Tổng hợp các công thức lượng giácCác phương pháp giải phương trình lượng giácCác cách tổng hợp nghiệm của phương trình lượng giácCác lỗi hay gặp khi giải phương trình lượng giácCác dạng toán hay gặp khi giải phương trình lượng giác
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 1 - Chuyên đề CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG 1. Công thức cơ bản • tanx.cot x 1. = • 2 2 sin x cos x 1. + = • 2 2 1 1 tan x cos x + = ⋅ • 2 2 1 1 cot x sin x + = ⋅ 2. Công thức cộng cung • sin(a b) sina.cos b cosa.sin b. ± = ± • cos(a b) cosa.cos b sina.sin b. ± = ∓ • tana tan b tan(a b) 1 tana.tan b + + = ⋅ − • tana tanb tan(a b) 1 tana.tan b − − = ⋅ + 3. Công thức nhân đôi – nhân ba và hạ bậc • 2 2 2 2 cos x sin x cos 2x 2cos x 1 1 2 sin x − = ⋅ − = − • sin2x 2sinx.cosx. = • 3 sin 3x 3sin x 4sin x. = − • 3 cos 3x 4cos x 3cosx. = − • 2 1 cos2x sin x 2 − = ⋅ • 2 1 cos 2x cos x 2 + = ⋅ 4. Công thức biến đổi tổng thành tích • a b a b cosa cosb 2cos cos 2 2 + − + = ⋅ • a b a b cosa cos b 2sin sin 2 2 + − − = − ⋅ • a b a b sina sinb 2sin cos 2 2 + − + = ⋅ • a b a b sina sin b 2cos sin 2 2 + − − = ⋅ • sin(a b) tana tan b cosa.cosb + + = ⋅ • sin(a b) tana tanb cosa.cosb − − = ⋅ 5. Công thức biến đổi tích thành tổng • 1 cosa.cos b cos(a b) cos(a b) . 2 = + + − • 1 sina.cos b sin(a b) sin(a b) . 2 = + + − • 1 sina.sin b cos(a b) cos(a b) 2 = − − + ⋅ 6. Cung góc liên kết • "cos đối – sin bù – phụ chéo" cos đối: cos( ) cos , sin( ) sin , tan( ) tan , cot( ) cot . −α = α −α = − α −α = − α −α = − α sin bù: sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan , cot( ) cot . π − α = α π − α = − α π − α = − α π − α = − α Phụ chéo: sin cos , cos sin , tan cot , cot tan . 2 2 2 2 π π π π − α = α − α = α − α = α −α = α • "Hơn kém nhau 2 π chỉ có sin cos = " sin x cos x, cos x sin x, tan x cot x, cot x tan x. 2 2 2 2 π π π π + = + = − + = − + = − • "Bỏ chẵn lần pi của sin và cos thì không thay đổi": sin(x k2 ) sin x, cos(x k2 ) cos x. + π = + π = • "Bỏ lẻ lần pi của sin và cos thì cộng thành trừ": sin[x ( k2 )] sinx cos(x k2 ) cosx + π + π = − ⋅ + π + π = − Đặc biệt đối với tan, cot thì: tan(x k ) tan x, cot(x k ) cot x. + π = + π = 7. Một số công thức khác thường được sử dụng • sin x cosx 2 sin x 2 cos x 4 4 π π + = + = − ⋅ • sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4 π π − = − = − + ⋅ • 4 4 2 1 3 1.cos4x sin x cos x 1 sin 2x 2 4 + + = − = ⋅ • 6 6 2 3 5 3.cos4x sin x cos x 1 sin 2x 4 8 + + = − = ⋅ PHƯƠNG TR ÌNH L Ư Ợ NG GIÁC 2 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 2 - Đường tròn lượng giác - 3 -1 - 3 /3 (Ñieåm goác) t t' y y' x x' u u' - 3 -1 - 3 /3 1 1 -1 -1 -π ππ π /2 π ππ π 5 π /6 3π/4 2 π /3 -π/6 -π/4 -π/3 -1/2 - 2 /2 - 3 /2 -1/2- 2 /2- 3 /2 3 /2 2 /2 1/2 3 /2 2 /2 1/2 A π/3 π/4 π/6 3 /3 3 B π ππ π /2 3 /3 1 3 O Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π 5 6 π π 2 π sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 0 cos α 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − 3 2 − 1 − 1 tan α 0 3 3 1 3 kxđ 3 − 1 − 3 3 − 0 0 cot α kxđ 3 1 3 3 0 3 3 − 1 − 3 − kxđ kxđ Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M(cosα, sinα) www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 3 - BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I. Phương trình lượng giác cơ bản a b k2 sina sin b a b k2 = + π = ⇔ = π − + π sin x 0 x k sin x 1 x k2 2 sin x 1 x k2 2 = ⇒ = π π → = ⇒ = + π π = − ⇒ = − + π a b k2 cosa cosb a b k2 = + π = ⇔ = − + π cos x 1 x k2 cos x 0 x k 2 cos x 1 x k2 = ⇒ = π π → = ⇒ = + π = − ⇒ = π + π tan a tan b a b k = ⇔ = + π tan x 0 x k tan x 1 x k 4 = ⇔ = π → π = ± ⇔ = ± + π cot a cot b a b k = ⇔ = + π cot x 0 x k 2 cot x 1 x k 4 π = ⇔ = + π → π = ± ⇔ = ± + π II. Loại nghiệm hoặc kết hợp tập nghiệm Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cotan, có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. Phương trình chứa tan x, điều kiện: cosx 0 x k , (k ). 2 π ≠ ⇔ ≠ + π ∈ ℤ Phương trình chứa cot x, điều kiện: sin x 0 x k , (k ). ≠ ⇔ ≠ π ∈ ℤ Phương trình chứa tan x và cot x, điều kiện: k sin 2x 0 x , (k ). 2 π ≠ ⇔ ≠ ∈ ℤ Khi giải xong, cần so với điều kiện, ta có các phương pháp sau: 1. Khai thác triệt để điều kiện, kết hợp loại nghiệm trong quá trình giải Nghĩa là áp dụng công thức lượng giác cơ bản, nhân đôi,… để liệt kê các trường hợp điều kiện và luôn so sánh trong quá trình giải, chẳng hạn ta có: Điều kiện: 2 2 do: snhâ in 2x cos 2x n 1 sina 0 sin 2x 0 cos 2x 1 cosa 0 + = ≠ → ≠ → ≠ ± ≠ … VD 1. Giải: sin 2x 3tan2x sin4x 2. tan 2x sin 2x + + = − ĐS: x k , (k ). 3 π = ± + π ∈ ℤ VD 2. Giải: 2 1 2sin x x 1 cosx 2tanx.sin cos x 2 2 − π + − = + ⋅ ĐS: x k , (k ). 4 π = − + π ∈ ℤ VD 3. Giải: 2 cos2x cot x sin 2x cosx = − ⋅ ĐS: 5 x k2 , x k2 , (k ). 6 6 π π = + π = + π ∈ ℤ VD 4. Giải: 2 4 sin 2x cos 2x 1 0. sin x.cos x + − = ĐS: x k , (k ). 4 π = + π ∈ ℤ Bài tập rèn luyện tương tự BT 1. Giải: 1 1 3cosx cos2x (cot x cot 2x)sin(x ) − + = ⋅ − − π ĐS: x k2 , (k ). 3 π = ± + π ∈ ℤ BT 2. Giải: 2(1 sinx cos2x)sin x 4 cosx. 1 tan x π + + + = + ĐS: 7 x k2 , x k2 . 6 6 π π = − + π = + π www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 4 - BT 3. Giải: 1 1 2 cos x sin 2x sin 4x + = ⋅ ĐS: 5 x k2 , x k2 , (k ). 6 6 π π = + π = + π ∈ ℤ 2. Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác để loại hoặc kết hợp tập nghiệm Để biết tập nghiệm có mấy ngọn cung nghiệm (điểm) khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, cần nắm vững nguyên tắc: "Tập nghiệm k2 x n π = α + sẽ có n điểm trên đường tròn lượng giác cách đều nhau". Chẳng hạn: x k = π + π thì ta sẽ biến đổi k2 x n 2 π = π + ⇒ = điểm trên đường tròn lượng giác. Để biết 2 điểm này là bao nhiêu, xuất phát từ k 0 x , = ⇒ = π tôi thường viết 0 M ( ) π và k 1 x 2 = ⇒ = π hay viết 1 M (2 ). π Đã đủ hai điểm cách đều và sẽ ngưng. Để vận dụng loại nghiệm trên đường tròn lượng giác, cần: biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm trên cùng một đường tròn lượng giác. Sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện và từ đó ghi lại tập nghiệm mới. VD 5. Giải: 2 4sin x 1 cot 2x 1 cos4x + = − ĐS: ( ) k x , k . 4 2 π π = + ∈ ℤ VD 6. Giải: 6 6 1 (sin x cos x) 3 cosx. sin x 2 − + = ĐS: ( ) x k , x k , k . 4 2 π π = + π = + π ∈ ℤ VD 7. Giải: 2 (2sinx 1)(3cos4x 2sinx) 4cos x 1 8. 1 sinx + + + + = + ĐS: k2 x k , x , (k ). 2 3 π π = π = + ∈ ℤ VD 8. Giải: sin x sin 2x sin3x 3. cos x cos 2x cos 3x + + = + + ĐS: x k , x k2 , (k ). 6 3 π π = + π = − + π ∈ ℤ Bài tập rèn luyện tương tự BT 4. Giải: 3 3 sin x 2cosx 2 cosx. 2sin x 1 − + = − ĐS: 7 x k2 , x k2 , (k ). 6 6 π π = − + π = + π ∈ ℤ BT 5. Giải: cot x cos 2x sin x sin 2x cos x.cot x. + + = + ĐS: x k , x k2 , (k ). 4 2 π π = + π = − + π ∈ ℤ BT 6. Giải: 1 2sin x 2sin2x 2cosx cos2x 3(1 cos x). 2sin x 1 − − + = − + − ĐS: x k2 , x k2 , (k ). 6 π = π + π = − + π ∈ ℤ 3. Thử trực tiếp tập nghiệm vào điều kiện hoặc xét mệnh đề đối lập Với loại này ta không giải điều kiện, khi giải xong thay thế tập nghiệm vào điều kiện. Nếu đúng thì nhận, nếu sai thì loại tập nghiệm và kiến thức chủ yếu trong phương pháp này là cung góc liên kết. VD 9. Giải: sin 2x 2cosx sinx 1 0. tanx 3 + − − = + ĐS: x k2 , (k ). 3 π = + π ∈ ℤ VD 10. Giải: ( ) 6 6 2 cos x sin x sinxcosx 0. 2 2sinx + − = − ĐS: 5 x m2 , (m ). 4 π = + π ∈ ℤ VD 11. 2 sinxsin2x 2sinxcos x sin x cosx 6 cos2x. cos x 4 + + + = π − ĐS: x k , (k ). 12 π = + π ∈ ℤ VD 12. Giải: 2 1 sin2x cos2x 2 sin xsin2x. 1 cot x + + = + ĐS: x k , x k2 , (k ). 2 4 π π = + π = + π ∈ ℤ VD 13. Giải: 1 3sinx 2cosx 3(1 tanx) cosx + = + − ⋅ ĐS: 13 x k2 , x arccos k2 . 13 = π = α ± + π VD 14. Giải: 5 sin 4x sin xsin3x cos 3xcos x 2 0 sin x π + − − = ĐS: 2 x m , x m , (k ). 3 3 π π = + π = + π ∈ ℤ www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 5 - Bài tập rèn luyện tương tự BT 7. Giải: 4 4 sin x cos x 1 (tanx cot 2x). sin 2x 2 + = + ĐS: k x , (k ). 4 2 π π = + ∈ ℤ BT 8. Giải: cos 3x tan 5x sin7x. = ĐS: k x m , x , (m,k ). 2 20 10 π π π = + π = + ∈ ℤ BT 9. 2 2 2 2 (1 cosx) (1 cos x) 1 sinx tan xsin x tan x 4(1 sinx) 2 − + + + − = + − ĐS: k x , (k ). 4 2 π π = + ∈ ℤ BT 10. Giải: 1 2tanx cot2x 2sin2x sin2x + = + ⋅ ĐS: x k , (k ). 3 π = ± + π ∈ ℤ BT 11. Giải: 2 tan x tan x tan 3x 2. + = ĐS: k x , (k ). 4 2 π π = + ∈ ℤ III. Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác 1. Sử dụng thành thạo cung liên kết Xem lại các công thức cung liên kết. VD 15. Giải: 2 sin 5x 2cos x 1 + = (B 2013) ĐS: k2 k2 x , x , (k ). 6 3 14 7 π π π π = − + = + ∈ ℤ VD 16. Giải: 2 sin(2014 4x) cos 2x cos(2015 2x) 0 2 π + − − π − = ĐS: k x , x k , (k ). 4 2 2 π π π = + = − + π ∈ ℤ VD 17. Giải: cos 2xcosx cosx sin 2xsinx + = ĐS: k x , x k , (k ). 4 2 2 π π π = + = − + π ∈ ℤ VD 18. Giải: 2cos5x.cos3x sin x cos8x + = ĐS: k2 x k2 , x , (k ). 2 6 3 π π π = + π = − + ∈ ℤ VD 19. Giải: 1 cosxcos 2xcos 3x sin x sin 2xsin 3x 2 − = ĐS: k k x ,x ,x k . 8 2 12 3 4 π π π π π = − + = + = − + π Bài tập rèn luyện tương tự BT 12. Giải: 5 2 2 cos x sin x 1. 12 π − = ĐS: 3 x k , x k , (k ). 6 4 π π = + π = + π ∈ ℤ BT 13. Giải: 2 tan 3x 2tan 3x.tan 4x 1 0. + − = ĐS: k x , (k ). 4 2 π π = + ∈ ℤ BT 14. Giải: 2 2sin 3x(1 4sin x) 1. − = ĐS: k2 k2 x , x , (k ). 14 7 10 5 π π π π = + = + ∈ ℤ BT 15. Giải: 2 2 2cos 2x cos 2xsin 3x 3sin 2x 3. + + = ĐS: k k2 x , x , x k2 . 4 2 10 5 2 π π π π π = + = + = + π BT 16. Giải: 1 1 (sin x cosx) sin2x 1 2 (1 cot x). 2 1 tan x 4 + − + = + π + − ĐS: 17 x k2 , x k2 , (k ). 12 12 π π = + π = + π ∈ ℤ 2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tổng thành tích ● a b a b cosa cos b 2cos cos 2 2 + − + = ⋅ ⋅ ● a b a b sin a sin b 2sin cos 2 2 + − + = ⋅ ⋅ ● a b a b cosa cos b 2 sin sin 2 2 + − − = − ⋅ ⋅ ● a b a b sin a sin b 2 cos sin 2 2 + − − = ⋅ ⋅ ● sin(a b) tana tan b cosa.cos b + + = ⋅ ● sin(a b) tana tan b cosa.cosb − − = ⋅ Khi áp dụng tổng thành tích thì được hai cung mới: a b a b ; 2 2 + − ⋅ Trước khi áp dụng, nên nhẩm hai cung mới này trước để nhóm hạng tử thích hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung (cùng cung) với hạng tử còn lại hoặc cụm ghép khác. www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 6 - VD 20. Giải: tanx tan 2x tan3x tan6x. + + = ĐS: k x k , x , (k ). 3 5 π π = ± + π = ∈ ℤ VD 21. Giải: sin3x cos2x sinx 0 + − = (D – 2013) ĐS: k 7 x , x k2 , x k2 . 4 2 6 6 π π π π = + = − + π = + π VD 22. Giải: sinx sin2x sin 3x 1 cosx cos2x. + + = + + ĐS: 2 k2 x k2 ; ; k2 3 6 3 2 π π π π ∈ ± + π + − + π ⋅ VD 23. Giải: sin3x sin 2x sin x 1 cos3x cos2x cosx + + + = + − ĐS: k2 x k , x , x k2 . 4 3 π π = − + π = = π + π VD 24. Giải: cos3x 2sin 2x cosx sin x 1 0 − − − − = ĐS: 7 x k2 , x k , x k . 2 12 12 π π π = − + π = − + π = + π VD 25. Giải: 4sin3x sin5x 2sinxcos2x 0 + − = ĐS: k x , (k ). 3 π = ∈ ℤ Bài tập rèn luyện tương tự BT 17. Giải: sin5x sin 3x 2cosx 1 sin 4x. + + = + ĐS: k x , x k2 , (k ). 8 2 3 π π π = − + = ± + π ∈ ℤ BT 18. Giải: cos2x sin3x cos5x sin10x cos8x. − + = + ĐS: k2 k2 k x ; ; ; k 30 5 6 5 16 4 4 π π π π π π π ∈ + + + − + π ⋅ BT 19. Giải: sinx sin2x sin 3x cosx cos2x cos3x. + + = + + ĐS: 2 k x k2 , x , (k ). 3 8 2 π π π = ± + π = + ∈ ℤ BT 20. Giải: 1 sinx cos3x cos x sin 2x cos2x. + + = + + ĐS: 7 x k2 ;k ; k2 ; k2 3 6 6 π π π ∈ ± + π π − + π + π ⋅ BT 21. Giải: cosxcos3x sin 2xsin6x sin 4xsin6x 0. − − = ĐS: k x , x k , (k ). 18 9 π π = + = π ∈ ℤ 3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn ● 2 1 1 sin cos2 . 2 2 α = − α ● 2 1 1 cos cos 2 . 2 2 α = + α – Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số 1 2 và cung góc tăng gấp đôi. – Hạ bậc để triệt tiêu hằng số không mong muốn và nhóm hạng tử thích hợp để sau khi áp dụng công thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài toán đơn giản hơn. VD 26. Giải: 2 2 2 2 3 cos x cos 2x cos 3x cos 4x 2 + + + = ĐS: k k 2 x ,x ,x k . 8 4 5 5 π π π π = + = ± + π = ± + π VD 27. Giải: 2 2 5x 9x cos 3x sin7x 2sin 2cos 4 2 2 π + = + − ĐS: k k x , x k , x 12 6 4 8 2 π π π π π = + = + π = − + ⋅ VD 28. Giải: 2 2 2 7 cos x cos 2x cos 3x 3 4 π + + − = ĐS: k k k x , x , x 6 3 6 2 12 2 π π π π π π = + = − + = − + ⋅ VD 29. Giải: 2 2 2 2 3 3sin xcos x sin x cos x sin xcos x 3sin xcosx 2 2 π π + − + = − ĐS: x k ; k 4 6 π π ∈ − + π ± + π Bài tập rèn luyện tương tự BT 22. Giải: 2 2 sin 4x cos 6x sin 10x , x 0; 2 2 π π − = + ∀ ∈ ⋅ ĐS: 3 7 9 x ; ; ; ; 20 20 4 20 20 π π π π π ∈ ⋅ BT 23. Giải: 2 2 2 2 cos x cos 2x cos 3x cos 4x 2. + + + = ĐS: k k x k , x , x 2 4 2 10 5 π π π π π = + π = + = + ⋅ BT 24. Giải: 2 2 2 2 sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x. − = − ĐS: k k x , x , (k ). 2 9 π π = = ∈ ℤ BT 25. Giải: 2 2 2 tan x sin 2x 4 cos x. + = ĐS: x k , (k ). 4 π = ± + π ∈ ℤ BT 26. Giải: 2 2 2 2cos x 2cos 2x 2cos 3x 3 cos4x(2sin 2x 1). + + − = + ĐS: k x , (k ). 8 2 π π = + ∈ ℤ www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 7 - BT 27. Giải: 2 2 x 3 4sin 3 cos2x 1 2cos x 2 4 π − = + − ⋅ ĐS: 5 k2 7 x , x k2 . 18 3 6 π π π = + = − + π BT 28. Giải: 2 2 cos 3x.cos2x cos x 0. − = ĐS: k x , (k ). 2 π = ∈ ℤ BT 29. Giải: 2 tan x tan x 2. cot 3x − = ĐS: k x , (k ). 4 2 π π = + ∈ ℤ BT 30. Giải: 2 1 cos 4x sin2x sin6x. cos x sin2x − = + ĐS: 5 x k2 , x k2 , (k ). 6 6 π π = + π = + π ∈ ℤ 4. Xác định lượng nhân tử chung để đưa về phương trình tích số Đa số đề thi thường là những phương trình đưa về tích số. Do đó, trước khi giải ta phải quan sát xem chúng có những lượng nhân tử chung nào, sau đó định hướng để tách, ghép, nhóm phù hợp. Hiển nhiên là phải thành thạo công thức lượng giác. Một số lượng nhân tử thường gặp: – Các biểu thức có nhân tử chung với cosx sinx + thường gặp là: 3 3 4 4 1 sin 2x; cos2x; 1 tan x; 1 cot x; sin 3x cos3x; cos x sin x; cos x sin x; + + + − + − … – Các biểu thức có nhân tử chung với cosx sin x − thường gặp là: 3 3 4 4 1 sin2x; cos 2x; 1 tan x; 1 cot x; sin 3x cos3x; cos x sin x;cos x sin x; 1 cos 2x sin 2x; − − − + − − + − … – Từ 2 2 sin x cos x 1 + = và nhìn nhận với góc độ hằng đẳng thức số 3, ta có: + 2 2 sin x; tan x có nhân tử chung là: 2 (1 cosx)(1 cosx) 1 cos x. − + = − + 2 2 cos x; cot x có nhân tử chung là: 2 (1 sin x)(1 sin x) 1 sin x. − + = − – 2 1 2 f(X) aX bX c a(X X )(X X ) = + + = − − với X có thể là sin x,cosx, … và 1 2 X ,X là 2 nghiệm của f(X) 0. = VD 30. Giải: sin x 4cosx 2 sin 2 x + = + (A, A 1 – 2014) ĐS: x k2 , (k ). 3 π = ± + π ∈ ℤ VD 31. Giải: 2(sinx 2cosx) 2 sin2x − = − (B – 2014) ĐS: 3 x k2 , (k ). 4 π = ± + π ∈ ℤ VD 32. Giải: 2 (tan x 1)sin x cos 2x 0 + + = ĐS: x k , (k ). 4 π = − + π ∈ ℤ VD 33. Giải: 2 (2cos x 1)(sin 2x 2 sin x 2) 4cos x 1 + + − = − ĐS: 2 x k2 , x k , (k ). 3 4 π π = ± + π = + π ∈ ℤ VD 34. Giải: 1 cos 2x 2 cos x 1 cot x 4 sin x π + − ⋅ = + ĐS: k x , (k ). 4 2 π π = + ∈ ℤ VD 35. Giải: 3 3 2sin x sin x 2cos x cosx cos2x − = − + ĐS: k x , x k2 , x k2 . 4 2 2 π π π = + = − + π = π + π VD 36. Giải: 8 8 10 10 5 sin x cos x 2(sin x cos x) cos 2x 4 + = + + ĐS: k x , (k ). 4 2 π π = + ∈ ℤ VD 37. Giải: 3 2sin x cos2x cosx 0 + + = ĐS: x k2 , x k , (k ). 4 π = π + π = − + π ∈ ℤ VD 38. ( ) 3 3 x x x x 2 2 sin cos cos 2 sin x cos 2 2 2 2 4 π − = + + ĐS: 4 x k2 , x k4 , (k ). 2 3 π π = + π = ± + π ∈ ℤ VD 39. Giải: 1 3 sin 2x tanx cos2x 2 2 + = − ĐS: 5 x k , x k , x k . 4 12 12 π π π = + π = + π = + π VD 40. Giải: 2 2 sin x(4cos x 1) cos x(sin x cos x sin 3x) − = + − ĐS: k k x , x , (k ). 4 2 8 2 π π π π = + = + ∈ ℤ Bài tập rèn luyện tương tự BT 31. Giải: sin x(1 cos 2x) sin 2x 1 cos x. + + = + ĐS: x k2 , x k , (k ). 4 π = π + π = + π ∈ ℤ BT 32. Giải: tan x cot x 2(sin 2x cos 2x). + = + ĐS: k k x , x , (k ). 4 2 8 2 π π π π = + = + ∈ ℤ BT 33. Giải: 2 2 (1 sin x)cosx (1 cos x)sin x 1 sin 2x. + + + = + ĐS: x k , x k2 , x k2 . 4 2 π π = − + π = + π = π www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 8 - BT 34. Giải: 2 (2sin x 1)(2cos 2x 2 sin x 1) 3 4cos x. − + + = − ĐS: 5 x k2 , x k2 , x k . 6 6 4 π π π = + π = + π = + π BT 35. Giải: 7 cos 2x 3sin 2x 5 2 sin x 3. 4 π − + − = ĐS: x k , (k ). 4 π = − + π ∈ ℤ BT 36. Giải: 2 (cos x 1)(cos2x 2cosx) 2sin x 0. + + + = ĐS: x k2 , (k ). = π + π ∈ ℤ BT 37. Giải: (2cosx 1)(2sin x cos x) sin 2x sin x. − + = − ĐS: x k2 , x k , (k ). 3 4 π π = ± + π = − + π ∈ ℤ BT 38. Giải: 2 4sin2xsin x 2sin2x 2sinx 4 4cos x. + − = − ĐS: 7 k2 x k2 ; k2 ; k2 ; 6 6 3 3 π π π π ∈ − + π + π π + ⋅ BT 39. Giải: 3 3 x x 1 3sin 3cos 2 cos x sin 2x. 2 2 2 − = + ĐS: x k2 , (k ). 2 π = + π ∈ ℤ BT 40. Giải: 2cosxcos2xcos 3x 5 7 cos2x. + = ĐS: x k , (k ). = π ∈ ℤ BT 41. Giải: 3 3 5 5 sin x cos x 2(sin x cos x). + = + ĐS: k x , (k ). 4 2 π π = + ∈ ℤ BT 42. Giải: sin x 3tanx sin2x 2. tan x sin x + + = − ĐS: 2 x k2 , (k ). 3 π = ± + π ∈ ℤ BT 43. 1 1 sin x sin2x (1 cot x) 1 tan x 4 2 4 π π + − + = + + − ⋅ ĐS: 17 x k2 , x k2 , (k ). 12 12 π π = + π = + π ∈ ℤ BT 44. Giải: 2 cos x(cosx 1) 2(1 sinx). sin x cosx − = + + ĐS: x k2 , x k2 , (k ). 2 π = − + π = π + π ∈ ℤ BT 45. Giải: 2 2sin x sin 2x sin x cos x 1 0. − + + − = ĐS: 5 3 x k2 ; k2 ;k2 ; k2 6 6 2 π π π ∈ + π + π π + π ⋅ BT 46. Giải: cosx tanx 1 tanxsin x. + = + ĐS: x k , x k2 , (k ). 4 π = + π = π ∈ ℤ BT 47. 2 2 2 (sinx cos x) 2sin x 1 sin x sin 3x 4 4 1 cot x 2 + − π π = − − − + ĐS: k x k , x , (k ). 2 8 2 π π π = + π = − + ∈ ℤ BT 48. Giải: 2 2 2 tan x tan x sin x 2 4 tan x 1 π + + = ⋅ + ĐS: 5 x k , x k2 , x k2 . 4 6 6 π π π = − + π = + π = + π BT 49. Giải: 1 2 sin 2x cosx cos 3x. 4 π + + = + ĐS: x k , x k , x k2 . 2 4 π π = + π = − + π = π BT 50. Giải: 2cosx 2sin2x 2sinx 1 cos 2x 3(1 sin x) 2cosx 1 + − − + + = − ĐS: 2 x k2 , x k2 , (k ). 2 3 π π = − + π = + π ∈ ℤ BT 51. Giải: tanx sin 2x 2cot 2x. = − ĐS: k x , (k ). 4 2 π π = + ∈ ℤ BT 52. Giải: sin 2x cos x 2 sin x 1 0. 4 π + − − − = ĐS: x k2 , x k2 , (k ). 2 3 π π = − + π = ± + π ∈ ℤ BT 53. Giải: 2 (tan x 1)sin x cos 2x 2 3(cos x sin x)sinx. + + + = + ĐS: x k2 , x k , (k ). 4 3 π π = + π = ± + π ∈ ℤ BT 54. Giải: sin 2x cos 2x 2 sin x 0. − − = ĐS: 5 k2 x k2 , x , (k ). 4 12 3 π π π = + π = + ∈ ℤ BT 55. Giải: ( ) 5cosx sinx 3 2 sin 2x , x 0; 4 π + − = + ∀ ∈ π ĐS: x 3 π = ⋅ BT 56. Giải: 2 x 2sinxcos sin xcos2x cos2x 2 cos x 2 4 π + = + − ĐS: k2 x k2 , x , x k2 . 2 3 3 π π π = + π = + = −π + π BT 57. Giải: 2 tan 2x cot x 8cos x + = . ĐS: k 5 k x k , x , x 2 24 2 24 2 π π π π π = + π = + = + ⋅ BT 58. Giải: 2 sin 2x 2sinx 1 4 π − = − . ĐS: x k , x k2 , (k ). 2 π = π = + π ∈ ℤ www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 9 - BT 59. Giải: 2 2 3 (tan x 1)sin x 3cos x sin 2x 0. 2 − + − = ĐS: x k , x k , (k ). 4 3 π π = + π = ± + π ∈ ℤ BT 60. Giải: (1 cos x)cot x cos 2x sin x sin2x. − + + = ĐS: k x , x k2 , (k ). 4 2 2 π π π = + = + π ∈ ℤ BT 61. Giải: 3 3 2 sin x cos x 3sin x 4sin x cosx 2 0. − + + − + = ĐS: x k2 , x k2 , (k ). 2 π = π = − + π ∈ ℤ BT 62. Giải: 2 2 x x x 1 sin sin x cos sin x 2cos 2 2 4 2 π + − = − ⋅ ĐS: x k , (k ). = π ∈ ℤ BT 63. Giải: sin x 1 cot x 2. 1 cosx 1 cos x + + = + − ĐS: x k , x k2 , (k ). 4 2 π π = − + π = + π ∈ ℤ BT 64. Giải: 1 sin 2x 2 sin x 1 tan x. 4 cos x π + − ⋅ = + ĐS: x k , x k , (k ). 4 π = − + π = π ∈ ℤ BT 65. Giải: 3 sinx tan x 2. 2 1 cosx π − + = + ĐS: 5 x k2 , x k2 , (k ). 6 6 π π = + π = + π ∈ ℤ BT 66. Giải: (sin 2x sin x 4)cosx 2 0. 2sin x 3 − + − = + ĐS: x k2 , (k ). 3 π = + π ∈ ℤ BT 67. Giải: 2 2 2 1 1 15cos4x 2cot x 1 2tan x 1 8 sin 2x + = ⋅ + + + ĐS: k x , (k ). 12 2 π π = ± + ∈ ℤ BT 68. Giải: 3sin 3x 2 sin x(3 8cosx) 3cosx. + + − = ĐS: 5 x k , x k , (k ). 12 12 π π = + π = + π ∈ ℤ BT 69. Giải: 2sin x(2cos 2x 1 sin x) cos2x 2. + + = + ĐS: 5 x k , x k2 , x k2 . 3 6 6 π π π = ± + π = + π = + π BT 70. 2 sin x cos x 6 3 1 x cos x sin xtan cosx 2 cos x π π − + − − = + ⋅ ĐS: x k2 , x k , (k ). 3 π = π = + π ∈ ℤ BT 71. Giải: sinx cosx cos3x 2 sin 2x 1. tanx 1 4 − π + = − − − ĐS: x k , (k ). 4 π = − + π ∈ ℤ BT 72. Giải: (2sin x 1)(cos2x sin x 1) 3 2cosx. 3 sin x sin 2x − + + = + − ĐS: 5 k x k2 , x , (k ). 6 4 2 π π π = + π = + ∈ ℤ BT 73. Giải: 3 x x sin x 4cos sin sin x. 2 3 2 3 2 π π + − = + − ĐS: 4 x k2 , x k2 , (k ). 3 π = π + π = + π ∈ ℤ BT 74. Giải: 2 cos7x 2sin x 5sin x + = ĐS: k2 k2 x k , x , x , (k ). 5 7 7 π π π = π = = + ∈ ℤ BT 75. Giải: 2 tan x .sin 3x sin x cos x 4 π + = + ĐS: k 3 x k , x , x k . 4 16 2 8 π π π π = − + π = + = + π BT 76. Giải: 8sin x tan x cot x 4cot 2x 6 π + + + = ĐS: k2 5 x k2 ,x ,x k2 . 6 18 3 6 π π π π = − + π = + = + π www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 10 - BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Có khoảng 80% đề thi với câu giải phương trình lượng giác phải đưa về tích số. Do đó, ta cần nắm vững các phép biến đổi lượng giác, công thức lượng giác, các kỹ thuật tách, ghép, đặt thừa số chung,… để đưa về phương trình tích dạng: A.B 0 A 0 = ⇔ = hoặc B 0 = với A, B có thể là: ♦ Phương trình lượng giác cơ bản (đã tìm hiểu ở bài 1). ♦ Phương trình lượng giác bậc hai hoặc bậc cao theo một hàm lượng giác. ♦ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (phương trình cổ điển): a.sin x b.cosx c. + = ♦ Phương trình lượng giác đối xứng (nửa đối xứng): a(sin x cosx) b.sin 2x c 0. ± + + = ♦ Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc hai, bậc ba, bậc bốn). I. Phương trình bậc hai và bậc cao Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác với cung góc giống nhau, chẳng hạn: D ạng Đ ặt ẩn phụ Đi ều kiện 2 asin x bsin x c 0 + + = t sinx = 1 t 1 − ≤ ≤ 2 acos x bcosx c 0 + + = t cos x = 1 t 1 − ≤ ≤ 2 a tan x btanx c 0 + + = t tanx = x k 2 π ≠ + π 2 acot x bcot x c 0 + + = t cotx = x k ≠ π Nếu đặt 2 t sin x = hay 2 t cos x = hoặc t sin x = hay t cos x = thì điều kiện lúc này là 0 t 1 ≤ ≤ . VD 1. Giải: 5 5cos 2x 4 sin x 9 3 6 π π + = − − ĐS: x k2 , (k ). 3 π = + π ∈ ℤ VD 2. Giải: cos 2x 3 sin 2x 3 sin x cosx 4 0 − − − + = ĐS: x k2 , (k ). 3 π = + π ∈ ℤ VD 3. Giải: 2 3 2tan x 2 3tan2x 4cos x 2 cos 2x 1 tanx − − − + = + ĐS: 7 x k , x k , (k ). 12 12 π π = − + π = + π ∈ ℤ VD 4. Giải: 2 2cos x 3cosx 2cos3x 4sin xsin2x + − = ĐS: 2 x k2 , x k2 , (k ). 3 π = ± + π = π + π ∈ ℤ VD 5. Giải: 2 (2 tan x 1)cos x 2 cos 2x − = − ĐS: x k2 , x k2 , (k ). 3 π = π + π = ± + π ∈ ℤ VD 6. Giải: 2 3 2 2 cos x cos x 1 cos 2x tan x cos x + − − = ĐS: k2 x , (k ). 3 π = ∈ ℤ VD 7. Giải: 2 5 5sin x 3(1 cosx)cot x 2 2 π − − − = ĐS: x k2 , (k ). 3 π = ± + π ∈ ℤ VD 8. Giải: 2 4sinx 3 2(1 sin x)tan x + = − ĐS: 7 x k2 , x k2 , (k ). 6 6 π π = − + π = + π ∈ ℤ VD 9. Giải: 2 3 3sin x 2 sinx 3 3 2sin x 0 cot x + − + − = ĐS: 2 x k2 , (k ). 3 π = ± + π ∈ ℤ VD 10. Giải: 2 3 4 2 2 3sin x 7sin x 2 sin x 1 sin 3x cot x sin x − + + + = ĐS: 5 x k2 , x k2 , x k2 . 2 6 6 π π π = + π = + π = + π VD 11. Giải: 2 3 x tan x 2 3 sin x 1 tanx tan 2 cos x − − = + ĐS: x k , x k , (k ). 3 6 π π = + π = − + π ∈ ℤ VD 12. Giải: 3 2 2sin x 3 (3sin x 2sin x 3)tan x − = + − ĐS: ( ) 2 x k2 , k . 3 π = ± + π ∈ ℤ VD 13. Giải: 2 2 3cot x 2 2 sin x (2 3 2)cosx + = + ĐS: ( ) x k2 , x k2 , k . 4 3 π π = ± + π = ± + π ∈ ℤ VD 14. Giải: 3 2 6 4 3sinx sin x 3cos x cos x + + = + ĐS: x k , x k2 , (k ). 2 π = π = − + π ∈ ℤ www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com . x cos x 1 sin 2x 4 8 + + = − = ⋅ PHƯƠNG TR ÌNH L Ư Ợ NG GIÁC 2 www .MATHVN. com - Toán Học Việt Nam DeThiThuDaiHoc .com TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT. Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M(cosα, sinα) www .MATHVN. com - Toán Học Việt Nam DeThiThuDaiHoc .com TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT. π + + + = + ĐS: 7 x k2 , x k2 . 6 6 π π = − + π = + π www .MATHVN. com - Toán Học Việt Nam DeThiThuDaiHoc .com TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT