Hình 5.5: Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phươngphần dư chuẩn hóa phần dư chuẩn hóa
Ta thấy hệ số AIC của mô hìnhTGARCH(2, 1)là -4.0372. Hệ số này nhỏ hơn so với hệ số của các mô hình ARCH(8) vàGARCH(1, 1)với cùng giả thiết. Tất cả các hệ số tương quan ACF đều nằm trong miền giới hạn tin cậy. Điều đó cho thấy những thứ không giải thích được trong mô hình chỉ là tiếng ồn ngẫu nhiên. Các đồ thị trên đã cho thấy mô hình TGARCH(2, 1)là khá phù hợp với dữ liệu.
5.5. Ưu và nhược điểm của mô hình TGARCH
Mô hình TGARCH kế thừa tất cả các điểm mạnh của GARCH: khả năng nắm bắt các nhóm biến động, nặng đuôi, mối tương quan giữa các biến động và rất đơn giản. Ta đã mô phỏng một quá trình
TGARCH(2, 1)với các tham số thu được từ mô hình phù hợp vừa tìm
được ở trên. Ta thấy trong chuỗi mô phỏng (màu đỏ) có nhiều sự thay đổi lớn liên tiếp (đặc trưng bầy đàn của biến động). Điều này cũng xảy ra tương tự ở chuỗi thực tế (màu xanh), mặc dù sự biến động là không lớn bằng chuỗi mô phỏng. Điểm nổi bật hơn của mô hình TGARCH
cấu trúc của mô hình cho thấy mô hình sẽ có những phản ứng khác nhau trước những cú sốc dương (tích cực) và cú sốc âm (tiêu cực).
Hình 5.6: Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mô phỏng
Ứng dụng của các kiểu mô hình ARCH trong việc định giá quyền chọn
6.1. Hợp đồng quyền chọn
Hợp đồng quyền chọn cổ phiếu là một hợp đồng tài chính cung cấp cho các tổ chức tài chính quyền thương mại một số lượng nhất định cổ phần của cổ phiếu phổ thông được chỉ định vào một ngày nhất định, với một mức giá quy định. Mức giá quy định gọi là mức giá thực thi
K. Ngày trong hợp đồng gọi là ngày hết hạn hoặc đáo hạn và thường kí hiệu là T. Có hai loại quyền chọn cơ bản. Quyền chọn mua trao cho người mua (người nắm giữ) quyền, nhưng không phải nghĩa vụ, được mua một tài sản cơ sở vào một thời điểm hay trước một thời điểm trong tương lai với một mức giá xác địnhK. Quyền chọn bán trao cho người mua (người nắm giữ) quyền, nhưng không phải nghĩa vụ, được bán một tài sản cơ sở vào một thời điểm hay trước một thời điểm trong tương lai với một mức giá xác định K. Đối với quyền chọn mua, ta có người mua quyền chọn mua và người bán quyền chọn mua. Đối với quyền chọn bán, ta cũng có người mua quyền chọn bán và người bán quyền chọn bán. Một quyền chọn kiểu châu Âu chỉ có thể thực hiện vào ngày hết hạn trong khi quyền chọn kiểu Mỹ có thể thực hiện tại bất kì thời điểm nào cho đến khi hết hạn. Lợi nhuận của quyền chọn
mua dài hạn là Max{ST −K, 0}, trong đó ST là giá tại thời điểm đáo hạn. Tại thời điểm người mua mua quyền chọn, gía cổ phiếu tại thời điểm đáo hạnST (giá thị trường lúc đáo hạn) là không biết, vì vậy lợi nhuận cũng là không xác định. Một người mua quyền chọn có thể đạt được hoặc mất tiền, do đó để cho phù hợp ta phải thiết lập một "giá hợp lý" đối với các quyền chọn. Lý tưởng nhất mức giá đó phải không tạo ra sự chênh lệch.
Tuy nhiên, tính toán lợi nhuận kì vọng là điều không dễ dàng bởi vì bạn cần phải thiết lập sự kì vọng cho rủi ro ưu tiên của nhà đầu tư . Nhưng sự rủi ro ưu tiên của một cá nhân là rất khó định lượng, do đó cần giả định rằng có một phân bố xác xuất độc lập với sự ưu tiên rủi ro phát sinh, được gọi là biện pháp trung hòa rủi ro . Như đã được đề cập trong Tsay (2005, trang 264)[24], có hai tác động từ thế giới rủi ro trung tính là:
• Lợi nhuận kì vọng của tất cả các chứng khoán là tỷ suất sinh lợi phi rủi ro.
• Giá trị hiện tại của bất kì lưu chuyển tiền tệ là giá trị kì vọng của nó được chiết khấu với lãi xuất phi rủi ro.
Theo đó, giá trị của một quyền chọn được tính bằng cách lấy chiết khấu lợi nhuận kì vọng theo một xác suất rủi ro trung tính P(Engle & Mustafa, 1992 [17]). Giá tại thời điểm t của một quyền chọn kiểu châu ÂU là
qt =d(t,T)EP(lợi nhuận) (6.1.1)
Trong đó,d(t,T)là yếu tố chiết khấu giữa thời điểm t và T, r là tỷ lệ lãi xuất phi rủi ro và được dựa trên lợi nhuận của trái phiểu chính phủ ngắn ngày. Trong thị trường thực tế, hầu hết các quyền chọn cổ phiếu là quyền chọn kiểu Mỹ. Tuy nhiên nếu cổ phiếu không trả cổ tức thì giá của một quyền chọn kiểu Mỹ là bằng giá của một quyền chọn kiểu châu Âu với cùng giá thực thi và cùng thời gian đáo hạn.
Một quyền chọn mua gọi là được lời nếu giá cổ phiếuSt > K, hòa vốn khi St = K và không có lời khi St < K . Trong thị trường thực
tế, hầu như không thể biết được chính xác một quyền chọn hòa vốn nhưng có thể biết được quyền chọn ở gần với tiền vốn, có nghĩa là giá trị thực thi K gần (nhưng không bằng) với giá thị trường hiện tạiSt.
6.2. Dữ liệu và phương pháp
Trong phần minh họa này, chúng ta sẽ nghiên cứu dãy giá theo ngày của cổ phiếu IBM, đây là cổ phiếu không trả cổ tức do đó có thể sử dụng phương trình (6.1.1) . Lãi suất phi rủi ro được kho bạc Mỹ thực hiện từ 14/1/2013 là 0,05/năm. Dữ liệu là lợi nhuận hàng ngày của cổ phiếu IBM, từ 2/2/2009 đến 24/1/2013. Những thông tin mà ta sử dụng để kiểm tra việc thực hiện các mô hình là giá dự thầu của của các quyền chọn mua của IBM với các mức giá thực hiện là $ 190, $ 195, $ 200, $ 205, $210. Giá cổ phiếu đã được quan sát từ 14/1/2013 đến 24/1/2013, tức là trong 8 ngày làm việc. Tất cả các quyền chọn được xem xét là quyền chọn 1 tháng và tất cả sẽ hết hạn vào ngày 1/2/2013. Theo Engle & Mustafa (1992) [17], chúng ta có thể tính lợi nhuận kì vọng bằng cách mô phỏng. Giá quyền chọn mua là
ct = e−r(T−t)EP[Max{ST−K, 0] (6.2.1)
Trong đó,rlà lãi xuất phi rủi ro, (T−t)là khoảng thời gian tính đến ngày đáo hạn và được tính toán như một phần nhỏ của một năm 360 ngày. Lợi nhuận kì vọng được tính bằng trung bình của lợi nhuận mô phỏng. Một thị trường rủi ro trung tính được giả định cho rằng kì vọng EP[Max{ST −K, 0}] có thể được xấp xỉ trực tiếp bằng giá trị trung bình mẫu. Quá trình định giá được bắt đầu bằng cách lắp một mô hình biến động phù hợp ( ARCH, GARCH , GARCH −M ,
TGARCH) cho các dãy lợi suất cổ phiếu IBM. Mỗi mô hình phù hợp
đã được thực hiện trong 8 lần. Đầu tiên là áp dụng cho chuỗi số liệu cập nhật đến ngày 14/1/2013 và cuối cùng là áp dụng cho chuỗi số liệu cập nhật đến 24/1/2013. Điều đó tương tự như việc tìm mô hình phù hợp ứng với 8 chuỗi thời gian có cùng thời ngày bắt đầu nhưng ngày kết thúc khác nhau. Mục đích của việc làm như vậy là để có được
giá quyền chọn mỗi ngày từ 14/1/2013 đến 24/1/2013 và hơn thế nữa, để đảm bảo các mô hình được cập nhật bất cứ khi nào dữ liệu đến.
Các mô hình được ta sử dụng làARCH(11),GARCH(1, 1),GARCH−
M(1, 1),TGARCH(1, 1). Bậc của các mô hình cũng như phân phối của
cú sốcatđược xác định bằng cách kiểm tra PACF mẫu của dữ liệu. Các bước tiến hành được thực hiện tương tự như những gì tác giả đã làm trong phần 2.6, 3.6, 4.5, 5.4 do đó chúng sẽ không được trình bày lại trong chương này. Các mô hình phù hợp được tìm thấy bằng cách sử dụng hàm rugach f it trong góirugarch của phần mềm R, với giả thiết những cú sốc có phân phối chuẩn. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Đối với mỗi mô hình phù hợp, dự báo lợi suất được thực hiện đến ngày đáo hạn. Trong mỗi bước dự báo, ta có thể mô phỏng một số lượng lớn (1000) lợi suất từ phân phối chuẩn với giá trị trung bình là giá trị trung bình dự báo rt(l) và độ lệch chuẩn là độ lệch chuẩn dự báo σt(l). Phân phối chuẩn được sử dụng trong bước mô phỏng, vì ta đã giả sử rằng những cú sốc có phân phối chuẩn khi ta lắp các kiểu của mô hình ARCH vào dữ liệu. Sau bước mô phỏng, ta đã có được những tập hợp gồm 1000 giá trị lợi suất từ thời điểm kết thúc hiện tại đến ngày đáo hạn. Với mỗi bộ số, cùng với giá cổ phiếu được quan sát trong ngày cuối cùng ta có thể ước lượng được giá cổ phiếu khi đáo hạn. Lợi nhuận trong mỗi bước mô phỏng được tính là Max{ST −
K, 0} . Lấy trung bình của những giá trị lợi nhuận mô phỏng ở trên ta thu được giá trị lợi nhuận kì vọng EP[max{ST −K, 0}]. Sau đó, áp dụng công thức (6.2.1)ta thu được giá quyền chọn mua của cổ phiếu tại ngày đáo hạn. Cuối cùng, với mỗi giá thực thi ta thu được một bộ số gồm các giá quyền chọn mua từ ngày 14/1 đến 24/1. Để đánh giá kết quả của từng mô hình ta dựa vào dựa vào chỉ số SSE - tổng bình phương sai số của giá trị dự báo và giá tri thực tế.
Trong bước mô phỏng, ta đã giả định rằng lợi suất của IBM trong giai đoạn 2/2/2009 đến 24/1/2013 là dãy dừng để ta có thể suy luận về lợi nhuận trong tương lai. Một dữ liệu chuỗi thời gian không dừng có thể do tính xu hướng hay thời vụ, điều này có thể thấy được nhờ các đồ thị của chuỗi thời gian. Ngoài ra, đồ thị ACF của mẫu dữ liệu
cũng thể hiện rất rõ mối tương quan của xu hướng và thời vụ. Mặc dù trong thực hành, dãy lợi suất tài sản thường được giả định là dãy dừng (Tsay, 2005, trang 25 [24]) nhưng ta vẫn phải kiểm tra tính dừng của dãy cổ phiếu IBM trước khi chạy các thủ tục định giá quyền chọn. Để biết giá quyền chọn được tìm thấy bởi mỗi mô hình có hợp lệ hay không ta phải so sánh chúng với giới hạn dưới của một quyền chọn châu Âu . Theo Stay ( 2005, trang 267 ) [24] , các giá quyền chọn mua kiểu châu Âuctphải thỏa mãn :
ct > St−Ke−r(T−t)
Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng công thức Black-Schloes để định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu :
ct = StN(d1)−N(d2)Ke−r(T−t) Trong đó d1 = lnSt K +r+ σ2 2 (T−t) σ √ T−t ,d2 = d1−σ √ T−tvà N(.) là hàm phân phối tích lũy (c.d.f) của phân phối chuẩn N(0,1). Độ lệch chuẩn σ trong phương trình là sai số chuẩn trong tập hợp dữ liệu. Trong phần mềm R có gói lệnh RQuantilib, có thể giúp cho việc định giá quyền chọn kiểu châu Âu với công thức Black-Scholes một cách dễ dàng.
6.3. Kết quả
Từ đồ thị lợi suất hàng ngày của cổ phiếu IBM ta không thấy có bất kì một xu hướng hay tính thời vụ một cách rõ ràng. Hơn nữa, hệ số ACF giảm đột ngột và không xuất hiện tính chu kì. Vì thế, có thể xem đây là chuỗi thời gian dừng. Các bảng từ 6.1 đến 6.5 cho biết giá thực tế và giá dự báo của quyền chọn mua ứng với mỗi giá thực hiện, từ 14/1/2013 đến 24/1/2013. Tất cả các giá trị dự báo đều rất gần với giá trị thực tế . Ta thấy rằng giá quyền chọn ứng với các giá thực thi tăng đột ngột vào ngày 23/1 và tất cả các mô hình đã nắm bắt được
đặc điểm này. Tuy nhiên, chúng dường như có phản ứng thái quá với những thay đổi này: các giá trị trước ngày 23/1 thường thấp hơn nhiều so với các giá trị sau ngày 23/1. Các sai số có xu hướng tăng khi giá thực hiện tăng từ $ 190 lên $200 nhưng lại giảm khi giá thực hiện là $210.
Trong số các mô hình được sử dụng, mô hìnhARCH(11)thường có hệ số SSE lớn nhất. Các mô hình khác có hệ số SSE nhỏ hơn. Mô hình
TGARCH(1, 1) có hệ số SSE nhỏ nhất khi giá thực hiện là $200, $205
và $210. Với nhiều giá trị thực hiện thì mô hình GARCH − M(1, 1) là mô hình có SSE tốt nhất. Tuy nhiên, hệ số SSE của TGARCH(1, 1) cũng không có sự khác biệt nhiều lắm và trong nhiều trường hợp còn tốt hơn GARCH − M(1, 1). Do vậy, chúng ta cũng không có đủ cơ sở để nói rằng các mô hình GARCH − M tốt hơn ARCH, GARCH
và TGARCH. Chú ý rằng các mô hình được sử dụng có những mô
hình không đối xứng do đó các kết quả vượt trội hơn có thể bao hàm sự tồn tại của hiệu ứng đòn bẩy trong dãy lợi suất chứng khoán. Lợi suất chứng khoán có phản ứng khác nhau trước những cú sốc dương và âm. Vì thế ta không thể kết luận lợi suất cổ phiếu IBM dựa vào những biến động có điều kiện của nó trong giai đoạn 2/2/2009 đến 24/1/2013. Trong mỗi bảng L là giới hạn dưới cho mỗi giá thực thi. Tất cả các dự báo tốt đều phải lớn hơn giới hạn này.
Bảng 6.1:Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $190 bằng các kiểu mô hình ARCH
Ngày St Giá TT L ARCH
(11) GARCH (1, 1) TGARCH (1, 1) GARCH−M (1, 1) 14/1 192,62 5,8500 2,9545 6,2862 6,2388 5,5837 6,1987 15/1 192,50 5,500 2,8088 5,6021 5,8034 5,2177 5,4882 16/1 192,59 5,700 2,8731 5,3455 5,4576 5,0362 5,2939 17/1 193,65 6,2500 3,9073 6,2514 5,9585 5,4878 6,0786 18/1 194,47 6,700 4,7016 6,5554 6,3643 5,8232 6,2432 22/1 196,08 7,900 6,2859 7,5817 7,7390 7,6066 7,7814 23/1 204,72 14,7500 14,9002 16,571 16,0720 15,7960 15,3472 24/1 204,42 14,4500 14,5745 15,4099 15,7686 15,4120 15,5811 SSE 4,6886 4,0119 4,0466 2,1748
Bảng 6.2:Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $195 bằng các kiểu mô hình ARCH
Ngày St Giá TT L ARCH
(11) GARCH (1, 1) TGARCH (1, 1) GARCH−M (1, 1) 14/1 192,62 3,100 -2,0367 3,1049 3,0994 2,7938 3,0851 15/1 192,50 2,8400 -2,1831 2,5684 2,7546 2,4229 2,5021 16/1 192,59 2,9300 -2,1195 2,4151 2,3821 2,2025 2,3260 17/1 193,65 3,300 -1,0859 2,7757 2,6620 2,3241 2,6737 18/1 194,47 3,600 -0,2923 2,9833 2,8694 2,5025 2,6658 22/1 196,08 4,500 1,2913 3,5214 3,7351 3,6183 3,7112 23/1 204,72 9,8500 9,9049 11,8107 11,3239 10,8787 10,6087 24/1 204,42 9,5500 9,5785 10,6391 10,9183 10,4647 10,7597 SSE 6,9814 10,9182 5,6262 4,4054
Bảng 6.3:Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $200 bằng các kiểu mô hình ARCH
Ngày St Giá TT L ARCH
(11) GARCH (1, 1) TGARCH (1, 1) GARCH−M (1, 1) 14/1 192,62 1,3900 -7,0279 1,1654 1,2300 1,1224 1,2694 15/1 192,50 1,2000 -7,1750 0,9304 0,9712 0,8843 0,8034 16/1 192,59 1,2800 7,1120 0,8234 0,7149 0,7409 0,7824 17/1 193,65 1,5000 -6,0791 0,9300 0,8408 0,7055 0,7968 18/1 194,47 1,5900 -5,2862 0,9532 0,9300 0,7569 0,7297 22/1 196,08 2,1600 -3,7033 1,1134 1,1894 1,1614 1,2205 23/1 204,72 5,3500 4,9097 16,571 16,0720 15,7960 15,3472 24/1 204,42 5,0500 4,5826 6,3949 6,6052 5,9141 6,4252 SSE 8,8650 7,5471 4,6971 5,7356
Bảng 6.4:Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $205 bằng các kiểu mô hình ARCH
Ngày St Giá TT L ARCH
(11) GARCH (1, 1) TGARCH (1, 1) GARCH−M (1, 1) 14/1 192,62 0,5200 -12,0191 0,3116 0,3868 0,3094 0,3901 15/1 192,50 0,4200 -12,1669 0,2405 0,2423 0,2373 0,1630 16/1 192,59 0,4900 -12,1046 0,2096 0,1425 0,1838 0,2191 17/1 193,65 0,5800 -11,0723 0,2106 0,1819 0,1241 0,1442 18/1 194,47 0,6000 -10,2801 0,1800 0,1985 0,1441 0,1198 22/1 196,08 0,8500 -8,6978 0,2160 0,2156 0,2398 0,2572 23/1 204,72 0,8500 -0,0856 4,2306 3,7785 3,0007 3,4070 24/1 204,42 1,8000 -0,4134 3,2155 3,3014 2,4411 3,0689 SSE 8,2580 6,6378 2,5605 4,7794
Bảng 6.5:Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $210 bằng các kiểu mô hình ARCH
Ngày St Giá TT L ARCH
(11) GARCH (1, 1) TGARCH (1, 1) GARCH−M (1, 1) 14/1 192,62 0,1800 -17,0103 0,0459 0,0925 0,0613 0,0736 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});