Mặt cong đồ họa kỹ thuật (free)

III- Giao tuyến của mặt phẳng với mặt cong 1- Một số định nghĩa - Bậc của đường cong phẳng là số giao điểm tối đa của đường cong đó với đường thẳng.. Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳn

Bài 6 Mặt cong

Đồ họa kỹ thuật

I- Biểu diễn mặt cong

Trên đồ thức, để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó

Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón)

- Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh

Để dễ dàng hình dung mặt cong và giải các bái toán về mặt cong ta vẽ các đường bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong đó

II- Điểm thuộc mặt cong

Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón.

Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các

điểm đó (Hình 6.2)

Giải:

- Tìm M 2 : Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M

- Tìm N 1 : Gắn N vào đường sinh SJ

Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ Biết M1,

N1, P2, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.(Hình 6.3)

- Tìm M 2 : qua M1 vẽ đường sinh a1

Chân đường sinh: E1, E’1

Trên hình chiếu bằng có E2, E’2

Qua E2, E’2 vẽ các đường sinh a2, a’2

Ví dụ 3: Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu

Biết M1, N1, P1, tìm hình chiếu còn lại của các

điểm đó (Hình 6.4)

Giải:

- Tìm M 2 : Qua M vẽ đường tròn của mặt cầu

sao cho đường tròn này thuộc mặt phẳng song

III- Giao tuyến của mặt phẳng với mặt cong

1- Một số định nghĩa

- Bậc của đường cong phẳng là số giao điểm tối đa của đường cong đó với đường thẳng

- Bậc của đường cong ghềnh trong không gian là số giao điểm tối đa của đường cong đó với một mặt phẳng

- Bậc của mặt cong là số giao điểm tối đa của mặt cong đó với một đường thẳng

- Giao tuyến của một mặt bậc hai với một mặt phẳng là một đường bậc hai

- Giao của mặt cong bậc m với một mặt cong bậc n là một đường cong có bậc bằng m.n

Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α1) với

mặt nón tròn xoay trong 3 trường hợp:

a) Trường hợp mặt phẳng (α) cắt tất cả các đường α) cắt tất cả các đường ) cắt tất cả các đường

sinh của nón, giao tuyến là elíp (α) cắt tất cả các đường E) (Hình 6.5)

- (α) cắt mặt nón theo đường elíp (E) có hình

chiếu đứng là đoạn A1B1

- A2B2 là trục dài của elíp trên hình chiếu bằng

- Lấy I1 là trung điểm A1B1  I2 là trung điểm

của A2B2 I2 là tâm đối xứng của elíp trên hình

chiếu bằng

- C1 ≡ D1, Tìm C2D2 (bài toán điểm thuộc mặt nón)

C2 D2 là trục ngắn của elíp (E)

- Để thuận lợi ta tìm thêm các điểm trung gian khác

Chú ý: S 2 là tiêu điểm của elíp

b) Trường hợp mặt phẳng (α) cắt tất cả các đường α) cắt tất cả các đường ) song song với một

đường sinh SM, giao tuyến là parabol (α) cắt tất cả các đường P)

Hình 6.6 Mặt phẳng (α)α)) cắt nón theo parabol

c) Trường hợp mặt phẳng (α) cắt tất cả các đường α) cắt tất cả các đường ) song song với hai

đường sinh SM và SP, giao tuyến là hypecbol (α) cắt tất cả các đường H)

Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với mặt trụ

chiếu bằng được cho như trên hình 6.8

(Trụ chiếu bằng là trụ có trục hay đường sinh vuông góc với

mặt phẳng hình chiếu bằng П2)

Giải:

Giao tuyến (α) với trụ là đường elíp

Vì mặt trụ là mặt trụ chiếu bằng nên biết trước

hình chiếu bằng của giao tuyến

+ Tìm điểm giới hạn thấy khuất U, V

α

d

x

C

IV- Giao tuyến của đường thẳng với mặt cong

Ví dụ 1: Vẽ giao của đường thẳng l với mặt trụ

chiếu đứng được cho như trên hình 6.9

Ví dụ 2: Vẽ giao của đường thẳng chiếu bằng l

với mặt nón được cho như trên hình 6.10.

Ví dụ 3: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S)

được cho như trên hình 6.11

Giải:

- Trong bài toán này, chưa biết hình chiếu nào

của giao điểm, do đó ta phải dùng phương pháp

mặt phẳng phụ trợ

- Lấy mặt phẳng φ(φ2) chứa đường f(f1, f2),

φ(φ2) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến phụ là

+ Với mặt nón, mặt phẳng phụ đi qua đường thẳng và đỉnh nón.

+ Với mặt trụ, mặt phẳng phụ đi qua đường thẳng và song song với trục +Với mặt cầu ta có thể sử dụng mặt phẳng phụ đi qua đường thẳng và tâm cầu rồi xoay quanh đường bằng hoặc đường mặt, hoặc thay mặt phẳng hình chiếu.

* Tìm giao của đường thẳng với mặt nón trong trường hợp tổng quát (Hình 6.12)

- Lập mặt phẳng phụ trợ α(S, l)

- Kéo dài đường thẳng l cắt mặt phẳng đáy nón tại J.

- Trên l lấy điểm T tùy ý, kéo dài ST cắt mặt phẳng đáy nón tại F.

- JF cắt đáy nón tại hai điểm 1, 2 Nối S1, S2 cắt l tại I và K I, K là giao điểm cần tìm.

* Trường hợp giao điểm của đường thẳng l với mặt phẳng đáy nón quá xa,

ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng l (Hình 6.12.b)

Hình 6.12 Tìm giao của đường thẳng với mặt nón trong trường hợp tổng quát bằng phương pháp mặt phẳng phụ trợ

α

α

Ví dụ 4: Tìm giao của đường bằng h(h1, h2) với mặt

nón được cho như trên đồ thức ( Hình

- Lập mặt phẳng phụ trợ α đi qua l và song song với trục của trụ.

- Kéo dài đường thẳng l cắt mặt phẳng đáy trụ tại J.

- Trên l lấy điểm T tùy ý, qua T kẻ đường thẳng song song với trục của trụ,

cắt mặt phẳng đáy trụ tại F

- JF cắt đáy nón tại hai điểm 1, 2

Qua điểm 1, 2 kẻ hai đường thẳng song song với trục của trụ cắt l tại I và K

* Trường hợp giao điểm của đường thẳng l với mặt phẳng đáy trụ quá xa, ta có thể

lấy thêm một điểm R trên đường thẳng l (Hình 6.15.b)

* Tìm giao của đường thẳng với mặt trụ trong trường hợp tổng quát (Hình 6.15)

Hình 6.15 Tìm giao của đường thẳng với mặt trụ trong trường hợp tổng quát

V- Giao của đa diện với mặt cong

Mỗi một mặt đa diện cắt mặt cong bậc 2 theo một đường bậc

2.Vì vậy, giao của đa diện với mặt cong là tổ hợp của các

đường bậc 2.

Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của lăng trụ chiếu đứng với hình

nón tròn xoay được cho trên hình 6.16.

Giải:

- Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó đã biết hình

chiếu đứng của giao tuyến là các đoạn 1-2-3-4

- Tìm hình chiếu bằng giao tuyến : bài toán điểm thuộc mặt nón.

Bổ xung thêm các điểm 5-6 để vẽ giao tuyến được chính xác

- Nhận xét:

+ Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón, do đó mặt

phẳng này cắt mặt nón theo cung tròn 1-2

+ Mặt (BB’C’C) song song với một đường sinh của hình

nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung parabol: 2-5-3

+ Mặt (AA’C’C) cắt tất cả các đường sinh của hình nón,

do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4.

Hình 6.16 Tìm giao tuyến của lăng trụ chiếu đứng

do đó hình chiếu đứng của giao tuyến đã

biết, đó là cung elíp 1-2-3-4

- Có 2 mặt (SAB) và (SAC) cắt trụ

- Tìm hình chiếu bằng: Giải bài toán điểm

thuộc đa diện

Chú ý: Điểm giới hạn thấy khuất 2 ; 2’

VI- Giao của hai mặt cong

Ví dụ 1: Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay

(Hình )

Giải:

- Giao của trụ chiếu đứng và nón tròn xoay là

đường cong ghềnh bậc 4

- Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu

đứng của giao tuyến

- Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau:

+ Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên của nón cắt trụ

+ Điểm 2 là điểm xét giới hạn thấy khuất

+ Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất

- Để vẽ đường cong ghềnh chính xác hơn có thể tìm

thêm các điểm X, Y

- Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu

đứng của giao tuyến

- Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau:

+ Điểm 2,6 là điểm xét giới hạn thấy khuất

+ Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất

5’26’2

Hình 6.20 Giao của mặt trụ tiếp xúc với mặt cầu

Chú ý: Hai mặt cong tiếp xúc nhau tại một điểm thì chúng cắt nhau theo đường cong

ghềnh bậc 4, tại điểm tiếp xúc của hai mặt cong đường cong ghềnh bậc 4 đó tự cắt nó.

Hình 6.21 Minh họa định lý 1

Định lý 1:

Nếu hai mặt cong bậc hai đã cắt nhau theo

một đường bâc hai thì chúng sẽ cắt nhau theo

một đường bậc hai thứ hai.

12

Hình 6.22 Minh họa định lý 2

Định lý 2:

Nếu hai mặt cong bậc hai tiếp xúc với nhau

tại hai điểm thì chúng sẽ cắt nhau theo hai đường

cong bậc hai đi qua hai điểm tiếp xúc đó.

82

Hình 6.23 Minh họa định lý 3

Định lý 3:

Nếu hai mặt cong cùng ngoại tiếp hay nội tiếp

một mặt cong thứ ba thì chúng sẽ cắt nhau theo hai

đường bậc hai cùng đi qua các giao điểm của các

đường cong tiếp xúc.

Ví dụ:

- Cho mặt trụ và mặt nón cùng

ngoại tiếp mặt cầu

- Trụ và nón tiếp xúc với mặt cầu

theo hai đường tròn Hai đường

tròn tiếp xúc này cắt nhau tại hai

điểm A, B

- Trụ và nón cắt nhau theo hai

đường bậc hai là hai elíp cùng

đi qua A và B

A ≡ B