Trong phần minh họa này, chúng ta sẽ nghiên cứu dãy giá theo ngày của cổ phiếu IBM, đây là cổ phiếu không trả cổ tức do đó có thể sử dụng phương trình (6.1.1) . Lãi suất phi rủi ro được kho bạc Mỹ thực hiện từ 14/1/2013 là 0,05/năm. Dữ liệu là lợi nhuận hàng ngày của cổ phiếu IBM, từ 2/2/2009 đến 24/1/2013. Những thông tin mà ta sử dụng để kiểm tra việc thực hiện các mô hình là giá dự thầu của của các quyền chọn mua của IBM với các mức giá thực hiện là $ 190, $ 195, $ 200, $ 205, $210. Giá cổ phiếu đã được quan sát từ 14/1/2013 đến 24/1/2013, tức là trong 8 ngày làm việc. Tất cả các quyền chọn được xem xét là quyền chọn 1 tháng và tất cả sẽ hết hạn vào ngày 1/2/2013. Theo Engle & Mustafa (1992) [17], chúng ta có thể tính lợi nhuận kì vọng bằng cách mô phỏng. Giá quyền chọn mua là
ct = e−r(T−t)EP[Max{ST−K, 0] (6.2.1)
Trong đó,rlà lãi xuất phi rủi ro, (T−t)là khoảng thời gian tính đến ngày đáo hạn và được tính toán như một phần nhỏ của một năm 360 ngày. Lợi nhuận kì vọng được tính bằng trung bình của lợi nhuận mô phỏng. Một thị trường rủi ro trung tính được giả định cho rằng kì vọng EP[Max{ST −K, 0}] có thể được xấp xỉ trực tiếp bằng giá trị trung bình mẫu. Quá trình định giá được bắt đầu bằng cách lắp một mô hình biến động phù hợp ( ARCH, GARCH , GARCH −M ,
TGARCH) cho các dãy lợi suất cổ phiếu IBM. Mỗi mô hình phù hợp
đã được thực hiện trong 8 lần. Đầu tiên là áp dụng cho chuỗi số liệu cập nhật đến ngày 14/1/2013 và cuối cùng là áp dụng cho chuỗi số liệu cập nhật đến 24/1/2013. Điều đó tương tự như việc tìm mô hình phù hợp ứng với 8 chuỗi thời gian có cùng thời ngày bắt đầu nhưng ngày kết thúc khác nhau. Mục đích của việc làm như vậy là để có được
giá quyền chọn mỗi ngày từ 14/1/2013 đến 24/1/2013 và hơn thế nữa, để đảm bảo các mô hình được cập nhật bất cứ khi nào dữ liệu đến.
Các mô hình được ta sử dụng làARCH(11),GARCH(1, 1),GARCH−
M(1, 1),TGARCH(1, 1). Bậc của các mô hình cũng như phân phối của
cú sốcatđược xác định bằng cách kiểm tra PACF mẫu của dữ liệu. Các bước tiến hành được thực hiện tương tự như những gì tác giả đã làm trong phần 2.6, 3.6, 4.5, 5.4 do đó chúng sẽ không được trình bày lại trong chương này. Các mô hình phù hợp được tìm thấy bằng cách sử dụng hàm rugach f it trong góirugarch của phần mềm R, với giả thiết những cú sốc có phân phối chuẩn.
Đối với mỗi mô hình phù hợp, dự báo lợi suất được thực hiện đến ngày đáo hạn. Trong mỗi bước dự báo, ta có thể mô phỏng một số lượng lớn (1000) lợi suất từ phân phối chuẩn với giá trị trung bình là giá trị trung bình dự báo rt(l) và độ lệch chuẩn là độ lệch chuẩn dự báo σt(l). Phân phối chuẩn được sử dụng trong bước mô phỏng, vì ta đã giả sử rằng những cú sốc có phân phối chuẩn khi ta lắp các kiểu của mô hình ARCH vào dữ liệu. Sau bước mô phỏng, ta đã có được những tập hợp gồm 1000 giá trị lợi suất từ thời điểm kết thúc hiện tại đến ngày đáo hạn. Với mỗi bộ số, cùng với giá cổ phiếu được quan sát trong ngày cuối cùng ta có thể ước lượng được giá cổ phiếu khi đáo hạn. Lợi nhuận trong mỗi bước mô phỏng được tính là Max{ST −
K, 0} . Lấy trung bình của những giá trị lợi nhuận mô phỏng ở trên ta thu được giá trị lợi nhuận kì vọng EP[max{ST −K, 0}]. Sau đó, áp dụng công thức (6.2.1)ta thu được giá quyền chọn mua của cổ phiếu tại ngày đáo hạn. Cuối cùng, với mỗi giá thực thi ta thu được một bộ số gồm các giá quyền chọn mua từ ngày 14/1 đến 24/1. Để đánh giá kết quả của từng mô hình ta dựa vào dựa vào chỉ số SSE - tổng bình phương sai số của giá trị dự báo và giá tri thực tế.
Trong bước mô phỏng, ta đã giả định rằng lợi suất của IBM trong giai đoạn 2/2/2009 đến 24/1/2013 là dãy dừng để ta có thể suy luận về lợi nhuận trong tương lai. Một dữ liệu chuỗi thời gian không dừng có thể do tính xu hướng hay thời vụ, điều này có thể thấy được nhờ các đồ thị của chuỗi thời gian. Ngoài ra, đồ thị ACF của mẫu dữ liệu
cũng thể hiện rất rõ mối tương quan của xu hướng và thời vụ. Mặc dù trong thực hành, dãy lợi suất tài sản thường được giả định là dãy dừng (Tsay, 2005, trang 25 [24]) nhưng ta vẫn phải kiểm tra tính dừng của dãy cổ phiếu IBM trước khi chạy các thủ tục định giá quyền chọn. Để biết giá quyền chọn được tìm thấy bởi mỗi mô hình có hợp lệ hay không ta phải so sánh chúng với giới hạn dưới của một quyền chọn châu Âu . Theo Stay ( 2005, trang 267 ) [24] , các giá quyền chọn mua kiểu châu Âuctphải thỏa mãn :
ct > St−Ke−r(T−t)
Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng công thức Black-Schloes để định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu :
ct = StN(d1)−N(d2)Ke−r(T−t) Trong đó d1 = lnSt K +r+ σ2 2 (T−t) σ √ T−t ,d2 = d1−σ √ T−tvà N(.) là hàm phân phối tích lũy (c.d.f) của phân phối chuẩn N(0,1). Độ lệch chuẩn σ trong phương trình là sai số chuẩn trong tập hợp dữ liệu. Trong phần mềm R có gói lệnh RQuantilib, có thể giúp cho việc định giá quyền chọn kiểu châu Âu với công thức Black-Scholes một cách dễ dàng.