sử dụng liên hợp trực tiếp giải phương trình chứa căn – lương tuấn đức

TÀI LIỆU THAM KHẢO TỐN HỌC PHỔ THƠNG 1988  Gac Ma 14.03 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TẠM THỜI (PHẦN 1) TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH CHỦ ĐẠO: SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TẠM THỜI  MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU  LIÊN HỢP TRỰC TIẾP CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN  BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); GACMA1431988@GMAIL.COM (GMAIL) THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2013 LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ “Non sơng Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay khơng, nhờ phần lớn công học tập em” (Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh) “Mẹ nằm yên khe núi, trái đào dại vương vãi chung quanh, tay mẹ nắm chặt quả, máu người mẹ cứng lại thành màu đen nặng nề Tôi đau đớn tới mức ngũ tạng vỡ ra, ôm chặt cứng lấy mẹ, gọi: mẹ ơi, mẹ ơi…mẹ sống chẳng sung sướng ngày nào…” (Mẹ điên – Vương Hằng Tích) CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Trong chương trình Tốn học phổ thơng nước ta, cụ thể chương trình Đại số sơ cấp, phương trình bất phương trình nội dung quan trọng, phổ biến nhiều dạng toán xuyên suốt cấp học, phận thường thấy kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức phong phú, đa dạng Mặc dù đề tài quen thuộc, thống khơng mà giảm phần thú vị, nhiều tốn tăng dần đến mức khó chí khó, với biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Ngồi phương trình đại số bậc cao, phương trình phân thức hữu tỷ phương trình chứa (cịn gọi phương trình vơ tỷ) đông đảo bạn học sinh, thầy giáo chun gia Tốn phổ thơng quan tâm sâu sắc Chương trình Tốn Đại số lớp THCS bước đầu giới thiệu phép toán với thức, kể từ thức xuất hầu hết vấn đề đại số, hình học, lượng giác xun suốt chương trình Tốn THPT Sự đa dạng hình thức lớp tốn thức đặt yêu cầu cấp thiết làm để đơn giản hóa, thực tế phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực hình thành, vào hệ thống Về để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình vơ tỷ ưu tiên khử giảm thức phức tạp toán Phương pháp sử dụng biến đổi tương đương – nâng cao lũy thừa phương pháp bản, đơn giản nhất, bạn bước đầu làm quen thông qua tiêu mục Hầu hết phương pháp khác nhiều quy dạng nâng lũy thừa, điều quan trọng trình thu gọn tốn Tiếp tục dựa tảng ấy, mang tính kế thừa phát huy thêm bậc, tài liệu trân trọng giới thiệu gửi tới toàn thể bạn đọc hướng xử lý phổ biến, mang tên: Sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức – hệ tạm thời (phần 1) Kiến thức chủ đạo ví dụ minh họa mở đầu, kỹ thuật liên hợp trực tiếp biểu thức chứa tốn liên quan đến tìm nghiệm, liên hợp số Đây coi phương pháp mạnh, chất phân tích nhân tử đưa phương trình chứa phương trình tích hệ Tài liệu nhỏ viết theo trình tự kiến thức tăng dần, phù hợp với bạn học sinh THCS (lớp 9) ôn thi vào lớp 10 THPT, bạn học sinh THPT thi học sinh giỏi Toán cấp luyện thi vào hệ đại học, cao đẳng, cao tài liệu tham khảo dành cho thầy giáo bạn u Tốn khác I KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ Kỹ nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi phân thức đại số thức Kỹ biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, sử dụng lượng liên hợp, phân tích đẳng thức Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai Thực hành giải phương trình, bất phương trình bậc hai, dạng đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ Sử dụng thành thạo ký hiệu logic phạm vi tốn phổ thơng CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC Bài tốn Giải phương trình x   x    x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x   x 1   x   x   x 1  x 1   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x   x  3   x  1   x   x   Phương trình cho tương đương với  x   x 1  x   x   Kết hợp (1) phương trình cho ta có hệ   x   x   Thực cộng vế tương ứng thu x    x    x  Kết luận nghiệm S  1 Lời giải Điều kiện x  Đặt x   a; x   b  a  b  Phương trình cho trở thành a  b  Ta có hệ phương trình  a  b  a  b   a  b  a  b  a     x    a  b  b  a  b  a  b  Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x  Đặt x   u; x   v  u  v  Phương trình cho trở thành u  v  Ta thu hệ phương trình 2 u  v  v   v  4v    v     x   u  u  v  u  v  Kết luận phương trình cho có nghiệm Nhận xét  Một phương trình chứa thức bản, có tới bốn lời giải khác mặt hình thức, đơi hai lời giải có chất  Cụ thể bạn thấy lời giải sử dụng phép biến đổi tương đương nâng lũy thừa, đưa phương trình đơn giản Lời giải sử dụng đẳng thức liên hợp đưa hệ điều kiện chứa x, từ hệ giải phương pháp cộng đại số cho kết tương tự Các lời giải đặt hai ẩn phụ quy hệ phương trình, ẩn phụ khác hệ thu đồng nhất, lời giải sử dụng đẳng thức với phép thế, lời giải sử dụng phép đơn  Nhẫn xét: Lời giải có chất, thực chất bình phương hai vế phương trình ban đầu Lời a2  b2 giải có chất, thực chất sử dụng đẳng thức liên hợp a  b   a  b   , ab a2  b2 thu  const , số, tạo gọn nhẹ bất ngờ thao tác ab  Trọng tâm tài liệu sử dụng đẳng thức liên hợp – trục thức – hệ tạm thời, nghĩa cách thực tương tự lời giải Hệ phương trình thu lời giải thường gọi hệ tạm thời, chứa x, xây dựng từ hệ liên hợp phương trình giả thiết ban đầu, bước trung gian để tới kết toán CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _  Các bạn trình bày hai cách 3, cách coi thuộc phạm vi đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình, chất giải hệ tạm thời sử dụng nhân liên hợp, điều phụ thuộc vào đặc thù toán riêng biệt  Đối với đa thức biểu thức chứa thức bậc hai, bạn ý hệ thức liên hợp (trục thức) A2  B A2  B A B  A B   A  B  0 ;  A  B  0 A B A B A B A B A B   A  0; B  0; A  B  ; A  B   A  0; B  0; A2  B   A B A B Bài tốn Giải phương trình x3  x   x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x  x  x   x  x  x   x  3x   x     x 4  x  x  x  x  12 x  36   Đối chiếu điều kiện ta lấy nghiệm x  Lời giải Điều kiện x  Nhận xét x   x, x   nên x   x  0, x  3 Phương trình cho tương đương với   x  x 3 1 x 3  x  x  x    x  4 x  Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ   x   x  Đối chiếu điều kiện ta lấy nghiệm x  Bài tốn Giải phương trình x   x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với  x    7  x  x   x   x  x  15  16  x  x  15   x   2  x  2 4 x  x  15  x  28 x  49  x  Kết hợp điều kiện ta thấy phương tình có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x  Nhận xét x   x  3, x    x   x  3, x  Phương trình cho tương đương với   2x   2x     2x   2x  Kết hợp (*) phương trình ban đầu thu hệ  x   x    2x    2x    x    x   x   Vậy phương trình cho có nghiệm x  2 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ Bài toán Giải phương trình  x    3x    x   Lời giải Phương trình cho tương đương với 3x   3x    3x   3x   3x   3x    x  So sánh điều kiện đến kết luận tập nghiệm S  1 Điều kiện x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với  x    3x     x    3x      x    3x    Kết hợp hệ thức [*] phương trình ban đầu ta có   3x    3x    x    x    3x   So sánh điều kiện đến kết luận tập nghiệm S  1 Nhận xét Trên tốn phương trình chứa thức sơ đẳng, tác giả đưa hai cách trình bày biến đổi tương đương – nâng lũy thừa sử dụng hệ thức liên hợp – trục Rõ ràng toán này, cách làm sử dụng liên hợp có tư sáng tạo (khơng phải giải phương trình bậc hai hệ quả), "chống chọi" lại với tinh thần "ngây thơ, đơn giản" phương pháp nâng lũy thừa Vấn đề nảy sinh nên nhân liên hợp nào, nguyên nhân lại làm Để dẫn dắt tới câu trả lời, mời bạn tham khảo ví dụ sau Bài tốn Giải phương trình x  3x   x  3x    x   Lời giải Điều kiện x  3x   Phương trình cho tương đương với x  3x   x  3x    x  x   x  3x   x  3x   x  3x    x  x    x  1; 4 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x  1; 4 Lời giải Điều kiện x  3x   Đặt x  3x   t  t    x  3x   t , phương trình cho trở thành x  t   t   t   t  4t   t   x  3x      x  4 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x  1; 4 Lời giải Điều kiện x  3x   Phương trình cho tương đương với   x  x   x  3x   1 2 x  3x   x  x  Kết hợp [1] phương trình ban đầu ta có hệ 2 x   x  3x   x  3x    x  3x    x  3x       x  4  x  3x   x  3x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x  1; 4 Bài tốn Giải phương trình 5x  x   5x2  x    x   Lời giải Điều kiện x  x   Nhận xét x  x   x  x  2, x    x  x   x  x  3, x thỏa mãn x  x   Phương trình cho tương đương với   5x2  x   5x2  x   1 2 5x  x   5x  x  Kết hợp (1) phương trình ban đầu ta có hệ phương trình  x  x   x  x      x  x    x  x    x   ;1     x  x   x  x     So sánh điều kiện ta thu nghiệm S   ;1   Lời giải Điều kiện x  x   Đặt x  x   t  t    x  x   t Phương trình cho tương đương với t    t2    t    t   x  x    x  x    x   ;1   t   t  10t  25   Kết hợp điều kiện ta thu tập nghiệm S   ;1   Bài toán Giải phương trình Lời giải Điều kiện x  x   x3  x   x3  x    x   Nhận xét x  x   x3  x  4, x    x3  x   x3  x  4, x thuộc tập xác định Phương trình cho tương đương với   x  x   x  x   1 3 4x  x   4x  x  Kết hợp [1] phương trình giả thiết thu hệ 3  x  x   x  x    x3  x    3  x  x   x  x    x  x     x  1  x  x  5   x  Giá trị thỏa mãn điều kiện x  x   Kết luận tập hợp nghiệm S  1 Lời giải Điều kiện x  x   Đặt x  x   t  t    x3  x   t Phương trình cho tương đương với 4  t  t    t 1 t2    t     t   t  t  16 t    x3  x     x  1  x  x     x  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ Giá trị thỏa mãn điều kiện x  x   Kết luận tập hợp nghiệm S  1 Bài toán Giải phương trình 3x  x   12 x3  x   11  x   Lời giải Điều kiện 12 x  x   Nhận xét 12 x  x  20  12 x  x  9, x    3x  x   12 x3  x  9, x thuộc tập xác định Phương trình cho tương đương với 12 x  x  20  12 x  x   11 11   11 12 x  x  20  12 x3  x   12 x3  x  20  12 x  x   Kết hợp điều với phương trình ban đầu ta có hệ  12 x  x  20  12 x3  x    3x3  x   12  3  12 x  x  20  12 x  x   11  3x3  x     x  1  3x  x     x  So sánh với điều kiện thấy thỏa mãn Vậy tập nghiệm cần tìm: S  1 Lời giải Điều kiện 12 x  x   Phương trình cho tương đương với 12 x3  x  20  12 x  x   22 12 x3  x   121 3 12 x  x  20  11  12 x  x     12 x3  x   11  12 x3  x     12 x3  x   25  3x3  x     x  1  3x  3x     x   12 x  x   11 So sánh với điều kiện thấy thỏa mãn Vậy tập nghiệm cần tìm: S  1 Nhận xét  Các toán từ đến độ khó tăng thêm chút, với xuất đa thức bậc hai bậc ba phía dấu căn, nhiên phương pháp giải khơng thay đổi, ngồi cách giải đẳng thức liên hợp bạn sử dụng biến đổi tương đương sử dụng ẩn phụ, thực hai cách làm có chất, ẩn phụ nhằm mục đích giảm thiểu cồng kềnh sai sót tính tốn, quan sát lời giải thấy rõ điều  Hình thức tốn từ đến có tương đồng, biểu thức chứa biến x dấu (khơng tính hệ số tự do) giống y nhau, bên thức số, điều tạo nhiều lợi thao tác giải, điểm mấu chốt dẫn đến đơn giản tốn  Có thể đề xuất dạng tổng quát : f  x   a  f  x   b  c (với a, b, c số thực) Phương án Nâng lũy thừa – biến đổi tương đương Sau chuyển vế thực biến đổi xuất triệt tiêu đa thức f  x  Như ta suy hệ  f  x  a  c  f  x  b    f  x   a  c  f  x   b  2c f  x   b c  b  a  2c f  x   b   c  f  x   b   f  x   b  c CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _  f  x  a  c  f  x  b  c  b  a  2c f  x   b  f  x   a  c  f  x   b  2c f  x   b    c  f  x   b  c  f  x   b  Việc giải hai hệ Phép đặt ẩn phụ f  x   f  x   a  f  x   b quy phương trình chứa Phương án Sử dụng đẳng thức liên hợp Sau lập luận trường hợp f  x   a  a b f  x  a  Kết hợp với phương trình ban đầu f  x  b f  x   b ta có c f  x  a  f  x  a  f  x  a  f  x  b  ab c f  x   b  c ta có a b ab  c f  x   b  c c c  Đối với toán  f  x   a   g  x   b  c phương án cần xem xét kỹ lưỡng thực thận trọng yếu tố thay đổi theo hướng bất lợi cho  Trong trường hợp bất phương trình, bạn cần đặc biệt lưu ý dấu biểu thức liên hợp Bài tốn Giải bất phương trình 4x 1  4x    x   Lời giải 1 Bất phương trình cho tương đương với   x   x    x   16 x  12 x    16 x  12 x    x 4x 1  4x  Dễ thấy (*) vơ nghiệm  x  0, x  Kết luận bất phương trình cho vô nghiệm Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x   x    x   x   x   x   (Vô nghiệm) Vậy bất phương trình cho vơ nghiệm Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x   x   Điều kiện x  Ta có a  b  ab  a  b, a  0, b   a  b  a  b     Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có x    x    x  Dấu đẳng thức khơng xảy Vậy bất phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét Lời giải tốn sử dụng đẳng thức liên hợp, nhiên trực quan bạn thấy phương án khơng giảm thiểu phức tạp mấy, chí đưa tốn cho tốn có mức độ tương đương Lời giải sử dụng phép biến đổi tương đương bản, nâng lũy thừa dẫn đến kết nhanh chóng Lời giải sử dụng bất CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 1) _ 10 đẳng thức để đánh giá hai vế, dẫn tới bất phương trình vơ nghiệm, ngun nhân đặc điểm đặc biệt hình thức tốn, xin trình bày Lý thuyết sử dụng Đánh giá – Bất đẳng thức – Hàm số Qua ví dụ này, để ý thấy không nên áp dụng đẳng thức liên hợp theo lối mịn giáo điều, khn phép, tức cần linh hoạt cẩn trọng trình lựa chọn phương pháp, để có lời giải "cơ – vừa sức" Bài toán 10 Giải bất phương trình x 1  x    x   Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x 1  x    2x   x2  2x    x2  2x    x x    x 1 x  2x   x  2x  Kết hợp điều kiện ta thu nghiệm x  Lời giải Điều kiện x   x    x   x 1  Ta có x    x     x    x  Do bất phương trình cho có nghiệm   x   Lời giải Điều kiện x  Nhận xét x  nghiệm bất phương trình cho 1 Xét hàm số f  x   x   x  3; x  ta có f   x     0, x  x 1 x  Suy hàm số f  x  liên tục đồng biến miền 1;   Bất phương trình cho trở thành f  x   f 1  x  (Loại) Kết luận nghiệm S  1 Bài tốn 11 Giải bất phương trình x   x    x   Lời giải 1 Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x   x    x   x  x   x    x  1  Kết hợp điều kiện ta nghiệm S   ;1 5  Lời giải Điều kiện x  5 Bất phương trình cho tương đương với   5x   5x 1  5x   5x  Mặt khác  x   x   1 , suy x    x    x  1  Kết hợp điều kiện ta nghiệm S   ;1 5  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM;01633275320 TRUNG ĐOÀN TRẦN HƯNG ĐẠO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 105 Bài toán 218 Giải phương trình 3x  x   x   x  x  15  x   Lời giải  x  1  x  Phương trình cho tương đương với x3  x2  3x  x    x     x  1  x  x    x  1 3x  x     2x   3x  x   x 1   3x  6 x2  x    1  x  x   2 2x   Xét hai trường hợp xảy 3x  6 x2  x   3x     2 , x   2x   3x  x   Điều kiện    3x  3x  3x  6x2  x   3x      2   3x  x   2 2 2x   3x  x   Do (1) ln vơ nghiệm Kết luận tốn có nghiệm x  3x  Bài tốn 219 Giải phương trình x  3x  x    x3  x  x  x   Lời giải Điều kiện 8  x  3  x  Phương trình cho tương đương với x3  x  x  x  3x   x     x  1  x  x    x  1 x  3x     x 8 3 x  x  3    x 1  x4 2x2  x      x  x  3  2 x    1 Xét hai trường hợp  x   , kết hợp điều kiện thu x  Khi x4 x4 x6 2x2  x    1   x2  3x  2 x8 3 x  x  3   x    x  4  8  x  4 Khi x4 2x2  x   1 , x   8;  x8 3 x  x  3  Vậy phương trình (1) ln vơ nghiệm Kết luận phương trình đề có nghiệm x  Bài toán 220 Giải phương trình x  3x  x  x  x3  x  22 x  x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 106 Lời giải Điều kiện x  8  x  Phương trình cho tương đương với x  x  22 x  30 x  3x   x  x   2 x  3x  x  8x  x  x  22 x  30    x  3x  x2  8x  x  1 x    x  1 x    x  1  x  x  30      x2  3x  x2  8x  x 1   x4 x9 x  x  30   x2  8x   x  3x  Xét hai trường hợp theo điều kiện xác định  Nếu x   x   0; x   , (1) vơ nghiệm 1 x  x  x  30 x  30  x  x x  x  30       6 x  3x  x2  8x   Nếu x  8  x   0; x   , x4 x9 x4 x 8 1      x  3x  x2  8x  x  3x  x2  8x  x2  8x  3 x4 x9 x  x  30  x    14 Hơn   , x   , suy (1) vô nghiệm 6 Vậy tốn ban đầu có nghiệm x  Nhận xét Bài toán 220, nguyên hai biểu thức dấu có dạng tam thức bậc hai, sau sử dụng đại lượng liên hợp thu phương trình hệ chứa đồng thời hai nhị thức bậc nhất, việc đánh giá theo điều kiện xác định bước đầu gặp chút khó khăn, để chúng se duyên với bắt buộc cần có ơng tơ bà nguyệt, điểm nhấn nằm thao tác tách phân thức 1 x4 x9 x4 x 8      2 2 x  3x  x  8x  x  3x  x  8x  x  8x  3 Rõ ràng bạn bo bo giữ thành trì Quy Nhơn kiểu Nguyễn Nhạc mau chóng thất bại, quân chúa Nguyễn Phúc Ánh theo gió Nam lầm lũi chiếm, kết cục bạn khơng có chỗ chơn x4 x9 x4 x9 x  x  30     x9 , x  8? x  3x  x2  8x  x  3x  x2  8x  x  Nếu không thực phương án se duyên, tất yếu phải chia vùng miền  9  x  8  x  9 Bài tốn 221 Giải phương trình x  x  x  15  x  77 x  12  x   Lời giải Điều kiện 15  x  8  x  Phương trình cho tương đương với x  77 x  82 x2  8x  x 1 x  77 x  82 x  x   x  15      12 12 x  15  x2  8x  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 107 x  x  1 x  82   x 1   x9 x  82    12 x  15  x  8x  12  x  x  x  15  Xét hai trường hợp theo điều kiện xác định  Nếu x   x   , x9 x  x  39 x  39 x  43 x  82        12 12 12 12 x  15  x2  8x   x  1 x      1 Nếu x   15; 8  x   0; x  15  nên x9 x8 1 1 7 x  75 x  82          12 12 x  15  x  15  4 12 12 x2  8x  x2  8x  x2  8x  Tóm lại (1) vơ nghiệm, tốn có nghiệm x   Bài tốn 222 Giải bất phương trình x  3x  2 x   x3  15 x  13x  40  x   Lời giải Điều kiện   x  3  x  Bất phương trình cho tương đương với x  15 x  13x  x  3x   2 x     x  1 x  3x  x  15 x  13x     2x   x  3x     x  1 x     x2  3x  2  x  1 2x     x  1  x  21x  8  x  21x   x4   x  1      1 2x    x  3x   Nhận xét với điều kiện xác định x   , suy x4 x  3x  x  x  21x       x  3x   6 2x   x  3x  2 x  21x       1  x    x  2x   x2  3x  Kết luận bất phương trình ban đầu có nghiệm x  x4 Bài tốn 223 Giải bất phương trình x  x   x  24  x  x  x    24  x   Lời giải Điều kiện 24  x  7  x  1 Bất phương trình cho tương đương với     x2  8x     x2  8x  9 x  8x     x  24   x3  x  x  17  x  1 x  24    x  1  x  x  17     x  9   x  1     x  x  17    x  24   x  8x    1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 108 Xét hai trường hợp kết hợp điều kiện xác định o Nếu x    x  9  x  9   x    x  10  x  10   x  x    x  x  17 x  24  x  8x   Lúc 1  x    x   9  x   x  9    x   x  24  x2  8x   Trong xét hàm số f  x   x  x  17; x   24; 9   f  x   Min f  x   f  9   17  o Nếu x    x  9  x   24; 9   x 24; 9   x  9  x  x  17 , (1) nghiệm x  24  x  8x   Kết luận bất phương trình cho có nghiệm S   24; 7    1;1 Nhận xét Bài toán 223 tốn kết hợp tổng hịa sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức nghiệm, đánh giá túy kéo theo điều kiện xác định công cụ đạo hàm – khảo sát hàm số bậc THPT Để sáng tạo lớp toán theo ý đồ này, khơng q khó, tác giả xin chia sẻ số quy trình sau Trước tiên cần lựa chọn hai thức, theo thứ tự biểu thức dấu có dạng tam thức bậc hai nhị thức bậc f  x  ; g  x  , biểu thức vế phải có dạng đa thức bậc ba, đảm bảo sau tách biệt nghiệm quy Lúc  tam thức bậc hai h  x  , hàm ý đòi hỏi sử dụng đánh giá khó nhị thức bậc nhất, kể có kèm theo điều kiện Sau thực liên hợp ta có hệ phương trình dạng ax  b f  x  p  c g  x  q  h  x  Lưu ý điều kiện xác định thức, yếu tố định thành bại Để vượt qua đơn vị trọng điểm xơng pha, cần bố trí x1  x0 với x1  ax  b  0; x0  g  x   Nếu bạn mềm lòng để xuất kẽ hở x1  x0 địch cơng phá ngay, nguy hiểm quan đầu não, cụ thể toán 221, miền xác định D : 24  x  7  x  1 nên  x  9  x  25 ax  b ax  b thay   2 f  x  p f  x  p x  8x   x  8x   Bước tiếp theo, để có điều kiện đánh bộc phá đồi A1 kiểu Trung đoàn 174, đánh quỵ các điểm trọng yếu địch, làm cho chúng không gượng gậy được, không tìm lối thốt, lưu ý cần chọn tam thức bậc hai khỏe mạnh, cường tráng, bao hàm toàn tình xảy ra, cụ thể phải trinh sát trận địa giai đoạn  x  9  x  9    x    x  10 x  24  x2  8x   4  x  9  x  9    1  x  24  x2  8x   Bây phải chọn tam thức đảm bảo h  x   x  10; h  x   với điều kiện xác định kéo theo ban đầu Có vơ vàn lựa chọn cho chúng ta, đem cháu x  10 cộng thêm đại lượng khơng âm đè chết số thành công tức khắc h  x   x  10   x  x  1   x  3x  12 h  x   x  10   x  x  1   x  x  12 h  x   x  10   x  x  3   x  14 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 109 Tuy nhiên việc kéo theo điều kiện chưa sử dụng triệt để, gây lãng phí, thất tài sản nhà nước, cần phải phát hiện, tổ chức phê bình, kiểm điểm, trỉ trích, cảnh cáo, đấu tố, lên án tra tấn, biệt giam, cao tử hình Cần phải có trách nhiệm cao với thứ vạch ra, thứ thừa hưởng Trong tốn 223 tác giả khéo léo sử dụng điều kiện thông qua quan sát x  9  x  10  x  10   x  x    x  x  17 x  9  x  x  17   x  x  16  x  x    16  Lời giải toán 223 sử dụng cơng cụ đạo hàm – khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ hàm số bậc hai, chẳng qua ngụ ý đao to búa lớn mà thôi, để q vị có nhìn khách quan, dễ hình dung hơn, thực bản, sử dụng đồ thị parabol lớp 10 THPT tính cực trị kiểu lớp 12 THPT đến kết Lời khuyên dành cho bạn nhỏ tuổi nên dùng đánh giá túy x  x    0, x  9 , tất nhiên vận dụng điều dễ dàng tạo lập vế phải hệ so với việc quy xây dựng hàm số theo nguyên hàm Bài toán 224 Giải bất phương trình x3  x  x  40 x  x   x  14  12  x   Lời giải Điều kiện 14  x  7  x  Bất phương trình cho tương đương với x  x  x  44  x  1 x     x  14   12  x    x  10 x  22  x  x  16 x2    12  x  1 x    x  14   x 8 x  10 x  22    x  2    1 0 12 x  14   x  6x    Xét hai trường hợp kết hợp điều kiện xác định o Nếu x   x8 x  x  11 x  11   x  x    18 x  10 x  22       12 12 12 x  14  x2  6x   Khi 1  x    x  o Nếu x    x  8  x   14; 8  x8  1  x   x  14  4 x2  6x   x  10 x  22 x  10 Xét hàm số f  x   ; f  x   0, x   14; 8 ta có 12 12 1 f  x   Min f  x   f  8    x 14; 8 x  10 x  22   Do (1) vơ nghiệm 12 x  14  x2  6x   Kết luận tốn có nghiệm x  Ta có x8  Bài tốn 225 Giải phương trình x  x   x  x3  x  x Lời giải Điều kiện  x   x  Phương trình cho tương đương với  x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 110  x  1 3x     x2  x   x   x3  x2  x   x  1 3x     x  1 x  1   x  1 3x     x 1  x  x2  5x  6 x 1 x 1   x  x   x  1 x 1 x   6x 1    x2  x  x 1   x  1 x    1 6x 1 0  x2  x Xét x     x   x 1  x  1 3x    Xét x    x   6x 1  x  1 3x     6x   x   x2   1  x 1  x2  6x x 1 Suy phương trình (1) vơ nghiệm Vậy tốn có nghiệm x  Bài tốn 226 Giải phương trình x  3x   x  7 x  1  x    x  x   x  3  Lời giải Điều kiện 8  x  3  x  Phương trình cho tương đương với x2  3x    x    x3  x  x   x  3x  x   x3  x  x  2     x  3x   x  3x    x    x  x  x  12  x  1 x 8 3   x  1  x  x  12  x  3x  x 1     x  4   x  x  12  x  3x  x8 3 1 5  Nhận xét x  x    x    , x   nên 2   x  4 5  x  4    x4  x   x  x  12 23 x8 3 x  3x  2  x  4 5  8  x  4        x   x    x  x  12 x8 3 x  3x  Do phương trình (1) vơ nghiệm Kết luận tốn có nghiệm x  Bài tốn 227 Giải phương trình x  x   x   3x  19 Lời giải Điều kiện x thực Phương trình cho tương đương với  x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 111     x    3x3  x  x2     x  1    x  1  3x3  x  x 3 2 x 8 3  x  1 x  1  x  1 x  1     x  1  x  x   2 x 32 x 8 3 x 1     x  1  x  1   3x  x  1 2  x   x 8 3 Nhận xét x  x    x  1  x   0, x   Xét trường hợp xảy  Nếu x  1  x     x  1 x2    x  1  x  1  x2    x  1  , dẫn đến (1) vô nghiệm  x  1  x  1   x   x   3x 1 23 x 3 2 x 8 3 Vậy phương trình (1) ln ln vơ nghiệm Bài tốn có nghiệm x   Nếu x  1  x      Bài toán 228 Giải phương trình x   x  3x  x3  x  3x  24 Lời giải Điều kiện x   x  Phương trình cho tương đương với     x  3x   x3  x  3x  20 x2     x  16  x    x  3x  x 9 5  x   x    x3  x  3x  20 x  3x   x   x  1  x  x  x       x 9 5 x  3x  x      x  4  x  1   x  x  1  x   x  3x  2 1  Nhận xét x  x    x  1   0, x  ; x  x    x    , x   2  Các trường hợp xảy  x  4  x  1 o x  4  x   0; x      x2   x2  3x   x  4  x  1 8 x  4 o 4  x  1  x   0; x      3 x2   x  3x   x   x    x  x  1  x  x  o x  1  x   0; x     x  4   x  1   x    x  1  35 x2   x  3x   x   x   2x   x2  2x  Như phương trình (1) ln ln vơ nghiệm Kết luận tốn có nghiệm x  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 112 Nhận xét Bài tốn 228 có đột phá nho nhỏ, nâng cấp hai thức trở thành tam thức bậc hai, dừng chân thức luôn dương với giá trị thực x, khơng cần tìm điều kiện xác định ax  b cx  d   h  x Hệ sau thực liên hợp sau g  x  q f  x  p d b Việc kết hợp điều kiện xác định nghiệm x   ; x   không đạt mong muốn, chúng c a phức tạp, co cụm vào miền Chi Lăng – Xương Giang nhỏ hơn, chúng chạy lung tung, quấy phá nhân dân, buộc phải dàn trải quân, tung hết hỏa lực xét toàn trường hợp, dĩ nhiên, bám sát chúng tạo điều kiện thuận lợi d b Các bạn nên xét theo nghiệm x   ; x   so với nghiệm x  0; x  a c  x  4  x  1 o Đánh tan đơn vị yếu nhé: x  4  x   0; x      x 9 5 x2  3x  o Đánh giá chặt đơn vị thứ hai:  x  1  x  4 8 x  4 4  x  1  x   0; x       x4 35 x2   x  3x  o Đánh giá chặt đơn vị thứ ba:  x  4  x  1  x    x  1 x  1  x   0; x        x   x   2x  2 3 x 9 5 x  3x  Để chặn đứng đà tiến quân hai đơn vị mạnh này, cần chọn tam thức cho bao hàm đè chết đơn vị trưởng chúng, tức h  x   x  5; h  x   x  Có nhiều chiêu trị ác độc đây, tốn 226 cịn nhẹ nhàng lắm, cịn tha khơng giết tù binh, lựa chọn h  x   x  x    x    x  x    x  x  1 Các bạn cứng rắn kết hợp điều kiện xác định tồn phương trình, chẳng hạn h  x   x    x   x  3x   x  x      2 h  x   x  x   x    x  x  1  x  h  x   x    x   x  3x    3x  x      2 h  x   3x  x   x    3x  x    x  Và cịn ác độc kết hợp với điều kiện hai đơn vị mạnh thơi, tức x  4; x  3x  2 h  x   x    x  3x    x    x  Xông pha mạnh dạn  2 h  x   x   x   x  x   x  Thực làm “Chim sẻ bắt ve, không ngờ bọ ngựa đứng đằng sau” hay chí “Dã tràng xe cát Biển Đơng” hóa h  x   x    x  x   rồi, đâu cần điều kiện x  4; x  3x  không bạn h  x   x   3  x  3x   x  4  3x  x    Cách điệu chút  2 h  x   3x  x   x   3x  x  Vụ thành cơng khơng có kẽ hở 3x  x   0, x   lại có 3x  x   0, x   Tương tự bạn xây dựng mn vàn toán khác với cấp độ mạnh hơn, ý đồ thâm thúy bắt buộc nhọc lòng nhiều hơn, đừng có kiệt sức bắp Good luck CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 113 Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực x   x2  4x   x     x   x   x  x  10  x    x   x  x   x    x   x  x  21  x    x   x3  x  x   x    3x   x3  3x  x  x     x   x3  x    x   x  x  49  x    10 17 x   289 x  17 x  21  x    11 x   x  x  x  15  x   12 x  12 x  x  24  x   x   13 x   x3  x  32 x  39  x   14 x   x  15 x  34 x  23  x   15 x   x3  13x  29 x  103  x   16 x   x3  x  x   x   17 x   x  10 x3  x  x   x   18 x   x  x  x  12 x  13  x   19 x   x  x3  x  x  13  x   20 2 x   3x   x    x   21 x  x   x    x  15  x   x    x  1  3x   x    x   22 x   x   x   x  16  x  100  23 x   3x   x   x  16   x   25 3x   x   x  x   x   26 x    x  x  3x   x   27 x    x  x  x   x   28 x  x   x   x   x   29 x   x   x   x   30 x  16  x   3x   x   31 x3  10  x3   x   x   32 x   x  x    x  x   24 x  x   x2  2x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 114  x   33 x  x   3x  x  34 x    x  2x   2x2  9x   x    x   36 x   x   x  x   x   37 x   x  13x  36   x   x   38 x   12  x  x3  3x  x  x   39  x  x   x   x  x  10  x   40  x  x   x   x  x  20  x   41 2 x   3x    x  x  x  17  x   42 x    x  x   x  3x  x   x   43 x    x  3x  21x  x  26  x   44 x   x   x   x3  3x  14  x   45 x   x   3x   x  x  3x   x   46 3x  x   x  x   x   x   47  x  1  3x   x   x  12 x  22 x  13  x   48 x   x   2 x   x3  x  17 x   x   49 x   x   2 x   x  x  x  20  x   50 x   x   x  x  x   x   51 x   2 x   x   x3  3x  10  x   52 x   x   x  x  11x3  12 x  x   x   53 x   x   x5  x  x3  x  3x   x   54 x   x  x  x   x   55 x   2 x   x  x  x    x   35 x    x  x  x  10 56 1 2x   1 x2  x 1 57 x   2  x  1  x5  3x  x  x  58 3x   x  3x   x  3x  x  12 x  32 x  31 59 x   x    x  x  3x  x  35 x  25 60 x   x   x  x5  x  x  29 x  236  x   61 x   3x   x   62 3x   3x   x  16 63 x   x   x  12 64 x   x  x  x   x    x    x    x    x    x    x    x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 115 Giải phương trình bất phương trình sau tập số thực  x   x  x  1  x  x  x  x   x  3x    x   3x  x   x   x  x  3  x   x  x   x    x  1 x    x   x  x   x     10  x  2 x   x  3x  3  x   x3   3x  3x  x    x    17  x  x  x  x   x  3x    x3  12 x  x   x   10 x  x    x  3x  x   x    11 x  x  8  x3  x  x   x   16  10  x  x3  x 12 x   x   x3  3x  3x  13  x  1 3x    x3  x  x  x     x   15 3x  x  10 x    x  x   16 x  x  12 x  18   x  x   17 x  3x  x   x  x  x   x   18 x   x   3x3  x  x    15  x   14 x3  x  12 x  46  10  x x2   x2  3x 1  x   x3  x  x  20 20  x  1 3x    x  x  x  x  19 21 x  x   x  24  x  x  x  23 22 23 24 25 26  x    x   2 x  5x   x   x3  x  x 3x  x   x     x   x  3x  x   11   x  1 3x    x7 3x  x  x  x  3x  x  1 x  x  1  x  x  3x    x  3x3  x  x  1 1  x    x    x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 116 III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao phát triển toán 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Toán nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đoàn Quỳnh – Doãn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập tốn hay khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải tốn Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – 1; Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học) Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng tốn điển hình kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng; Tập 1;2;3;4 Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ôn luyện thi mơn Tốn THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số lượng giác Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các giảng luyện thi mơn Tốn; Tập Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 500 Bài tốn chọn lọc Đại số - Hình học 10 Lê Hồnh Phị; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2012 22 Tam thức bậc hai ứng dụng CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 117 Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 23 Chuyên đề Bất đẳng thức ứng dụng đại số Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt nam; 2003 24 23 Chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp ; Quyển Nguyễn Văn Vĩnh – Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH); NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 25 Phương pháp giải toán bất đẳng thức cực trị Nguyễn Văn Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh; NXB ĐHQG Hà Nội; 2011 26 Các giảng bất đẳng thức Cauchy Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2008 27 Cẩm nang luyện thi Đại học Ứng dụng hàm số Giải tốn Đại số Giải tích Huỳnh Nguyễn Ln Lưu – Nguyễn Thị Duy An; NXB ĐHQG Hà Nội ;2014 28 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Mai Xuân Vinh – Phạm Kim Chung – Phạm Chí Tuân – Đào Văn Chung – Dương Văn Sơn ; NXB ĐHQG Hà Nội; 2015 29 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học sở, Đại số Nguyễn Thị Thanh Thủy – Phạm Minh Phương – Trần Văn Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 30 Chuyên đề Đại số Trung học sở Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 31 Hệ phương trình phương trình chứa thức Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006 32 Tam thức bậc hai ứng dụng Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 33 Chuyên đề Bất đẳng thức ứng dụng Đại số Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 34 Ôn thi vào lớp 10 THPT Chun; Mơn Tốn Dỗn Minh Cường – Trịnh Hoài Dương – Trần Văn Khải – Đỗ Thanh Sơn ; NXB Giáo dục Việt Nam ; 2013 35 Tài liệu chuyên toán THCS; Toán 9; Tập 1: Đại số Vũ Hữu Bình – Phạm Thị Bạch Ngọc – Đàm Văn Nhỉ ; NXB Giáo dục Việt Nam ; 2012 36 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học THPT Chuyên tỉnh thành 37 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà địa phương toàn quốc 38 Đề thi học sinh giỏi mơn tốn khối đến khối 12 cấp 39 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng mơn Tốn (chính thức – dự bị) qua thời kỳ 40 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2013) 41 Các tạp chí tốn học: Tạp chí Tốn học tuổi trẻ; Tạp chí Tốn tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 42 Các diễn đàn tốn học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro; 43 Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twitter; CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 118 THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 119 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH ... lời giải 1, có chất, sử dụng đẳng thức liên hợp, lời giải lời giải đặt hai ẩn phụ đưa "hệ tạm thời" với hai phương trình, ba ẩn, kết hợp sử dụng đẳng thức đưa phương trình tích, dẫn đến phương trình. .. giả đưa hai cách trình bày biến đổi tương đương – nâng lũy thừa sử dụng hệ thức liên hợp – trục Rõ ràng toán này, cách làm sử dụng liên hợp có tư sáng tạo (khơng phải giải phương trình bậc hai hệ... tên: Sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức – hệ tạm thời (phần 1) Kiến thức chủ đạo ví dụ minh họa mở đầu, kỹ thuật liên hợp trực tiếp biểu thức chứa toán liên quan đến tìm nghiệm, liên hợp số