Khai thác bài toán hình học THCS

Tài liệu là những ví dụ hay về những bài toán hình học trong chương trình THCS. Tài liệu được viết theo bố cục của một đề tài SKKN. Với cách trình bày chi tiết, khoa học tài liệu sẽ hữu ích cho các đồng chí giáo viên THCS.

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ môn hình học nói riêng thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ bản dưới nhiều góc độ khác nhau nhiều khi cho ta những kết quả khá thú vị trhong dạy học toán, khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc không kém phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các hoạt động toán học Đây là một hoạt động mà theo tôi, thông qua đó rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo, lòng yêu thích môn học, dạy cho học sinh phương pháp tự học Đó là nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên đứng lớp

Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao đến bài toán khó là một hoạt động không thể thiếu đối với người giáo viên

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là đưa ra một số phương hướng trong việc khai thác một số bài toán hình học trong sách giáo khoa Qua việc khai thác bài toán rèn cho học sinh tư duy sáng tạo, thấy được vai trò của Toán học với thực

tế cuộc sống

3 Thời gian, địa điểm nghiên cứu

Thời gian: Từ tháng 12 năm 2013 đến tháng 12 năm 2014

Địa điểm: Tại trường THCS thị trấn Tiên Yên

4 Đóng góp mới về lí luận, thực tiễn

Qua những bài toán tôi nghiên cứu sẽ là một tư liệu giảng dạy hữu ích cho các đồng nghiệp cùng giảng dạy bộ môn Toán

5 Phương pháp nghiên cứu

Để hoàn thành đề tài trên, tôi chủ yếu dung phương pháp tự đọc các bài

II PHẦN NỘI DUNG

1 Chương 1: TỔNG QUAN

1.1 Cơ sở lí luận

Căn cứ nhiệm vụ trọng tâm năm học 2014 – 2015 của BGD&ĐT tiếp tục đổi mới phương pháp giảng dạy

Căn cứ kế hoạch năm học 2014 – 2015 của trường THCS thị trấn Tiên Yên về phương pháp dạy và học nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn Đa dạng hóa các hình thức học tập, chú trọng các hoạt động trải nghiệm sáng tạo, nghiên cứu khoa học của học sinh

1.2 Cơ sở thực tiễn

Đề tài về khai thác bài toán hình học trong SGK đã được nhiều đồng nghiệp đề cập tới và đăng trên trang webside: giaoan.violet.vn Tôi cũng đã đọc các tài liệu đó để tham khảo nhưng chưa thấy đề tài nào đề cập tới những bài toán mà tôi trình bày trong phần nội dung của đề tài này Đó là cơ sở thực tiễn

để tôi mạnh dạn chọn đề tài để nghiên cứu

2 Chương II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

2.1 Thực trạng

Để có hướng khai thác bài toán hay, đem lại hứng thú học tập cho học sinh đòi hỏi người giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian chuẩn bị cho tiết dạy, phải tìm tòi, suy nghĩ và đọc nhiều tài liệu Đó là lý do khai thác bài toán trong SGK trong giờ lên lớp còn được giáo viên sử dụng tương đối ít, đặc biệt là với những đồng chí chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy

2.2 Đánh giá thực trạng

Để học sinh hứng thú hơn với bài giảng, làm cho bài giảng có chiều sâu về kiến thức, học sinh nhớ kiến thức học được một cách dài lâu không phải tiết dạy nào cũng phải khai thác được kiến thức và vận dụng thực tế Do đó ta cần phối hợp nhiều phương pháp và sử dụng các phương pháp một cách linh hoạt, hợp lý để

2.3 Một số kinh nghiệm khai thác bài toán hình học THCS

Bài 1: ( Bài toán ban đầu ) Cho tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là

trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?

(Bài 48 trang 93 sgk Toán 8 tập 1)

Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác, ta sẽ chứng minh được tứ giác EFGH là hình bình hành

• Bài toán khai thác:

Cho tam giác ABD C là điểm nằm trong tam giác ABD Gọi E,F,G,H thứ tự là trung điểm của AB,BC,CD,DA

Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?

LỜI GIẢI

Xét tam giác ABC có E , F lần lượt là

trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC

nên EF là đường trung bình của tam giác

ABC => EF//AC và EF = 1/2AC

Chứng minh tương tự có: HG//AC và HG

= 1/2AC

Do đo EF//HG và EF = HG nên tứ giác

EFGH là hình bình hành

• Nhận xét: Bài toán ban đầu được thay đổi GT từ tứ giác ABCD

thành tam giác ABD và thay đổi cách chọn các trung điểm ta được bài toán mới

Bài 2: ( Bài toán ban ban đầu )

Cho hình thang ABCD (AB//CD)

M, N lần lượt là trung điểm của các

cạnh bên AD, BC Ta đã có các kết

quả đã được chứng minh như sau:

MN // AB // CD

và MN = 1/2(AB+CD)

• Khai thác bài toán

Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M và N là các trung điểm của các cạnh AD, BC tương ứng Chứng minh rằng nếu MN = 1/2(AB+CD) thì ABCD là hình thang

LỜI GIẢI

Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AD

Ta có MK là đường trung bình của tam giác ACD

MK//CD và MK =

2

1

CD

Ta có: KN là đường trung bình của tam

giác ABD

 KN//AB và KN =

2

1

AB

 MK + KN =

2

1

(AB + CD)

Theo GT thì

2

1

(AB + CD) = MN => MK + KN = MN

Do đó K nằm trên đoạn thẳng MN => AB//KN//MN//CD

Vậy ABCD là hình bình hành

• Nhận xét: Bài toán khai thác chính là bài toán đảo của bài toán ban đầu.Việc làm quen với chứng minh định lý đảo sẽ rèn luyện tư duy logic cho học sinh.

Bài 3: ( Bài toán ban đầu ) Cho hình vẽ Trong

đó ABCD là hình vuông So sánh diện tích của

tứ giác OFCE với diện tích của hình vuông

ABCD

LỜI GIẢI

Ta thấy Tứ giác OFCE là hình vuông Nếu gọi cạnh hình vuông ABCD có độ

dài là a thì SOFCE =

4

2

a => SOFCE =

4

1

SABCD

• Khai thác bài toán:

Cho hình vuông ABCD có tâm đối xứng O, cạnh a Một góc vuông xOy có tia

Ox cắt cạnh AB tại E, tia Oy cắt cạnh BC tại F Tính diện tích tứ giác OEBF

(Bài 43 trang 133 SGK toán 8 tập 1)

LỜI GIẢI

Kẻ OK ⊥ AB và OH ⊥ BC

Vì KOHB là hình vuông nên:

· O · 90 0

K E EOH+ =

Vì EOF 90· = 0nên ·F H EOHO +· = 90 0

Do đó F H·O =K E· O

 Hai tam giác vuông KOE và HOF bằng nhau

 SKOE = SHOF

 Mà SOEBF = SKOHB + SHOF - SKOE = SKOHB = 1

4SABCD

• Nhận xét: bài toán ban đầu là trường hợp đặc biệt của bài toán sau khi khai thác Qua việc giải hai bài toán trên giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn

Bài 4: (Bài toán ban đầu )

Cho một hình chữ nhật và một hình vuông có cùng chu vi Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn ? ( bài 36 trang 129 sgk toán 8 tập 1)

Giả sử hình thoi ABCD và hình vuông MNPQ có cùng cạnh là a

Khi đó : SABCD = a.HB Tam giác CBH là tam giác vuông, cạnh CB là cạnh huyền nên BH < BC => a.BH < a.BC

Mà: a.BC = a.a = a2 = SMNPQ => SABCD < SMNPQ

Vậy bài toán được chứng minh

• Khai thác bài toán:

Cho một hình chữ nhật và một hình vuông có cùng chu vi Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn ?

LỜI GIẢI

Giả sử một hình chữ nhật có chu vi là 2(a+b) và một hình vuông có chu vi là 4c với ( a > b > 0, c > 0) và 2(a+b) = 4c => a + b = 2c

Ta sẽ chứng minh a.b < c2

Thật vậy: a + b = 2c => (a+b)2 = 4c2 => a2 + 2ab + b2 = 4c2

=> a2 – 2ab + b2 = 4c2 – 4ab => (a – b)2 = 4(c2 – ab)

Vì (a – b)2 > 0 do a > b nên c2 > ab

Vậy một hình chữ nhật và một hình vuông có cùng chu vi thì diện tích hình vuông lớn hơn

• Ứng dụng thực tế:

Khi xây dựng các bể chứa nước, nếu cùng một lượng gạch mà ta xây bể hình chữ nhật thì sẽ chứa được ít nước hơn là xây bể hình vuông Nếu với lượng gạch

đó mà xây bể hình lập phương sẽ có thể tích lớn nhất, đựng được nhiều nước nhất

Khi xây chợ, nếu có điều kiện phù hợp về mặt bằng, người ta thường xây chợ hình vuông, không xây hình chữ nhật để vừa tiết kiệm vật liệu vừa tận dụng tối

đa đa diện tích sử dụng Các siêu thị như BiC, Metro ở Hạ Long Chợ Tiên Yên

là những ví dụ điển hình

• Nhận xét: Qua việc giải một bài toán trong SGK, khi ta xem xét bài toán ở trường hợp khác cho ta một lời giải rất hay, củng cố được cả kiến thức

về hình học và đại số Ngoài ra kết quả của bài toán còn cho học sinh thấy được mối liên hệ gần gũi giữa toán học và cuộc sống.

Bài 5: (Bài toán ban đầu): Ta có định lý: Trong một tam giác, ba đường cao

đồng quy

• Khai thác bài toán:

Bài 5.1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A M là một điểm trên đoạn AC

Kẻ CK vuông góc với BM tại K, MH vuông góc với BC tại H HM và CK cắt nhau tại E Chứng minh B, A, E thẳng hàng

LỜI GIẢI

Xét tam giác BMC có: MH và CK là hai đường cao cắt nhau tại E => E là trực tâm của ta giác BMC Vì BA ⊥ MC nên BA là đường cao thứ 3 của tam giác BMC nên BA phải đi qua E Vậy B, A, E thẳng hàng

Bài 5.2: Cho đường nửa đường tròn (O) đường kính BC Gọi A và K là hai

điểm thuộc nửa đường tròn ( A và K không trùng với B, C) Gọi M là giao điểm của AC và BK Gọi H là hình chiếu của M trên BC Chứng minh: MH, KC, AB đồng quy

LỜI GIẢI

Các góc BAC, BKC là các góc vuông vì đều là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn Lại có MH ⊥ BC theo gt

 các đường thẳng MH, KC, AB đều là đường cao của tam giác BMC nên

MH, KC, AB đồng quy

• Nhận xét: Hai bài toán trên đều dựa vào một định lý: trong một tam giác ba đường cao đồng quy Học sinh thường chỉ nhớ định lý trong trường hợp tam giác nhọn khi ba đường cao cắt nhau tại một điểm nằm trong tam giác Với cách khai thác bài toán trên, ngoài việc giúp học sinh rèn luyện sự sáng tạo còn giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về định lý về ba đường cao của một tam giác.

Bài 6: (Bài toán ban đầu)

Ví dụ 1 và Ví dụ 2 trong SGK toán 9 tập 1 trang 73: Tính các tỉ số lượng giác

của góc các góc 450; góc 600

LỜI GIẢI

Tính các tỉ số lượng giác của góc 450

Trong hình vẽ phía trên có

Sin450 = sinB = 2

2 2

AC a

BC = a =

Tương tự tính được các tỉ số lượng giác khác dựa vào tam giác vuông cân ABC

Để tính các tỉ số lượng giác của góc 600 SGK sử

dụng tam giác ABC như hình vẽ dưới

Sin600 = 3 3

2a 2

AC a

số lượng giác khác

• Khai thác bài toán:

Tính cá tỉ số lượng giác của góc α = 15 0 mà không dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số

LỜI GIẢI

Xét tam giác cân ABC cân tại A có AB = 2 và µA= 30 0

Hạ BE ⊥ AC (E thuộc AC)

Trong tam giác vuông ABE cạnh BE đối diện với góc

300 nên BE = AB/2 = 1

Và sử dụng định lý Py – ta – go tính được AE = 3

=> EC= − 2 3

Vì Tam giác EBC vuông nên · 90 0 µ µ 15 0

2

A

Do đó: Tan150 = tan·EBC =EC 2 3

BC = −

Vậy Tan150 = 2 − 3

Với góc nhọn α ta góc:

Sử dụng định lý Py-ta-go tính được: BC= BE2 +EC2 = 8 4 3 − = 2 2 − 3

Do đó:

·

Sin15 sin

2

EC CEB

BC

−

15

2

2 2 3

BE Cos CosCEB

BC

+

−

Nhận xét: Tam giác vuông được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán lượng giác Tuy nhiên một số bài toán liên quan đến tỉ số lượng giác như trên lại được hỗ trợ đắc lực bởi tam giác cân

Bài toán 7 (Bài toán ban đầu)

Cho tam giác cân ACB (AB = AC) Gọi M là trung điểm của đường cao AH, gọi

D là giao điểm của canh AB với đường cao CM Chứng minh D 1.

3

A = AB (SBT Toán 8 )

LỜI GIẢI

Tam giác ABC cân => AB = AC, lại có AH là đường cao => BH = CH

Gọi E là trung điểm của BD, ta có: EH là đường trung bình của tam giác BDC

=> EH // DC

Trong tam giác AEH:

AM = MH, MD // EH => MD là

đường trung bình của tam giác AEH

=> AD = DE

Vậy ta được: AD = DE = EB hay

1

D

3

A = AB

• Khai thác bài toán

Nhận xét 1: Dữ kiện “đường cao AH” được sử dụng để có BH = HC mà

không cần đến điều kiện ·AHC= 90 0 Nếu thay dữ kiện này bởi “trung tuyến AH” thì ta có bài toán mới, khi đó điều kiện tam giác ABC cân không còn cần thiết Ta có:

Bài 7.1: Cho tam giác ABC, trung tuyến AH, gọi M là trung điểm của AH, D là

giao điểm của AB và CM Chứng minh D 1.

3

A = AB

LỜI GIẢI

Tương tự bài toán ban đầu: Ta cũng có EH là đường trung bình của tam giác BCD, DM là đường trung bình của tam giác AEH => BE = ED = DA => đpcm

• Xét bài toán đảo của bài toán 7.1, ta có:

Bài 7.2: Cho tam giác ABC, trung tuyến AH Gọi D là điểm thuộc cạnh AB sao

cho D 1.

3

A = AB Gọi M là giao điểm của CD và AH Chứng minh M là trung

điểm của AH

LỜI GIẢI

Kẻ EH //CD (E AB∈ ), trong tam giác BCD ta có EH là đường trung bình

=> BE = ED

Theo giả thiết D 1.

3

A = AB

=> AB = 3.AD (*)

Mà AD = AB – DB = AB – 2ED thế

vào (*) ta được:

AB = 3(AB – 2ED) => 6ED = 2AB

=> AB = 3ED (**)

Từ (*) và (**) ta được AD = ED

Trong tam giác AEH có AD = ED, DM//EH nên MA = MH

Vậy M là trung điểm của AH

Nhận xét 2: Từ kết quả của bài toán 7.2 trên ta thấy:

+ Nếu lấy điểm D trên AB sao cho D 1.

3

A = AB thì CD đi qua trung điểm của AH

+ Nếu lấy điểm K trên AC sao cho K 1.

3

A = AB thì BK đi qua trung điểm của AH

Từ đó ta có bài toán:

Bài 7.3: Cho tam giác ABC, trung tuyến AH Các điểm D, K theo thứ tự thuộc

các cạnh AB, AC sao cho AD 1 , 1

3AB AK 3AC

= = Chứng minh rằng các đường

thẳng AH, CD, BK đồng quy

LỜI GIẢI

Chọn điểm E là trung điểm của đoạn thẳng BD, điểm Q là trung điểm của đoạn thẳng KQ

Gọi M là giao điểm của AH và BK, ta có: HQ // BK

Xét tam giác AMQ có:

AK = KQ và KM // HQ => M là trung điểm của AH

Chứng minh tương tự ta có CD cũng đi qua trung điểm M của AH

Vậy AH, BK, CD đồng quy

2.4 Kết quả nghiên cứu

Trên cơ sở các ví dụ điển hình đã nêu, trong thực tế tiết dạy còn nhièu bài toán có thể khai thác được sao cho phù hợp với năng lực của học sinh Thông qua việc khai thác bài toán như vậy sẽ rèn cho học sinh các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa…

Kết quả nghiên cứu trên là rất có đối với giáo viên giảng dạy Toán ở trường THCS trong việc dạy học hình học

2.5 Bài học kinh nghiệm

Trong quá trình viết sáng kiến kinh nghiệm trên, tôi đã tìm tòi và học tập được nghiều kinh nghiệm khai thác bài toán cho bản than từ các đồng nghiệp và nhiều nguồn tài liệu khác nhau Cũng có những bài tự bản thân phải thử tìm tòi suy nghĩ hướng khai thác Đó là một trải nghiệm rất bổ ích cho việc tu dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ

PHẦN III: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

1 Kết luận:

Về phương pháp nghiên cứu: Chỉ dựa trên kinh nghiệm của bản thân và một số tài liệu tham khảo nên chắc chắn còn nhiều bài tập với nhiều hướng khai thác hay nữa bản thân tôi chưa thể đề cập tới trong đề tài này

Về nội dung nghiên cứu: Trong chương trình Toán THCS còn nhiều mảng kiến thức, nhiều bài tập có thể khai thác hoặc tích hợp liên môn.Vì phạm vi của

đề tài là khá rộng nên tôi chỉ chọn được một số ví dụ điển hình

2 Kiến nghị

Để các đồng chí giáo viên có thể trao đổi, học hỏi kinh nghiệm trong việc khai thác bài toán hình học THCS, tôi mong muốn được PGD tổ chức một chuyên đề riêng bàn về khai thác bài toán hình học trong năm học sắp tới

Tiên Yên, ngày… tháng … năm 2014

Người viết

NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA NHÀ TRƯỜNG

………

………

………

………

………

………

………

NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA BAN TỔ CHỨC HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………