − x < 5 − x < x > th× ⇒ ⇒ − x − 3x − < 3 x − > x − > nªn pt v« nghiƯm 5 − x > ⇒ − x − 3 x − > nên pt vô nghiệm + xét x < ta cã: 3 x − < VËy pt cã nghiƯm x=-1 vµ x=1 VÝ dụ 2: Giải phơng trình: x + x + = −x3 + Gi¶i: NhËn thÊy x=0 nghiệm phơng trình +Nếu x VËy VP 1 nên phơng trình vô nghiệm + Nếu x>0 VP1 nên phơnhg trình vô nghiệm Vậy x=0 nghiệm phơng trình BT tơng tự: Giải phơng trình x + 28 + 23 x + 23 + x − + x = + Híng dÉn: TX§: x ≥ NhËn thÊy x=2 lµ nghiƯm Chøng tá: ≤ x2 phơng trình vô nghiệm (ở phơng trình phức tạp mà việc sử dụng phơng pháp đến phơng pháp không giải đợc ta nghĩ đến phơng pháp 5) Bài học kinh nghiệm Trên đà trình bày cách nhận dạng phơng pháp giải phơng trình vô tỷ Trớc giải học sinh nhận xét thử biện pháp từ đễ đến khó để tìm ph ơng pháp phù hợp để giải Sau học sinh giải tập tơng tự dạng, tự đặt thêm số tập để khắc sâu thêm phơng pháp giải Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng 18 www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp giải phơng trình vô tỷ Tôi nghĩ với vấn đề , chuyên đề toán học dạy theo dạng , sâu dạng tìm hớng t ,hớng giải phát triển toán Sau tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm cách giải thích hợp cho chắn học sinh nắm vững vấn đề Và tin toán học niềm say mê víi tÊt c¶ häc sinh Víi kinh nghiƯm nho nhỏ nh xin đợc trao đổi đồng nghiệp.Tôi mong đợc góp ý chân thành đồng nghiệp thầy cô đà có nhiều kinh nghiệm giảng dạy Diễn Châu ngày 25 tháng năm 2005 Ngời thực Hoàng Thị Bích Lai Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS DiÔn Trêng 19