Chương 4
Mô hình GARCH-M
Một mô hình mở rộng quan trọng của lớp các mô hình ARCH,
GARCHlà mô hình GARCH-in-Mean và được viết tắt làGARCH−M
. Mô hình này lần đầu tiên được giới thiệu trong Engle, Lilien & Robins (1987)[16]. Mô hìnhGARCH−Mlà sự mở rộng của mô hìnhGARCH
tiêu chuẩn, ở đó phương sai có điều kiệnσt2có ảnh hưởng đến phương trình trung bình. Như vậy mô hình có thể thể hiện được mối quan hệ giữa lợi nhuận kỳ vọng và phương sai, hiệp phương sai.
4.1. Cấu trúc mô hình
Cho{yt}là một chuỗi thời gian có gia số độc lập.
Định nghĩa 4.1. Mô hìnhGARCH −M(p,q)là mô hình có dạng:
yt = gFt−1,σt2,b+at at = εtσt,σt2 =Var(at|Ft−1) σt2 =α0+ p ∑ i=1 αia2t−i+ q ∑ i=1 βjσt2−j;α0 >0,αi ≥ 0,βj ≥0,∀i,j >0 (4.1.1) Hàm trung bình g Ft−1,σt2,b thường được sử dụng là µt +δσt2 hoặc µt+δh(σt). Trong đó h(.) là hàm đơn điệu của σt, tham số δ
được gọi là phần bù rủi ro. Trong mô hìnhGARCH−M, mỗi sự thay 47
đổi của phương sai có điều kiện sẽ làm thay đổi trung bình có điều kiện của yt . Sự có mặt của phần bù rủi ro ngụ ý có sự tương quan trong dãy yt.
4.2. Tính chất
Các tính chất cơ bản như: tính dừng, phương sai không có điều kiện của các các cú sốcat và độ nhọn của mô hình ARCH−M,GARCH −
M được thừa hưởng từ mô hình ARCH , GARCH. Bởi vì cách chỉ ra những đặc điểm này không làm ảnh hưởng đến kết quả của hàm trung bình của dãy . Tuy nhiên, giá trị trung bình, phương sai của dãy {yt} bị thay đổi bởi vì sự có mặt của hàm σt2 trong hàm trung bình, phụ thuộc vào cáchσt2 tác động lên yt như thế nào. Ta hãy xét một ví dụ đơn giản của mô hình ARCH−M:
yt = δσt2+at,at = εtσt σt2 =α0+α1a2t−1 Ta có E(at) = 0,E a2t = α0 1−α1,α1 < 1. Từ đó suy ra E(yt) = E δσt2+at =δE α0+α1a2t−1= δα0 1+ α1 1−α1 Ey2t = Eδσt2+at2 = α0 1−α1 + 2α21(δα0)2 (1−α1)2 1−3α21
(Bera & Higgins, 1993)
Như vậy, trung bình và phương sai của dãy {yt} phụ thuộc vào các tham số của các hàm biến động có điều kiện. Đối với mô hình
GARCH−Mta cũng thu được những kết quả tương ứng với cách làm
ở trên. Trong mô hìnhGARCH−M, dãy{yt}phụ thuộc vào hàm của
σt2. Điều này cho thấy có tương quan chuỗi trong dãyyt.
Xét{yt}thỏa mãnyt =δσt2+at,σt2là một quá trìnhGARCH(p,q), T là độ dài của dãy. Hàm hiệp phương sai củaytlà
∀k,k> m = Max{p,q}ta có γk =Cov(yt,yt−k) =Covδσt2+at,δσt2−k+at−k =δ2Covσt2,σt2−k =δ2 ∑m i=1 (αi+βi)Covσt2−i,σt2−k = ∑m i=1 (αi +βi)γk−i
Do đó hệ số tự tương quan củayt với độ trễklà
ρk = γk γ0 = m ∑ i=1 ρk−i,k >m
Với mỗik, 1 ≤k ≤ mhệ số tương quan phụ thuộc vào các tham số của quá trình GARCH xác định bởi (4.1.1) . Vì vậy, hệ số tương quan xác định duy nhất tại bất kì độ trễ k,k ≤ T. Hơn nữa với mọi giá trị của k thì ρk ≥ 0vìαi,βi ≥ 0. Điều đó chứng tỏ rằng mô hình GARCH−M
xác định ở trên có sự nắm bắt được các mối tương quan của dãy dữ liệu, nếu như chúng tồn tại. Hệ số tự tương quan của các mô hình
GARCH−Mvới phương trình trung bình ở dạng khác vẫn có thể tìm
được bằng cách tương tự.
4.3. Ước lượng
Tương tự như đối với mô hình ARCH và GARCH để ước lượng mô hình GARCH−M ta cũng sử dụng phương pháp hàm hợp lí cực đại. Ta có logarit cơ số tự nhiên của hàm hợp lí là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
lt = −1 2 ln(2π) +lnσt2 + a2t σt2
Tuy nhiên, không giống như ARCH và GARCH, ma trận thông tin
của GARCH −M không là khối chéo giữa các tham số (b) của hàm
Vì vậy, trung bình có điều kiện và hàm phương sai có điều kiện cần được chỉ ra một cách chính xác để có thể ước lượng một cách hợp lý.
4.4. Kiểm định mô hình
Kiểm định mô hình GARCH−M đã được trình bày trong các tài liệu nghiên cứu về mô hình này như Bera & Higgins (1993) [9], Engle (1987)[16],... Phương pháp pháp nhân tử Largrange (LM) là phương pháp cơ bản nhất để kiểm định cho các mô hình ARCH cho nên ta cũng có thể áp dụng phương pháp này cho mô hình GARCH−M. Ý tưởng chính khi kiểm định mô hìnhGARCH−Mcũng giống như khi kiểm định ARCH và GARCH. Tuy nhiên, có phát sinh khó khăn làδ
không được đồng nhất theo giả thiết khi không có hiệu ứng ARCH, làm ma trận thông tin kì dị và phân phối tiêu chuẩn của kiểm định LM trở nên vô hiệu (Bera & Higgins, 1993[9]). Mặc dù vậy, phương pháp kiểm định này sẽ trở nên rất đơn giản nếu mô hình GARCH − M
thực sự được ước lượng theo giả thiết vô hiệu , tức là giả thiết đã chỉ rõ các tham số ω trong không gian tham số . Trong trường hợp này, thống kêξ∗của kiểm định được lấy như trong trường hợp tổng quát là
ξ∗ = T.R20. Trong đó R20 là hệ số của mối tương quan bội trong vòng lặp đầu tiên của mô hình khi bắt đầu ước lượng hợp lí cực đại với giả thiết vô hiệu (Engle, 1987 [16]). Theo giả thiết vô hiệu thì ξ∗ tiệm cận theo luật phân phốiχ- bình phương.
4.5. Ví dụ
Trong ví dụ này, ta tiếp tục sử dụng chuỗi lợi suất cổ phiếu IBM với giả thiết cú sốcat có phân phối t-Student. Sử dụng phần mềm R ta thu được mô hình GARCH−M(1, 1)như sau:
rt =1, 751.10−2−6, 271, 10−2.σt2+at at = σt.εt
Hình 4.2: Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy