4.6. Một vài lưu ý khi áp dụng
GARCH−M có thể được mở rộng hơn nữa để trở thành mô hình
TGARCH−M và nó có tất cả những điểm mạnh , điểm yếu của mô
hình ARCH, GARCH. Điểm mạnh đặc nổi bật của các loại mô hình
GARCH − M là khả năng thể hiện mối quan hệ giữa lợi nhuận và
biến động của nó, do đó GARCH −M thường được sử dụng trong các mô hình tài chính chẳng hạn như mô hình đã được đề cập trong Bollerslev, Engle và Wooldrige (1988)[11]. Kallsen và Tagqu (1998)[20] đã nghiên cứu việc sử dụng các mô hìnhGARCH−Mtrong định giá quyền chọn và có những so sánh với mô hình Black-Scholes. Vấn đề này sẽ được tác giả trình bày cụ thể hơn trong chương 6.
Chương 5
Mô hình TGARCH
Một trong các điểm yếu của mô hình ARCH và GARCH là cả hai không nắm bắt được các hiệu ứng đòn bẩy. Lí do là bởi trong phương trình biến động của mô hình, phương sai có điều kiện phụ thuộc vào sự thay đổi của bình phương những cú sốc trong quá khứ, không phụ thuộc vào những cú sốc ở hiện tại. Vì vậy, cần phải có một mô hình mà ở đó thể hiện được những tác động khác nhau của những cú sốc dương (tích cực) và cú sốc âm (tiêu cực) đối với phương sai có điều kiện. Đó chính là mô hìnhTGARCH.
5.1. Cấu trúc mô hình
Cấu trúc của mô hìnhTGARCHđược giới thiệu lần đầu tiên trong Zakoian (1994) [26] . Ý tưởng chính của mô hình là sử dụng 0 như một cái ngưỡng để tách các cú sốc trong quá khứ . Cho {yt} là chuỗi thời gian
yt = g(Ft−1,b) +at, at =εtσt
Mô hình TGARCH(p,q) được Zakoian giới thiệu vào năm 1994 có dạng σt = α0+ p ∑ i=1 α+i a+t−i−α−i a−t−i+ q ∑ i=1 βiσt−i
Trong đó a+t = Max{at, 0},a−t = Min{at, 0},εt ∼ WN(0, 1) Ngoài ra mô hình còn được biểu diễn như sau
σt2 = α0+ p ∑ i=1 (αi+γidt−i)a2t−i+ q ∑ j=1 βjσt2−j
Trong đó dt−i = 1nếu at−i < 0vàdt−i =0nếuat−i ≥0
Không giống như mô hìnhARCHvàGARCH, trong mô hìnhTGA−
RCH độ lệch chuẩn có điều kiện σt phụ thuộc vào các giá trị thực tế của các cú sốc ai thay vì cường độ của chúng. Sự xuất hiện của các hệ số α+t và α−t cho phép mô hình có những phản ứng khác nhau trước những cú sốc tích cực (dương) và tiêu cực (âm). Đặt
α+i = α∗i(1−ηi),α−i = α∗i(1+ηi)
Khi đó mô hìnhTGARCHcũng có thể được cho bởi Hentschel (1995)[18]
σt =α0+ p ∑ i=1 h α∗i (1−ηi)a+t−i−α∗i (1+ηi)a−t−ii+ q ∑ i=1 βiσt−i = α0+ p ∑ i=1 α∗i (|at−i| −ηiat−i) + q ∑ i=1 βiσt−i
Phương trình trên chỉ ra rằng, với các giá trị tuyệt đối như nhau, một giá trị tích cực (dương) at−i đóng góp(αi−ηi)|at−i|vàoσt, trong khi đó giá trị tiêu cực (âm) lại góp vàoσt một lượng(αi+ηi)|at−i|. Hệ số
ηi thường là dương, điều đó cho thấy các cú sốc âm có tác động lớn đến độ lệch chuẩn có điều.
5.2. Tính chất
Trong lớp các mô hình TGARCH(p,q), mô hình TARCH(p) đã được nghiên cứu hoàn chỉnh hơn. Vì vậy, ta sẽ chỉ tập trung vào nghiên cứu các đặc trưng của mô hình TARCH(p)
5.2.1. Sự biểu diễn hồi quy
Zakoian (1994) [26] đã chỉ ra rằng, với quá trìnhTARCH(p)có tồn tạibvà ma trận vuông Ai cấp pthỏa mãn ωt =b+
p ∑ i=1 Aiωt−i+zt. Trong đó ωt = (a+t 2,at−2,a+t a+t−1,at−a+t−1,a+t at−−1,a−t a−t−1, .., a+t a+t−p+1,a−t a+t−p+1,a+t a−t−p+1a−t a−t−p+1,a+t ,a−t ) Và E(Zt|ωt−1) = 0
Do đó, mô hình TARCH(p)có một sự biểu diễn hồi quy(AR). Sự biểu diễn hồi quy này gợi ý cho chúng ta cách để tìm bậc của mô hình thông qua đồ thị PACF của chuỗi bình phương phần dư trong phương trình trung bình .
5.2.2. Điều kiện dừng
Zakoian (1994)[26] đã chứng minh được điều kiện đủ để mô hình (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
TARCH(p)vàTGARCH(1, 1)là quá trình dừng . Cho đa thứcA(L) =
I−
p
∑
i=1
AiLi. Mô hìnhTARCH(p)là dừng nếu các nghiệmZcủa phương trình det[A(z)] = 0 thỏa mãn |z| > 1 . Điều này tương tự như điều kiện của mô hình ARCH(p) tiêu chuẩn, là các nghiệm của phương trình1−
p
∑
i=1
αizi = 0phải nằm ngoài đường tròn đơn vị.
5.2.3. Moment không có điều kiện
Xét mô hìnhTARCH(p)thỏa mãn điều kiện dừng , moment cấp 1, moment cấp 2 sẽ là
E(at) = 0
E a2t
= Var(at) = ut(A(1))−1b
Trong đó u(1, 1, 0, ..., 0) ∈ Rp. Ngoài ra Cov(at,as) = 0,∀t 6= s. Các moment cấp cao nếu tồn tại thì ta hoàn toàn có thể tìm được bằng
phương pháp đệ quy. Hơn nữa, nếuεt có phân phối đối xứng thì mọi moment bậc lẻ của{at}đều bằng 0 (Zakoian, 1994[26])
5.2.4. Dáng điệu của đuôi mô hình
Tương tự như mô hìnhGARCH(p,q)mô hìnhTARCH(p)vàTGA−
RCH(p,q) cũng có phần đuôi nặng hơn phân phối chuẩn (Zakoian, 1994[26]). Điều này sẽ được minh họa qua ví dụ.
5.3. Ước lượng và kiểm định mô hình
Cũng giống như bất kì mô hình nào trong lớp các mô hìnhARCH,
GARCH, để ước lương mô hình TARCH ta thường dùng phương
pháp hàm hợp lí cực đại. Tuy nhiên, có những khó khăn phát sinh do khối ngoài đường chéo của ma trận thông tin của mô hình TGARCH
thường khác 0, vì thế các tham số của phương trình trung bình và phương trình biến động phải được ước tính cùng một lúc. Hơn nữa, giải quyết phương trình đầu tiên không phải là điều dễ dàng vì thiếu các khả năng khác nhau của ngưỡng. Mô hình TGARCH được xây dựng để miêu tả tính bất đối xứng của dữ liệu nhưng việc ước lượng các tham số của mô hình TGARCH phức tạp hơn nhiều so với mô
hình GARCH tiêu chuẩn.
5.4. Ví dụ
Trong phần này chúng ta tiếp tục sử dụng chuỗi lợi suất của cổ phiếu IBM. Đặt rt là lợi suất ở thời điểm t. Sau một số thử nghệm ta nhận thấy sử dụng mô hình TGARCH(2, 1) là phù hợp. Ở đây ta giữ nguyên giả thiết những cú sốc là phân phối t-Student. Sử dụng phần mềm R ta thu được kết quả như sau:
rt =0.00118+εt.σt
σt2 =2, 806.10−5+ (3, 772.10−2+0, 9494dt−1)a2t−1+ (1, 0.10−8 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hình 5.1: Sai số chuẩn có điều kiện