sử dụng phân tích nhân tử giải hệ phương trình chứa căn

TÀI LIỆU THAM KHẢO TỐN HỌC PHỔ THƠNG 3 x  y 3xy 1 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ HỖN TẠP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 1) TRUNG ĐOÀN NGUYỄN CẢNH CHÂN – QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP CHỦ ĐẠO: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC  SỬ DỤNG PHÉP THẾ VÀ PHÉP CỘNG ĐẠI SỐ  KHAI THÁC BÀI TỐN NGHIỆM CỐ ĐỊNH  SỬ DỤNG PHÂN TÍCH NHÂN TỬ CƠ BẢN (DẠNG ĐA THỨC)  SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC  TỔNG HỢP CÁC PHÉP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN  BÀI TỐN NHIỀU CÁCH GIẢI CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); XYZ1431988@GMAIL.COM (GMAIL) THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2014 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 1) _ “Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay khơng, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay khơng, nhờ phần lớn công học tập em” (Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh) “Này hoa ban, m ột nghìn năm trước mày có trắng khơng… Này hoa ban, nghìn năm sau mày có trắng khơng…” (Những người thợ xẻ - Nguyễn Huy Thiệp) CREATED BY BÌNH PHƯƠNG; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐỒN NGUYỄN CẢNH CHÂN; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 1) _ CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ HỖN TẠP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 1) TRUNG ĐOÀN NGUYỄN CẢNH CHÂN – QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP Trong khn khổ Tốn học sơ cấp nói chung Đại số phổ thơng nói riêng, hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp dạng toán thú vị, có phạm vi trải rộng, phong phú, liên hệ chặt chẽ với nhiều phận khác toán học sơ cấp toán học đại Tại Việt Nam, hệ phương trình, nội dung hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp phận hữu cơ, quan trọng, phổ biến giảng dạy thức chương trình sách giáo khoa Tốn lớp 9, 10, 11, 12 song song với khối lượng kiến thức liên quan Đây kiến thức phổ biến xuất kỳ thi kiểm tra kiến thức thường niên, kỳ thi chọn học sinh giỏi tốn cấp tồn quốc, kỳ thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT kỳ thi tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm, kỳ thi đầy cam go, kịch tính bất ngờ, lại câu quan tâm bạn học sinh, phụ huynh, thầy cô, giới chuyên mơn đơng đảo bạn đọc u Tốn u cầu dạng toán đa dạng, đa chiều, mục tiêu tìm ẩn thỏa mãn tính chất nên để thao tác dạng toán này, bạn học sinh cần liên kết, phối hợp, tổng hợp kiến thức học phương trình, hệ phương trình bất phương trình, đòi hỏi lực tư thí sinh cao Tuy nhiên "Trăm hay không hay tay quen", phương pháp được hệ trước đúc kết tận tụy cho hệ tương lai, bạn hoàn toàn đủ khả kế thừa, phát huy sáng tạo không ngừng, chuẩn bị đủ hành trang nắm bắt khoa học kỹ thuật, đưa đất nước ngày vững bền, phồn vinh, hiển nhiên tốn kỳ thi định khơng thể rào cản, mà hội thử sức, hội khẳng định kiến thức, minh chứng sáng ngời cho tinh thần học tập, tinh thần quốc ! Các phương pháp giải hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp luyện tập cách đặn, hệ thống hữu ích, khơng mơn Tốn mà phục vụ đắc lực cho môn khoa học tự nhiên khác hóa học, vật lý, sinh học, Tài liệu mở cho lớp hệ phương trình chứa thức sử dụng phép thế, cộng đại số, phân tích đẳng thức, phân tích nhân tử khơng chứa (khơng sử dụng liên hợp) phối hợp kỹ Tuy nhiên hệ phương trình chứa thức nên đòi hỏi độc giả nắm vững phương pháp giải hệ phương trình bản, hệ phương trình hữu tỷ phương pháp giải phương trình chứa nói chung Các thao tác tính tốn kỹ trình bày phương trình, hệ phương trình xin khơng nhắc lại I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, đẳng thức, phân thức, thức, giá trị tuyệt đối Nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nắm vững phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao Sử dụng thành thạo ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương) Kỹ giải hệ phương trình hệ phương trình đối xứng, hệ đồng bậc loại CREATED BY BÌNH PHƯƠNG; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐỒN NGUYỄN CẢNH CHÂN; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 1) _ II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC A PHƯƠNG PHÁP THAY THẾ  x  y  Bài tốn Giải hệ phương trình   x; y     x   y   Lời giải Điều kiện x  3; y  Hệ phương trình cho tương đương với  y   x  y   x     x    x  4   x  31  x    y   x  y   x     x; y    3;5  , 1;1  x  31  x    x  3;1 Kết luận hệ cho có hai nghiệm kể  x  y  5, Bài toán Giải hệ phương trình   x    x  x  x   y  Lời giải Điều kiện thức xác định Thế y   x từ phương trình thứ vào phương trình thứ hai ta x    x  3 x3  x  x   x      x   y   2  x  x  6x   x  6x  x  Vậy hệ cho có nghiệm  x3  x  x   x  x  y , Bài toán Giải hệ phương trình   x; y    2  x  y  Lời giải Điều kiện thức xác định Thế x  y  từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ ta có  2 x   x   4x  x  x   2x     2  x  x  x   x  x  4 x  x  x     1  x   x    x    2     x 1 3  x  13  3x  x    3x x      1 3 Đối chiếu điều kiện ta thấy hệ có nghiệm 1 1 ; y  1 ;x   ; y   1 x 3 1 1 1 3 1 3    x  y  Bài toán Giải hệ phương trình  2  x  y  x  x  12 x   x Lời giải Điều kiện thức xác định    x; y    CREATED BY BÌNH PHƯƠNG; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGUYỄN CẢNH CHÂN; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 1) _ Thế x  y  vào phương trình thứ hai hệ ta có  2 x   x  x  x  12 x   x     x 36 2 x  x  12 x   x  12 x    x3   Kết luận hệ cho có nghiệm  x; y     6;  36 ,  6;   36 Nhận xét Đây tài liệu mở đầu cho toàn series hệ phương trình chứa thức tác giả tốn mở chũng thực đơn giản, khơng số bạn khơng nhận rõ điều đó! Thực tế hệ phương trình chứa thức nâng cao phát triển hệ phương trình đại số, hệ phương trình hữu tỷ, với mức độ đơn giản mà bạn biết hệ phương trình bậc hai ẩn với phương pháp (thay thế) cộng đại số trực thuộc phạm vi chương trình Đại số Học kỳ II lớp THCS Phương pháp phương pháp vô bản, đơn giản, có lẽ bạn học sinh hệ THPT quy biết bước quan trọng khâu xử lý cuối hệ phương trình trước quy phương trình ẩn thử nghiệm, loại nghiệm Sẽ khách quan nói phương pháp phương pháp bản, đơn giản, sai lầm nói phương pháp phương pháp có tính “thẩm mĩ” cao Quả thực, đơi lúc phương trình hệ thu cồng kềnh, dài dòng, tính giải hay chưa phải “hy vọng”, lúc ấy, bạn học sinh thường quen gọi với ngơn từ “phương trình khủng bố” Tuy nhiên, cảm giác “tầm thường” dành cho nên đơi nhiều bạn học sinh tỏ lúng túng, xuất tâm lý e ngại chí kỳ thị phương pháp thế, vơ hình chung làm rào cản lời giải tự nhiên, ngắn gọn, chí tối ưu Mời quý độc giả theo dõi tốn Bài tốn Trích lược T4/408; Đề kỳ này; Số 408; Tháng năm 2011; Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ; Nhà Xuất Giáo dục Việt Nam Tác giả: Lại Quang Thọ - Giáo viên Trường THCS Tam Dương; Huyện Tam Dương; Tỉnh Vĩnh Phúc  x  y   3, Giải hệ phương trình   x  x y   x  y  52  xy Lời giải x  x  Điều kiện y  1 Từ phương trình thứ suy y   x      2 4 y   x  x  4 y  x  x  Thế đồng loạt vào phương trình thứ hai ta có x3  x   x   x   x  x    52  x  x  x    x  x  21   x  3;7 Loại trường hợp x  3  x   y  Kết luận hệ cho có nghiệm  x y   xy  x3  x  19, Bài toán Giải hệ phương trình   y   x  Lời giải Điều kiện y  Phương trình thứ hai tương đương  x; y     x  1 y   x 1    y  x  2x  Phương trình thứ hệ trở thành x  x  1  x  x  x  3  x3  x  19  x3  3x  x  x3  3x  19  x  19 502 y CREATED BY BÌNH PHƯƠNG; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐỒN NGUYỄN CẢNH CHÂN; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 1) _ Kết luận hệ phương trình cho có nghiệm 2 y y   x3  x  1, Bài toán Giải hệ phương trình   x; y    y    x  Lời giải  x  1 Điều kiện y  Phương trình thứ hai hệ tương đương với y   x    2 2 y  x  x  Phương trình thứ hệ trở thành  x  x    x  1  x3  x    x  13   x  1  x3  x   x 1  x   x   1  x  1  y 3  1   1  1 Kết luận hệ có nghiệm  x  y 1  , Bài tốn Giải hệ phương trình  4 y   x  3 y      x; y    Lời giải Điều kiện y  1 Phương trình thứ hệ cho tương đương với 2 x   2 x   2x   y     4 x  20 x  21  y 4 x  20 x  25  y  Thay vào phương trình thứ hai hệ ta  x2  20 x  21   x  3 x  5    7  12 x  64 x  84   x  16 x  21   x  3;   3 5 Loại trường hợp x    x  4; y  nghiệm hệ  x  y   2,  Bài tốn Giải hệ phương trình   x; y    y  x  y   2 x   x  Lời giải Điều kiện x  1; x  y  Phương trình thứ hệ tương đương với x  x  y 1  x     2  y 1  x  4x   y  x  4x  Phương trình thứ hai hệ trở thành   x  x   x  3x   x   x   x2  x   x  3x   x    x  3x   x  x    x   x      2   x  3x    x 1    x  x   1 0  x   x   CREATED BY BÌNH PHƯƠNG; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐỒN NGUYỄN CẢNH CHÂN; QN ĐỒN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 1) _ Kết luận hệ cho vơ nghiệm Nhận xét Từ tốn số trở đi, mức độ tốn khó tốn trước, khơng nằm ngồi phạm vi phép để thu phương trình hệ quả, phải “thế đồng bộ” – “thế triệt để” Tại lại gọi đồng triệt để Các bạn qt sát thí dụ điển hình tốn 5, phương trình thứ hai hệ có xuất hai đại lượng y  1, y nên cần phải có phương án trọn vẹn cho nó, định hướng sau x  x   o Nâng lũy thừa phương trình thứ y   x     2 4 y  x  x  4 y   x  x  o Đối với phương trình thứ hai, chỗ có y  ta y   x  x2  x  Các toán 6, 7, 8, tương tự thế, với phép đơn lựa chọn phương trình vơ tỷ khó xử lý bạn dễ dàng tạo tốn thú vị o Đối với phương trình thứ hai, chỗ có y ta y  6 x  11x  y  10  x  x , Bài toán 10 Giải hệ phương trình    y  x  x Lời giải Điều kiện x  2; y  2 Phương trình thứ hai hệ tương đương với  x; y     x  x  2 y  x  x    y  x  x  x  2 Thế vào phương trình thứ ta x  x  x   x  11x  10  x  x  x  x  x   x  x  x  x  x  10 x       2  x  x   x  1  1  x  Kết luận hệ phương trình cho vơ nghiệm  y   x  2, Bài toán 11 Giải hệ phương trình  12   x  y   x  x    x  y Lời giải Điều kiện x   1;1 ,  x  y  0; y  1 Phương trình thứ hệ tương đương  x; y     x  2 y 1  x     y  x  4x  Phương trình thứ hai hệ trở thành 12   x   x    x  x   4  x   x  x  3    x  3 x  x    x Đặt  x  a;  x  b;  a, b   ta thu 2a  a  b    b  2b     2a  b  3 a  b  1  Trường hợp 2a  b     x   x    x   x 3x   24    x  0;  2  25  16  16 x  x  24 x  16 CREATED BY BÌNH PHƯƠNG; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGUYỄN CẢNH CHÂN; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 1) _ Trường hợp a  b 1    x  1 x   1 x  2x 1  x   x 2 4  x  x  x     24 4851   15 Kết luận hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    0;3 ,  ; ;    ,   25 625     y   x  3,  Bài toán 12 Giải hệ phương trình  3 x 3 x    x   y  10 x    x  Lời giải Điều kiện x   0; 2 , y  10 x   0; y  1  x  2 y 1  x     y  x  6x  3 x 3 x   2 x Phương trình thứ hai hệ trở thành  x  x    x Áp dụng bất đẳng thức u  v  uv ta  x; y    Phương trình thứ hệ tương đương với  x  x  5  1 3 x 3  x 1 1 x    x    x   1  x      x 2 x x x 2 x 1 x3   x x x x Dấu đẳng thức xảy  x  1; x   x   x  1; y  16 Kết luận hệ có nghiệm x  2.2   x    y   x  1, Bài toán 13 Giải hệ phương trình   x; y    2 y  x  y   11  17 x   13 x  Lời giải  y  x2  2x  Điều kiện y  3; x  Phương trình thứ hệ tương đương với y   x     x  1 Phương trình thứ hai hệ trở thành  x    17 x   13 x   x  18  17 x   13 x   17 x  17 x   x   13 x   x  18 x  16     17 x  x   x   13 x   x  18 x  16  x2  9x  x2  9x     x  x  8  x  x  x   13 x  17     x2  x  8    2   x  x  x   13 x    17 1 CREATED BY BÌNH PHƯƠNG; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐỒN NGUYỄN CẢNH CHÂN; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 1) _ Ta thấy 17    0, x  nên x  x  x   13x  1  x  x     x  1 x     x  1;8 Kết hợp điều kiện ta thu nghiệm x  1; y   x  8; y  84    x  y  x  x3  x y  x  9,  Bài tốn 14 Giải hệ phương trình   x  y  x  x  y   Lời giải Điều kiện y  x  Hệ phương trình cho tương đương với    x; y     x2  x y  x  x    x  x y  x  x  y  x   x    2  x y  x  3x   x  x  x y  x  x   Thế (2) vào (1) ta   1  2  x2   x  3x     x   x  12 x  48 x  64 x   x  x     x  4; 0    x  4  x  4 17   Thử trực tiếp vào hệ ta loại x  Với x  4  y     225 289  4 y   16  y  64 Kết luận hệ ban đầu có nghiệm Nhận xét Bài tốn số 14 tác giả xuất phát ý tưởng từ II.2; Đề thi tuyển sinh Đại học; Mơn Tốn; Khối B; Đề thức; Mùa thi 2008; Bộ Giáo dục Đào tạo sau 2  x  x y  x y  x  9, Giải hệ phương trình   x; y     x  xy  x  Phép thay ẩn y  y  x làm biến đổi toàn hệ, đảo lộn đại lượng chứa x độc lập giấu cấu trúc sẵn có hệ Sử dụng ý tưởng tương tự bạn có tể tạo nhiều hệ phương trình có độ khó tương đương CREATED BY BÌNH PHƯƠNG; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐỒN NGUYỄN CẢNH CHÂN; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 1) _ 10 Bài tập tương tự  x  y  1,  o Giải hệ phương trình  x  y  25  x; y    13  y  y      2x  y    x  y    x  y    o Giải hệ phương trình   x; y    5x    x 12 y  1 x o Giải hệ phương trình  9x2  x  y   16,  x; y      x  x  y  x  x  y       x   y  1,  x; y      x   x    y  y    x   y  1,  x; y     2  x  1 10  x  y  y   y x    y  12 x  3,  x; y     2 y  x   y   x  1,  x; y      y  x   x   x   y  2,  x; y     10 x    y     y   x  1,  x; y      x   x   x  x   y  y   y   x  1,  x; y     x    x  11 x  10  y   y   x  2,  x; y       x  x   y  15 x  y   31  x  y   y  3 x  1,   x; y     2 y   y   x  x   x  y   2 x  y   y  0,  x; y     2 3 x  y  y   y  28 x  1 x   y   0,   x; y     x2  y  28 x     x  1  o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình     o Giải hệ phương trình  CREATED BY BÌNH PHƯƠNG; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGUYỄN CẢNH CHÂN; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 118 Ngồi triệt tiêu đại lượng M đưa phương trình đẹp mắt  x 1 x  3y   x  3x   x  3x  y    x  1 x  y  x  x   y    x  1 x  y x  Tuy nhiên x  3x     x  1 x       x  4 Miền giá trị biến x thuộc hai tập hợp rời nên gây bất lợi cho trình đánh giá Để co cụm miền giá trị bắt buộc cần có thêm yếu tố phương trình thứ hai Thí dụ xuất căn, phương trình đánh giá tạo miền đối lập x ; x  1; x  3; 3x  4; N k  x   x  2; N k  x   x  ; N k  x   x   Vấn đề tác giả xin đề cập sau Thay đổi theo hướng đa thức bậc ba có nghiệm hữu tỷ  x 1  x 1  x  3y  x  3y   x3  x  11x  6; x   x  y    x3  x2  5    x3  x  x   ; x   x  y   x3  x; Khai thác miền giá trị x  x3  x  11x     x  1 x   x  3    1  x  x3  x     x  1  x  x    x3  x  x     x  1  x  x    Các miền rời tỏ phức tạp, khơng có hỗ trợ điều kiện sau  Dựa thử nghiệm bước đầu sử dụng đa thức bậc ba với nghiệm có hệ số thích hợp mục tiêu triệt tiêu đại lượng M  x 1 x  3y   x  3x  y    x  1 x  y  t  x   ax3  x  x  d Do nghiệm ấn định nên a d xác định đơn giản t  x   ax3  x  3x  d a  1; f 1   d  5 a  2; f 1   d  6 a  3; f 1   d  7 Lưu ý trình chọn a d cần xác, khéo léo, tránh tạo đa thức hai nghiệm  y  y  x  x  x  y   y , Bài tốn 158 Giải hệ phương trình   x  x x  y   y Lời giải  y  y  x  0; x  x  y  Điều kiện  2 x  y  0; y  Phương trình thứ hai hệ tương đương với  x2  x x  y  x  y  x3  x2  x   x  x  y  x; y      x3  x2  x  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 119 Rõ ràng x3  x  x     x  1  x  x      x  1  x  1  3   x    Khi x   x  x  x  x  1   x  x  y  y  x  x  y  y  y Lại có x   y  y  x  y  y    y  1   dẫn đến y  y  2x  x2  x  y   y Phương trình thứ có nghiệm dấu đẳng thức xảy tức x  y   x3  x 3x  y  x  y  1, Bài toán 159 Giải hệ phương trình   y  x  y 3x  y  y  Lời giải Điều kiện x  y  Phương trình thứ hệ tương đương với  x; y     Phương trình thứ hai trở thành y  y x  y  3x  y  x   y  3x  y   x  x 3x  y  3x  y  x3  3x  3x   x  3x  y   Dễ thấy x  3x  y   x  1    x  1   x    x    4x   y  3x  y   Lại có y  3x  y  x  4, x  nên phương trình thứ hai có nghiệm  x  3x  y  x  y  x   Kết luận hệ có nghiệm x  y     y  y x  y  y  y  x  1, Bài toán 160 Giải hệ phương trình  2 2 y  y  y  x  x  x x  y  Lời giải Điều kiện x  y  Phương trình thứ hệ tương đương với  x; y    y2  y x  y  2x  y  y3  y  y 1   y  2x  y  Rõ ràng y  x  y     y  1 3    y  1   y  Biến đổi phương trình thứ hai x  x x  y  x  y   y  y  y  1    x  2x  y  Dễ thấy x  x  y     y  1    y  1  0, y  x  2x  y  x   Phương trình thứ hai có nghiệm  y   y 1   x  y y  Thử lại, kết luận hệ ban đầu có nghiệm kể CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐỒN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 120    xy  x  y  xy x    x  y  1,  Bài toán 161 Giải hệ phương trình  x 3  x  y  1  y    y  Lời giải Điều kiện x  ; y  Phương trình thứ hệ tương đương với x y  y x   x   x  xy  y  y    x; y       2  x y  2x 1   x  y   y 1  y 1   y  Khi áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có x  y 1 y  y  x     3y x  y  1  y   x  y  1  y  y    2 Phương trình thứ hai hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa  x  y  1; y  3x  x     y  1; x  y  y 1   y  2x 1 Thử lại, kết luận hệ phương trình đề có nghiệm x  y    2 Rõ ràng x y  x    x  y   0, x  5 x3  x x  y   y, Bài tốn 162 Giải hệ phương trình   x; y    3  y  1  y  x   x  Lời giải Điều kiện x  y; x3  Phương trình thứ hệ tương đương với  x2  x x  y  x  y  5x3  x2  x   x  x  y   x3  x2  x  Rõ ràng x3  x  x     x  1  x  x  8   x  Khi phương trình thứ hai tương đương với  y  y x3   x   x3    x3   y  x     1 Lại thấy x   x3    x3   y  x   x   x  Phương trình thứ hai có nghiệm dấu đẳng thức xảy tức  y  x    y 1   x  y x  Thử lại, kết luận hệ phương trình đề có nghiệm x  y   x   y  x y  3, Bài tốn 163 Giải hệ phương trình  2 x  y   x y  Lời giải  x; y    CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐỒN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 121 Điều kiện y  Phương trình thứ hệ tương đương với  x2  x y   y   y4  y   x  y    y4  y   y  1  y  y  y     y4  y      y 1   y   Như  1  y  y        Phương trình thứ hai hệ tương đương với x  x y   y    y  x  y    1 y y 1  x  Rõ ràng  y   y  Các dấu đẳng thức xảy  x  y    y 1   y  x  Kết luận hệ phương trình có nghiệm x  y   x3  x   x  1 3x  y  x  y  2,  Bài tốn 164 Giải hệ phương trình   x; y     y  1 y   y  x  2 x Lời giải Điều kiện y  x  0;3 x  y  Phương trình thứ hệ tương đương với   x  x    x  1 3x  y  3x  y  x  x  3x    x   3x  y  Ta có x   3x  y     x  1 3    x  1   x  Phương trình thứ hai tương đương với y  y    y  1 y  x  2 x  y  y    y  1 y  x  y  x  y  y    x   y 1 3y  x  Rõ ràng y   y  x   2   y  1   x   y  1    x   x   y 1  3y  x  x  Hệ có nghiệm tồn dấu đẳng thức xảy ra, tức  x   3x  y   y 1 x   Kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm x  y   y  xy   x3  y   x  y  x  y ,  Bài tốn 165 Giải hệ phương trình   x3   xy  y  x   Lời giải 5 x  y  0;3  xy  Điều kiện  2 y  x  Phương trình thứ hệ tương đương với  x; y    CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 122 x  xy  y   x  y  x  y  x  y  x3  x  x    x  y  5x  y   x3  x2  x  Rõ ràng có x3  x  x     x  1  x  x      x  1  x  1     x    Sử dụng điều áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có  xy  xy  x3   x3  xy  y  x   xy  x  y  x     2 3  xy  1; xy  x3  Phương trình thứ hai có nghiệm dấu đẳng thức xảy tức   x  y 1 x  y  x  y ; x   Kết luận hệ ban đầu có nghiệm x  y     y2  y   x y  y x  x2 ,  Bài toán 166 Giải hệ phương trình  x  y  x  y  y  3x  y      Lời giải Điều kiện y  0; x  Phương trình thứ hệ tương đương với   x; y     x  y  x  y  x y  y x  x3  x2  x   x2  x y  y  y  y x  x  x3  x2  x    x y  y x  x3  x2  x  Ta có x3  x  x     x  1  x  x  3   x  Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân với phương trình thứ hai x3  3xy  4  x2  y   4x  x2  y   2 3x y  y  4  3x y  y   Thu x  3xy  3x y  y   x  y  2  x  y    3x y  y     4 2  x  y  y  3x  y 2 2   x  y  2  y  x ; x  y Phương trình thứ hai hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy tức   x  y 1 2  x  y  3x y  y  Kết luận hệ phương trình có nghiệm kể 3x  x x  y  y  y  xy  7, Bài tốn 167 Giải hệ phương trình   17 x  y  10  x y  x    x    Lời giải  x; y    CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 123 2 x  y;3 y  x   Điều kiện  17 x  y  10  Phương trình thứ hệ tương đương với x  xy  y  x  x x  y  x  y  3x3  x  x     x  y  x  2x  y   3x3  x  x  Rõ ràng có x  x  x     x  1  x  x     x  Khi áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân cho phương trình thứ hai x  17 x  y  10 17 x  y  10  x 17 x  y  10    9x  y  2x y  5x   x2  y  5x  Dẫn đến 17 x  y  10  x y  x   x  x    x    17 x  y  10  1; x   x   Phương trình thứ hai có nghiệm  x  3x  y  y 1  x y  x  x  y    Kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm x  y   2 x y   x  y, Bài tốn 168 Giải hệ phương trình   x; y    2 x  y  1  x3  y  x  Lời giải Điều kiện x  0; y  Phương trình thứ hệ tương đương với 2 x y  y    x x y  y    x y  x  xy  x       x x  x y  y  x3  x   x x  y   x3  x  Rõ ràng ta có x3  x     x  1  x  x     x  Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có x  y  x3  y  x x  x3  x  y  1   2 2 x  y   Phương trình thứ hai hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy nghĩa  x  y  x  y  x   Đối chiếu thử lại ta nghiệm hệ x  y   x  y  xy  4,  Bài toán 169 Giải hệ phương trình  y 1  3x   xy  x   Lời giải  x; y    CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 124 Điều kiện x  ; y  Phương trình thứ hệ tương đương với   x  y  xy  x  3x    x y   x  3x  x  Rõ ràng x  3x     x  1 x       x  4 Kết hợp điều kiện ta x   x  x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy thu y 1 y 1  3x  x  y x   xy    2x   2x4  2 2 3x     x  y  Hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy hay  x  y x   Đối chiếu thử lại ta nghiệm hệ x  y  5 x3  x  xy  y  11,  Bài tốn 170 Giải hệ phương trình   x; y    2 x  y  y   x   y x  y  x  Lời giải Điều kiện x  y  0; x  Phương trình thứ hệ tương đương với 3x  y  x  x  y    x  x  11     x  x  x  y   x  y   x3  x  11   2  x  2x  y   x3  x  11 Rõ ràng x3  x  11    x  1  x  x  11   x  Phương trình thứ hai hệ tương đương với x3  xy  xy  3x  x  xy x  y    x   x x  y  y x  y  y  x3  3x  3x   Vì x    x  2x  y  y   x  y  y   x  1    x  1   2x  y  y  x   Phương trình có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa  x  y 1  x x  y   Đối chiếu thử lại ta nghiệm hệ x  y  3    y  3x  y , Bài tốn 171 Giải hệ phương trình  x  x3  y  y 3x   Lời giải  x; y    CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 125 Điều kiện x  ;3 x  y Phương trình thứ hệ tương đương với 3 3x  y  3x  y   3x   x  y   3x  x x x   x  1 x  1  Ta thấy 3x    0 x x  1  x  Kết hợp điều kiện x   x  Phương trình thứ hai trở thành 3x   y 3x   y  x  x     Rõ ràng    3x   y 3x   y   x  1  x    0, x      x  1  x     3x   y    x  y  Phương trình thứ hai có nghiệm đồng dấu đẳng thức xảy nghĩa  x     3x  y  Đối chiếu thử lại ta nghiệm hệ x  y  3   y  2x 2x  y , Bài toán 172 Giải hệ phương trình  x  x; y    2 2 x  y  x   y x  xy  Lời giải Điều kiện x  y; x  Phương trình thứ hệ tương đương với x  y  x x  y  x  3x   x 2 2  2x  y  x  3  x  1  3x   x x 3  x3  1   x   x  Kết hợp với x   x  x Phương trình thứ hai tương đương với x  y  x   y x  xy Rõ ràng  x  y x  y  x  xy  y   Vì x       2 x  y   x  y   x2  x  y   x  y   x  Hệ có nghiệm tất dấu đẳng thức xảy  x  y  x y 0  x  Nghĩa  x  y  x  y 1 x   Đối chiếu điều kiện ta nghiệm x  y  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 126   x 5x  y  y  x , Bài tốn 173 Giải hệ phương trình  2 x  x  y   y  1 x  y   x; y    Lời giải 5 x  y; x  y  5 x  y; x  Điều kiện   2 2 2 x  y ; x  y  2 x  y  0; x  Phương trình thứ hệ tương đương với  5x  y  x x  x  1  x  x   x3  5x  Rõ ràng x  x    0 0 x x x x2  x  Chú ý điều kiện x    nên thu x    x  x Phương trình thứ hai hệ tương đương với x2  x 5x  y  5x  y  x2  5x     x  5x  x 2x  y  y 2x  y  y  2x2  y  x  y     Lại có  2x  y2  y  x  x  1  0; 2x  y2 2x  y2  2x  y2 2   y  2x  y2  y 2x2  y  2x  y  x  x  1 2x2  y  2x  y2 0  0, x   2x  y2  y  x  Phương trình thứ hai có nghiệm dấu đẳng thức xảy tức  x   y 1  y  x  x  Đối chiếu điều kiện thử lại ta nghiệm x  y   2 y  x  2y 2y  x  y , Bài toán 174 Giải hệ phương trình   y   x y  x2   x2     x; y    Lời giải 2 y  x y    Điều kiện 2  x  2 y  x y   2  x  Phương trình thứ tương đương với y  x2  y y  x2  y  y3  y  y    y  x2  y   y3  y  y  y y Nhận thấy CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 127  y  1  y  y  y   y  y3  y  0 0 y  y  2y    y y y y3  y  y   y 1   y  Chú ý điều kiện y   y Phương trình thứ hai tương đương với y  x y  x2  y  x2   x2   y  x2  x y  x2  x2  2 y  x2  2  x2     Rõ ràng  y  x2  x   0;   x  y  x2  x  2 y  x2  2  x2  y  x2  y  1  y  1 y  x2   x2 y  x2   x2 0 1  0, y  nên (1) có nghiệm dấu đẳng thức xảy  y  x2  x 2 y  x  x x    Nghĩa  y    x  0; y    y 1 2 y  x  y    y  x  y Đối chiếu điều kiện thử lại ta nghiệm x  y  17  x  y x  y  x  3x   , Bài toán 175 Giải hệ phương trình   x  y  y  y  x3  y  x  Lời giải 3 2 x  y ; x  2 x  y ; x  Điều kiện   3 2 y  y  x  2 y  y  x  Phương trình thứ hệ tương đương với x  y  y x  y  y  x3  x  x   Vì  x3  y  y   x3  y  y   x3  x  x   x; y    17 x 17 x  nên  x  1  x3  11x  17 x  17  17 x  x3  x  17 2x  9x  6x    0 0 x x x x3  11x  17 x  17 Lại có điều kiện x    , dẫn đến x    x  ,  x x Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân AM – GM cho phương trình thứ hai x3  y  y  y  x  x3  y  y  y  x3    y4   y4  x4 2 Hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa ta có hệ điều kiện sau CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 128 2 x  y   x3  y    3 2 y  y  x   y  y  x   x     y 1 x   x  1; y  2  x3  y  y  2 x  y  y  Đối chiếu điều kiện thử lại ta nghiệm x  y   y  xy   x  x x  y  y, Bài tốn 176 Giải hệ phương trình   x; y     x  y  3x  y   x  3x  y Lời giải 2 x  y  Điều kiện  3x  y   Phương trình thứ hệ tương đương với x  y  x  xy  y  x x  y  x3  x  x   x  y  x x  y  x  x  xy  y  x3  x  x     2 x  y  x   x  y   x3  x2  x  Khi rõ ràng x3  x  x     x  1  x  3x  5   x  Sử dụng điều này, kết hợp bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân cho phương trình sau x  x  y 3x  y   2x  y  x  2x  y     3x  y   3x  y  x 2 Phương trình thứ hai hệ có nghiệm tồn dấu đẳng thức xảy ra, tức 2 x  y  x  y    x   2x  y  x  x  y    y 1 x   Đối chiếu điều kiện thử lại ta nghiệm x  y  17.6 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 129 Lời kết Bài toán số 176 toán cuối tài liệu Lý thuyết giải hệ phương trình chứa phần thứ 7, chủ đạo kết hợp phép thế, ẩn phụ, tính chất đơn điệu hàm số với kỹ thuật liên hợp – phân tích chặn miền giá trị, đánh giá túy tổng hòa tồn kỹ giải phương trình vơ tỷ, nhiên chút chia sẻ phần tác giả Kiến thức hàm số, đồ thị hàm số kỹ thuật giải phương trình bậc cao, vơ tỷ khác hẳn bạn học sinh thục, đáng lưu ý hết cách tìm miền giá trị biến, mấu chốt điểm nhấn tốn, đòn định tính đơn điệu hàm số xét miền, tất nhiên điều không đơn giản, bạn thấy, đòi hỏi quan sát tinh tế, chút tư duy, liên hệ, biến đổi đại số chút bất đẳng thức – cực trị vừa đủ! Mong muốn bạn độc giả ý kỹ lưỡng rút nhiều kinh nghiệm quý báu cho thân Tác giả chúc bạn học sinh, thầy giáo tồn thể bạn độc giả sức khỏe, vui vẻ, bình tĩnh, tự tin, bứt phá, đánh bật đề thi, đạt kết cao kỳ thi tương lai tới, chúc cho cô bé yêu thương đạt điểm 10 tối đa mơn Tốn kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015 “Học, học nữa, học mãi” (Vladimir Ilyich Ulyanov) Người ta thường nói “Học để biết, học để làm việc, học để chung sống” Tuy nhiên với người học chưa đủ, quan trọng sống, điều vơ khó Sinh lớn lên đất nước nhiều đau thương, sục sơi dòng máu chảy khơng thay đổi được, thừa hưởng chế độ y tế giáo dục để phát triển, ân huệ cha mẹ, hệ trước, non sông ban tặng cho công dân Tư tưởng cá nhân tồn người, phân cơng xã hội tất yếu nảy sinh năng, thường vượt qua ngưỡng cửa tập thể, dễ lầm đường lạc lối Thiết nghĩ sống tốt, hữu ích, đạo lý, khoan dung, không dẫm đạp đồng bào, diệt trừ ác độc, để an toàn thoải mái cần chiếm lĩnh khoa học, vững bước làm chủ tri thức, làm chủ tương lai, mang sức trẻ ý chí kiên cường xây dựng tường thành bảo vệ mẹ già, vợ dại, thơ trước dòm ngó ngoại bang Quyết tâm xây dựng tổ quốc Việt Nam hòa bình, cơng chính, dân chủ, vững bền, giàu mạnh, sánh vai nước khu vực, Liên Bang Nga, Cộng hòa Hồi giáo Iran, CHDCND Triều Tiên, hay CHND Trung Hoa láng giềng chẳng hạn Facebook Mâu Thuẫn – Yêu Thương Thủ đô Hà Nội, ngày 09 tháng 05 năm 2015 HẾT CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 130 III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao phát triển toán 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Toán nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đồn Quỳnh – Dỗn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập tốn hay khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Mơn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Tốn bồi dưỡng học sinh phổ thơng trung học – 1; Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học) Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng tốn điển hình kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng; Tập Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ơn luyện thi mơn Tốn THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số lượng giác Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các giảng luyện thi mơn Tốn; Tập Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 500 Bài toán chọn lọc Đại số - Hình học 10 Lê Hồnh Phò; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2012 22 Tam thức bậc hai ứng dụng CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 131 Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 23 Chuyên đề Bất đẳng thức ứng dụng đại số Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt nam; 2003 24 23 Chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp ; Quyển Nguyễn Văn Vĩnh – Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH); NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 25 Phương pháp giải toán bất đẳng thức cực trị Nguyễn Văn Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh; NXB ĐHQG Hà Nội; 2011 26 Các giảng bất đẳng thức Cauchy Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2008 27 Cẩm nang luyện thi Đại học Ứng dụng hàm số Giải tốn Đại số Giải tích Huỳnh Nguyễn Ln Lưu – Nguyễn Thị Duy An; NXB ĐHQG Hà Nội ;2014 28 Tư logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình Mai Xuân Vinh – Phạm Kim Chung – Phạm Chí Tuân – Đào Văn Chung – Dương Văn Sơn ; NXB ĐHQG Hà Nội; 2015 29 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học sở, Đại số Nguyễn Thị Thanh Thủy – Phạm Minh Phương – Trần Văn Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 30 Chuyên đề Đại số Trung học sở Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 31 Hệ phương trình phương trình chứa thức Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006 32 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học THPT Chuyên tỉnh thành 33 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà địa phương tồn quốc 34 Đề thi học sinh giỏi mơn toán khối đến khối 12 cấp 35 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng mơn Tốn (chính thức – dự bị) qua thời kỳ 36 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2013) 37 Các tạp chí tốn học: Tạp chí Tốn học tuổi trẻ; Tạp chí Tốn tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 38 Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro; 39 Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twiter; CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 132 THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP ... o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình o Giải hệ. .. giả nắm vững phương pháp giải hệ phương trình bản, hệ phương trình hữu tỷ phương pháp giải phương trình chứa nói chung Các thao tác tính tốn kỹ trình bày phương trình, hệ phương trình xin không... mở cho lớp hệ phương trình chứa thức sử dụng phép thế, cộng đại số, phân tích đẳng thức, phân tích nhân tử không chứa (không sử dụng liên hợp) phối hợp kỹ Tuy nhiên hệ phương trình chứa thức nên