toanmath com sử dụng biến đổi tương đương giải phương trình chứa căn đơn giản – lương tuấn đức

TÀI LIỆU THAM KHẢO TỐN HỌC PHỔ THƠNG 17 30.06.1954 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) TRUNG ĐOÀN PHẠM VĂN XẢO – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH CHỦ ĐẠO: NHẬP MÔN SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA  PHƯƠNG TRÌNH MỘT CĂN THỨC ĐỘC LẬP  BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT CĂN THỨC ĐỘC LẬP  BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); XYZ1431988@GMAIL.COM (GMAIL) THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2013 LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) _ “Non sơng Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay khơng, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay khơng, nhờ phần lớn cơng học tập em” (Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh) Tơi u chuyện cổ nước tơi, Vừa nhân hậu lại tuyệt vời sâu xa, Thương người thương ta, Yêu dù cách xa tìm (Chuyện cổ nước – Lâm Thị Mỹ Dạ; 1979) CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN PHẠM VĂN XẢO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) _ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) TRUNG ĐOÀN PHẠM VĂN XẢO – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Trong chương trình Tốn học phổ thơng nước ta, cụ thể chương trình Đại số sơ cấp, phương trình bất phương trình nội dung quan trọng, phổ biến nhiều dạng toán xuyên suốt cấp học, phận thường thấy kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức phong phú, đa dạng Mặc dù đề tài quen thuộc, thống khơng mà giảm phần thú vị, nhiều tốn tăng dần đến mức khó chí khó, với biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Ngồi phương trình đại số bậc cao, phương trình phân thức hữu tỷ phương trình chứa (cịn gọi phương trình vơ tỷ) đông đảo bạn học sinh, thầy giáo chun gia Tốn phổ thơng quan tâm sâu sắc Chương trình Tốn Đại số lớp THCS bước đầu giới thiệu phép toán với thức, kể từ thức xuất hầu hết vấn đề đại số, hình học, lượng giác xun suốt chương trình Tốn THPT Sự đa dạng hình thức lớp tốn thức đặt yêu cầu cấp thiết làm để đơn giản hóa, thực tế phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực hình thành, vào hệ thống Về để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình vơ tỷ ưu tiên khử giảm thức phức tạp toán Phép sử dụng biến đổi tương đương – nâng cao lũy thừa phương thức nhất, đơn giản nhằm mục đích Trong chun đề tác giả chủ yếu đề cập tới lớp phương trình, bất phương trình chứa thức, từ mức độ đơn giản tới phức tạp nhất, dành cho bạn học sinh bước đầu làm quen với dạng tốn thú vị này, nhiên địi hỏi tư logic, tỉ mỉ xác Tài liệu nhỏ viết theo trình tự kiến thức tăng dần, phù hợp với bạn học sinh THCS (lớp 9) ôn thi vào lớp 10 THPT, bạn học sinh THPT thi học sinh giỏi Toán cấp luyện thi vào hệ đại học, cao đẳng, cao tài liệu tham khảo dành cho thầy cô giáo bạn yêu Toán khác I KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ Kỹ nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi phân thức đại số thức Kỹ biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, phân tích đẳng thức, thêm bớt Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai Thực hành giải phương trình, bất phương trình bậc hai, dạng đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ Sử dụng thành thạo ký hiệu logic phạm vi tốn phổ thơng CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN PHẠM VĂN XẢO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) _ II MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC Bài tốn Giải phương trình x   x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình tương đương x  Kết luận nghiệm x  Bài tốn Giải phương trình x    x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x   16  x  17 Kết luận nghiệm x  17 Bài tốn Giải phương trình Lời giải Điều kiện x   x  x2    x   x  Phương trình cho tương đương x    x     x   Đối chiếu điều kiện thấy hai nghiệm thỏa mãn Kết luận phương trình đề có hai nghiệm Bài tốn Giải phương trình x   x   x  18  20  x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x   x   x   20  x   20  x    x   25  x  27 Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x  27 Bài tốn Giải phương trình x   36 x  36  x    x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x 1  x 1  x 1   x 1  1  x 1   x 1   x  4 Kết hợp điều kiện suy giá trị cần tìm x  Bài tốn Giải phương trình Lời giải x2  x    x   1  Vì x  x    x     0, x   nên ta có điều kiện x   Phương trình cho tương đương với 4  x  x    x  x    x  x  3x     x  1 x  3   x   x   Vậy phương trình đề có hai nghiệm kể CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN PHẠM VĂN XẢO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) _  x   Bài toán Giải phương trình x   x   x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x2   x2   x2    x2    5   x2    x2   x   ;  4  2  Vậy phương trình cho có hai nghiệm kể  x2   Bài tốn Giải phương trình Lời giải  x   3x  x   27 x  x  45  12  59   0, x   nên ta có x   Điều kiện: Do 3x  x    x     12  Phương trình cho tương đương với 3x  x   3x  x   12  3x  x   12  x  x    3x  x    x  x     x  1 3x     x   ; x  Vậy phương trình đề có hai nghiệm Bài tốn Giải phương trình x  x   x  x   Lời giải Điều kiện x  x   Phương trình cho tương đương với  x   x2  x   x2  x    x2  x    x2  x    x  x    x  x     x  1 x     x  2;1 Hai giá trị thỏa mãn điều kiện x  x   nên hai nghiệm phương trình ban đầu Bài tốn 10 Giải phương trình x3    x   Lời giải Điều kiện x3  Phương trình cho tương đương với x3    x   x  Đối chiếu điều kiện suy tập nghiệm S  2 Bài toán 11 Giải phương trình x3  3x    x   Lời giải Điều kiện x3  3x   Phương trình cho tương đương với x3  x    x  3x    x  x  x   x  x    x    x  1  x  x      x  x   1 15 1  Dễ thấy 1   x     (Vơ nghiệm) Vậy phương trình cho có nghiệm x  2  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN PHẠM VĂN XẢO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) _ Bài toán 12 Giải phương trình 3x3  x    x   Lời giải Điều kiện x  x   Phương trình cho tương đương với 3x  x    3x  x    3x3  x  x   3x  3x    x 1   x  1  3x  x      3 x  x   1 1 17  Nhận thấy 1   x     (Vô nghiệm) 2  Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình ban đầu có nghiệm x  Bài tốn 13 Giải phương trình x3  x  x    x   Lời giải Điều kiện x3  x  x     x  1  x  1   x  1 Phương trình cho tương đương với x3  x  x    x3  x  x    x  x  x  3   x  x  3  x    x  1  x  1  1     x 1    x  1  1 Kết luận phương trình cho có nghiệm x  Bài tốn 14 Giải phương trình x3  3x  x    x   Lời giải Điều kiện x  x  x   Phương trình cho tương đương với x  3x  x    x3  3x  x    x  x  x     x  x    x   x 1   x  1  x  x      2 x  5x   Đối chiếu điều kiện thử trực tiếp vào đề thấy thỏa mãn Kết luận nghiệm x  Bài tốn 15 Giải phương trình x  x    x   Lời giải Điều kiện x  x   Phương trình cho tương đương với x  x    x  x    x  x    x  x  1   x2   x 1   x  1   x  1    x   Thử trực tiếp vào phương trình, nhận nghiệm x  Bài toán 16 Giải phương trình x  3x  x   Lời giải Điều kiện x  x  x   Phương trình cho tương ứng với  x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN PHẠM VĂN XẢO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) _ x  3x  x    x  3x  x    x  x   x  x   x2  x    17  17   x  1   x  3   x ;x  2 x  x   Thử trực tiếp vào phương trình ta có hai nghiệm kể 2 Bài toán 17 Giải phương trình x  x  10   x   Lời giải Điều kiện x  x  10  Phương trình cho tương đương với x  x  10   x  x    x  x   x  x   x2    x  1   x       x  x   Kết luận phương trình đề vơ nghiệm Bài tốn 18 Giải phương trình x 4 0 x  x 1  x   Lời giải  x  Điều kiện   x   x  x   Phương trình cho tương đương x    x  16 Đối chiếu điều kiện thu nghiệm x  16 Bài tốn 19 Giải phương trình x 1 1 0 x   x2  x   Lời giải  x  1 Điều kiện   x  1  x   x  Phương trình cho tương đương x     x    x    x  Kết luận S  0 Bài tốn 20 Giải bất phương trình x 3 0 x 5  x   Lời giải Điều kiện x  Dễ thấy x   0, x  nên bất phương trình cho tương đương Kết hợp điều kiện thu nghiệm  x  Bài tốn 21 Giải bất phương trình x 5 0 x2 x 7 x 3  x   x   x   Lời giải Điều kiện x  Nhận xét x  x     x    0, x  nên bất phương trình ban đầu trở thành x    x   x  25 Kết hợp điều kiện thu nghiệm  x  25 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN PHẠM VĂN XẢO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) _ Bài tốn 22 Giải bất phương trình x 1 0 3x  x   x   Lời giải Điều kiện x  Để ý 3x  x   x    x    0, x  Bất phương trình cho trở thành x 1   x   x  1  x  1 So sánh điều kiện ta tập nghiệm S   0;   4 Bài toán 23 Giải bất phương trình x 3 0 x4 x 5  x   Lời giải Điều kiện x  Dễ thấy x  x     x    0, x   Bất phương trình cho trở thành x 3   x  3 x  Kết luận nghiệm x  x Bài toán 24 Giải bất phương trình x  x 1 0 x 5  x   Lời giải Điều kiện x  Dễ thấy x  x   0; x   0, x   x  x 1  0, x  x 5 Do bất phương trình cho vơ nghiệm Bài tốn 25 Giải bất phương trình x3 x 7 0 x 2 x 3  x   Lời giải  x   x   Điều kiện   x  x    x     x 3  0 x9  19  Nhận thấy x  x    x     0, x  Bất phương trình cho trở thành 2  x2 x 3    x 1  x 3   x   x  Kết hợp điều kiện ta thu nghiệm  x  Bài tốn 26 Giải bất phương trình x  x  15 0 2x  x   x   Lời giải CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN PHẠM VĂN XẢO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) _ x   x   x      1  Điều kiện  x  2 x 1  2 x  x    x   ; 2        D   35   0, x   D  nên bất phương trình ban đầu trở thành Để ý x  x  15   x    2  1 2x  x    x  2 x 1    x    x  1  Kết hợp điều kiện thu nghiệm S   ;  4     x 1   x 1 x 3 x x 3 Bài toán 27 Giải phương trình  x   Lời giải Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với x 3   x 1  x 3     x 1  x 1 x 1  x 3    x 1 x 3    Giá trị thỏa mãn điều kiện Kết luận tập nghiệm phương trình S    4  x   x   x 1  x   x  Bài toán 28 Giải bất phương trình x x 4x 1   x 2 x 2 x4  x   Lời giải Điều kiện  x  Bất phương trình cho tương đương với x  x 2  x x 2   x    3x  x4 x4 x4 x 1    x4   x  x4 Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   4;   x  x  x  4x 1 0 x4 Nhận xét 28 toán mở đầu tốn phương trình, bất phương trình chứa nói chung Nội dung bạn học sinh làm quen thực hành thục học biến đổi thức chương trình Đại số lớp bậc THCS Các kỹ tìm điều kiện xác định, đánh giá biểu thức chứa hay giải bất phương trình tích – thương dạng tốn quen thuộc, tác giả xin không nhắc lại, xin lưu ý  Trong tốn bất phương trình, chưa xác định xác dấu mẫu thức lưu ý không bỏ mẫu thức mà cần chuyển vế giữ nguyên mẫu thức, sau xử lý tiếp tục  Tìm điều kiện xác cho bất phương trình, phương trình đặt điều kiện hình thức kết hợp thử lại nghiệm trực tiếp  Đánh giá biểu thức chứa bám sát điều kiện xác định theo thiên hướng đưa đẳng thức CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN PHẠM VĂN XẢO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 1) _ 10 Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực x  2 x  x  x  x2   x 1  4x   6x   x3   x   x   x   x2  x   3x  x   x2  x   8x2  x    10 x2  x   8x2  x   11 x3  3x   12 3x3  x  x   2 13 5x3  x   14 x3  3x  x   15 x3  x  3x   16 x4  x   17 x  x  12 x   18 x4  5x2  x   19 x  x  x  17  20 x 5 0 x 6 21 x  3x   x 5 22 x  x  10  2x  x  23 3x  x  0 x  x  1002 24 x2  x  0 2x  x  25 x 4x  x   x 1 x 1 x 1 26 x x  x  x 1   x 9 x 3 x 3 27 x  x 1 x  x2 x x 2 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN PHẠM VĂN XẢO; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 5) _ 138 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN NGUYỄN CHÍCH; QN ĐỒN BỘ BINH ... Giải phương trình x   x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình tương đương x  Kết luận nghiệm x  Bài tốn Giải phương trình x    x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương. .. kiện, kết luận phương trình có nghiệm x  Phương trình cho tương đương với Bài tốn 44 Giải phương trình 3x   3x   x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  7... làm việc với lớp phương trình, bất phương trình vơ tỷ ưu tiên khử giảm thức phức tạp toán Phép sử dụng biến đổi tương đương – nâng cao lũy thừa phương thức nhất, đơn giản nhằm mục đích Trong