Đa diện đồ họa kĩ thuật (free)

1 Bi 5 Đa diện 2 I- Biểu diễn đa diện Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó. Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy. (Hình 5.1.a) - Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b) Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán, ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh và mặt đa diện, đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện. B 1 A 1 C 1 S 1 A 2 B 2 C 2 S 2 B 1 A 1 C 1 l 1 A 2 B 2 C 2 l 2 Hình 5.1. Biểu diễn đa diện a) b) 3 Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của hình chóp S.ABC. Biết M 1 , N 1 , P 1 , Q 2 , tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.2) Giải: * Tìm M 2 : Ta gắn điểm M vào đường thẳng đi qua đỉnh S, đó là SE và SE’. * Tìm N 1 : Gắn điểm N vào đường thẳng SA * Tìm P 2 : Gắn P vào đường thẳng song song với cạnh đáy của hình chóp. Ví dụ PJ: có P 2 và P’ 2 * Tìm Q 1 , ngược lại: Có thể gắn Q vào đường thẳng qua đỉnh S. Ví dụ SI hoặc gắn vào đường thẳng song song cạnh đáy hình chóp. Lưu ý có một điểm Q’ 1 thuộc đáy chóp. B 1 A 1 C 1 A 2 C 2 S 1 B 2 E ≡E’ 1 N 1 N 2 J 2 J 1 Q 2 P 2 P 1 M’ 2 M 2 E’ 2 E 2 Q 1 Q’ 1 I 2 I 1 M 1 P’ 2 S 2 Hình 5.2. Ví dụ 1: Tìm M 2 , N 2 . P 2 , Q 1 4 Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của lăng trụ. Biết M 1 , N 1 , P 1 , Q 2 , Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.3) Giải: * Tìm M 2 : Ta gắn điểm M vào đường thẳng t song song với cạch bên của lăng trụ. * Tìm N 2 : Gắn điểm N vào đường thẳng a 1 * Tìm P 2 : Gắn P vào đường thẳng s (s//a,b). P∈b ⇒ P 1 ∈b 1 * Tìm Q 1 , ngược lại: gắn Q vào đường thẳng k (k//a,b) B 1 A 1 C 1 A 2 B 2 C 2 N 1 N 2 P 2 P 1 P’ 2 M 2 M’ 2 M 1 G 2 G 1 H 1 H 2 Q 2 Q 1 Q’ 1 E 1 ≡E’ 1 E’ 2 E 2 B’ 2 Chú ý: Ta cũng có thể tìm hình chiếu các điểm bằng cách gắn các điểm vào đường thẳng song song với cạch đáy lăng trụ Hình 5.3. Ví dụ 2: Tìm M 2 , N 2 . P 2 , Q 1 a 1 b 1 k 1 k’ 1 c 1 t 1 k 2 t’ 2 t 2 s’ 2 ≡ s 1 b 2 c 2 a 2 ≡ s 2 5 II- Giao tuyến của mặt phẳng và đa diện Chú ý: - Trong phạm vi chương trình chỉ nghiên cứu đa diện lồi - Giao của một mặt phẳng với một đa diện lồi là một đa giác lồi hay còn gọi là thiết diện. Thiết diện này có: + Các đỉnh của thiết diện là giao điểm của mặt phẳng cắt với các cạnh của đa diện. + Các cạnh của thiết diện là giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của đa diện. 6 Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α 1 ) với hình chóp được cho trên hình vẽ.(Hình 5.4) Giải: - Nhận xét: (α) là mặt phẳng chiếu đứng, do đó ta đã biết hình chiếu đứng của giao tuyến là đoạn 1 1 -2 1 -3 1 . - Tìm hình chiếu bằng của giao tuyến ta đưa về bài toán điểm thuộc hình chóp. - Chú ý: + Đoạn 1 2 4 2 khuất. + Điểm 3 2 , 2’ 2 , 4 2 thẳng hàng, do đó không cần tìm điểm 2’ 2 . B 1 A 1 S 1 3 1 J 1 2 1 B 2 C 1 A 2 C 2 1 1 2’ 2 2 2 J 2 4 2 1 2 3 2 S 2 α 1 Hình 5.4. Ví dụ 1 : Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α 1 ) với hình chóp ≡4 1 7 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(m α , n α ) với lăng trụ chiếu bằng được cho như trên hình 5.5. (Lăng trụ chiếu bằng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng chiếu bằng П 2 ) A 1 B 1 C 1 B 2 C 2 A 2 M 1 M 2 ≡ P 1 N 1 c 1 a 1 b 1 x ≡N 2 ≡P 2 m α n α Π 2 B 2 C 2 A 2 M M 2 ≡ P N c a b ≡N 2 ≡P 2 m α n α Π 1 x Hình 5.5. Ví dụ 2 : Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(m α , n α ) với lăng trụ Giải: - Nhận xét : Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu bằng, do đó ta biết trước hình chiếu bằng của giao tuyến là M 2 N 2 P 2 trùng với A 2 B 2 C 2 . - Tìm M 1 , N 1 , P 1 giải bài toán điểm thuộc mặt phẳng α(mα, nα) - Chú ý: Vì mặt (ac) khuất do đó M 1 P 1 khuất 8 Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(m α , n α ) với lăng trụ xiên được cho như trên hình 5.6. Giải: - Để giải bài toán này ta đưa về tìm giao điểm của (α) với từng cạnh bên của lăng trụ ⇒ đưa về bài toán tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng. (Hình 5.7) x a 1 A 1 2 2 1 2 1 1 g 2 M 1 M 2 a 2 m α n α A 1 B 1 C 1 B 2 C 2 A 2 M 1 M 2 N 1 c 1 a 1 b 1 x N 2 P 2 m α n α c 2 a 2 b 2 P 1 Hình 5.6. Ví dụ 3 :Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với lăng trụ xiên Xét thấy khuất: - M 1 N 1 , N 1 P 1 thấy, M 1 P 1 khuất - M 2 N 2 , N 2 P 2 thấy, M 2 P 2 khuất - Lăng trụ che khuất vết m α , n α Hình 5.7. Bài toán tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng ≡ 2 1 A 2 φ 1 ≡ ≡ g 1 9 A 1 B 1 C 1 B 2 C 2 A 2 K 1 K 2 I 1 I 2 D 2 D 1 Hình 5.7. Ví dụ 1 : Tìm giao điểm của đường thẳng l(l 1 ,l 2 ) với lăng trụ chiếu đứng IV- Giao điểm của đường thẳng với đa diện Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l 1 ,l 2 ) với lăng trụ chiếu đứng được cho như trên hình 5.7. ( Lăng trụ chiếu đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng П 1 ) Giải: Giả thiết lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó ta đã biết trước hình chiếu đứng I 1 , K 1 của giao điểm. Tìm I 2 K 2 : Bài toán điểm thuộc đường thẳng : I 2 , K 2 thuộc l 2 . Chú ý: Nhất thiết các đoạn I 1 K 1 , I 2 K 2 phải khuất. l 1 l 2 10 Ví dụ 2: Tìm giao điểm của đường thẳng chiếu l(l 1 ,l 2 ) với hình chóp được cho trên đồ thức. (Hình 5.8) Giải: - Giả thiết đường thẳng l là đường thẳng chiếu bằng, do đó ta đã biết trước hình chiếu bằng của giao điểm: I 2 ≡ K 2 ≡ l 2 - Tìm K 1 , I 1 : bài toán điểm I , K thuộc các mặt của hình chóp S.ABC B 1 A 1 C 1 A 2 C 2 S 2 B 2 S 1 l 1 l 2 K 1 ≡K 2 ≡I 2 I 1 H 1 G 1 H 2 G 2 Hình 5.8. Ví dụ 2 : Tìm giao điểm của đường thẳng chiếu l(l 1 ,l 2 ) với hình chóp [...]... dụ 3 : Tìm giao điểm của 11 đường thẳng l(l1,l2) với hình chóp V- Giao của hai đa diện Giao của hai đa diện lồi là một hoặc hai đường gấp khúc khép kín - Giao của hai đa diện là một đường gấp khúc khi đa diện này không xuyên qua hết đa diện kia - Giao của hai đa diện là hai đường gấp khúc khi đa diện này xuyên qua hết đa diện kia Chú ý: Các đường gáp khúc này có thể thuộc một mặt phẳng hay không thuộc...S1 Ví dụ 3: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với hình chóp được cho trên đồ thức.(Hình 5.9) Giả thiết đường thẳng l(l1,l2) bất kỳ, đa diện là hình chóp, ta chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến, do đo phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ: (Hình 5.10) - Lấy một mặt phẳng (α) chứa đường thẳng l - Tìm . 1 Bi 5 Đa diện 2 I- Biểu diễn đa diện Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó. Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy hai đa diện Giao của hai đa diện lồi là một hoặc hai đường gấp khúc khép kín. - Giao của hai đa diện là một đường gấp khúc khi đa diện này không xuyên qua hết đa diện kia. - Giao của hai đa. 5 II- Giao tuyến của mặt phẳng và đa diện Chú ý: - Trong phạm vi chương trình chỉ nghiên cứu đa diện lồi - Giao của một mặt phẳng với một đa diện lồi là một đa giác lồi hay còn gọi là thiết