Phương trình lượng giác cơ bản và cách xác định nhanh chóng các họ nghiệm bằng đơn vị ảo

B ài viết đề cập cách vận dụng đơn vị ảo trong máy tính cầm tay nhằm tìm nhanh họ nghiệm phương trình (pt) lượng giác cơ bản trên cơ sở nhận dạng đặc điểm chung của các họ nghiệm đều là hàm bậc nhất theo một số nguyên. 1 Mở đầu Xét các pt lượng giác cosu = cos v ⇔ u = ±v +k2π, sinu = sinv ⇔ · u = v +k2π, u = π− v +k2π; tanu = tanv ⇔ u = v +kπ, cotu = cotv ⇔ u = v +kπ (trong đó k ∈ Z). Dễ thấy tất cả các pt trên đều là pt bậc nhất theo k. Do đó, nếu gán k = i trongw2 ta dễ dàng có được họ nghiệm tương ứng ở dạng rút gọn . Tất nhiên, cũng cần thêm một bước nữa để xử lí hệ số của ẩn nếu nó khác 1. 2 Dạng vế phải là hằng số 2.1 Lý thuyết Xét các pt ở mục 1 với u = ax + b và vế phải là số m sao cho các pt ấy luôn có nghiệm. Khi đó cos(ax +b) = m ⇔x + b ∓ ¡ cos−1 (m)+k ×2π ¢ a = 0, sin(ax +b) = m ⇔     x + b − ¡ sin−1 (m)+k ×2π ¢ a , x + b − ¡ π−sin−1 (m)+k ×2π ¢ a ; tan(ax +b) = m ⇔x + b − ¡ tan−1 (m)+k ×π ¢ a , cot(ax +b) = m ⇔x + b − ¡ tan−1 ¡ 1 m ¢ +k ×π ¢ a . Như vậy, để tìm nhanh họ nghiệm của pt cos (ax +b) = m, ta thao tác trongw2như sau (các pt khác được thực hiện tương tự) Phương trình lượng giác cơ bản và cách xác định nhanh chóng các họ nghiệm bằng đơn vị ảo 1. Nhập vào màn hình† ¡ ax +b − ¡ cos−1 (m)+Y ×2π ¢¢÷ a 2. Bấm r X = 0 và Y = i, máy hiện số phức α + βi. Kết luận họ nghiệm thứ nhất của pt đã cho là x = −α−kβ ‡ . 3. Sửa màn hình thành ¡ ax +b − ¡ −cos−1 (m)+Y ×2π ¢¢÷ a 4. Bấm r X = 0 và Y = i, máy hiện số phức γ +δi. Kết luận họ nghiệm thứ hai của pt đã cho là x = −γ−kδ. 2.2 Ví dụ Ví dụ 1. Giải pt cosμ 4πx − 11π 12 ¶ = p 3 2 . (1) Lời giải. Thực hiện ngoài nháp • Nhập vào màn hình à 4πX − 11π 12 − à cos−1 Ãp 3 2 +Y ×2π ÷(4π) • Bấmr X = 0 và Y = i, máy hiện − 13 48 − 1 2 i. Vậy ta có họ nghiệm x = 13 48 + k 2 . • Sửa màn hình thành à 4πX − 11π 12 − à −cos−1 Ãp 3 2 +Y ×2π ÷(4π) • Bấmr X = 0 và Y = i, máy hiện − 3 16 − 1 2 i. Vậy ta có họ nghiệm x = 3 16 + k 2 . Ghi trong bài làm Ta có (1) ⇔     x = 13 48 + k 2 , x = 3 16 + k 2 . (k ∈ Z) †Đọc là: (Cái liên quan x trong vế trái trừ đi (cos−1 của vế phải rồi cộng cho Y nhân 2π)), tất cả chia cho hệ số của x. ‡Đổi dấu kết quả của máy và thay chữ i bởi chữ k. Ví dụ 2. Giải pt sinμ 4πx − 11π 12 ¶ = p 3 2 . (2) Lời giải. Thực hiện ngoài nháp • Nhập vào màn hình à 4πX − 11π 12 − à sin−1 Ãp 3 2 +Y ×2π ÷(4π) • Bấmr X = 0 và Y = i, máy hiện − 5 16 − 1 2 i. Vậy ta có họ nghiệm x = 5 16 + k 2 . • Sửa màn hình thành à 4πX − 11π 12 − à π−sin−1 Ãp 3 2 +Y ×2π ÷(4π) • Bấmr X = 0 và Y = i, máy hiện − 19 48 − 1 2 i. Vậy ta có họ nghiệm x = 19 48 + k 2 . Ghi trong bài làm Ta có (2) ⇔     x = 5 16 + k 2 , x = 19 48 + k 2 . (k ∈ Z) Ví dụ 3. Giải pt tanμ 4πx − 11π 12 ¶ = p 3. (3) Lời giải. Thực hiện ngoài nháp • Nhập vào màn hình μ 4πX − 11π 12 − 3 tan−1 3p 3 ́ +Y ×π ́ ¶ ÷(4π) • Bấmr X = 0 và Y = i, máy hiện − 5 16 − 1 4 i. Vậy ta có họ nghiệm x = 5 16 + k 4 . Ghi trong bài làm Trang 2 trong

Phương trình lượng giác cách xác định nhanh chóng họ nghiệm đơn vị ảo Dương Trác Việt** ** Nhóm Thủ thuật Casio Khối A, Nhóm Casio Tư B ài viết đề cập cách vận dụng đơn vị ảo máy tính cầm tay nhằm tìm nhanh họ nghiệm phương trình (pt) lượng giác sở nhận dạng đặc điểm chung họ nghiệm hàm bậc theo số nguyên Dạng vế phải số 2.1 Lý thuyết Xét pt mục với u = ax + b vế phải số m cho pt ln có nghiệm Khi cos(ax + b) = m Mở đầu ⇔x + Xét pt lượng giác cos u = cos v ⇔ u = ±v + k2π, sin u = sin v ⇔ u = v + k2π, u = π − v + k2π; tan u = tan v ⇔ u = v + kπ, cot u = cot v ⇔ u = v + kπ (trong k ∈ Z) Dễ thấy tất pt pt bậc theo k Do đó, gán k = i w2 ta dễ dàng có họ nghiệm tương ứng dạng rút gọn* * Tất nhiên, cần thêm bước để xử lí hệ số ẩn khác b ∓ cos−1 (m) + k × 2π = 0, a sin(ax + b) = m  b − sin−1 (m) + k × 2π ,  x+ a ⇔  −1 b − π − sin (m) + k × 2π x+ ; a tan(ax + b) = m ⇔x + b − tan−1 (m) + k × π a , cot(ax + b) = m ⇔x + b − tan−1 m a +k ×π Như vậy, để tìm nhanh họ nghiệm pt cos (ax +b) = m , ta thao tác w2 sau (các pt khác thực tương tự) Phương trình lượng giác cách xác định nhanh chóng họ nghiệm đơn vị ảo Nhập vào hình† Ví dụ Giải pt ax + b − cos1 (m) + Y ì ữ a Bm r X = Y = i , máy số phức α + βi Kết luận họ nghiệm thứ pt cho x = −α − kβ‡ Sửa hình thành Bấm r X = Y = i , máy số phức γ + δi Kết luận họ nghiệm thứ hai pt cho x = −γ − kδ Ví dụ 4πX − 11π − sin−1 12 11π = 12 (1) Lời giải Thực ngồi nháp • Bấm r X = Y = i , máy − k + 16 ÷ (4π) − i 16 11π − cos−1 12 + Y ì 2 ữ (4) Bm r X = Y = i , máy − 19 − i 48 4πX − 11π − π− sin−1 12 Vậy ta có họ nghiệm x = • Nhập vào hình + Y × 2π 11π − − cos−1 12 + Y × 2π • Bấm r X = Y = i , máy − Vậy ta có họ nghiệm x = k + 16 19 k + 48 Ghi làm ÷ (4π) 13 • Bấm r X = Y = i , máy − − i 48 13 k Vậy ta có họ nghiệm x = + 48 • Sửa hình thành Ta có  k  x = 16 + , (2) ⇔  (k ∈ Z)  19 k + x= 48 Ví dụ Giải pt ÷ (4π) tan 4πx − − i 16 Ghi làm  13 k  x = 48 + , (1) ⇔  (k ∈ Z)  k x= + 16 Đọc là: (Cái liên quan x vế trái trừ (cos−1 vế phải cộng cho Y nhân 2π)), tất chia cho hệ số x ‡ Đổi dấu kết máy thay chữ i chữ k 11π = 12 (3) Lời giải Thực ngồi nháp • Nhập vào hình Ta cú + Y ì 2 Sửa hình thành cos 4πx − 4πX − (2) Lời giải Thực ngồi nháp Vậy ta có họ nghiệm x = Ví dụ Giải pt 4πX − 11π = 12 • Nhập vào hình ax + b − − cos−1 (m) + Y × 2π ÷ a 2.2 sin 4πx − 4πX − 11 tan1 12 + Y ì ữ (4π) • Bấm r X = Y = i , máy − Vậy ta có họ nghiệm x = k + 16 − i 16 Ghi làm Trang tổng số trang Phương trình lượng giác cách xác định nhanh chóng họ nghiệm đơn vị ảo Ta có (3) ⇔ x = Rõ ràng, vế trái (6) phương trình bậc theo x Do đó, nhập k + 16 (k ∈ Z) a X + b − (c x + d + Y × 2π) Ví dụ Giải pt cot 4πx − 11π = 12 (4) Lời giải Ta có cot u = ⇔ tan u = (a X + b (c x + d + Y ì 2)) ữ β Thực ngồi nháp • Nhập vào hình 4πX − 11π − tan−1 12 r X = i Y = 0, máy số phức α + βi với phần ảo β hệ số x mà ta cần chia bớt§ Đến ta cần sửa hình thnh +Y ì ữ (4) Bm r X = Y = i , máy − 13 k Vậy ta có họ nghiệm x = + 48 13 − i 48 r X = Y = i , máy số phức γ + δi mà đổi dấu số giúp ta có họ nghiệm phương trình Các thao tác để tìm họ nghiệm thứ hai hoàn toàn tương tự xác định họ nghiệm thứ 3.2 Ví dụ Ví dụ Giải pt Ghi làm cos 3x − π π = cos x + 10 (7) Ta có (4) ⇔ x = 13 k + 48 Lời giải Thực ngồi nháp (k ∈ Z) • Nhập vào hình Dạng vế phải hàm lượng giác có chứa ẩn số bậc 3.1 3x − π π − x+ + Y × 2π 10 • Bấm r X = i Y = 0, máy − Lý thuyết Tương tự 2.1, ta tối ưu hóa cách giải pt mục trường hợp u = ax + b v = c x + d Tuy nhiên, giới hạn khn khổ viết, chúng tơi trình bày ý tưởng tối ưu hóa cách giải với máy tính cầm tay đơn vị ảo cho pt cos(ax + b) = cos(cx + d ), pt lại sin(ax + b) = sin(cx + d ), tan(ax + b) = tan(c x + d ), cot(ax + b) = cot(cx + d ) thực tương tự Xét cos(ax + b) = cos(cx + d ) (5) suy hệ số cần chia 2ả Sa mn hỡnh thnh 3x π + 2i 10 π π − x+ + Y ì ữ 10 Bm r X = Y = i , máy − Vậy ta có họ nghiệm x = • Sửa hình thành 3x − 3π + kπ 20 π − πi 20 π π − −x− + Y × 2π 10 § Để tìm họ nghiệm thứ nhất, ta thấy (5) ⇒ ax + b − (cx + d + Y × 2π) = (6) Nếu tinh ý ta nhẩm nhanh hệ số β x bỏ qua bước Thao tác với máy hữu ích hệ số β cần chia phức tạp, khó nhẩm dễ nhầm lẫn ¶ Hoặc dễ thấy 3x − x = 2x nên hệ số cần chia Trang tổng số trang Phương trình lượng giác cách xác định nhanh chóng họ nghiệm đơn vị ảo • Bấm r X = i Y = 0, máy − suy hệ số cần chia 4|| • Sửa hình thành π + 4i 10 • Bấm r X = Y = i , máy số phức 11 11π π − π − πi Vậy họ nghiệm x = +k 40 40 Ghi làm π π 3x − − −x + Y ì ữ 10 Ta có  • Bấm r X = Y = i , máy số phức π π +k − π− πi Vậy ta có họ nghiệm x = 40 40  (6) ⇔  3π + kπ, 20 (k ∈ Z) π 11π +k x= 40 x= Ghi làm Ví dụ Giải pt Ta có tan 3x − 3π x= + kπ,  20 (5) ⇔  π (k ∈ Z) π +k x= 40  π π = sin x + 10 (8) • Nhập vào hình 3x − 3x − • Nhập vào hình • Dễ thấy 3x − x = 2x nên hệ số cần chia • Sửa hình thành π π − x+ + Y ì ữ 10 Vy ta cú họ nghiệm x = • Sửa hình thành 3x − 3π + kπ 20 π − πi 20 π π − π−x− + Y × 2π 10 • Dễ thấy 3x − −x = 4x nên hệ số cần chia • Sửa hình thành π π 3x − − π − x − + Y ì ữ 10 || x+ +Y ì 10 ữ • Bấm r X = Y = i , máy số phức 9π 3π − π − πi Vậy họ nghiệm x = +k 70 70 π π 3x − − x + + Y × 2π 10 • Bấm r X = Y = i , máy − π π − x+ +Y ì 10 7 D thấy 3x − x = x nên ta cần chia cho ** 3 • Sửa hình thành Lời giải Thực nháp 3x − (9) Lời giải Thực ngồi nháp Ở ví dụ tiếp theo, làm tắt bước xác định hệ số β Ví dụ Giải pt sin 3x − π π = tan x + 10 Hoặc dễ thấy 3x − −x = 4x nên hệ số cần chia Ghi làm Ta có (7) ⇔ x = 9π 3π +k 70 (k ∈ Z) Ví dụ Giải pt cot 7x − π π = cot −x + 10 (10) Lời giải Thực nháp • Nhập vào hình 7x − π π − −x + +Y ×π 10 ** Độc giả thực thao tác trừ phân số máy tính khác song song với máy tính thứ Trang tổng số trang Phương trình lượng giác cách xác định nhanh chóng họ nghiệm đơn vị ảo • Dễ thấy 7x − −x = 8x nên hệ số cần chia • Sửa hình thành 7x − π π x + +Y ì ữ8 10 Bm r X = Y = i , máy số phức 3π π +k − π − πi Vậy họ nghiệm x = 80 80 Ghi làm Ta có (8) ⇔ x = 3π π +k 80 (k ∈ Z) Kết luận Các ví dụ chứng tỏ tính ưu việt rbU rút gọn họ nghiệm pt lượng giác Tuy nhiên, cần nghiên cứu thái độ học sinh khối 11 (cũng giáo viên) công cụ Tài liệu [1] Bộ Giáo dục Đào tạo (2006), Đại số Giải tích 11 Nâng cao, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Bộ Giáo dục Đào tạo (2006), Đại số Giải tích 11 Nâng cao: Sách giáo viên, NXB Giáo dục, Hà Nội Trang tổng số trang ... Vậy ta có họ nghiệm x = k + 16 − i 16 Ghi làm Trang tổng số trang Phương trình lượng giác cách xác định nhanh chóng họ nghiệm đơn vị ảo Ta có (3) ⇔ x = Rõ ràng, vế trái (6) phương trình bậc.. .Phương trình lượng giác cách xác định nhanh chóng họ nghiệm đơn vị ảo Nhập vào hình† Ví dụ Giải pt ax + b cos1 (m) + Y ì ữ a Bấm r X = Y = i , máy số phức α + βi Kết luận họ nghiệm thứ... Hoặc dễ thấy 3x − x = 2x nên hệ số cần chia Trang tổng số trang Phương trình lượng giác cách xác định nhanh chóng họ nghiệm đơn vị ảo • Bấm r X = i Y = 0, máy − suy hệ số cần chia 4|| • Sửa hình