Mô hìnhARCHđã và đang được sử dụng rộng rãi để phân tích bởi vì nó có khả năng nắm bắt được một số tính chất của chuỗi tài chính. Rõ ràng từ cấu trúc của một mô hình ARCH tuyến tính ta thấy một sự thay đổi lớn về giá cả dường như được theo sau bởi những thay đổi lớn và ngược lại. Hiện tượng này gọi là "hiệu ứng phân nhóm" hay "bầy đàn" và nó là một trong những nét đặc trưng của dãy lợi suất tài sản (Bollerslev, Engle, Nelson, 1994[12]). Mô hình ARCH(p)tuyến tính có khả năng nắm bắt các đặc điểm quan trọng của chuỗi thời gian tài chính trong một hình thức tự nhiên và đơn giản. Đã có nhiều mô hình mở rộng của mô hình ARCH(p) tuyến tính, ví dụ như mô hình tổng quát ARCH(GARCH) của Bollerslev (1986)[10] hoặc mô hình
TGARCH của Zakoian (1994)[26].
Tuy nhiên, ARCH không phải là một mô hình hoàn hảo, nó cũng còn có nhiều nhược điểm. Thứ nhất, cấu tạo của mô hình chỉ cho thấy phương sai có điều kiện chỉ phụ thuộc vào độ lớn của những cú sốc trong quá khứ, và do đó các mô hình đã thất bại trong việc nắm bắt
được hiệu ứng đòn bẩy. Thứ hai, giả định phần dư có phân phối chuẩn thường là không phù hợp. Chúng ta đã chỉ ra rằng dãy at có phần đuôi nặng hơn phân phối chuẩn và do đó không phải là tiếng ồn trắng Gauss. Trong thực tế, ta thường giả định rằng những cú sốcatcó phân phối -t. Ví dụ, Bollerslev (1988) đã đề xuất sử dụng một phân phối - t tiêu chuẩn với bậc tự do lớn hơn 2. Hơn nữa, người ta có thể thử một phân phối- t lệch nếu phân phối có điều kiện dường như bị lệch. Thứ ba, mô hình ARCHlà mô hình có điều kiện ràng buộc. Dãy {a2t} của mô hình tuyến tính ARCH(p) cần có điều kiện
p
∑
i=1
αi < 1 để là quá trình dừng. Hệ số α21 phải nằm trong khoảng
0;1 3
để moment cấp 4 của at là hữu hạn dương. Các điều kiện ràng buộc sẽ phức tạp hơn trong các mô hình ARCHbậc cao. Thứ tư, mô hình giả thiết rằng các cú "sốc" dương và âm có cùng ảnh hưởng đến độ rủi ro, vì trong phương trình các at−i đều được bình phương. Trong thực tế giá của một tài sản tài chính có phản ứng khác nhau đối với các cú sốc dương và âm. Và cuối cùng mô hình ARCH thường dự báo cao về độ ro vì mô hình phản ứng chậm với những cú sốc lớn cô lập.
Để kết thúc chương này ta sẽ xây dựng một dãy mô phỏng chuỗi lợi suất IBM dựa vào các tham số của mô hình ARCH(8)với giả thiết phân phối chuẩn đã được trình bày trong ví dụ. Dãy mô phỏng được cho bởi yt = 0, 00214+at, at = εt.σt
Từ đồ thị 2.14 chúng ta thấy, trong dãy mô phỏng (màu đỏ), có những thời kì mà ở đó những biến động lớn thường xuất hiện sau những biến động lớn. Đây chính là tính "bầy đàn" của biến động. Tuy nhiên, những biến động này dường như lớn hơn so với dãy thực tế (màu xanh). Điều đó cho thấy mô hình ARCH thường có dự báo lớn hơn thực tế.
Hình 2.14: Đồ thị mô phỏng chuỗi lợi suất
Mô hình GARCH
Thực tế nghiên cứu cho thấy quá trình ARCHbậc cao thường phù hợp với các dữ liệu. Engle(1982)[15] đã sử dụng mô hình ARCH(5) trong ví dụ của mình để tính phương sai của dãy chỉ số lạm phát của Vương quốc Anh. Bera và Higgins(1993)[9] đã cố gắng để tìm ra một mô hình ARCHcho tỷ lệ lợi nhuận hàng tuần của thị trường tiền tệ Mỹ / Anh và cuối cùng ông đã sử dụng mô hình ARCH(6). Tuy nhiên, việc ước lượng tham số của các mô hình này thường rất khó khăn. Để khắc phục những hạn chế của mô hình ARCH, Bollerslev (1986) [10] đã giới thiệu một mô hình mới linh hoạt hơn, mà ông gọi là ARCH tổng quát hay mô hình tổng quát của mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy (GARCH).