skkn một số phương pháp giải đếm nâng cao

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ cao nhất: Thạc sĩ - Năm nhận bằng: 2013 - Chuyên ngành đào tạo: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán III.KINH NGHIỆM K

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị:Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh

Mã số:

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2013 – 2014

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Nguyễn Tất Thu

2 Ngày tháng năm sinh: 13-09-1980

8 Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ

- Năm nhận bằng: 2013

- Chuyên ngành đào tạo: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán

Số năm có kinh nghiệm: 11 nằm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

1 Một số phương pháp xác định CTTQ của dãy số - năm 2008

2 Sử dụng hàm lồi trong chứng minh bất đẳng thức – năm 2009

3 Sử dụng phép đếm để chứng minh đẳng thức tổ hợp – năm 2010

4 Một số phương pháp giải bài toán cực trị tổ hợp – năm 2012

5 Một số phương pháp giải bài toán tồn tại trong tổ hợp – năm 2013

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

ĐẾM NÂNG CAO

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Chủ đề tổ hợp thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi và đây là chủ

đề được đánh giá là khó nhất trong đề thi Về toán tổ hợp ta thường gặp bài toán ở dạng yêu cầu chúng ta đi đếm số cách thực hiện một công việc nào đó Đây là một dạng toán khó và có nhiều phương pháp để giải Để giúp học sinh chuyên toán có được những nên tảng vững chắc về các bài toán đếm, chúng tôi hệ thống và minh họa một số phương

pháp đếm nâng cao Đó là lí do mà tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp đếm nâng cao” làm đề tài nghiên cứu của mình.

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Do đó thay vì đếm số phần tử của A, ta đi đếm số phần tử của B

Ví dụ 1 Cho X={a ,a , ,a1 2 n} với n là số tự nhiên dương, k là số tự nhiên thỏa

k n≤

Đặt S (a ,a , ,a ) a ,a , ,a={ i 1 i 2 i k i 1 i 2 i k ∈X;1 i≤ ≤ ≤ ≤1 i2 ik ≤n} Tính số phần tửcủa tập S

Lời giải.

Ta có: (a ,a , ,a )i1 i2 ik →(i ,i , ,i1 2 k) là một song ánh từ tập S vào tập S gồm các1

bộ (i ,i , ,i với 1 2 k) 1 i≤ ≤ ≤ ≤ ≤1 i2 ik n nên S S= 1

Khó khăn gặp phải khi đếm các bộ của tập S là các số 1 i , ,i có thể bằng nhau.1 k

Do đó, ta tìm các phá bỏ các dấu “=” ở trong bất đẳng thức 1 i≤ ≤ ≤ ≤ ≤1 i2 ik n.Tức là, ta đưa về đếm các bộ (j ,j , ,j với 1 2 k) 1 j≤ < < < ≤1 j2 jk n Để thực hiện

được điều đó, ta tịnh tiến các chỉ số i ,i , ,i mỗi chỉ số tăng thêm một đơn vị 1 2 k

so với chỉ số trước nó Dẫn tới, ta đi xét tương ứng sau

Xét tương ứng (i ,i , ,i1 2 k)∈ →S1 (i ,i1 2 +1, ,ik + −k 1) Rõ ràng, đây là một song ánh từ S và tập 1 S là tập gồm các bộ 2 (j ,j , ,j sao cho1 2 k)

Ví dụ 2 Trong một giải bóng đá có 10 trận đấu và được diễn ra trong vòng 30

ngày Hỏi ban tổ chức có bao nhiêu cách sắp xếp các trận đá bóng sao cho hai trân đấu kế nhau phải cách nhau ít nhất một ngày

Ta có x2−x1≥ ⇔2 x2 −x1 > ⇔1 x2 − >1 x1 nên hai số x2 −1 và x có thể là hai 1

số tự nhiên liên tiếp Tương tự như vậy, ta có xi 1+ −1 và x có thể là hai số tự inhiên liên tiếp

Cách 2: Giả sử giữa ngày thứ nhất đến ngày trận đấu thứ nhất có x ngày, giữa 1trận đấu thứ nhất và trận đấu thứ 2 có x ngày, , giữa trận đấu thứ 10 đến 2ngày thứ 30 có x ngày.11

Khi đó, mỗi cách xếp 10 trận đấu tương ứng với một bộ (x ,x , ,x1 2 11) thỏa các điều kiện sau

Vậy có C1121=352716 cách xếp 10 trận đấu thỏa các yêu cầu bài toán

Ví dụ 3 Cho đa giác đều 2013 đỉnh Người ta tô 100 đỉnh của đa giác bởi màu

đỏ Hỏi có bao nhiêu cách tô sao cho giữa hai đỉnh được tô màu kề nhau có ít nhất 3 đỉnh không được tô màu

Lời giải.

Gọi các đỉnh của đa giác là A ,A , ,A1 2 2013

Giả sử ta tô màu các đỉnh A ,A , ,Ai1 i2 i100 Khi đó, mỗi cách tô màu thỏa yêu

cầu bài toán ứng với bộ (i ,i , ,i1 2 100) thỏa các điều kiện sau

• 1 i≤ < < <1 i2 i100 ≤2013

• ik 1+ − ≥ik 4 với k 1,2012∀ = và 2013 i+ −1 i2013 ≥4

Ta thấy ik 1+ − ≥ ⇔ik 4 ik 1+ − > ⇔ik 3 ik 1+ − >3 ik, do đó ta sẽ thay thế các i kbởi ik −3(k 1)−

Gọi S là tập các bộ (i ,i , ,i1 2 100) thỏa các điều kiện nói trên, S là tập các bộ1

f(i ,i , ,i ) a ,a , ,a= với ak = −ik 3(k 1), k 1,100− =

Dễ dàng kiểm chứng được f là một song ánh

Ta xét các trường hợp sau

i) Tồn tại i,j 1,2, ,k∈{ } thỏa a ai > j và i j<

ii) Tồn tại i 1,2, ,k∈{ } sao cho a ii − là số lẻ

k (a ,a , ,a ) thỏa điều kiện (a) Do đó, ta chỉ cần đi phân tích điều kiện (b)

Vì a ii − là số chẵn khi và chỉ khi a ii + là số chẵn Hơn nữa giá trị của a ii − ta khó kiểm soát còn các giá trị của a ii + chỉ thuộc vào tập {1,2,3, ,k n+ } nên ta xét ánh xạ f từ tập B và tập C được xác định bởi f(a ,a , ,a )1 2 k =(b ,b , ,b1 2 k)với b a ii = +i và C là tập gồm các bộ (b ,b , ,b thỏa 1 2 k) b là số chẵn i 1,ki ∀ =

Ví dụ 5 Cho một tam giác đều cạnh bằng n Chia tam giác này thành n tam 2

giác đều cạnh bằng 1 bởi các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác

đó Tính số hình bình hành nằm trong tam giác và được tạo bởi các đường thẳngtrên

Ta thấy SBC = SCA = SAB và S 3 S= BC

Ta đi tính SBC =?

Trên các tia AB,AC kéo dài ta lấy các điểm B',C' sao cho BB' CC' 1= =

Ta chia đoạn B'C' thành n 1+ đoạn bằng nhau B'A ,A A , ,A C'1 1 2 n

Với mỗi hình bình hành thuộc SBC, ta kéo dài các cạnh của hình bình hành, cắtB'C' tại 4 điểm phân biệt thuộc vào tập các điểm T={B',A , ,A ,C'1 n }

Khi đó mỗi hình bình hành sẽ tương ứng với 4 điểm thuộc T và ngược lại với 4 điểm thuộc T cho ta một hình bình hành thuộc SBC

Chẳng hạn, trong hình vẽ: Hình bình hành được tô đậm miền trong sẽ tương ứng với 4 điểm B',D,E,F , còn hình bình hành được tô đậm 4 cạnh tương ứng với 4 điểm C',H,F,D

Do đó mỗi hình bình hành thuộc SBC tương ứng với bộ 4 điểm thuộc T nên

• Tính X

Với mỗi tập con T X∈ , ta có T T' n= ∪{ } , trong đó T' là một tập con của tập{1,2, ,n 1− }

Ví dụ 2 Cho n là số nguyên dương Có bao nhiêu xâu kí tự độ dài n : a a a 1 2 nvới kí tự a lấy trong các số i {0,1,2, ,9 mà số lần xuất hiện của số 0 trong xâu }

Với x a a a= 1 2 n∈Y thì xâu a a a có độ dài 2 3 n n 1− và số lần xuất hiện của số 0

là số chẵn Do đó, có an 1− xâu a a a như vậy Với mỗi xâu 2 3 n a a a2 3 n∈An 1−

Lời giải Gọi S là tập các hoán vị n (a ,a , ,a ) của tập 1 2 n {1,2,3, ,n sao cho tồn }tại duy nhất một chỉ số i sao cho a ai > i 1+ và đặt xn = Sn Rõ ràng với mỗi( 1 2 n) n

x a ,a , ,a= ∈S thì x chỉ có thể xảy ra ba dạng sau

+) an =n, gọi tập các hoán vị thuộc dạng này là tập X

+) ai =n , ai 1− >ai 1+ còn a a , j i 1,ij < j 1+ ∀ ∉ −{ } , gọi tập các hoán vị thuộc dạng này là Y

+) ai =n và a a , j ij < j 1+ ∀ ≠ , gọi tập các hoán vị thuộc dạng này là Z

Khi đó tập S được phân hạch thành ba tập X,Y,Z nên n Sn = X Y Z+ +

Dễ thấy X x= n 1−

Với mỗi hoán thuộc tập Y, khi ta bỏ a thì ta thư được một hoán vị thuộc i Sn 1−

và ngược lại mỗi hoán vị thuộc Sn 1− ta chèn thêm n vào giữa a và i ai 1+ (với

a a> + ) ta được một hoán vị thuộc tập Y Suy ra Y x= n 1−

Với mỗi hoán vị thuộc tập Z ta rút a ra thì ta thu được hoán vị i (1,2,3, ,n 1− )

và với mỗi hoán vị này, ta có n 1− cách chèn n vào Do đó Z n 1= −

Ví dụ 5 Có n tấm thẻ được đánh số từ 1 đến n Có bao nhiêu cách chọn ra một

số thẻ (ít nhất 1 tấm) sao cho tất cả các số viết trên các tấm thẻ này đều lớn hơn hoặc bằng số tấm thẻ được chọn

Lời giải.

Gọi S là tập các thẻ được chọn thỏa yêu cầu bài toán và n an = Sn

Ta phân hoạch tập S thành hai tập rời nhau A và B như saun

A là tập gồm các thẻ được chọn không có thẻ mang số n và B là tập gồm các thẻ được chọn trong đó có thẻ ghi số n Khi đó an = A B+

Xét một cách lấy thẻ thuộc B Giả sử 2

Vì số thẻ lấy ra không ít hơn 2 nên thẻ ghi số 1 không được chọn

Gọia là số cách chọn một số thẻ từ n thẻ sao cho tất cả các số viết trên thẻ đều nkhông nhỏ hơn số thẻ được chọn Ta có các trường hợp sau

• Thẻ ghi số n không được chọn, khi đó các thẻ được chọn từ các thẻ được ghi từ số 1 đến n 1− và tất cả các số viết trên các tấm thẻ đều không nhỏ hơn số thẻ được chọn Số cách chọn trong trường hợp này là an 1−

Ví dụ 6 Cho tập A { 1;0;1}= − Tìm số bộ (a ,a , ,a ) thỏa:1 1 n

1)a thuộc i A với mọi i 1,2, ,n=

2) a ai − i 1+ thuộc A với mọi i 1,2, ,n 1= −

Chú ý: Trong một số bài toán, chúng ta cần xây dựng thêm đối tượng phụ để

giúp giải quyết bài toán đếm

Ví dụ 7 Từ các chữ số 3,4,5,6 lập được bao nhiêu số có n chữ số và số đó chia

Ta cần tìm xn = An , đặt yn = B , zn n = Cn , ta có xn +yn +zn =4n

Xét một số x A∈ n và x a a a= 1 2 n có n chữ số

+) Nếu an =3 hoặc an =6 , khi ta bỏ a ta thu được số có n n 1− chữ số và số nàychia hết cho 3 , ngược lại với mỗi số có n 1− chữ số chia hết cho 3 thì khi ta thêmvào cuối chữ số 3 hoặc 6 ta được một số chia hết cho 3 và có n chữ số Nên trường hợp này có xn 1− số

+) Nếu an =5, khi ta bỏ a , ta thu được một số có n n 1− chữ số thuộc tập Bn 1−

và mỗi số thuộc Bn 1− , ta thêm vào cuối chữ số 5 ta thu được một số thuộc A nTrường hợp này có yn 1− số

+) Nếu an =6 Tương tự như trên ta có zn 1− số

Do đó, ta có xn =xn 1− +yn 1− +zn 1− =3n 1−

Trong bài toán trên, việc đưa thêm hai tập B và n C vào để giúp chúng ta tìm nđược quan hệ truy hồi giữa ba đại lượng a ,b ,c Trong một số bài toán, việc n n nlàm xuất hiện các bài toán phụ không còn là việc đơn giản nữa

Ví dụ 8 (VMO 2009) Cho số nguyên dương n Kí hiệu T là tập hợp 2n số

nguyên dương đầu tiên Hỏi có tất cả bao nhiêu tập con S của T có tính chất: Trong S không tồn tại các số a,b mà a b− ∈{ }1;n ( Tập rỗng được coi là một tập có tính chất trên)

Lời giải.

1 2 n 1− n

n 1+ n 2+ 2n 1− 2n

(hình 1)Xét bảng hình chữ nhật 2 n× và đánh các số từ 1 đến 2n như hình trên (hình 1)

và ta gọi hai ô chứa n và n 1+ là hai ô đặc biệt

Số tập con thỏa yêu cầu bài toán chính bằng số cách chọn một số số từ bảng sao cho hai ô kề nhau không được chọn và cả hai ô đặc biệt không cùng được chọn

và số cách chọn này ta kí hiệu là c n

Gọi a là số cách chọn một số ô sao cho hai ô kề nhau không được chọn (*)n

b là số cách chọn một số ô sao cho hai ô không được chọn và hai ô đặc biệt nđược chọn

Mặt khác, tất cả các cách chọn một số ô thỏa (*) từ bảng chữ nhật khuyết đơn

2 n× gồm:

+) an 1− cách chọn mà mỗi cách chọn ô chứa x không được chọn

+) xn 1− cách chọn mà mỗi cách chọn ô chứa x được chọn

Gọi y là số cách chọn một số ô thỏa (*) từ hình chữ nhật khuyết kép (hình 3)nKhi đó, ta có bn =yn 2− Nên ta có y1 =1 và ta tính được y2 =4

Ta thấy tất cả các cách chọn thỏa (*) từ hình chữ nhật kép gồm

+) an 2− cách chọn mà mỗi cách chọn thì cả A và B đều không được chọn

+) 2xn 2− cách chọn mà mỗi cách chọn thì một trong hai ô A, B được chọn

+) yn 2− cách chọn mà mỗi cách chọn thì ccar hai ô A và B đều được chọn

2.3 Đếm bằng công thức bao hàm và loại trừ

Với n tập hữu hạn A ,A , ,A ta có:1 2 n

Ví dụ 1 Ta gọi A là tập hợp “đầy đặn” nếu A chứa đúng 5 số thực và bất kì

phần tử x nào của A thì x 1− hoặc x 1+ cũng thuộc A Tìm số tập hợp đầy đặn

là tập con của {1;2;3; ;2011;2012 }

Lời giải

Xét một tập hợp “đầy đặn” A={a,b,c,d,e} với 1 a b c d e 2012≤ < < < < ≤ (*).Theo giả thiết, ta thấy rằng b a 1,e d 1= + = + và c b 1 c d 1= + ∨ = −

Gọi S là tập hợp tất cả các tập hợp đầy đặn thỏa mãn đề bài

Gọi S là các tập con của S mà các tập hợp đầy đặn của nó thỏa mãn c b 11 = + ,

có 2009 a− cách chọn d (rõ ràng mỗi cách như thế tương ứng với một cách chọncặp (d,e) )

Ví dụ 3 Trong một thư viện người ta quan sát trong một tháng thấy được

i) Mỗi ngày có 5 người đến đọc sách

ii) Hai ngày bất kì thì số người đến đọc sách là 9

Hãy tính xem trong 1 tháng có bao nhiêu người đến đọc sách Biết tháng đó có

Do A1∩Ai = ∀ =1, i 2,3, ,30 nên tồn tại một phần tử a của tập A mà a thuộc1

ít nhất 5 tập trong các tập A ,A , ,A Giả sử a thuộc k tập 2 3 30 A ,A , ,A với1 2 k

k 6≥

Nếu k 29≤ , suy ra tồn tại A sao cho m a A∈ m với m k 1≥ +

Khi đó, tồn tại b Aj∈ m∩A , i 1,2, ,ki = và b bj ≠ i với mọi i j≠

Suy ra Am ≥ >k 5 trái với giả thiết Do đó 30 i 30 i

Ví dụ 4 Từ các số 1,2,3 lập được bao nhiều số tự nhiên gồm 6 chữ số thỏa mãn

đồng thời hai điều kiện sau:

1) Trong mỗi số, mỗi chữ số có mặt đúng hai lần

2) Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau

Lời giải Gọi X là tập các số có 6 chữ số được lập từ các số chữ 1,2,3 và mỗi chữ

số xuất hiện đúng 2 lần

A là tập các số thoả yêu cầu bài toán

A là tập các số thuộc X là trong đó hai chữ số k đứng cạnh nhau (1 k 3)k ≤ ≤

Gọi S là tập hợp các hoán vị của {1;2;…;n} và A là tập hợp các hoán vịi

{a ;a ; ;a của {1;2;…;n} thỏa điều kiện 1 2 n} ai =i(i=1;2;….;n)

Chứng minh rằng có ít nhất 1 học sinh đạt điểm giỏi cả 4 môn Toán, Lý, Văn và Sử.

Lời giải.

Kí hiệu T,L,V,S lần lượt là tập các học sinh có điểm giỏi ở môn Toán, Lý, Văn, Sử

X T L, Y L V, Z V S= ∩ = ∩ = ∩Theo đề bài, ta có: X 2 T , Y 2 L , Z 2 V

Bài 1 Cho 2012 người xếp theo một hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 100

người sao cho hai người liên tiếp không được chọn

x +x + + x =1912 với x ,x1 101≥0, x 1, i 2, ,100i ≥ = Đặt x1=y ,y1 100 =x100 i,x 1 y , i 2,3, ,99− = i =

Ta có phương trình: y1+y2 + + y101=1813, y 0i ≥

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là: C1001913

Bài 2 Có k học sinh tham gia một kì thi, ban tổ chức muốn xếp k học sinh này

vào một bàn tròn có n chỗ ngồi (n 4k)≥ sao cho giữa hai học sinh kề nhau có ít nhất 3 ghế trống Hỏi ban tổ chức có bao nhiêu cách xếp?

Do đó số tập con B là Ckn 3k−

Vậy đáp số của bài toán là: 3Ck 1n 3k 1−− − +Ckn 3k−

Bài 3 Cho tập A 1,2,3, ,2n={ } Tập con C của A được gọi là tập cân nếu trong

C số các số lẻ bằng số các số chẵn (tập rỗng là một tập cân) Chứng minh rằng sốtập cân của tập X bằng C n2n

Lời giải.

Gọi M là họ tất cả các tập cân của A, N là họ các tập con của A có n phần tử.Xét X={2,4, 2n… } là tập các số chẵn của A

Y 1,2, 2n 1={ − } là tập các số lẻ của A

Gọi B là một phần tử thuộc M thì B là một tập cân Gọi B1 và B2 thứ tự là tập các

số chẵn và số lẻ của B Theo định nghĩa tập cân ta có B1 = B2 Xét một ánh xạ f

từ M vào N như sau :

Công việc còn lại của ta chỉ là chứng minh f là song ánh.

+) f là đơn ánh : Giả sử tồn tại B,C M∈ mà f(B) f(C)= Suy ra

B ∪ Y\B =C ∪ Y\CMặt khác do B ,C là tập các số chẵn còn 1 1 (Y\B , Y\C là tập các số lẻ nên2) ( 2)

Do đó B là một tập cân và f(B) D= Vậy f cũng là toàn ánh

Từ đây ta có thể kết luận được rằng f là song ánh.

Vì có một song ánh giữa M và N nên M N C= = n2n

Bài 5 Cho n là số nguyên dương Một hoán vị (x ,x , ,x1 2 2n) của tập

{1,2, ,2n được gọi là có tính chất T nếu tồn tại } i 1,2, ,2n 1∈{ − } sao cho

Do đó f không là toàn ánh.

Vậy ta có B A<

Bài 6 Một dãy a a a với 1 2 n ai∈{ }0,1 được gọi là một xâu nhị phân có độ dài n Hỏi có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài n (n 4≥ ) chứa đúng hai lần xuất hiện của 01

Lời giải.

Kí hiệu A là xâu nhị phân gồm toàn số 1 và B là xâu nhị phân có chỉ gồm toàn

số 0, mỗi xâu có độ dài ít nhất là 1

Mỗi xâu chỉ chứa đúng 2 lần xuất hiện 01 sẽ có các dạng sau

ABABA, ABABAB, BABA, BABABXét xâu ABABA, số xâu loại này chính bằng số nghiệm nguyên dương của phương trình

Bài 7 Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là G1, G2, G3, G4, G5 và 12 chàng trai

Có 17 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn: