Mặt phẳng đồ họa kỹ thuật (free)

1      2 I- Đồ thức của một mặt phẳng Trên đồ thức có 4 cách để xác định một mặt phẳng A 1 l 1 l 2 A 2 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 Hình 3.1.Đ thc ca mt phng I 1 b 1 b 2 I 2 a 1 a 2 d 1 d 2 c 1 c 2 a) d) c) b) Chú ý: Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành cách xác định khác. Do đó phương pháp giải bài toán không phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng 3 II- Vết của mặt phẳng Vết của mặt phẳng là giao tuyến của của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu Cho mặt phẳng (α): * Vết đứng m: m ≡ (α) ∩ П 1 * Vết bằng n: n ≡ (α) ∩ П 2 * Vết cạnh p: p ≡ (α) ∩ П 3 Để phân biệt các mặt phẳng ta viết tên vết của mặt phẳng kèm theo tên của mặt phẳng đó. Ví dụ: Mặt phẳng (α) → -Vết đứng : m α -Vết bằng : n α -Vết cạch : p α x Π 1 Π 3 y Π 2 p m n z x z y O m = m 1 p = p 3 n = n 2 m 2 =n 1 =p 2 p 1 Hình 3.2. Vết ca mt phng O y m α n α p α α 4 - Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó. Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại α x ∈ x (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c) - Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m 1 , m 2 và n 1 ,n 2 (Hình 3.3a) - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta kèm theo tên của mặt phẳng đó ký hiệu m α , n α (Hình 3.3b,c) x m 1 n 2 x m α n α α x x m α n α a) c) b) Hình 3.3. Một số cách cho mt phng bằng vết trên đ thc α x m 2 =n 1 =x 5 ⇒ Ví dụ: Xác định vết của mặt phẳng α (a,b) được cho trên đồ thức, a cắt b tại I. (Hình 3.4) Hình 3.4. Ví dụ tìm vết ca một mt phng α x m α a 2 b 1 a 1 b 2 M’ 1 M 1 M’ 2 M 2 I 1 I 2 N 1 N 2 N’ 1 N’ 2 x Giải: - Nhận xét mặt phẳng (α) đi qua a và b do đó vết của mặt phẳng (α) đi qua vết của các đường thẳng a và b. + Tìm vết đứng M(M 1 ,M 2 ) của đường thẳng a + Tìm vết đứng M’(M’ 1 ,M’ 2 ) của đường thẳng b m α đi qua M 1 , M’ 1 + m α ∩ x ≡ α x + Tìm vết bằng N(N 1 ,N 2 ) của a + Vết bằng n α đi qua α x và N 2 } n α Chú ý: Không cần tìm vết bằng N’(N’ 1 ,N’ 2 ) của đường thẳng b vì α x , N 2 , N’ 2 thẳng hàng 6 *Tính chất : -Vết bằng - - m α , x = (α) , П 2 = φ (Hình 3.5) α ∈⇔α∈ mCBA)(ABC 111 xn ⊥ α III- Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu) 1- Các mặt phẳng chiếu ( là các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu) a) Mặt phẳng chiếu đứng * Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П 1 . Ví dụ: Mặt phẳng Hình 3.5. Mt phng chiếu đng xn ⊥ α Π 1 x C 1 C 2 x A 1 A 2 φ C A 1 C 1 m α Π 2 φ A B n α B 1 B 2 B 1 m α n α 1 )( ∏⊥α α x α 1 Chú ý: m α là hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng (α) nên thường thay m α b7i α 1 7 xm ⊥ β b) Mặt phẳng chiếu bằng * Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П 2 . Ví dụ: Mặt phẳng Hình 3.6. Mt phng chiếu bằng *Tính chất : -Vết đứng - - n β , x = (β) , П 1 = φ (Hình 3.6) β ∈⇔β∈ nCBA)(ABC 222 Π 1 x C 1 C 2 x A 1 A 2 C A B h 1 Π 2 A 2 n β φ C 2 B 2 m β B 1 B 2 n β φ m β 2 )( ∏⊥β  x  2 Chú ý: n β là hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng (β) nên thường thay n β b7i β 2 8 3 )( ∏⊥γ γ ∈⇔γ∈− pCBA)(ABC 333 c) Mặt phẳng chiếu cạnh * Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П 3 . Ví dụ: Mặt phẳng *Tính chất : x C 3 Π 1 Π 3 z y x A 3 z C 3 A 1 C 1 O B 1 α β p γ A 3 O B 3 α β p γ Π 2 A C B m γ n γ m γ n γ B 3 y y Hình 3.7. Mt phng chiếu cạnh α=∏γ=− γ 1 ,z,p x//n ,x//m γγ − β=∏γ=− γ 2 ,y,p γ 9 x//m α − 2- Các mặt phẳng đồng mức ( là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu) a) Mặt phẳng bằng * Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П 2 . Ví dụ: Mặt phẳng (α)//П 2 *Tính chất : Π 1 x B 1 B 2 x A 1 A 2 C 2 Hình 3.8. Mt phng bằng B A 1 A B 1 α Π 2 A 2 C B 2 C 1 m α m α C 1 C 2 Chú ý: (α)//П 2 do đó (α) П 1 , cho nên (α) cũng là mặt phẳng chiếu đứng ABCCBA)(ABC 222 =⇔α∈− ⊥ α 1 10 ABCCBA)(ABC 111 =⇔∈− β b) Mặt phẳng mặt * Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П 1 . Ví dụ: Mặt phẳng (β)//П 1 *Tính chất : Hình 3.9. Mt phng mt Π 1 x C 1 C 2 x A 1 A 2 C A 1 C 1 Π 2 A 2 β B 2 A B B 1 C 2 B 1 B 2 n β n β Chú ý: (β)//П 1 do đó (β) П 2 , cho nên (β) cũng là mặt phẳng chiếu bằng ⊥ x//n β −  2 [...]... đứng, do đó trên đồ thức f1//mα 18 3- Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu a) Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng *Định nghĩa: Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng là đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó và vuông góc với đường bằng của mặt phẳng Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và d là đường dốc nhất của (α) đối với П2 Khi đó d∈ (α) và d⊥... d,d2 = d,П2 = (α),П2 = φ 19 b) Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng *Định nghĩa: Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng là đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó và vuông góc với đường mặt của mặt phẳng Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và d là đường dốc nhất của (α) đối với П1 Khi đó d∈ (α) và d⊥ f (f là đường mặt thuộc (α)) (Hình 3.19) Π1 α mα M1 f1 mα d1 f x... V- Các đường thẳng đặc biệt của mặt phẳng 1- Đường bằng của mặt phẳng * Định nghĩa: Đường bằng của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2 Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và h là đường bằng của (α) Khi đó h∈(α) và h//П2.(Hình 3.15) Π1 α mα mα h1 h1 x h x nα h2 h/ 2 nα Π2 /n α Hình 3.15 Đường bằng của mặt phẳng Chú ý: Nếu mặt phẳng (α) cho bởi vết mα, nα... của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và song song với mặt phẳng hình chiếu đứng Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và f là đường mặt của (α) Khi đó f∈ (α) và f//П1 (Hình 3.17) α Π1 mα mα m f 1// f1 f x x nα α f2 f2 nα Π2 Hình 3.17 Đường mặt của mặt phẳng Chú ý: Nếu mặt phẳng (α) cho bởi vết mα, nα thì đường mặt song song với vết đứng, do đó trên đồ thức f1//mα 18 3- Đường dốc nhất của mặt phẳng. .. với mặt phẳng hình chiếu bằng П2 21 VI- Vi trí tương đối của hai mặt phẳng 1- Hai mặt phẳng song song a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung nào b) Định lý: Nếu trong mặt phẳng này có chứa hai đường thẳng cắt nhau tương ứng song song với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song với nhau Giả thiết: { a,b∈(α) ; a∩b ≡ O a’,b’∈(β)... Mặt phẳng cạnh * Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П 3 Ví dụ: Mặt phẳng (γ)// П3 Π1 x z z C1 B1 B mγ p A1 B2 Π2 nγ C1 B3 C γ B1 C3 O A A2 C2 mγ Π3 p3 A1 Chú ý: O x A3 y A3 y E2 Hình 3.10 Mặt phẳng cạnh *Tính chất : C3 B3 nγ A2 C2 y − m γ ⊥ x , n γ ⊥ x − ABC ∈ ( γ ) ⇔ A 3B3C3 = ABC ( γ ) ⊥ ∏1 ( γ ) // ∏ 3 ⇒  ⇒ (γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt. .. hai mặt phẳng (α), (β) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đó bằng phương pháp mặt phẳng phụ như sau: - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β) - Gọi: k ≡ (φ)∩(α) l ≡ (φ)∩(β) J ≡ k∩l Ta có J là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng (α) và (β) - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β) - Gọi: k’ ≡ (φ’)∩(α’) l’ ≡ (φ’)∩(β’) J’ ≡ k’∩l’ Ta có J’ là điểm chung thứ hai của mặt phẳng (α) và (β) Dựng đường thẳng g đi qua J... dựng mặt phẳng (β)//α(ABC) 23 Chú ý: Nếu hai mặt phẳng (không phải là mặt phẳng chiếu cạnh) song song với nhau được cho bởi vết, thì các vết tương ứng của chúng song song nhau(mα//mβ ; nα//nβ) Khi hai mặt phẳng đã song song thì các đường thẳng đặc biệt tương ứng của hai mặt phẳng đó cũng song song nhau Ví dụ 2: Cho α(mα, nα) , I(I1,I2) mα Qua I dựng mặt phẳng (β) // (α) (Hình 3.23) Giải: I1 x Vì (β)//(α)... ⇒ Μ1∈h1 mβ I2 nα h2 nβ Hình 3.23 Ví dụ 2: Qua I dựng mặt phẳng (β)//(α) 24 2- Hai mặt phẳng cắt nhau Vấn đề đặt ra: Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước Ví dụ 1: Cho α(α1) , β(β2) (Hình 3.24) Giải: - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1 - (β) là mặt phẳng chiếu bằng nên g2 ≡ β1 g1 α1 x β2 g2 Hình 3.24 Vẽ giao tuyến g của hai mặt... = φ 20 c) Ví dụ: Cho α(ABC) xác định góc nghiêng của α với mặt phẳng hình chiếu bằng П2 C1 Δz A1 (Hình 3.20) h1 11 D1 Giải: - Vẽ đường bằng Ah thuộc mặt phẳng α(ABC) - Vẽ đường dốc nhất CD thuộc mặt phẳng (ABC): A2 + C2D2 ⊥A2h2 B1 C2 +D2∈h2 - Tìm góc tạo bởi đường dốc nhất CD với П2: 12 Góc φ tìm được là góc tạo bởi mặt phẳng α(ABC) với mặt phẳng П2 Δz φ D2 h2 B2 Hình 3.20 Xác định góc nghiêng của . Các mặt phẳng đồng mức ( là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu) a) Mặt phẳng bằng * Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П 2 . Ví dụ: Mặt. ⊥ α III- Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu) 1- Các mặt phẳng chiếu ( là các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu) a) Mặt phẳng chiếu đứng * Định nghĩa: Mặt phẳng. phng b 1 b 2 a 1 a 2 1 2 2 1 2 2 1 1 h 1 h 2 3cm x 18 2- Đường mặt của mặt phẳng *Định nghĩa: Đường mặt của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và song song với mặt phẳng hình chiếu đứng. Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và f là đường mặt của