Một số mô hình phân tích chuỗi thời gian và ứng dụng

Tuy nhiên, sựphức tạp của thuật toán đã gây ra những khó khăn trong quá trìnhphân tích, nhất là khi chuỗi số liệu có những thay đổi phản ánh sự phituyến của mô hình như chuỗi thời gian t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

ĐẶNG VĂN THOẠI

MỘT SỐ MÔ HÌNH PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN -CƠ- TIN HỌC

ĐẶNG VĂN THOẠI

MỘT SỐ MÔ HÌNH PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60460106

Người hướng dẫn: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2013

Trước khi trình bày nội dung chính của Luận văn em xin được bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG - người

đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy

cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên,Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã tham gia giảng dạy và giúp đỡ em trongsuốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tớigia đình, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trongsuốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Nhân loại đã bước sang thập niên thứ hai của thế kỉ 21 Cùng với

sự phát triển không ngừng của các lĩnh vực kinh tế- xã hội, các mônkhoa học cơ bản cũng đã đạt được rất nhiều thành tựu đáng kể Đặcbiệt là trong lĩnh vực Toán học, rất nhiều kết quả thu được khôngnhững giúp nhân loại giải quyết các bài toán có tính chất lý thuyết màcòn góp phần giải quyết các được bài toán thực tế của cuộc sống đặt

ra Trong đó phải kể đến bộ môn Xác suất- Thống kê Xác suất-Thống

kê hiện nay đang là một trong những ngành Toán học thu hút đượcrất nhiều sự quan tâm của không chỉ các nhà khoa học mà còn có cảcác nhà quản lý, nhà đầu tư

Dự báo là lĩnh vực ra đời từ rất sớm, gắn liền với cuộc sống thựctiễn của con người từ xa xưa Các quan sát trong thực tế thường đượcthu thập dưới dạng chuỗi dữ liệu Từ những chuỗi dữ liệu này người

ta phân tích và rút ra những quy luật của một quá trình được mô tảthông qua chuỗi dữ liệu, từ đó có thể đưa ra những dự báo hay nhữngquyết định đúng đắn, kịp thời Ví dụ như dự báo thời tiết, dự báo chỉ

số chứng khoán, mức tăng dân số, dự báo nhu cầu sử dụng điện, dựbáo số lượng sinh viên nhập học của một trường đại học

Các kết quả ứng với từng thời điểm được ghi lại tạo thành mộtchuỗi thời gian Chuỗi thời gian đang được sử dụng như một công

cụ hữu hiệu để phân tích trong nhiều lĩnh vực của kinh tế, xã hộicũng như trong nghiên cứu khoa học Chính do tầm quan trọng đó

mà nhiều tác giả đã đề xuất những mô hình khác nhau để phân tíchchuỗi thời gian như là các mô hình hồi qui, phân tích Furie Trong đó

mô hình ARIMA của Box-Jenkins là mô hình được đánh giá rất cao

Mô hình cho kết quả khá tốt trong phân tích dữ liệu Tuy nhiên, sựphức tạp của thuật toán đã gây ra những khó khăn trong quá trìnhphân tích, nhất là khi chuỗi số liệu có những thay đổi phản ánh sự phituyến của mô hình như chuỗi thời gian tài chính.

Trong khuôn khổ của Luận văn, tác giả đã trình bày về mô hìnhphương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy (ARCH) và một

số mô hình mở rộng của nó (GARCH, GARCH −M, TGARCH) Sau

đó, các mô hình này được áp dụng vào việc định giá quyền chọn của

cổ phiếu IBM Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 6chương có nội dung tương ứng như sau:

• Chương 1: Những khái niệm ban đầu

• Chương 2: Mô hình ARCH

• Chương 3: Mô hình GARCH

• Chương 4: Mô hình GARCH−M

• Chương 5: Mô hình TGARCH

• Chương 6: Ứng dụng của các kiểu mô hình ARCH trong việcđịnh giá quyền chọn

Trong các chương 2, 3, 4, 5 tác giả lần lượt trình bày về vấn đề: cấutrúc , tính chất, ước lượng, kiểm định của các mô hình và cuối cùng

là áp dụng vào ví dụ thực tế Trong chương 6, tác giả đã áp dụngcác kiểu mô hình được trình bày trong các chương trước vào định giáquyền chọn của cổ phiếu IBM và so sánh chúng với giá quyền chọnbằng mô hình Black-Scholes Các ví dụ được trình bày trong luận vănđều sử dụng phần mềm R để phân tích Đây là phần mềm hoàn toànmiễn phí nhưng các kết quả thu được lại rất tốt cho việc phân tích và

dự báo Phần mềm R có thể chạy trên nhiều hệ điều hành, sử dụngngôn ngữ lập trình hiện đại và đang được sử dụng rất phổ biến trênthế giới

Mục lục

Lời cám ơn i

Phần mở đầu ii

Chương 1 Những khái niệm ban đầu 2

1.1 Quá trình dừng 2

1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 2

1.1.2 Hàm trung bình và hàm hiệp phương sai 2

1.1.3 Quá trình dừng 3

1.1.4 Hàm tự tương quan và hàm tương quan riêng 4

1.2 Mô hình ARMA 5

1.2.1 Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA 5

1.2.2 Đánh giá về mô hình ARMA 6

1.3 Lợi suất cổ phiếu 6

Chương 2 Mô hình ARCH 9

2.1 Cấu trúc của mô hình 9

2.2 Tính chất 10

2.2.1 Sự biểu diễn tự hồi quy và hiệp phương sai dừng 10

2.2.2 Moment không có điều kiện 12

2.3 Ước lượng 13

2.4 Kiểm định hiệu ứng ARCH 15

2.5 Dự báo 16

2.6 Ví dụ áp dụng 17

2.7 Ưu và nhược điểm của mô hình ARCH 27

iv

Chương 3 Mô hình GARCH 30

3.1 Cấu trúc mô hình 30

3.2 Tính chất 31

3.2.1 GARCH được biểu diễn như là ARCH ( ∞ ) 31

3.2.2 Điều kiện dừng 32

3.2.3 Moment không có điều kiện 34

3.2.4 Độ nhọn của mô hình 36

3.3 Ước lượng 37

3.4 Kiểm định mô hình 38

3.5 Dự báo 38

3.6 Ví dụ áp dụng 39

3.7 Ưu điểm và nhược điểm của mô hình 44

Chương 4 Mô hình GARCH-M 47

4.1 Cấu trúc mô hình 47

4.2 Tính chất 48

4.3 Ước lượng 49

4.4 Kiểm định mô hình 50

4.5 Ví dụ 50

4.6 Một vài lưu ý khi áp dụng 54

Chương 5 Mô hình TGARCH 55

5.1 Cấu trúc mô hình 55

5.2 Tính chất 56

5.2.1 Sự biểu diễn hồi quy 57

5.2.2 Điều kiện dừng 57

5.2.3 Moment không có điều kiện 57

5.2.4 Dáng điệu của đuôi mô hình 58

5.3 Ước lượng và kiểm định mô hình 58

5.4 Ví dụ 58

5.5 Ưu và nhược điểm của mô hình TGARCH 62

Chương 6 Ứng dụng của các kiểu mô hình ARCH trong việc định

giá quyền chọn 64

6.1 Hợp đồng quyền chọn 64

6.2 Dữ liệu và phương pháp 66

6.3 Kết quả 68

Tài liệu tham khảo 74

Danh sách hình vẽ

1.1 Giá cổ phiếu IBM hàng tuần (3/1/2000 - 21/10/2013) 4

1.2 Biểu đồ phân bố lợi suất hàng tuần và phân phối chuẩn 7

1.3 Biểu đồ lợi suất hàng tuần 7

2.1 Đồ thị ACF của lợi suất hàng tuần (IBM) 18

2.2 Đồ thị PACF của bình phương lợi suất 18

2.3 Sai số chuẩn có điều kiện 20

2.4 Lợi suất thực tế với 2 đường giới hạn tin cậy 20

2.5 Phần dư và phần dư chuẩn hóa 21

2.6 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phương phần dư chuẩn hóa 21

2.7 Đồ thị QQ-norm của phần dư 22

2.8 Sai số chuẩn có điều kiện 24

2.9 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy 24

2.10 Phần dư và phần dư chuẩn hóa 25

2.11 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phương phần dư chuẩn hóa 25

2.12 Đồ thị QQ-std của phần dư tiêu chuẩn 26

2.13 Giá trị dự báo của ARCH trong 10 bước 27

2.14 Đồ thị mô phỏng chuỗi lợi suất 29

2.15 Phân bố của chuỗi mô phỏng 29

vii

3.1 Độ lệch chuẩn có điều kiện 41

3.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy 41

3.3 Đồ thì QQ-std của phần dư 42

3.4 Phần dư và phần dư chuẩn hóa 42

3.5 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phương phần dư chuẩn hóa 43

3.6 Kết quả dự báo của GARCH trong 10 bước 44

3.7 Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mô phỏng 46

3.8 Phân bố của chuỗi mô phỏng 46

4.1 Sai số chuẩn có điều kiện 51

4.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy 52

4.3 Đồ thị QQ-std của phần dư trung bình 52

4.4 Phần dư và phần dư chuẩn hóa 53

4.5 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phương phần dư chuẩn hóa 53

4.6 Kết quả dự báo GARCH-M trong 10 bước 54

5.1 Sai số chuẩn có điều kiện 60

5.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy 60

5.3 Đồ thị QQ-std của phần dư 61

5.4 Phần dư và phần dư chuẩn hóa 61

5.5 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phương phần dư chuẩn hóa 62

5.6 Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mô phỏng 63

5.7 Phân bố của chuỗi mô phỏng 63

Danh sách bảng

6.1 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $190 bằng các

kiểu mô hình ARCH 706.2 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $195 bằng các

kiểu mô hình ARCH 706.3 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $200 bằng các

kiểu mô hình ARCH 716.4 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $205 bằng các

kiểu mô hình ARCH 716.5 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $210 bằng các

kiểu mô hình ARCH 726.6 Dự báo giá quyền chọn bằng mô hình Black-Scholes 72

1

Chương 1

Những khái niệm ban đầu

1.1 Quá trình dừng

1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên

Cho(Ω, F, P)là không xác suất;B Rlà σ−trường Borel trênR

Định nghĩa 1.1 Một quá trình ngẫu nhiên{X(t); t ∈ R} là một hàm hai biến xác định trênR×Ω và là hàm đo được đối với σ−trườngB R×F

Giả sử X(t), t ∈ T là một quá trình (ngẫu nhiên), trong đó T làtập chỉ số thời gian Tập chỉ số T có thể là tập thời gian liên tục R =(−∞;+∞);R+ = [0;+∞)hoặc rời rạcZ = {0;±1;±2; }

Định nghĩa 1.2 Quá trình X(t), t ∈ R được gọi là một quá trình cấp 2

nếu E|X(t)|2 < ∞;∀t ∈ R

1.1.2 Hàm trung bình và hàm hiệp phương sai

Định nghĩa 1.3 Hàm trung bình của quá trình ngẫu nhiên X(t)kí hiệu là

m(t)và được tính theo công thức m(t) = EX(t).

Hàm hiệp phương sai của quá trình ngẫu nhiên kí hiệu là r(s, t)và được tính theo công thức

r(s; t) = Cov[X(s); X(t)] = E[(X(s) −m(s)) (X(t) −m(t))]

.

Định lí 1.1 Hàm hiệp phương sai r(s; t)là đối xứng và xác định không âm, tức là

Nói cách khác quá trình X(t), t ∈ R là quá trình dừng nếu nó có

cùng hàm trung bình và hàm hiệp phương sai với quá trình Y(t) =

X(t+h),∀h ∈ R

Định nghĩa 1.5 Quá trình X(t), t ∈ R được gọi là quá trình dừng mạnh

(hay dừng theo nghĩa hẹp) nếu với mọi h ∈ R, và với mọi t1 < t2 < < tn

thì hàm phân phối đồng thời của {X(t1 +h); X(t2+h); ; X(tn+h)} và của {X(t1); X(t2); ; X(tn)} là như nhau.

Điều đó có nghĩa là phân phối hữu hạn chiều không thay đổi khi

ta tịnh tiến bộ chỉ số thời gian(t1; t2; ; tn)

Định nghĩa 1.6 Chuỗi thời gian{X(t), t ∈ T}hay X(t), t∈ T là tập hợp

các giá trị quan sát theo thời gian t, t ∈ T về cùng một đối tượng Nếu T là

tập rời rạc thì X(t) được gọi là chuỗi thời gian rời rạc Nếu T là liên tục thì

X(t)được gọi là chuỗi thời gian liên tục.

Định nghĩa 1.7 Chuỗi thời gian X(t) được gọi là dừng nếu X(t) là quá trình dừng.

Ví dụ về chuỗi thời gian

Hình 1.1: Giá cổ phiếu IBM hàng tuần (3/1/2000 - 21/10/2013) (Số liệu được lấy từ http://ichart.finance.yahoo.com)

1.1.4 Hàm tự tương quan và hàm tương quan riêng

Định nghĩa 1.8 Cho{X(t)}là chuỗi thời gian dừng Hàm tự hiệp phương sai (ACVF) với độ trễ h của {X(t)}là

1.2 Mô hình ARMA

1.2.1 Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA

Định nghĩa 1.9 Quá trình ngẫu nhiên {Zt; t ∈ T} được gọi là dãy ồn

trắng, kí hiệu{Zt} ∼WN 0; σ2
nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

EZtZs =0,∀t 6= s

EZt = 0; EZ2t = σ2;∀t ∈ T

Định nghĩa 1.10 Quá trình ngẫu nhiên {Xt; t ∈ T} được gọi là quá trình

tự hồi quy cấp p, kí hiệu Xt ∼ AR(p)nếu{Xt; t ∈ Z}thỏa mãn

Định nghĩa 1.11 Quá trình ngẫu nhiên {Xt, t ∈ T} được gọi là quá trình

trung bình trượt cấp q, kí hiệu Xt ∼ MA(q)nếu thỏa mãn

Định nghĩa 1.12. {Xt} là một quá trình trung bình trượt tự hồi quy cấp

(p;q), kí hiệu Xt ∼ ARMA(p; q)nếu {Xt}thỏa mãn

1.2.2 Đánh giá về mô hình ARMA

Mô hình ARMA thu được thành công lớn khi áp dụng cho cácchuỗi thời gian xuất phát từ các lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹthuật nhưng thất bại khi áp dụng cho các chuỗi thời gian kinh tế vàtài chính Nguyên nhân chính là giả thiết về mặt toán học phươngsai của các chuỗi thời gian tài chính không thay đổi theo thời gian làkhông phù hợp Vì vậy mô hình ARMA có thể dự báo được kỳ vọngnhưng thất bại khi dự báo phương sai của chuỗi thời gian tài chínhnhư dãy lợi nhuận của một tài sản (cổ phiếu) Đã có nhiều ví dụ thểhiện rõ sự không phù hợp của mô hình ARMA đối với chuỗi thời giantài chính

Mặc dù mô hình ARMA tỏ ra không phù hợp với chuỗi thời giantài chính nhưng những kỹ thuật mà nó cung cấp là một cơ sở rất quantrọng và mang lại nhiều gợi ý cho các công trình nghiên cứu về chuỗithời gian sau Box-Jenkins Chính Box-Jenkins là những người đầu tiênđưa ra các kỹ thuật lấy sai phân để khử khuynh hướng tất định nhằmtăng khả năng dừng của một chuỗi thời gian Với những vận dụngsáng tạo khái niệm khuynh hướng này, những người nghiên cứu đisau Box - Jenkins đã cho ra đời hai lớp mô hình rất quan trọng đốivới chuỗi thời gian tài chính Đó là mô hình cộng tích, Cointegration(Granger,1981) và mô hình phương sai có điều kiện thay đổi tự hồi quyARCH Mô hình ARCH là cống hiến mang tính khai phá của Engle,

nó có thể giải thích sự bất thường của phương sai mà chỉ sử dụngnhững thông tin quá khứ của bản thân nhiễu Mô hình ARCH và một

số mở rộng của nó sẽ được tác giả lần lượt trình bày trong các chươngtiếp theo của luận văn

1.3 Lợi suất cổ phiếu

Trong thực tế, có rất nhiều dữ liệu tài chính như chuỗi lợi suất cổphiếu được coi như một là chuỗi thời gian Tuy vậy, việc nắm bắt đượccác đặc trưng của chuỗi thời gian tài chính là điều rất khó khăn Trong

mục này tác giả sẽ trình bày một số tính chất đặc trưng của lợi suất và

cố gắng minh họa điều đó bằng những ví dụ

• Chuỗi lợi suất có phần đuôi nặng hơn chuỗi có phân phối chuẩn

So sánh đồ thị mật độ của chuỗi lợi suất với mật độ phân phốichuẩn có cùng trung bình và phương sai, ta có thể thấy rằngchuỗi lợi suất có phân bố cao hơn và gầy hơn nhưng có phần

đế rộng hơn so với mật độ phân bố chuẩn

Hình 1.2: Biểu đồ phân bố lợi suất hàng tuần và phân phối chuẩn

Hình 1.3: Biểu đồ lợi suất hàng tuần

• Mặc dù những biến động của tập các giá trị lợi suất ta khôngquan sát được nhưng chúng có những tính chất đặc trưng là xuhướng bầy đàn Tức là lợi suất có thể biến động cao trong nhữngthời kì này và thấp trong các thời kì khác.

Nhìn vào biểu đồ 1.3 ta thấy, lợi suất hàng tuần của cổ phiếu IBMcao vào giai đoạn (2000-2003) và (2007-2009)- khi cuộc khủnghoảng kinh tế bắt đầu Trong suốt từng thời kì những sự thayđổi lớn thường được xuất hiện theo sau những sự thay đổi lớn.Lợi suất IBM tương đối ổn định (ít có sự thay đổi lớn) trong giaiđoạn (2003-2007)

• Những biến động của lợi suất có tính chất đòn bẩy Điều đó cónghĩa là độ biến động của lợi suất thường xuất hiện để tác độngtrở lại sự tăng hay giảm của giá cả

• Lợi suất biến động theo thời gian theo cơ chế liên tục, tức là ít cócác bước nhảy của độ biến động lợi suất

• Lợi suất không phân kì đến vô vùng, nghĩa là lợi suất biến thiêntrong một miền xác định nào đó Về mặt toán học thì lợi suất tàisản thường là một chuỗi dừng

Chương 2

Mô hình ARCH

Các mô hình kinh tế truyền thống thường giả định rằng phươngsai ở các thời kì dự báo là bất biến Tuy nhiên, trong thực tế điều nàykhông thật sự đúng đắn Vì thế Robert Engle đã đề xuất một mô hìnhmới để phù hợp với các quá trình có gia số độc lập mà ở đó phương sai

có thể thay đổi theo thời gian nhưng vẫn thỏa mãn phương sai không

có điều kiện là hằng số Mô hình này được ông giới thiệu lần đầu tiênvào năm 1982 [15] và được gọi là mô hình phương sai có điều kiện củasai số thay đổi tự hồi quy(ARCH)

2.1 Cấu trúc của mô hình

Cho{Xt}là chuỗi thời gian

Định nghĩa 2.1 Mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi

quy bậc p, kí hiệu ARCH(p)là mô hình có dạng

Xt = g(Ft−1; b) +at, at =εt.σt

σt2 =Var(at|Ft−1) = h(at−1; ; at−p; α)Trong đó g(Ft−1; b)là hàm của Ft−1 và vectơ tham số b; Ft−1 là tậphợp các thông tin có được cho tới thời điểm t−1; p được gọi là bậccủa mô hình ARCH

Var(at|Ft−1)là phương sai của at với điều kiện Ft−1 và là hàm xác

định không âm, phụ thuộc vào thời gian và tham số α

εt là dãy độc lập cùng phân phối với trung bình = 0, phương sai =1

at được gọi là cú sốc hay phần dư của Xttại thời điểm t

Định nghĩa 2.2 Mô hình ARCH được gọi mô hình tuyến tính bậc p, kí

hiệu ARCH(p)nếu

Định nghĩa 2.3 Mô hình ARCH được gọi là mô hình tuyến tính bậc vô

cùng, kí hiệu ARCH(∞)nếu

Mô hình ARCH(p) tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong việc

mô hình hóa chuỗi tài chính vì có khả năng nắm bắt các tính chất củabiến động và thể hiện nó một cách đơn giản

2.2 Tính chất

2.2.1 Sự biểu diễn tự hồi quy và hiệp phương sai dừng

Giả sử at Ft−1 ∼ N 0; σt2
tức là phân bố của at với điều kiện Ft− 1

là phân bố chuẩn có trung bình 0 và phương sai σt2 Đặt ηt = a2t −σt2

Ta có Eηt = 0 và ηt là không tương quan (Tsay, 2005, trang 107) Khi

giống như việc xác định các giá trị quan trọng khác là trung bình vàphương sai.

Định lí 2.1 Quá trình ARCH(p)có hiệp phương sai dừng nếu và chỉ nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng 1− ∑p

2.2.2 Moment không có điều kiện

Moment của ARCH(p)có thể tìm được bằng cách sử dụng luật kìvọng có điều kiện Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên, khi đó

E(X) = E(E(X|Y))Với giả thiết at Ft−1 ∼ N 0; σt2
ta có

E(at) = E(E(at|Ft−1)) = 0Theo chứng minh ở mục 2.2.1 , với mỗi quá trình dừng ARCH(p) ta

có Var(at) = E a2t
= α0

1− ∑p

i = 1

αi

Những moment bậc cao của at có

thể không tồn tại, và nếu có tồn tại thì công thức của chúng là tươngđối phức tạp ngay cả với những quá trình có bậc thấp Engle (1982)[15] đã chứng minh rằng với mô hình ARCH(1)moment cấp 2m tồn

tại nếu và chỉ nếu αm1 ∏m

j = 1

(2j−1) < 1 (2.2.2).Engle cũng đã đưa ra công thức tính moment cấp 4 của atlà

Ea4t= 3α20(1+α1)

(1−α1) 1−3α21
Trong Tsay (2005)[24], tác giả đã trình bày một cách chứng minh đơngiản như sau:

Cho mô hình ARCH(1)thỏa mãn(2.2.2), εt ∼ N(0; 1) Ta có

E a4t |Ft−1
= E ε4tσt4|Ft−1
= σt4E ε4t |Ft−1
= σt4E ε4t

=3 α0+α1a2t−1
2 = 3 α20+2α0α1a2t−1+α21a4t−1

(εtlà độc lập cùng phân phối)

Vì vậy,

1 < 1

3 vì E a4t
xác định dương

Bằng những biến đổi đại số đơn giản ta tìm được độ nhọn (không cóđiều kiên) của ARCH(1)là

Kα =

Eh(at−E(at))4i

[Var(at)]2 =

3α20(1+α1)(1−α1) 1−3α2

1−3α2

1

>3

Do đó, at nặng đuôi hơn phân bố chuẩn Tính chất này vẫn đúng cho

mô hình ARCH tổng quát Các công thức cho các mô hình ARCH bậccàng cao thì càng phức tạp hơn và sẽ không được thảo luận ở đây

Lấy logarit cơ số tự nhiên của hàm hợp lí (có điều kiện) của quá trìnhARCH(p)ta thu được

 a2t

σt2



(2.3.1)

Giải phương trình đạo hàm bậc 1 của (2.3.1) cho ta ước lượng hợp lí

cực đại của vectơ tham số α Engle (1982) [15] đã đưa ra biểu thức

của ma trận thông tin Fisher Với điều kiện chuẩn các khối ngoàiđường chéo của ma trận thông tin là ∑T

cú sốc dương (tích cực) và âm (tiêu cực) là như nhau Với mọi quátrình ARCH(p)chính quy và đối xứng thì các khối ngoài đường chéobằng 0 (Engle,1982) Điều này có nghĩa là những ước lượng và kiểm

định của α và g(Ft−1, b) có thể được tiến hành một cách riêng biệt.Engle đã đề xuất một quy trình ước lượng của mô hình ARCH mà ở

đó tham số b của (Ft−1, b) là ước lượng ban đầu theo bình phương bénhất của phần dư at Khi đó ước lượng hiệu quả _α của α được tìm ra

bằng phương pháp ước lượng hợp lí cực đại ( MLE) Uớc lượng hiệuquả của b được xây dựng bằng cách sử dụng _α Từ đó ta thu đượcmột tập hợp mới gồm các số dư của at Các bước này được lặp đi lặp

lại cho đến khi hội tụ và cho ta các ước lượng hợp lí cực đại của b và α.

Sự ước lượng mô hình ARCH(p) được nói ở trên là dựa vào giảthiết phần dư at có phân phối chuẩn Tuy nhiên giả thuyết này có thểkhông đúng và l không còn được biểu diễn như trên Weiss (1986)[25]

đã chỉ ra rằng, thậm chí khi điều kiện phân phối chuẩn bị vi phạm,miễn là hai moment đầu tiên được chỉ ra chính xác, việc ước lượngtham số là phù hợp và tiệm cận chuẩn Do đó ước lượng các tham số

có thể vẫn thực hiện được bằng cách cực đại l và được gọi là ước lượngtựa hợp lí cực đại (QMLE) Đối với phân phối có điều kiện đối xứng,QMLE là gần chính xác như MLE, nhưng với phân phối không đối

xứng thì sự khác biệt là tương đối lớn.

2.4 Kiểm định hiệu ứng ARCH

Bollerslev (1994) [12] nhấn mạnh rằng kiểm định hiệu ứng ARCH(p)được xây dựng như một kiểm định đuôi vì các tham số của quá trìnhARCH(p) phải lớn hơn 0 Một cách thường được sử dụng để kiểmđịnh hiệu ứng ARCH(p)là phương pháp kiểm định nhân tử Lagrange( LM )

R2 là bình phương mối tương quan bội giữa f0và z, T là kích thước

mẫu Theo giả thết, ξ là tiệm cận theo một phân phối χ-bình phương

với p bậc tự do Engle (1982 ) [15] cho rằng đây là một bài kiểm địnhtiệm địa phương mạnh nhất, tương tự như kiểm định khả năng hợp

lí và kiểm định Wald Ý tưởng của bài kiểm định rất đơn giản, nếu cóhiệu ứng ARCH thì những cú sốc at sẽ dự đoán được (ví như những

cú sốc lớn được theo sau bởi những cú sốc lớn) ngược lại nó sẽ biếnđổi một cách ngẫu nhiên và không thể dự đoán được Nếu chúng ta

có thể mô hình hóa biến động một cách thích hợp , thì những gì cònlại không giải thích được trong mô hình (như là các số dư) sẽ xuấthiện như một quá trình ngẫu nhiên Chúng ta có thể sử dụng kiểmđịnh để kiểm tra hiệu ứng ARCH trước khi cố gắng mô hình hóa biếnđộng , và sau đó thực hiện kiểm định lại mô hình mà ta vừa lắp vào

dữ liệu Ta sẽ thu được mô hình phù hợp nếu mô hình có thể nắm bắtđược kiểu biến thiên của dữ liệu Nếu mô hình chưa phù hợp , ta cóthể lặp lại quá trình trên cho đến khi mô hình vượt qua được các kiểmđịnh Tuy nhiên, như Bollerslev(1994) [12] đã đề cập, kiểm định LM làmột kiểm định cho những biến động có tính bầy đàn hơn là phươngsai của sai số có điều kiện.

Vì a2t có thể được xem như là một quá trình tự hồi quy bậc p

-AR(p) nên ta cũng có thể sử dụng thống kê Q (Ljung-Box, 1978) đốivới chuỗi a2t

H0: p hệ số tương quan đầu tiên ACF của chuỗi a2t đều bằng không

H1 : có ít nhất một trong p hệ số đầu tiên khác không

Trong ví dụ này và các ví dụ tiếp theo tác giả đều sử dụng dữ liệu

là chuỗi giá lúc đóng cửa của cổ phiếu IBM (3/1/2000 - 21/10/2013)

đã được trình bày trong chương 1 Giả sử Pt là giá tại thời điểm t của

cổ phiếu Đặt rt = ln pt

p t − 1

 Khi đó ta thu được chuỗi quan sát {rt}

và gọi là chuỗi lợi suất cổ phiếu IBM Bây giờ ta sẽ sử dụng phần mềm

R để xây dựng một mô hình ARCH có thể miêu tả được chuỗi giá trịvừa quan sát Các gói lệnh được sử dụng trong R là tseries, Timeseries,

f Garch, rugarch và f orecast

Để lắp một mô hình vào chuỗi dữ liệu thì việc đầu tiên là ta phảichọn được mô hình phù hợp Về cơ bản, ta sẽ cố gắng thử một vàiphỏng đoán Sau đó ta chọn mô hình có hệ số BIC, AIC nhỏ nhất Việcphỏng đoán có thể dựa vào cơ sở là trong mô hình ARCH(p)thì dãyphần dư bình phương có thể được biểu diễn bởi quá trình AR(p) Chú

ý rằng, hàm tự tương quan của chuỗi lợi suất là không tương quan nên

ta không thể lắp bất kì mô hình ARMA cho dữ liệu này Do đó bìnhphương của chuỗi lợi suất có thể được xem như bình phương của dãyphần dư at Về mặt lý thuyết, quá trình AR(p)có PACF gần như bằng

0 với mọi độ trễ l > p Vì vậy nhìn vào đồ thị PACF của dãy{a2t}ta cóthể xác định bậc phù hợp cho mô hình ARCH

Hình 2.1: Đồ thị ACF của lợi suất hàng tuần (IBM)

Hình 2.2: Đồ thị PACF của bình phương lợi suất

Ta thấy PACF của dãy bình phương lợi suất có giá trị cao cho tới độtrễ 13, nó bắt đầu có xu hướng giảm sau độ trễ 8 nên ta bắt đầu thửvới mô hình ARCH(8) để phân tích Trước tiên ta giả sử cú sốc at cóphân phối chuẩn.

σt2 =5, 081.10−4+0, 118a2t−1+0, 03893.a2t−2+0, 1589.a2t−3

+0, 03854.a2t−4+0, 2322.a2t−5+10−8.a2t−6+10−8.a2t−7+0, 06882.a2t−8

Hình 2.3: Sai số chuẩn có điều kiện

Hình 2.4: Lợi suất thực tế với 2 đường giới hạn tin cậy

Hình 2.5: Phần dư và phần dư chuẩn hóa

Hình 2.6: Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phương phần dư chuẩn hóa

Hình 2.7: Đồ thị QQ-norm của phần dư

Ta thấy mô hình có hệ số AIC = -3,907407 và đồ thị hàm tự tươngquan của phần dư cũng chỉ ra rằng mô hình giải thích các giá trị dữliệu khá tốt, các giá trị đều nằm trong 2 đường giới hạn với mọi độ trễ.Điều đó chứng tỏ rằng mô hình được xây dựng khá phù hợp với dữliệu Tuy nhiên, đồ thị qnorm cho thấy có nhiều điểm không nằm trênđường tiêu chuẩn Điều này cũng phù hợp với nhận xét ban đầu là môhình ARCH thường có phần đuôi nặng hơn phân phối chuẩn Vì vậy,nếu chỉ giả thiết rằng những cú sốc at có phân phối chuẩn là khôngthỏa đáng Do đó, ta tiếp tục xây dựng mô hình ARCH(8)nhưng vớigiả thiết at|Ft−1 là phân phối t-Student Sử dụng phần mềm R ta thuđược kết quả như sau:

σt2 =0, 0003894+0, 13147a2t−1 +0, 0748.a2t−2+0, 08594.a2t−3

+0, 057013.a2t−4+0, 270179.a2t−5+0, 024006.a2t−6+0, 180276.a2t−8

Hình 2.9: Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy

Hình 2.10: Phần dư và phần dư chuẩn hóa

Hình 2.11: Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phương phần dư chuẩn hóa

Hình 2.12: Đồ thị QQ-std của phần dư tiêu chuẩn

Với giả thiết những cú sốc có phân phối t-student thì hệ số AIC =-4,015061, thấp hơn so với mô hình có giả thiết phân phối chuẩn Tuynhiên sự khác biệt này không đủ lớn để cho rằng mô hình sau thực

sự tốt hơn Hình vẽ 2.9 cho thấy tất cả các giá trị dữ liệu đều nằm bêntrong hai đường giới hạn tiêu chuẩn Điều đó cho thấy mô hình cókhả năng "chụp" được các hành vi của những biến động có điều kiện

Tham số "shape" kí hiệu ν chính là bậc tự do của phân phối t Từ đó

ta có thể kiểm định được giả thiết H0 : ν = 4 và H1 : ν 6= 4 Thống kê

z = 4, 426−4

0, 726 = 0, 587 Mặt khác, đồ thị qstd cũng cho thấy việc sửdụng phân phối t-student giúp chúng ta minh họa phần đuôi của môhình ARCH tốt hơn Sau đây là kết quả dự báo trong 10 bước đầu tiên

Hình 2.13: Giá trị dự báo của ARCH trong 10 bước

2.7 Ưu và nhược điểm của mô hình ARCH

Mô hình ARCH đã và đang được sử dụng rộng rãi để phân tích bởi

vì nó có khả năng nắm bắt được một số tính chất của chuỗi tài chính

Rõ ràng từ cấu trúc của một mô hình ARCH tuyến tính ta thấy một

sự thay đổi lớn về giá cả dường như được theo sau bởi những thayđổi lớn và ngược lại Hiện tượng này gọi là "hiệu ứng phân nhóm" hay

"bầy đàn" và nó là một trong những nét đặc trưng của dãy lợi suấttài sản (Bollerslev, Engle, Nelson, 1994[12]) Mô hình ARCH(p)tuyếntính có khả năng nắm bắt các đặc điểm quan trọng của chuỗi thời giantài chính trong một hình thức tự nhiên và đơn giản Đã có nhiều môhình mở rộng của mô hình ARCH(p) tuyến tính, ví dụ như mô hìnhtổng quát ARCH(GARCH) của Bollerslev (1986)[10] hoặc mô hìnhTGARCH của Zakoian (1994)[26]

Tuy nhiên, ARCH không phải là một mô hình hoàn hảo, nó cũngcòn có nhiều nhược điểm Thứ nhất, cấu tạo của mô hình chỉ cho thấyphương sai có điều kiện chỉ phụ thuộc vào độ lớn của những cú sốctrong quá khứ, và do đó các mô hình đã thất bại trong việc nắm bắt

được hiệu ứng đòn bẩy Thứ hai, giả định phần dư có phân phối chuẩnthường là không phù hợp Chúng ta đã chỉ ra rằng dãy at có phầnđuôi nặng hơn phân phối chuẩn và do đó không phải là tiếng ồn trắngGauss Trong thực tế, ta thường giả định rằng những cú sốc atcó phânphối -t Ví dụ, Bollerslev (1988) đã đề xuất sử dụng một phân phối -

t tiêu chuẩn với bậc tự do lớn hơn 2 Hơn nữa, người ta có thể thửmột phân phối- t lệch nếu phân phối có điều kiện dường như bị lệch.Thứ ba, mô hình ARCH là mô hình có điều kiện ràng buộc Dãy {a2t}của mô hình tuyến tính ARCH(p) cần có điều kiện



để momentcấp 4 của at là hữu hạn dương Các điều kiện ràng buộc sẽ phức tạphơn trong các mô hình ARCH bậc cao Thứ tư, mô hình giả thiết rằngcác cú "sốc" dương và âm có cùng ảnh hưởng đến độ rủi ro, vì trongphương trình các at− i đều được bình phương Trong thực tế giá củamột tài sản tài chính có phản ứng khác nhau đối với các cú sốc dương

và âm Và cuối cùng mô hình ARCH thường dự báo cao về độ ro vì

mô hình phản ứng chậm với những cú sốc lớn cô lập

Để kết thúc chương này ta sẽ xây dựng một dãy mô phỏng chuỗilợi suất IBM dựa vào các tham số của mô hình ARCH(8)với giả thiếtphân phối chuẩn đã được trình bày trong ví dụ Dãy mô phỏng đượccho bởi yt = 0, 00214+at, at = εt.σt

Từ đồ thị 2.14 chúng ta thấy, trong dãy mô phỏng (màu đỏ), có nhữngthời kì mà ở đó những biến động lớn thường xuất hiện sau nhữngbiến động lớn Đây chính là tính "bầy đàn" của biến động Tuy nhiên,những biến động này dường như lớn hơn so với dãy thực tế (màuxanh) Điều đó cho thấy mô hình ARCH thường có dự báo lớn hơnthực tế

Hình 2.14: Đồ thị mô phỏng chuỗi lợi suất

Hình 2.15: Phân bố của chuỗi mô phỏng

Chương 3

Mô hình GARCH

Thực tế nghiên cứu cho thấy quá trình ARCH bậc cao thường phùhợp với các dữ liệu Engle(1982)[15] đã sử dụng mô hình ARCH(5)trong ví dụ của mình để tính phương sai của dãy chỉ số lạm phátcủa Vương quốc Anh Bera và Higgins(1993)[9] đã cố gắng để tìm ramột mô hình ARCH cho tỷ lệ lợi nhuận hàng tuần của thị trường tiền

tệ Mỹ / Anh và cuối cùng ông đã sử dụng mô hình ARCH(6) Tuynhiên, việc ước lượng tham số của các mô hình này thường rất khókhăn Để khắc phục những hạn chế của mô hình ARCH, Bollerslev(1986) [10] đã giới thiệu một mô hình mới linh hoạt hơn, mà ông gọi

là ARCH tổng quát hay mô hình tổng quát của mô hình phương sai

có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy (GARCH)

3.1 Cấu trúc mô hình

Cho{Xt}là chuỗi thời gian có gia số độc lập

Định nghĩa 3.1 Mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi

quy tổng quát bậc (p, q), kí hiệu GARCH(p, q)là mô hình có dạng:

... âm Và cuối mô hình ARCH thường dự báo cao độ ro

mơ hình phản ứng chậm với cú sốc lớn cô lập

Để kết thúc chương ta xây dựng dãy mô chuỗilợi suất IBM dựa vào tham số mơ hình ARCH(8)với... 1994[12]) Mơ hình ARCH(p)tuyếntính có khả nắm bắt đặc điểm quan trọng chuỗi thời giantài hình thức tự nhiên đơn giản Đã có nhiều m? ?hình mở rộng mơ hình ARCH(p) tuyến tính, ví dụ mơ hìnhtổng qt... data-page="37">

Hình 2.13: Giá trị dự báo ARCH 10 bước

2.7 Ưu nhược điểm mơ hình ARCH

Mơ hình ARCH sử dụng rộng rãi để phân tích

vì có khả nắm bắt số tính chất chuỗi