Sử dụng liên hợp giải phương trình - hệ phương trình vô tỷ

MỤC LỤC ĐỀ MỤC TRANG Mục lục 1 Lời giới thiệu 2 Tên sáng kiến Tác giả sáng kiến Chủ đầu tư tạo sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử Mô tả chất sáng kiến 3-28 Những thông tin cần bảo mật (nếu có) 29 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 29 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp 29 dụng sáng kiến 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu 29 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Trong chương trình tốn phổ thơng, phương trình-hệ phương trình vơ tỷ nội dung quan trọng, thường có đề thi học sinh giỏi cấp Phương trình hệ phương trình vơ tỷ có nhiều dạng với nhiều cách biến đổi khác nên gây khó khăn việc giải phương trình Chính nội dung đòi hỏi học sinh phải có tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp hợp lí để tìm lời giải tốt Có nhiều sách viết phương trình- hệ phương trình vơ tỷ phương pháp để giải chúng Trong phương pháp có phương pháp liên hợp, nhiên ví dụ đưa lượng tập phương pháp hạn chế, nên thường gây lúng túng cho khơng phận học sinh Nhận thức điều này, chọn đề tài “Sử dụng liên hợp giải phương trình - hệ phương trình vơ tỷ” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm Qua đề tài này, hi vọng giúp em học sinh có thêm kĩ biến đổi, giải phương trình - hệ phương trình vơ tỷ để bước vào kì thi đạt kết tốt Tên sáng kiến: Sử dụng liên hợp giải phương trình - hệ phương trình vơ tỷ Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Trần Thị Hằng - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân–Vĩnh Tường–Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0973709626 E_mail: Tranthihang.gvnguyenvietxuan@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Trần Thị Hằng Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy cho học sinh THPT lớp 10A2, học sinh giỏi Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Tháng 04 năm 2016 tháng 04 năm 2017, tháng 01 năm 2019 Mô tả chất sáng kiến: Để giúp em có cách nhìn, cách biến đổi phương trìnhhệ phương trình vơ tỷ giải phương pháp liên hợp Nêu phương pháp, cách nhận dạng phương trình vơ tỷ giải liên hợp, lấy ví dụ, hướng dẫn cho học sinh luyện tập theo dõi kĩ biến đổi giải phương trình vơ tỷ học sinh Sử dụng máy tính casio để biết 01 nghiệm phương trình 7.1 Ý tưởng phương pháp Đối với dạng toán loại này, cần phải nhẩm nghiệm phương trình (việc nhẩm nghiệm dựa máy tính casio 570VN PLUS,…), sau phân tích khéo léo để liên hợp cho thích hợp 7.2 Một số công thức thường dùng Biểu thức A B A B A3 B Biểu thức liên hợp A B A B A2  A B  B Tích A B A B A B A B A B A2  A B  B Chú ý: Khi nhân với biểu thức liên hợp biểu thức phải khác 7.3 Một số ví dụ minh họa 7.3.1 Một số ví dụ phương trình vơ tỷ Ví dụ 1: Giải phương trình x    x  x  x  (1) Lời giải: Điều kiện  x  Khi PT (1)  x     x   x  x  x3 x3    ( x  3)(2 x  1) x  1  x 1 x   1    x  (1.1)  x    x 1 1   2, x  [2;4] x   x  [2;4] x  1  x 1 Do phương trình (1.1) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x  Nhận xét Ví dụ 2: Giải phương trình 3x    x  3x  14 x   (2) Lời giải: Điều kiện   x  Khi PT (2)  ( x   4)  (  x  1)  x  14 x   3x  15 x5    (3x  1)( x  5)  3x   3x   x      x   (2.2) 3x    x   (KB-2010) 1   3x   0, x  [- ;6] 3x   3x   Do phương trình (2.2) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x  Nhận xét Ví dụ 3: Giải phương trình 3 x  x    x2  15 (3) Lời giải: Ta dự đoán nghiệm x  1 , ta viết lại phương trình sau:  3  3 x  1     x  1    x2    x2   x  15   x2  x4  x2  x2   x  15   x2    1    x  x  x2   x  15  Mặt khác, ta có: x  15  x   x  15   x    Nên phương trình thức hai vơ nghiệm x  15   x2   Vậy (3) có nghiệm x  1, x  1 Ví dụ 4: Giải phương trình sau 3x  x   x2    x  x  1  x  3x  (4) Lời giải: Ý tưởng: Trước hết, kiểm tra ta thấy phương trình cho có nghiệm x  nên ta cố gắng đưa phương trình phương trình tích xuất nhân tử  x   Ta có nhận xét rằng: x  x   x  x   2  x   x   x  x    x           Ta đến lời giải sau: (4)  x  x    x  x  1  x   x  x   2 x  3x  x   3 x  x  1  3x  x   x  3x    0   x  2   2  x  x    x  x  1 x   x  3x     Mặt khác, ta có:  > với x thỏa mãn ĐKXĐ 2 2 x   x  x  3x  x   x  x    Vậy phương trình (4) có nghiệm x = Ví dụ 5: Giải phương trình x  x  10  x  x  12 x  20 (5) Lời giải: Cũng cách kiểm tra, ta thấy pt (5) nhận x = làm nghiệm nên ta đưa phương trình (5) dạng phương trình tích xuất nhân tử  x  1 Ta viết lại sau:  5   x  x  10   x  1   x  12 x  20   x   (*) Để ý hai phương trình x  x  10   x  1  vô nghiệm nên nhân liên hợp hai vế (*) ta có: 18  x  1 16  x  1  x  x  10  x  x  12 x  20  x  x  12 x  20   x    x 1     x  x  10  x  (**) x  12 x  20  x  Phương trình (**)  x  x  10  x  12 x  20  x  10 Đến ta có hai hướng giải quyết: Hướng 1: bình phương hai vế… Hướng 2: kết hợp với pt (5) ta có hệ sau 8 x  x  10  x  12 x  20  x  10  2 x  x  10  x  12 x  20  x Lấy phương trình thứ trừ lần phương trình thứ hai, ta thu được:  x  15  5  x  x  10  x     x  x  15 x  25   15  5 Vậy phương trình cho có nghiệm x  1, x  Ví dụ Giải phương trình x  12   3x  x  (6) Phân tích Ta tìm số x  R cho x  12, x  số phương thỏa mãn phương trình Nhận thấy x  thỏa mãn Lời giải Điều kiện x  R Khi PT (6)  x  12  x   3x  5 Nhận xét x nghiệm phương trình x  Xét với x  , ta có PT (6)  x  12   x    3( x  2) x2  x2     3( x  2) x  12  x2   x   x2    x  12  x2 x2 x2    (6.2) x2 x  12  Do phương trình (6.2) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x  Nhận xét   3,  x  x2    1, x  Ví dụ Giải phương trình 42 x  x2  x  2 x2  x  x 4 (7) (Khối D -2010) Lời giải Điều kiện x  2 Khi PT (7)  (42 x  16).(22 x   x  )  (7.1)  42 x  16    x2  x   (7.2) 2 PT (7.1)  x   x  PT (7.2)  x   x3   x    x3  2( x  2)   ( x  2)( x  x  4) x24 x     x  x  (7.3)  x   Nhận xét  1, x  2 x  x   ( x  1)   x24 Do phương trình (7.3) vơ nghiệm Vậy phương trình (7) có hai nghiệm x  x  Ví dụ Giải phương trình x   x   x  (8) Phân tích Nhận thấy x  nghiệm phương trình Lời giải Điều kiện: x  Khi PT (8)  x    x    2( x  2) x2   x2  2( x  2) x 1   ( x  4)  x   x  x2     (*) 2  ( x  4)  x   x 1 1 x2   2, x   1,  x  Nhận xét x 1 1 ( x  4)  x   Do Phương trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x  Ví dụ 9: Giải phương trình 3x  x   x   3x  x   x  3x  Lời giải: Phương trình cho tương đương với x  x   x  x   x   x  3x   Bằng cách nhân liên hợp, ta có:     x  2    2 x   x  3x    3x  x   3x  x  3  Do nên phương trình có 3x  x   3x  x  x   x  3x  nghiệm x = Ví dụ 10: Giải phương trình x    x  x  3x  Lời giải: Điều kiện: x  Phương trình cho tương đương với: x     x   x  3x  5  x  1 1 x     x  1 x   3 5x   9 x 2 9 x 4        x  1  x   5x     0   x  23  x  4     5x     x  1  x    5x     0   x  23  x  4    Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 11: Giải phương trình x  x    x Lời giải: 6 Điều kiện:  x 3 Ta dùng chức Shift Solve để tìm nghiệm phương trình là: x1  0,6180339887 ; x2  1,618033989 sau gán hai nghiệm vào hai biến A B Bây ta thử tìm xem A B có mối quan hệ với hay khơng cách tình A + B AB, ta thu kết sau: A  B  1, AB  1 Điều chứng tỏ A, B hai nghiệm phương trình: X  X   Và từ đây, ta dự đốn x  x  nhân tử phương trình cho sau nhân lượng liên hợp Khi phương trình cho trở thành: x2  x  x  2x   0  3x   x     x  x  1  x   0  3x   x   Xét f  x    x   x ta có: f '  x    f '( x )   3 x  3x2 Ta có bảng biến thiên: 1 x   21 32 3 x  3x 1 64 64 6   f  x  kết hợp với x  3 4  x 1  x 1  1 0 f  x 64  3x2   x 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x  x    x   f  x  Ví dụ 12 Giải phương trình x   x  x  (*) Phân tích Nhận thấy x  nghiệm phương trình Lời giải Điều kiện x  Khi PT (*)  ( x   2)  ( x  3)  x3   x2  x  27   x 3 3 ( x  1)  x   x 2 5 x    x3 x  3x  1  (**)  ( x  1)  x   x 2 5 Nhận xét x3 x3 x  3x  1 1 2 , x  2 2 3 ( x  1)  x   ( x   1)  x 2 5 Do phương trình (**) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x  (*) Ví dụ 13 Giải phương trình x  x   ( x  2) x  x  Phân tích Trong phương trình ta x  x   ( x  1)  số nguyên x  0, x  Nhưng giá trị khơng nghiệm phương trình Nhận thấy x  2 không x2  x   x  x  Ta thêm hai vế phương trình nghiệm phương trình PT (*)  x2 biểu thức ax  b x2  x   (ax  b)  x  x   (ax  b) x2 10  x   x  ( x  2)( x  4)   x [4 x   ( x  4)]  x    x    x ( x  4)  * Nhận xét phương trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm x  , x  Ví dụ 20 Giải phương trình sau 2 x  3x   x  x   x (1) Phân tích (2 x  3x  5)  (2 x  3x  5)  x Lời giải Điều kiện x  R Nhận xét x nghiệm phương trình x  x  3x   x  3x  Xét với x  , ta có PT (1)  x  3x( x  3x   x  3x  5) PT (1)  x  3x   x  3x   Kết hợp với PT(1) ta  x  3x   x  3x    2 x  x   x  x   x  Suy 2 x  x   x   4(2 x  3x  5)  (3x  2)2 (do x  )  x  4 (loai)  x   Thử lại x  thỏa mãn phương trình (1) 7.3.2 Một số ví dụ hệ phương trình vô tỷ  x   y   Ví dụ : Giải hệ phương trình   x   y    x, y    (1) Phân tích ( x  6)  ( x  1)  ( y  4)  ( y  1) Từ ta đưa hệ cho hệ đối xứng Lời giải  x  1 Khi Điều kiện  y   15  x   x   y   y   10 HPT (1)    x   x   y   y    x   x   y   y   10   5    x   x 1 y   y 1   x   x   a a  0, b  Đặt  y   y   b  a  b  10 a  b  10 a   Hệ trở thành  5   ab  25 b       a b  x   x   Khi  y   y    Xét hàm số y  f (t )  t   t  với t [1; ) Hàm số y  f (t ) đồng biến [1; ) Mà f (5)  ,  x   x    f ( x  2)   x     f ( y )  y    y   y    x  Vậy hệ có nghiệm  y   x  y    4( x  y )  x  y (1)  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình   x, y    (2) 2 x  y   Phân tích 3( x  y )  ( x  y  1)  2( x  y )  4( x  y )   [2( x  y )  1].[2( x  y )  1] Khi ta có nhân tử chung Lời giải Điều kiện x  y  Khi PT (1)  4( x  y )   3( x  y )  x  y   16  4( x  y )   2( x  y )  0 3( x  y )  x  y   2( x  y )    2( x  y )   0  3( x  y )  x  y  1  x y 2   x  x  y    Kết hợp với (2) ta có :   2 x  y  y     Vậy hệ có nghiệm  x; y    ;   3 6 (1) 33 x 2 y  5.6 x  4.23 x  y  Ví dụ : Giải hệ phương trình   x  y  y  ( y  x )( y  x ) (2) Phân tích: Ta thấy ( x  y )  y  x  y ( y  x )( y  x )  y  x Từ ta biến đổi làm xuất nhân tử chung Lời giải Điều kiện x  y  Nhận xét x  y  nghiệm hệ Xét với x  y  0, ta có PT (2)  x  y  y  ( y  x )( y  x ) x  2y   (2 y  x)( y  x ) x y  y x  2y    x  2y   ( y  x )   x  y  y Thế x  y vào PT(1) ta 32 x  5.6 x  4.22 x  17  x, y     x ( )  2x x  ( )  5.( )     2 ( ) x    x  log (do x  )  x  log  Vậy hệ có nghiệm  y  log    xy  ( x  y )( xy  2)  x  y  y     x, y    Ví dụ : Giải hệ phương trình:  ( x  1)( y  xy  x  x )   2 Lời giải: -  x; y  Điều kiện :   xy  ( x  y )( xy  2)  - PT (1)   xy  ( x  y )( xy  2)  y  ( x  y )  ( x  y )( y  xy  2)  xy  ( x  y )( xy  2)  y - x y x y 0   y  xy    (3)  ( x  y)    xy  ( x  y )( xy  2)  y x y   4   Từ PT (2) ta có y  xy  x  x   ( x  1)   x   2 x 1 x 1    y  xy  xy  ( x  y )( xy  2)  y  0 x y - PT (3)  x  y , thay vào PT (2) ta : x3  x  x    x  x  - Kết hợp với điều kiện ta có x  , x  -  17  17   17  17  Vậy hệ cho có hai nghiệm (x; y) : (1; 1);  ;     x  y   x  xy  y  3   x  y   1 Ví dụ : Giải hệ phương trình:   x, y     2 4 x   163 y  x  18 Lời giải: 16 Từ phương trình (1) suy y  x  vào phương trình (2) ta được: ĐKXĐ: x  2 y  x   22  3x   x Đây phương trình vơ tỷ khơng dễ xơi, nhiên dùng máy tính casio fx 570 VN PLUS ta biết hai nghiệm phương trình là: -1 Do sau nhân lượng liên hợp ta có nhân tử chung là: x  x  Vậy phương trình tương đương với phương trình: x4  14  x   4 x      22  3x   x x2         0   x  x   1     x   x    22  3x  14  x              Từ thu nghiệm hệ phương trình cho là:  x; y    2;0  ,  1; 3 8  x  y   xy  x  y 1 Ví dụ : Giải hệ phương trình:   x, y    2 4 x   3 y  x  y    Lời giải: ĐKXĐ: x  2, y  Từ phương trình (1) ta biến đổi y   x vào phương trình (2) ta phương trình: x   x   x  Nhẩm nghiệm phương trình ta nghiệm -2 sau nhân lượng liên hợp xuất nhân tử chung là:  x  x Khi đó:     4 x   x   x2     x  x2     9  4 x x5  x2   3 x  3   Và ta thu nghiệm hệ phương trình là:  x; y   1; 1 ,  2;2  Qua ví dụ phần minh họa cách sử dụng liên hợp vào giải phương trình- hệ phương trình vơ tỷ Tuy nhiên, thấy sau liên hợp giải phương trình hệ phương trình vơ tỷ việc xử lý phương trình lại học sinh tương đối khó khăn Do đó, để làm tốt phương trình lại sau 19 liên hợp học sinh cần phải chứng minh phương trình lại vơ nghiệm cách đánh giá, sử dụng đạo hàm,…từ vế phương trình ln dương vế lại phương trình ln âm chẳng hạn, vế phương trình ln lớn số M vế phương trình phải ln nhỏ số M Sau tìm hiểu phần 7.3.3 để thấy việc xử lý phương trình lại sau liên hợp khơng phải q khó 7.3.3 Một số cách xử lý phương trình vơ tỷ sau nhân lượng liên hợp Phương pháp: - Làm chặt miền nghiệm tốt - Sử dụng bất đẳng thức, xét hàm số, chia khoảng, sử dụng hệ tạm,… Ví dụ Giải phương trình x   x  x  4+ x  (1) Lời giải: Ta có x   x  x  4+ x    x  1   x     x  Sử dụng máy tính Casio ta nghiệm x  Khi đó, ta có: 1  x  x   x  x   x     1  4  2x  0 x   x 1  x  2x   x Do x  nên biểu thức dấu ngoặc ln dương phương trình có nghiệm x  Việc làm chặt miền nghiệm cho ta cách đánh giá vô dễ dàng, lời giải ngắn gọn đẹp 1 mắt Nếu học sinh biết x  lời giải khó khăn hơn… Ví dụ Giải phương trình x  13x  x   x  1 3x  (2) Lời giải: Sử dụng máy tính Casio ta nghiệm x  1; x   2  8x  1 Ta có   15 x  x    x  1 x   3x    x 1    x  15 x  x  1 1    x  1   x  1 3x   3x   Nếu x    x  1 biểu thức dấu ngoặc dương  20        Nếu x    x  1 biểu thức dấu ngoặc x 1 x 1 1 1    dương 2 3 x     x  1   x  1 3x   3x    Vậy phương trình tương đương với x  15 x  x    x  1; x   Qua ví dụ ta thấy việc chia khoảng để đánh giá hay cho ta lời giải đẹp mắt chưa thấy Tất nhiên ta làm chặt miền nghiệm để giải phương trình lại khó nhìn chút Ví dụ Giải phương trình x  20 x  86+x 31  x  x =3x  (3) Lời giải: Đây tốn tương đối khó với hầu hết em học sinh nhẩm hai nghiệm vô tỷ mà phương trình bậc hai Sử dụng máy tính Casio ta hai nghiệm nằm hai phương trình bậc hai sau: x  x  15  x  x  30  Do ta nghĩ đến nhân lượng liên hợp để phương trình bậc hai x  x  15  sử dụng hệ tạm để tìm nhân tử phương trình bậc hai lại x  x  30  Sử dụng hệ tạm tức kết hợp với phương trình ban đầu Sau lời giải minh họa: 7 x  20 x  86  Điều kiện xác định:  31  x  x  Ta có (3)  x  20 x  86    x   x   31  x  x    x  x  15   3*   x    *  x  20 x  86   x 31  x  x  Ta lại có *  31  x  x  24  x x  20 x  86  x  x Mặt khác, từ giả thiết suy x  20 x  86   x 31  x  x +3x  thay vào phương trình ta được:  x   31  x  x  x  x  24  31  x  x   x   31  x  x  x    31  x  x   x  x  30   3** Giải  3*  3** kết hợp với điều kiện xác định ban đầu ta hai nghiệm phân biệt phương trình cho x  2  19 x  2  34 Chú ý nhân lượng liên hợp phải xét mẫu số khác trước (học sinh tự làm phần này) 21 Qua ta thấy việc sử dụng hệ tạm vào giải toán kiểu cho lời giải hay đa phần học sinh bối rối với kiểu làm Tiếp theo ta xét ví dụ sau nhân lượng liên hợp, sử dụng đạo hàm để tìm min, max Ví dụ 4: Giải phương trình x  x    x  x    Lời giải: 6 x 3 Sử dụng kỹ thuật thêm, bớt sau nhân lượng liên hợp ta được:    x  x  1 x  2x     x  x 1  x 1 0 2  3x   x   3x   x  3 x 1 Xét hàm só f  x    x   x ta có: f '  x    3x 3 x 21  f '( x )   1 x   32  3x2 Ta có bảng biến thiên: Điều kiện:    64 64 6   f  x  kết hợp với x  3 4  x 1  x 1  1 0 f x 64    3x   x 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x  x    x   f  x  22 Đây toán mà ta giải phương trình sau nhân lượng liên hợp cách sử dụng đạo hàm để đưa min, max Tuy nhiên ta kết hợp với phương trình ban đầu để đưa hệ tạm cách làm Ví dụ Qua ví dụ phần minh họa cách xử lý phương trình lại sau nhân lượng liên hợp Đó ví dụ điển hình mà học sinh cần nắm Sau số tập để học sinh áp dụng luyện tập 7.3.4 Sử dụng máy tính casio hỗ trợ giải phương trình Phương pháp - Phím SHIFT CALC hay ta thường gọi SOLVE: Nguyên tắc hoạt động chức ta nhập giá trị hình hiển thị ”X=?” xử lý quay hình tròn có tâm điểm ta vừa nhập trục hồnh, với bán kính lớn dần Khi gặp giá trị gần thỏa mãn máy dừng lại hiển thị giá trị dạng phân số tối giản số thập phân Nếu thời gian định mà máy chưa tìm nghiệm máy hiển thị giá trị gần máy tìm thỏa mãn phương trình với sai số hai vế thấp L-R hàng thứ hai hình sai số hai vế (thông thường sai số bé khoảng 10-6 trở xuống) - Chức TABLE: (MODE 7) Chức cho phép hiển thị đồng thời kết biểu thức giá trị biến ta gán cấp số cộng Chức cho phép ta nhìn tổng thể giá trị biểu thức, thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục dấu biểu thức để dự đoán khoảng chứa nghiệm cách tiết kiệm thời gian Ví dụ 1: Hãy dự đốn nghiệm phương trình x2  2x  (Đề thi THPTQG 2015)  ( x  1)( x   2) x2  2x  Điều kiện x  2 Ta sử dụng Chức TABLE: (MODE 7) để dự đoán nghiệm sau: - Bấm MODE nhập vào hình máy tính x2  2x   ( x  1)( x   2) x2  2x  - Bắt đầu tính từ giá trị -2 23 - Đến giá trị 10 - Bước nhảy - Ta xem hình kết Từ bảng kết ta đến nhận xét sau: - Ta thấy với x = f(x) = Vậy x = nghiệm phương trình đề - Ta thấy f(3) = 0,2223; f(4) = -0,792 Theo tính chất hàm số liên tục chứng tỏ phương trình có nghiệm khác khoảng (3; 4) Tiếp tục ta dùng chức SOLVE để tìm nghiệm khoảng (3; 4) - Nhập phương trình vào hình máy tính x2  2x   ( x  1)( x   2) x2  2x  - Bấm SHIFT CALC = - Ta có nghiệm gần x = 3,302775638 Việc tìm nghiệm x =2 nghiệm gần x = 3,302775638 giúp ích cho ta nhiều việc tìm cách giải mà tìm hiểu mục 3.2 Hướng dẫn học sinh giải phương trình bậc cao với hỗ trợ máy tính cầm tay Đối với phương trình bậc hai, bậc ba có nghiệm hữu tỉ học sinh dễ dàng tìm nghiệm cách bấm trực tiếp mode máy tính cầm tay Đối với phương trình bậc cao mà có nghiệm hữu tỉ Ta hướng dẫn học sinh sử dụng lược đồ Hoocne để đưa phương trình dạng tích nhân tử có bậc thấp Đối với phương trình bậc cao có nghiệm vơ tỉ ta sử dụng máy tính cầm tay để phát cách giải Cơ sở lý luận việc sử dụng định lý Viet đảo: Nếu hai số có tổng S, có tích P hai số nghiệm phương trình x  Sx  P  Từ ta có nhận xét: Nếu phương trình f(x) = có nghiệm có tổng S, có tích P ta có f ( x)  ( x  Sx  P ).g ( x) 24 Ví dụ 2: Giải phương trình x  x    x (Trích đề thi khối B 2014) Khi gặp phương trình học sinh lực học trung bình lúng túng tìm phương pháp giải Tuy nhiên với hỗ trợ máy tính cầm tay giúp học sinh khơng ngại việc lũy thừa hai vế để có phương trình bậc sau tiến hành nhẩm nghiệm tìm nhân tử 2 x  x    x  (; 1]  [3 / 2; ) 2x  x    x    (*) 4 x  x  11x  x    x  x  3   x Dùng lệnh SOLVE ta nhẩm phương trình (*) có nghiệm thỏa mãn  x1  x2  Từ phương trình (*) có nhân tử x  x  Thực phép chia  x x    2 x  x  11x  x  cho x  x  thương x   1 x  Ta có x  x  11x  x     x  x  1 x        x   Kết hợp với điều kiện suy phương trình có nghiệm là: x  1 ;x   2 Ngoài cách lũy thừa hai vế trên, để giải phương trình với hỗ trợ máy tính cầm tay hướng học sinh làm phương pháp nhân liên hợp, hay tách nhân tử biết đến phần sáng kiến Ví dụ 3: Giải phương trình 3x    x  3x  14 x   (Trích đề thi khối B 2011) Điều kiện: x   ;    Trước hết ta dùng TABLE để tìm nghiệm khoảng nghiệm phương trình sau: - Bấm MODE nhập vào hình máy tính f ( x)  3x    x  3x  14 x  - Bắt đầu tính từ giá trị - Đến giá trị 25 - Bước nhảy - Ta xem hình kết việc di chuyển phím lên xuống Ta nhận thấy có nghiệm x = qua ta thấy khơng có khả xuất nghiệm khác Thay x= vào 3x  ta 3x   Thay x= vào  x ta  x  Vậy để có nhân tử (x – 5) ta cần tạo nhóm ( 3x   4) (  x  1) Từ ta đến lời giải sau: Điều kiện: x    ;  Ta có:   3x    x  3x  14 x       3x      x    3x  14 x     x  15    x       x   x  1   3x      x       x  5     3x  1    x 1  3x     x    x  Do      3x  1  với x    ;  3x    x 1   Ví dụ 4: Giải bất phương trình ( x  1) x   ( x  6) x   x  x  12 (Trích đề thi khối D 2014) Điều kiện: x  2 Do để tạo nhân tử bất phương trình ta dùng TABLE sau: - Bấm MODE nhập vào hình máy tính f ( x)  ( x  1) x   ( x  6) x   ( x  x  12) - Bắt đầu tính từ giá trị -2, đến giá trị 6, bước nhảy Xem kết quả: Ta nhận phương trình thấy có nghiệm x = qua ta khơng thấy có khả xuất nghiệm khác 26 Thay x= vào x  ta x   Thay x= vào x  ta x   Vậy để có nhân tử (x – 2) ta cần tạo nhóm   x    x  3  Từ ta đến lời giải sau: Điều kiện: x  2 Ta có phương trình ( x  1) x   ( x  6) x   x  x  12  ( x  1)   x    ( x  6)   x     x  x  8  x6  x 1   ( x  2)    x  4   x    x  x7 3  x2 2  (Do với x  2 ta có: x 1 x6 x2  x6 x6  x2  x4      0)     x7 3  x2 2 x7 3 x2 2  x2 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình T   2; 2 Ví dụ 5: Giải phương trình 3x  x   3x   x  (Trích đề thi khối B 2013) Điều kiện: x  1/ Do để tìm nghiệm phương trình ta dùng TABLE sau: - Bấm MODE nhập vào hình máy tính f ( x)  3x  x   3x   x  - Bắt đầu tính từ giá trị 0, đến giá trị 6, bước nhảy Xem kết quả: Ta nhận phương trình thấy có nghiệm x = 0; x = qua ta khơng thấy có khả xuất nghiệm khác Vậy cần tìm biểu thức liên hợp biết nghiệm hữu tỉ Chúng ta làm sau: Cho 3x   ax  b Thay x = x = ta a = 1; b = Cho x   cx  d Thay x = x = ta c = 1; d = Để có nhân tử  x  x  phương trình ta cần tạo nhóm biểu thức   3x    x  1   5x    x  2 Từ ta đến lời giải sau: Điều kiện: x  1/ Ta có phương trình 27     3x  x   3x   x    x  x   x   3x   x   x   x  1     x  x  3       x  x  x   x   3x  x   x    (Do  x   3x   x   5x   với x  1/ ) 28 Những thông tin cần bảo mật: Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 10A2, học sinh giỏi THPT 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Học sinh học theo nội dung trình bày sáng kiến có kĩ biến đổi để giải phương trình- hệ phương trình vơ tỷ Nhiều em khơng e ngại trước phương trình- hệ phương trình vơ tỷ mà em hứng thú say mê với tốn dạng Từ tạo cho em có kiến thức tâm lý vững để học phần Bản thân giáo viên viết đề tài tự trau dồi cho chun mơn có kĩ phân tích tổng hợp tốt Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu hữu ích cho học sinh học tập cho giáo viên khác trau dồi thêm kinh nghiệm, làm tài liệu tham khảo 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu: Số Tên tổ chức/cá TT nhân Trần Thị Hằng Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến THPT Nguyễn Viết Xuân Học sinh lớp 10A2, học sinh giỏi THPT ……….,ngày…tháng…năm… Thủ trưởng đơn vị Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) ……….,ngày…tháng…năm… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) 29 ……….,ngày…tháng…năm… Tác giả sáng kiến ... nghiệm hệ phương trình là:  x; y   1; 1 ,  2;2  Qua ví dụ phần minh họa cách sử dụng liên hợp vào giải phương trình- hệ phương trình vơ tỷ Tuy nhiên, thấy sau liên hợp giải phương trình hệ. .. dụng liên hợp giải phương trình - hệ phương trình vơ tỷ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm Qua đề tài này, hi vọng giúp em học sinh có thêm kĩ biến đổi, giải phương trình - hệ phương trình vơ tỷ. .. giúp em có cách nhìn, cách biến đổi phương trìnhhệ phương trình vơ tỷ giải phương pháp liên hợp Nêu phương pháp, cách nhận dạng phương trình vơ tỷ giải liên hợp, lấy ví dụ, hướng dẫn cho học sinh